Cap7_equacoes_diferenciais

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Capítulo VII: Soluções Numéricas de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
0. Introdução 
 
Muitos fenómenos nas áreas das ciências, engenharias, economia, etc., são 
modelados por equações diferenciais. Suponha-se que se quer determinar a posição 
de um corpo em movimento, e que apenas se conhece a sua velocidade ou a sua 
aceleração. No fundo, quer determinar-se uma função desconhecida, utilizando certos 
dados, relacionados por uma equação que contém, pelo menos, uma das derivadas 
dessa função. Estas equações chamam-se equações às derivadas ou equações 
diferenciais. 
 
Tal como acontece com o cálculo do integral de uma função, os métodos analíticos 
para a resolução de equações diferenciais aplicam-se apenas a certos tipos de 
problemas. Por isso recorre-se com frequência ao uso de métodos numéricos para 
obter a solução de uma equação diferencial sujeita a uma dada condição. 
 
 
1. Definição e conceitos básicos de equações diferenciais 
 
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida 
(incógnita) e suas derivadas. 
 
Definição: Seja y uma função de x e n um número inteiro positivo, então uma 
relação de igualdade que envolva x, y, y’, y’’,...,y(n) é chamada uma equação 
diferencial ordinária (EDO). 
 Exemplo: 12
2
2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+
dx
dy
dx
yde y 
 
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Se a função desconhecida depende de mais do que uma variável, as derivadas que 
aparecem na equação diferencial são derivadas parciais, e a equação chama-se 
equação diferencial parcial (EDP). 
 Exemplo: 04
2
2
2
2
2
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
dx
yd
dt
yd 
 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais elevada da função 
incógnita presente na equação. 
 
Exemplos: 
Equação Diferencial 
Ordinária 
Ordem 
 
São do tipo 
 
y’=x2+y2 1 y’=f(x,y) 
5x
dx
dyy
dx
dy3y
dx
yd 53
73
2
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 
2 
 
y’’=f(x,y, y’) 
 
(y’’’)4-x2(y’’)5+4xy=xex 3 y
(3)=f(x,y,y’,y’’) 
 
x3 y’=( y(4) )3 –1 4 y
(4)=f(x,y,y’,y’’,y(3))
 
 
M 
 
M M 
 
 
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável 
independente x é uma função y(x) que verifica a equação para todo o x. 
 
Exemplo: )xcos(c)x(senc)x(y 2221 += (com 21 c,c constantes arbitrárias) é 
solução da equação diferencial 04 =+ yy '' . 
Sendo, )xcos(c)x(senc)x(y 22 21 += 
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 )x(senc)xcos(c)x(y' 2222 21 −=⇒ 
 )xcos(c)x(senc)x(y '' 2424 21 −−=⇒ 
 
substituindo na equação diferencial, vem que 
 
( ) ( ) 02242424 2121 =++−− )xcos(c)x(senc)xcos(c)x(senc , isto é, 
 
verificam a equação. 
 
Uma solução particular (ou integral particular) de uma equação diferencial é 
qualquer solução da mesma. A solução geral (ou integral geral) de uma equação 
diferencial é o conjunto de todas as soluções. 
 
Exemplo: 
)xcos(c)x(senc)x(y 22 21 += com IRc,c ∈21 , é a solução geral da equação 
diferencial 04 =+ yy '' ; enquanto )xcos()x(sen)x(y 22 += é uma solução 
particular com .cc 121 == 
 
Um problema de valor inicial (PVI) consiste numa equação diferencial, juntamente 
com condições relativas à função incógnita e suas derivadas dadas para o mesmo 
valor da variável independente. 
 
 Exemplo: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=+
2)0(
0)0(
04
'
''
y
y
yy
 PVI de 2ª ordem. 
 
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Uma solução de um PVI é uma função y=f(x) que satisfaz a equação diferencial e 
todas as condições relativas à função incógnita. 
 
Vamos, a seguir, ver métodos numéricos para a resolução de EDO’s. 
 
2. Métodos Numéricos para a resolução de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
Definição do problema 
Neste capítulo consideraremos o problema de determinar a função y=y(x) que 
satisfaz simultaneamente a equação diferencial (1ª ordem) e a condição inicial: 
 
 
[ ]
[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
∈
∈
ba,0 x ,0y=)0y(x
(7.1) 
ba, x y(x)),f(x,=(x)y'
 
 
 
Este é chamado um problema de valor inicial (PVI) de 1ª ordem. 
 
 
Existência e unicidade de solução 
 
Teorema: 
Seja f definida e contínua em D={(x,y): IRyb,xa ∈≤≤ } com a e b 
finitos. Seja 
dy
df contínua e limitada em D. Então [ ] IR0y e ba,0x ∈∈∀ , o 
problema (7.1) tem solução única continuamente diferenciável para [ ]ba,x ∈ . ■ 
 
Estudaremos métodos, chamados métodos de variável discreta, para resolver 
problemas de valor inicial da forma (7.1). 
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Assim, estes métodos determinam aproximações para a solução y(x) num conjunto 
discreto de pontos x0, x1, x2, ..., da variável independente. Isto é, a solução 
aproximada obtida é apresentada por uma tabela de valores 
( xn, yn ), n=1,2, ..., 
onde 
yn ≅ y(xn). 
 
Para obter a solução y(x) em pontos x∈[a,b] diferentes de xn (n = 0, 1, ...) pode usar-
se interpolação. 
 
Vamos considerar apenas o caso em que o passo h é constante, tendo-se 
xn+1 = xn + h = x0 + (n+1)h, n = 0, 1,.... 
 
Apresentaremos apenas métodos da classe de métodos de passo único, isto é, o valor 
de yn+1 pode ser calculado se apenas yn é conhecido. 
 
Suponhamos que o PVI (7.1) satisfaz as condições de existência e unicidade de 
solução, vai tentar-se encontrar uma solução numérica para o problema. 
Considerem-se m subintervalos de [a, b], (m≥1), e seja xj = x0 + jh onde m
abh −= , 
j=0,...,m e xj∈[a,b]. Ao conjunto Ih={x0,x1,...,xm} obtido da forma anterior chama-se 
rede ou malha de [a,b]. 
 
O objectivo dos métodos numéricos é o cálculo das aproximações y1, y2, ..., ym para 
as soluções exactas y(x1), y(x2),..., y(xm). 
 
Notação: y(xj), j=0,...,m ⎯ solução exacta do PVI nos pontos xj∈Ih 
 y(xj) ≅ yj ⎯ significa que yj é aproximação para y(xj), xj∈Ih. 
 
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2.1. Método de série de Taylor 
 
2.1.1. Método de Taylor de 1ª ordem ( método de Euler ) 
 
O método de Euler é um método de passo único e o mais simples de todos os 
métodos numéricos para problemas de valor inicial. 
 
Consideremos então o problema definido por (7.1). 
 
Se y é continuamente diferenciável até à segunda ordem em [a,b] e xn, xn+1∈[a,b], 
então, pela fórmula de Taylor, 
 
 
Donde, da equação diferencial de (7.1) e de (7.2) concluimos que 
).(y
2
h))y(x,h.f(x)y(x)y(x n
''
2
nnn1n ξ++=+ 
Se h é “pequeno” o termo )(y
2
h
n
''
2
ξ será também “pequeno” e podemos escrever 
 
 
 
O método de Euler consiste, então, em calcular recursivamente a sucessão {yj} 
através das fórmulas: 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−=+=
=
+ 10,...,j ),y,h.f(xyy
(7.3) 
)y(xy
jjj1j
00
m
. 
(7.2) x xonde ),(y
2
h)(xh.y)y(x)y(x 1nnnn
''
2
n
'
n1n .++ <<++= ξξ
)).y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+
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Exemplo 
Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨
⎧
=
+−=
20
2
)(y
yx'y
 
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler. 
 
Resolução: 
Tem-se que x0=0 e y0=2. 
Além disso, 41- 5
0.2
01
hab
=⇒=−=−= mm . 
 
A fórmula de recorrência será: 
 
 
0,1,2,3,4.j ),y,h.f(x y y
2y
jjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+=
=
+
 
 
( )
 
0,1,2,3,4.j , y-x*0.2 y y
2y
 
jjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=
⇔
+ 2
 
 
1ª iteração 
y1 = y0 + 0.2*(x0 - y0 + 2) ⇔ y1 = 2 + 0.2*(0 – 2 + 2) ⇔ y1 = 2 
x1 = 0 + 0.2 = 0.2 
 
2ª iteração 
y2 = y1 + 0.2*(x1 - y1 + 2) ⇔ y2 = 2 + 0.2*(0.2 – 2 + 2) ⇔ y2 = 2.04 
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 
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3ª iteração 
y3 = y2 + 0.2*(x2 - y2 + 2) ⇔ y3 = 2.04 + 0.2*(0.4 - 2.04 + 2) ⇔ y3 = 2.112 
 
x3=0.4+0.2=0.6 
 
4ª iteração 
y4 = y3 + 0.2*(x3 - y3 + 2) ⇔ y4 = 2.112+0.2(0.6-2.112+2) ⇔ y4 = 2.2096 
 
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 
 
5ª iteração 
y5 = y4 + 0.2*(x4 - y4 +2) ⇔ y5 = 2.2096+0.2*(0.8-2.2096+2) ⇔ y5=2.3277 
 
x5 = 0.8 + 0.2 = 1 
 
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são 
 { 2 , 2.04 , 2.112 , 2.2096 , 2.3277 }. 
 
 
Erros de discretização 
Supondo que se conhece exactamente o valor de y(xn), ao aproximar 
 
 
introduz-se um erro, chamado erro de truncatura (ou discretização) local. 
Este erro é igual a ( ) ] [1nnn''
2
x,xξ ξy
2
h
+∈, , e é o erro de truncatura 
introduzido no passo de xn para xn+1. 
 
Contudo, ao calcular uma aproximação para y(xn+1) pelo método de Euler (7.3), o 
valor yn usado é uma aproximação para y(xn). O valor yn foi calculado usando uma 
))y(x,h.f(x)y(x)y(x nnn1n +≅+
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aproximação yn-1 para y(xn-1) e assim sucessivamente. Assim, no cálculo da 
aproximação yn+1 para y(xn+1) tem-se não só o erro de discretização local 
introduzido nesse passo mas também o erro resultante da acumulação de erros de 
discretização local introduzido nos passos anteriores. 
A ( ) nnn yxy −=e chama-se erro de truncatura (ou discretização) global. 
 
Convergência do método de Euler 
A aproximação da solução num ponto xn converge para a solução exacta nesse 
ponto, y(xn), quando o passo h tende para zero, isto é, 
( )nn 
n
xxh
0h 
xy ylim
0n
=
−
=
→ . 
Comentários 
 
™ O método de Euler não é muito usado uma vez que os resultados obtidos têm, 
em geral, pouca precisão, a não ser que se seleccione uma valor para o passo 
demasiado pequeno o que torna o processo demasiado lento. 
 
™ O método foi deduzido truncando o desenvolvimento dado pela fórmula de 
Taylor de segunda ordem antes do termo em h2. 
 
 
 
2.1.2. Método de Taylor de 2ª ordem 
 
Consideremos o problema de valor inicial (7.1) e sejam [ ]ba,x,x 1nn ∈+ . 
Então, se y tem derivadas contínuas até à terceira ordem em [a,b], pela fórmula de 
Taylor, 
 
 
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Tem-se então, se h = xn+1 - xn é pequeno, 
).(xy
2
h)(xh.y)y(x )y(x n
''
2
n
'
n1n ++≅+ 
 
Define-se o método de Taylor de 2ª ordem pela fórmula 
 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=
+ 1.- 0,1,...,j ),y,(xf 2
h)y,h.f(xyy
)y(xy
jj
'
2
jjj1j
00
m
 
 
onde: ( ) ( ) ( ) ( ).jjjjjjjj' y,x.fy,xyfy,xxfy,xf ∂∂+∂∂= 
 
 
Exemplo 
Achar aproximações para a solução do PVI ⎩⎨
⎧
=
+−=
20
2
)(y
yx'y
 
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Taylor de 2ª ordem. 
 
 
 
 
 . xx 
 ),(y
6
h)(xy
2
h)(xh.y)y(x)y(x
1nnn
n
'''
3
n
''
2
n
'
n1n
+
+
<<
+++=
ξ
ξ
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Resolução 
 
Tem-se que x0=0 e y0=2. 
Além disso, 41- 5
0.2
01
h
ab
=⇒=−=−= mm . 
 
método de Taylor de 2ª ordem 
 
A fórmula de recorrência será: 
( ) ( )
 
0,1,2,3,4.j ,)yx-2y-x*0.2 y y
2y
jjjjj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−++++=
=
+ 1*02.0
 
 
 
 
 
0,1,2,3,4.j , 0.18x 0.82y y
2y
 
jj1j
0
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=
=
⇔
+ 38.0
 
 
1ª iteração 
y1 = 0.82*y0 + 0.18*x0 + 0.38 ⇔ y1 = 0.82*2 + 0.18*0 + 0.38 ⇔ y1 = 2.02 
x1 = 0 + 0.2 = 0.2 
 
2ª iteração 
y2 = 0.82*y1 + 0.18*x1 + 0.38 ⇔ y2 = 0.82*2.02 + 0.18*0.2 + 0.38 = 2.0724 
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 
 
 
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3ª iteração 
y3 = 0.82*y2 + 0.18*x2 + 0.38 ⇔ y3 = 0.82*2.0724 + 0.18*0.4 + 0.38 = 2.151368 
x3= 0.4 + 0.2 = 0.6 
 
4ª iteração 
y4 = 0.82*y3 + 0.18*x3 + 0.38 ⇔ y4 = 0.82*2.151368 + 0.18*0.6 + 0.38 
⇔ y4 = 2.25212176 
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 
 
5ª iteração 
y5 = 0.82*y4 + 0.18*x4 + 0.38 ⇔ y5 = 0.82*2.25212176 + 0.18*0.8 + 0.38 
⇔ y5 = 2.370739843 
x5 = 0.8 + 0.2 = 1 
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são { 2.02 , 
2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }. 
 
 De modo similar se define o método de Taylor de 4ª ordem: 
 
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
=
++++=
=
+
 1.-0,1,...,j 
 
),y,(xf 
24
h)y,(xf 
6
h)y,(xf 
2
h)y,h.f(xyy
)y(xy
jj
'''
4
jj
''
3
jj
'
2
jjjj
00
m
1 
 
 
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2.2. Métodos de Runge-Kutta 
 
 
Os métodos de Runge-kutta foram desenvolvidos com o objectivo de produzirem 
resultados com a mesma precisão que os obtidos pelo método de Taylor, mas 
evitando o cálculo das derivadas. 
 
 Limitar-nos-emos a apresentar as fórmulas. 
 
 
2.2.1. Métodos de Runge-Kutta de 2ª ordem 
 
As fórmulas têm a forma geral 
 
( )
( ) ( )( )[ ]⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++++=
=
+ . 1-0,1,...,j y,x.h.fy.h,xfy,xfhyy
xy y
jjjjjjj1j
00
m,.b.a βα
 
 
sendo as constantes βα e ,b,a escolhidas de modo a que o erro de truncatura local 
do método seja proporcional a h3 tal como no método de Taylor de 
2ª ordem. 
Tal condição implica 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
==
=
b
,ba
2
1 
 - 1 
βα , sendo b arbitrário. 
 
Substituindo na fórmula anterior e βα,a , obtemos 
 
( ) ( ) ( )
. 1-0,1,...,j 
 y,x.h.f
2
1y.h,
2
1xfy,xf1hyy jjjjjjj1j
m
,
bb
.bb
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
+++−+=+ 
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Apresentaremos aqui os dois métodos mais conhecidos de Runge-Kutta de 
2ª ordem. 
 
2.2.1.1. Método de Euler melhorado ( ou método de Heun ) 
 
 
Corresponde à escolha ,b
2
1 = 
 
( )
( )
( )
( )
 
 
1 ..., 0,1,j , 
h.y ,h xf
y,xf
2
hyy
xy y
1jj2
jj1
21j1j
00
.m
kk
k
kk
−=
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
++=
=
++=
=
+
 
 
Exemplo: 
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨
⎧
=
+−=
20
2
)(y
yx'y
 na malha [0,1] com h=0.2, usando 
o método de Euler melhorado. 
 
Resolução: 
 
Tem-se que x0=0 e y0=2. 
Além disso, 41- 5
0.2
01
h
ab
=⇒=−=−= mm . 
 
 
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A fórmula de recorrência será: 
 
( )
( )
( )
 
81y*0.8x8020y 20xf
2y-xyxf
0,1,2,3,4.j, *0.1 y y
2y
jj1jj2
jjjj1
21j1j
0
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+−=++=
+==
=
++=
=
+
.*.k*.,.k
,k
kk
 
 
1º iteração: 
y1 = y0 + 0.1*(k1+ k2) 
k1 = x0 - y0 + 2 ⇔ k1 = 0 – 2 + 2 ⇔ k1 = 0 
k2 = 0.8x0 – 0.8y0 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0 – 0.8*2 + 1.8 ⇔ k2 = 0.2 
donde y1 = 2 + 0.1*(0 + 0.2) = 2.02 
e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2 
 
 
2º iteração: 
y2 = y1 + 0.1*(k1+ k2) 
k1 = x1 - y1 + 2 ⇔ k1 = 0.2 – 2.02 + 2 ⇔ k1 = 0.18 
k2 = 0.8x1 – 0.8y1 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.2 – 0.8*2.02 + 1.8 ⇔ k2 = 0.344 
donde y2 = 2.02 + 0.1*(0.18 + 0.344) = 2.0724 
e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 
 
 
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3º iteração: 
y3 = y2 + 0.1*(k1+ k2) 
k1 = x2 – y2 + 2 ⇔ k1 = 0.4 – 2.0724 + 2 ⇔ k1 = 0.3276 
k2 = 0.8x2 – 0.8y2 + 1.8 ⇔ k2 =0.8*0.4 – 0.8*2.0724 + 1.8 = 0.46208 
donde y3 = 2.0724 + 0.1*(0.3276 + 0.46208) = 2.151368 
e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6 
 
4º iteração: 
y4 = y3 + 0.1*(k1+ k2) 
k1 = x3 – y3 + 2 ⇔ k1 = 0.6 – 2.151368 + 2 ⇔ k1 = 0.448632 
k2 = 0.8x3 –0.8y3 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*0.6 – 0.8*2.151368 + 1.8 = 0.5589056 
donde y4 = 2.151368 + 0.1*(0.448632 + 0.5589056) = 2.25212176 
e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 
 
5º iteração: 
y5 = y4 + 0.1*(k1+ k2) 
k1 = x4 – y4 + 2 ⇔ k1 = 0.8 – 2.25212176 + 2 ⇔ k1 = 0.54787824 
k2 =0.8x4 –0.8y4 +1.8 ⇔ k2 = 0.8*(0.8 -2.25212176)+1.8 = 0.638302592 
donde y5 = 2.25212176+ 0.1*(0.54787824 + 0.638302592) 
 ⇔ y5 = 2.370739843 
e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1 
Página 17 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são: 
 
{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }. 
 
 
 
2.2.1.2. Método de Euler modificado 
 
 
Corresponde à escolha ,b 1 = 
 
( )
( )
⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
++=
=
=
+=
=
+
1jj2
jj1
2j1j
00
2
hy,
2
hxf
y,xf
1.- ..., 0,1,j 
 h.yy
xy y
kk
k
m
k
.
,
 
 
 
Exemplo: 
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨
⎧
=
+−=
20
2
)(y
yx'y
, na malha [0,1] com h=0.2, usando 
o método de Euler modificado. 
Resolucão: 
 
Tem-se que x0=0 e y0=2. 
 
Além disso, 41- 5
0.2
01
h
ab
=⇒=−=−= mm . 
 
 
 
Página 18 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
A fórmula de recorrência será: 
( )
 
91y*0.9x9010y 10xf
2y-x
0,1,2,3,4.j 
 , *0.2 y y
2y
jj1jj2
jj1
2j1j
0
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+−=++=
+=
=
+=
=
+
.*.k*.,.k
k
k
 
 
 
1º iteração: 
y1 = y0 + 0.2*k2 
k2 = 0.9*(x0 - y0) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0 – 2) + 1.9 ⇔ k2 = 0.1 
 
donde y1 = 2 + 0.2*0.1 = 2.02 
e, x1 = 0 + 0.2 = 0.2 
 
 
2º iteração: 
y2 = y1 + 0.2*k2 
k2 = 0.9*(x1 - y1) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.2 – 2.02) + 1.9 ⇔ k2 = 0.262 
donde y2 = 2.02 + 0.2*0.262 = 2.0724 
e, x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 
 
 
 
Página 19 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
3º iteração: 
y3 = y2 + 0.2*k2 
k2 = 0.9*(x2 - y2) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.4 - 2.0724) + 1.9 = 0.39484 
donde y3 = 2.0724 + 0.2*0.39484 = 2.151368 
e, x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6 
 
 
4º iteração: 
y4 = y3 + 0.2*k2 
k2 = 0.9*(x3 - y3) + 1.9 ⇔ k2 =0.9*(0.6 –2.151368) + 1.9 = 0.5037688 
 
donde y4 = 2.151368 + 0.2*0.5037688 = 2.25212176 
e, x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 
 
 
5º iteração: 
y5 = y4 + 0.2*k2 
k2 = 0.9*(x4 - y4) + 1.9 ⇔ k2 = 0.9*(0.8 - 2.25212176) + 1.9 
⇔ k2 = 0.593090416 
 
donde y5 = 2.25212176+ 0.2*(0.593090416) = 2.370739843 
e, x5 = 0.8 + 0.2 = 1 
Página 20 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são: 
{ 2.02 , 2.0724 , 2.151368 , 2.25212176 , 2.370739843 }. 
 
 
2.2.1.3. Métodos de Runge-Kutta de 4ª ordem 
 
Fórmulas de Runge-Kutta de ordem superior podem ser desenvolvidas com o mesmo 
objectivo. A mais usada é a que corresponde ao método conhecido por método de 
Runge-Kutta de 4ª ordem 
 
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
++=
++=
++=
=
=
++++=
=
+
)hkyh,f(xk
)k
2
hy,
2
hf(xk
 ),k
2
hy,
2
hf(xk
 )y,f(xk
 1.-0,...,j 
)k2k2k(k
6
hyy
)y(xy
3jj4
2jj3
1jj2
jj1
4321j1j
00
m
 
 
 
Exemplo: 
Achar aproximações para o PVI ⎩⎨
⎧
=
+−=
20
2
)(y
yx'y
 
na malha [0,1] com h=0.2, usando o método de Euler modificado. 
 
 
Página 21 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
Resolucão: 
 
Tem-se que x0=0 e y0=2. 
Além disso, 41- 5
0.2
01
h
ab
=⇒=−=−= mm . 
 
A fórmula de recorrência será: 
 
( )
( )
( )
( )
 
8181y*8180x8180k20y 20xfk
911y*0.91x910k10y 10xfk
91y*0.9x90k10y 10xfk
2y-xk
0,1,2,3,4.j 
 , kk2k2k
6
0.2 y y
2y
jj3jj4
jj2jj3
jj1jj2
jj1
4321j1j
0
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+−=++=
+−=++=
+−=++=
+=
=
++++=
=
+
..*.*.,.
.*.*.,.
.*.*.,.
*
 
 
Cálculos auxiliares: 
( )
2
,
+−=
=
jj
jj1
yx 
y x fk
 
 
( )
( )( )
( )
( )
( )
9.1*9.0
22.0*1.01.0
2.0*1.0,1.0
2.0*1.0*1.0,1.0
2*1.0,1.0
*1.0,1.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
1jj2
y*0.9x 
xy*0.9x 
xy*0.9 x f 
y xy x f 
y xy x f 
y x f kk
 
Página 22 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
 
 
( )
( )( )
( )
( )
( )
91.1*91.0
219.0*09.01.0
19.0*09.0,1.0
19.0*09.0*09.0,1.0
9.1*1.0,1.0
*1.0,1.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
2jj3
y*0.91x 
xy*0.91x 
xy*0.91 x f 
y xy x f 
y*0.9 x*0.9y x f 
y x f kk
 
 
( )
( )( )
( )
( )
( )
818.1*818.0
2382.0*182.02.0
382.0*182.0,2.0
382.0*182.0*182.0,2.0
91.1*2.0,2.0
*2.0,2.0
+−=
+++−+=
+++=
+−++=
+−++=
++=
jj
jjj
jjj
jjjj
jjjj
3jj4
y*0.818x 
xy*0.818x 
xy*0.818 x f 
y xy x f 
y*0.91 x*0.91y x f 
y x f kk
 
 
Então, 
( )
( ) ( )(
( ) ( ))
( )
3,4. 2, 1, 0, j 3812666660x*60.18126666 y*40.81873333y 
43811y4385x4385
6
0.2 y 
8181y*0.818x8180911y*0.91x9102 
91y*0.9x9022y-x
6
0.2 y 
kk2k2k
6
0.2 y y
jj1j
jjj
jjjj
jjjjj
4321j1j
=++=
+−+=
+−++−+
+−+++=
++++=
+
+
,.
.*.*.*
.*..*.
.*.*
*
 
 
1º iteração: 
y1 = 0.818733334*y0 + 0.181266666*x0+0.381266666 
Página 23 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
 = 0.818733334*2 + 0.181266666*0+0.381266666 = 2.018733335 
x1 = 0 + 0.2 = 0.2 
2º iteração: 
y2 = 0.818733334*y1 + 0.181266666*x1+0.381266666 
 = 0.818733334*2.018733335 + 0.181266666*0.2+0.381266666 
 = 2.070324273 
 
x2 = 0.2 + 0.2 = 0.4 
 
 
3º iteração: 
y3 = 0.818733334*y2 + 0.181266666*x2+0.381266666 
 = 0.818733334*2.070324273+0.181266666*0.4+0.381266666 
 = 2.148816828 
 
x3 = 0.4 + 0.2 = 0.6 
 
4º iteração: 
y4 = 0.818733334*y3 + 0.181266666*x3 + 0.381266666 
 = 0.818733334*2.148816828+ 0.181266666*0.6+0.381266666 
 = 2.249334632 
 
Página 24 de 24 –Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 
x4 = 0.6 + 0.2 = 0.8 
 
 
5º iteração: 
y5 = 0.818733334*y4 + 0.181266666*x4 + 0.381266666 
 = 0.818733334*2.249334632+ 0.181266666*0.8+0.381266666 
 = 2.367885242 
e, 
x5 = 0.8 + 0.2 = 1 
 
As soluções aproximadas para o PVI na malha [0, 1] com passo h=0.2 são: 
{ 2.018733335, 2.070324273, 2.148816828, 2.249334632, 2.367885242 }.