CEP EXERCICIO

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CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO
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• O que é CEP:
• Ferramenta voltada para manter o processo 
dentro de padrões estabelecidos 
• Padrões estabelecidos através de análise 
estatística de dados do processo
• Determinar tipos de variação que afetam o 
processo
• Utiliza ferramentas estatísticas para análise de 
dados (histograma, gráficos de controle).
CONTROLE ESTATÍSTICO DE 
PROCESSO – CEP
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CONTROLE ESTATÍSTICO DE 
PROCESSO – CEP
• O que é CEP?
• É um sistema de inspeção por amostragens
realizadas ao longo do processo, com o objetivo de 
verificar a presença de causas especiais, ou seja, 
causas que podem prejudicar a qualidade do produto. 
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CONTROLE ESTATÍSTICO DE 
PROCESSO – CEP
• Por que implantar o CEP? 
• O foco não deve estar sobre o produto 
acabado
• É errado atuar excessivamente sobre o 
processo, pois as interrupções prejudicam a 
produtividade
• Também é errado deixar de atuar, quando o 
processo vai mal, já que isso leva a produção 
de unidades com baixa qualidade
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OBJETIVOS DO CEP
• Possibilitar que o controle do processo
seja feito durante a operação, em tempo 
real;
• Monitorar as características críticas de 
qualidade, assegurando que elas irão se 
manter dentro de limites pré-estabelecidos;
• Indicar quando devem ser tomadas ações 
de correção, servindo de base para a 
melhoria contínua;
• Aumentar o comprometimento de todos 
com a qualidade do que está sendo 
produzido.
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Como Consequência....
• Reduzir o desperdício e retrabalho;
• Reduzir o custo da má qualidade;
• Estabilizar e dominar o processo;
• Aumentar a capacidade dos processos.
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Princípio Fundamental
Processo realizado de maneira consistente 
gera resultados previsíveis
• Apenas variações de causa comum devem 
estar presentes
• Variações causadas por fatores externos 
devem ser identificadas e eliminadas
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CAUSAS COMUNS
• O que são causas comuns?
• São pequenas causas de variação e estão sempre presentes, dentro 
de limites pré-definidos, sendo por isso consideradas NORMAIS do 
processo. 
• Exemplos:
• Pequenas diferenças entre composição química das matérias primas 
• Variações no tempo de processo (ritmo) 
• Temperatura
• Se todos os pontos da carta de controle estiverem dentro dos limites 
de controle, sem padrões não aleatórios (sem tendências), o 
processo possui somente causas comuns, ou seja, é ESTAVEL. 
• Estas causas são mais difíceis de identificar e eliminar.
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CAUSAS ESPECIAIS
• O que são causas especiais? 
• São causas imprevisíveis, que provocam grandes variações no 
resultado do processo. 
• Ocorrem repentinamente (pontos fora dos limites de controle) ou 
ocorrem gradualmente, como tendências ou sequências de pontos. 
São de forma geral inesperadas e indesejadas.
• Exemplos: 
• Erros de setup (montagem); 
• Problemas no equipamento ou nas ferramentas (desgastes); 
• Falhas operacionais. 
• Estas condições tornam o processo FORA DE CONTROLE e por isso, 
devem ser identificadas e neutralizadas
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Processo Isento de Causas Especiais
X
 f(X)
Tempo
4T
3T
1T
X
X
X
2T
 f(X)
 f(X)
 f(X)
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Processo com Causas Especiais –
Afetando Média da variável
 X
 f(X)
Tempo
3T
4T
1T X
 X
 X
2T
 f(X)
 f(X)
 f(X)
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Processo com Causas Especiais –
Afetando Média e Dispersão da variável
 X
Tempo
3T
4T
1T
2T X
 X
 X
 f(X)
 f(X)
 f(X)
 f(X)
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 Se apenas as causas 
comuns estão presentes, 
as medidas devem estar 
dentro dos limites de 
controle
Diâmetro
Amostra
X
31.8
35.2
16111621
 Pontos fora dos limites 
de controle indicam a 
presença de causas 
especiais
Diâmetro
Amostra
X
31.8
35.2
3540455055
Gráficos de Controle
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Outras indicações da presença de causas especiais:
Gráficos de Controle
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Gráficos de Controle
• Elementos básicos:
• Média (ou linha central)
• Limite Superior de Controle (LSC): 
• média + 3 
• Limite Inferior de Controle (LIC)
• média - 3 
• As variáveis acima são obtidas a partir de conjunto de observações
coletadas durante uso do processo
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Se X ~ N( ; 2), então
P( ) PX Z
          
           
  
 P 1 1Z   
(ii) P(  – 2  X   + 2 ) = P(– 2  Z  2 ) = 0,955.
(iii) P(  – 3  X   +3 ) = P( –3  Z  3 ) = 0,997.
isto é, P(  -   X   +  ) = 0,683.
2 (A(1) 0,5)
2 (0,8413 0,5)
0,6826
  
  

Z
(i)
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Gráficos de Controle
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Tipos de Gráficos de Controle
Variáveis: Usados quando o objetivo é monitorar 
processos através de características de qualidade 
representadas por grandezas mensuráveis, como o 
diâmetro de um eixo ou o volume de leite em uma 
embalagem;
• Vantagem:
• Fornecimento de informações bastante completas sobre o 
estado da característica no processo, o que facilita o seu 
entendimento e gestão.
• Desvantagem:
• Maior dificuldade na coleta e tratamento dos dados.
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Gráficos para Variáveis – Metodologia:
• Importância de controlar média e variabilidade
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Tipos de Gráficos de Controle
Atributos: Usados quando o objetivo é contar ou classificar o 
resultado gerado pelo processo em categorias, como defeituoso ou 
não defeituoso, sem a preocupação de uma avaliação detalhada 
de cada característica da qualidade.
• Vantagem:
• Disponibiliza a condição de controlar o processo, mesmo com a 
impossibilidade ou dificuldade de realizar medições nas características 
de qualidade críticas
• Desvantagem:
• Exige maior número de observações
• Não permite que se chegue a conclusões mais aprofundadas sobre o 
processo
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Gráficos para Variáveis – Metodologia:
• Coleta de dados:
• O monitoramento do processo deve ser feito por dois gráficos: um 
para média e outro para variabilidade;
• Pode-se utilizar dados individuais ou agrupados;
• No segundo caso, ao invés de coletar todos os dados ao mesmo 
tempo, deve-se retirar pequenas amostras, a intervalos regulares 
(subgrupos racionais), cada uma constituída por unidades 
produzidas quase no mesmo instante. Entre a coleta de dados de 2 
subgrupos há um lapso de tempo pré-definido, em função da 
confiabilidade do processo;
• Utiliza-se, na prática, subgrupos formados por 4 ou 5 elementos.
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Gráficos para Variáveis – Metodologia:
• Etapa Inicial: Conhecer, estabilizar e ajustar o 
processo
• Coletar dados e determinar se a característica sob análise 
apresenta um comportamento estável no processo;
• Caso o processo esteja sob o efeito de causas especiais, 
identificá-las, analisá-las e eliminá-las;
• Novos dados deverão ser coletados ou os valores fora de 
controle eliminados e os limites recalculados.
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Situação Inicial do Processo:
 X
 f(X)
Tempo
T3
3T
1T
4T
2T
 X
 X
 X
---------------------------------------------------------------
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Causas Especiais Presentes no Processo
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Causas Especiais e Medidas Corretivas
Prof. Marcelo MagalhãesSituação do Processo após eliminação 
de causas especiais
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Gráficos para Variáveis – Metodologia:
• Base Estatística de gráficos para variáveis
• Supondo que uma característica de qualidade possui média 
μ e desvio padrão σ, e se x1, x2, ..., xn, é uma amostra de 
tamanho n, as médias das amostras terão distribuição 
normal, com média μ e desvio padrão 
• Quando a média e o desvio padrão do processo não forem 
conhecidos, deverão ser estimados. A primeira será 
calculada pela média das médias e o segundo usando a 
amplitude ou o desvio padrão das amostras, como mostrado 
abaixo:
n

m
xxx
X
m

...21
2
ˆ
d
R

4
ˆ
C
S

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Cálculo dos Limites de Controle
Constantes usadas no cálculo dos limites de controle:
Tamanho da 
Amostra
A2 d2 D3 D4 A3 B3 B4 c4
2 1,881 1,128 0 3,269 2,659 0 3,267 0,7979
3 1,023 1,693 0 2,574 1,954 0 2,568 0,8862
4 0,729 2,059 0 2,282 1,628 0 2,266 0,9213
5 0,577 2,326 0 2,114 1,427 0 2,089 0,9400
6 0,483 2,534 0 2,004 1,287 0,03 1,97 0,9515
7 0,419 2,704 0,076 1,924 1,182 0,118 1,882 0,9594
8 0,373 2,847 0,136 1,864 1,099 0,185 1,815 0,9650
9 0,337 2,97 0,184 1,816 1,032 0,239 1,761 0,9693
10 0,308 3,078 0,223 1,777 0,975 0,284 1,716 0,9727
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Cálculo dos Limites de Controle
• Para o gráfico de médias (variabilidade estimada pelo 
Range):
• LCS = 
• Linha Média: 
• LCI = 
X
RA2xX
2
3X 
nxd
R
RA2xX
2
3X 
nxd
R
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Cálculo dos Limites de Controle
• Para o gráfico de Variabilidade - Range:
• LCS = 
• Linha Média: 
• LCI = 
Obs: Como os limites de controle para o gráfico de médias dependem 
do valor central e da variabilidade, enquanto os limites para o 
gráfico de dispersão dependem somente da variabilidade, é 
recomendável sempre iniciar o processo por este último.
R
3DRx
4DRx
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Cálculo dos Limites de Controle
• Para o gráfico de médias (variabilidade estimada pelo 
Desvio Padrão):
• LCS = 
• Linha Média: 
• LCI = 
X
sA3xX
4
3X 
nxc
s
sA3xX
4
3X 
nxc
s
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Cálculo dos Limites de Controle
• Para o gráfico de Variabilidade – Desvio Padrão:
• LCS = 
• Linha Média: 
• LCI = 
Obs: Como os limites de controle para o gráfico de médias dependem 
do valor central e da variabilidade, enquanto os limites para o 
gráfico de dispersão dependem somente da variabilidade, é 
recomendável sempre iniciar o processo por este último.
s
3Bsx
4Bsx
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EXEMPLO
Número do 
Sub-grupo
Medidas Média Range
X1 X2 X3 X4
1 35 40 32 33 35 8
2 46 37 36 41 40 10
3 34 40 34 36 36 6
4 69 64 68 59 65 10
5 38 34 44 40 39 10
6 42 41 43 34 40 9
7 44 41 41 46 43 5
8 33 41 38 36 37 8
9 48 52 49 51 50 4
10 47 43 36 42 42 11
11 38 41 39 38 39 3
12 37 37 41 37 38 4
Número do 
Sub-grupo
Medidas Média Range
X1 X2 X3 X4
13 40 38 47 35 40 12
14 38 39 45 42 41 7
15 50 42 43 45 45 8
16 33 35 29 39 34 10
17 41 40 29 34 36 12
18 38 44 28 58 42 30
19 33 32 37 38 35 6
20 56 55 45 48 51 11
21 38 40 45 37 40 8
22 39 42 35 40 39 7
23 42 39 39 36 39 6
24 43 36 35 38 38 8
25 39 38 43 44 41 6
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EXERCÍCIO
SUBGRUPOS Xb s
1 29,69 83,00 65,76 18,45 95,29 58,44 33,31839
2 95,50 157,63 87,38 97,92 99,21 107,53 28,38278
3 78,07 49,43 60,19 64,36 79,45 66,30 12,6209
4 125,84 61,45 80,21 154,60 108,00 106,02 36,77435
5 84,00 26,57 96,50 99,33 120,33 85,35 35,35631
6 112,11 79,82 70,53 126,12 92,02 96,12 22,87481
7 88,77 47,80 82,17 36,60 97,00 70,47 26,63047
8 83,86 86,00 86,83 64,93 13,78 67,08 31,12551
9 108,59 234,00 93,64 33,24 64,20 106,73 76,78223
10 79,25 55,11 66,17 74,85 78,48 70,77 10,17837
11 34,35 15,27 21,26 144,20 2,48 43,51 57,44215
12 1,67 59,25 32,87 29,88 52,92 35,32 22,64025
13 16,85 15,92 125,00 209,25 89,19 91,24 81,05133
14 34,98 65,00 122,33 126,33 213,00 112,33 68,28909
15 68,97 163,00 68,33 50,78 130,00 96,22 47,92146
16 27,94 50,66 46,91 72,75 49,71 49,59 15,91736
17 26,49 68,87 57,32 54,80 98,04 61,10 25,86874
18 64,46 46,61 40,86 31,95 33,30 43,44 13,16611
19 28,64 32,38 43,62 75,77 64,76 49,03 20,52257
20 69,33 93,50 66,19 153,64 195,00 115,53 56,61724
21 93,20 30,28 69,40 100,47 63,86 71,44 27,71282
76,36 35,77
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Recálculo dos Limites de Controle
Os limites de controle refletem o comportamento do 
processo e só devem ser alterados se houverem 
evidências de alteração significante no comportamento 
do processo.
8 ou mais pontos
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Erros nos Gráficos de Controle 
• Qualquer que seja o gráfico de controle, há possibilidade que 
alguma indicação não seja correta, já que é determinada com 
base em métodos estatísticos;
• Erros Possíveis:
• Erro tipo I, α ou Alarme Falso: Indicação de mudança no 
processo, quando nenhuma alteração de fato ocorreu. 
Consequências:
• Paralisações desnecessárias no processo;
• Perda de confiança no CEP.
• Erro tipo II ou ß: Quando mudanças efetivamente ocorridas 
não são indicadas pelo gráfico. Consequências:
• Processo funcionando sem condições ideais
• É importante avaliar os custos associado a cada erro, e decidir 
qual tentar evitar com mais intensidade.
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Erros nos Gráficos de Controle 
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Erros nos Gráficos de Controle 
Considerando X~N(μ, σ), então 𝑋~N(μ, 𝜎 𝑛)
Supondo que a média foi alterada λσ, então o erro β é calculado 
por: P(x<LCS) – P(x<LCI).
Desenvolvendo a expressão acima, chega-se a seguinte fórmula 
para cálculo do erro:
β = P(z < 3 - λ 𝑛) – P(z < -3 -λ 𝑛)
A curva característica de operação demonstra qual o erro β
considerando determinado tamanho de amostras e a magnitude 
do desvio em relação a média registrado.
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Curva Característica de Operações – Graf. Médias
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4
Curva Característica de Operação
N=4 N=5 N=6 N=7
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Curva Característica de Operações – Graf. Variabilidade
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Gráfico para valores individuais
Para algumas situações não é possível ou viável coletar uma 
maior quantidade de amostras no mesmo instante. Para esses 
casos, o processo pode ser controlado através da coleta de dados 
individuais, sendo sua variabilidade estimada pela amplitude 
móvel de duas (ou mais) observações sucessivas.
Da mesma forma, devem ser traçados 2 gráficos – um para os 
valores individuais e outro para a amplitude móvel, cujos limites de 
controle são calculados da seguinte forma:
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Gráfico para valores individuais
a) Valores Individuais:
b) Amplitude móvel:
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Gráfico para valores individuais
Exemplo:
Lote Viscosidade Amplitude Móvel
1 33,75 -
2 33,05 0,7
3 34 0,95
4 33,81 0,19
5 33,46 0,35
6 34,02 0,56
7 33,68 0,34
8 33,27 0,41
9 33,49 0,22
10 33,2 0,29
11 33,62 0,42
12 33 0,62
13 33,12 0,12
14 34,84 1,72
15 33,79 1,05
16 33,85 0,06
17 34,05 0,2
18 34,02 0,03
19 33,89 0,13
20 34,12 0,23
21 34,1 0,02
22 33,99 0,11
23 34,11 0,12
= 33,75 = 0,40
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Gráfico para valores individuais
Exercício:
Lote Gramatura(g/m2) Amplitude_Móvel
1 88,20
2 88,90 0,70
3 90,50 1,60
4 90,30 0,20
5 90,00 0,30
6 90,20 0,207 91,20 1,00
8 91,00 0,20
9 91,50 0,50
10 91,40 0,10
11 91,30 0,10
12 90,20 1,10
13 91,40 1,20
14 89,90 1,50
15 90,20 0,30
16 90,10 0,10
17 90,80 0,70
18 91,40 0,60
19 91,30 0,10
20 89,00 2,30
21 90,70 1,70
22 89,50 1,20
23 91,20 1,70
24 90,50 0,70
25 90,60 0,10
Xbar = 90,45 Mrbar = 0,75833
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CEP PARA ATRIBUTOS
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Gráficos para Atributos:
• Características Gerais:
• Utilizado quando o controle é realizado com base em categorias 
estabelecidas para o resultado gerado pelo processo, como 
defeituosos ou não defeituosos, ou ainda não conformidades 
presentes;
• Aplicável tanto em áreas industriais quanto de serviços;
• Três tipos mais comuns: Gráfico do número de defeituosos (np), da 
fração de defeituosos (p) e do número de não conformidades (c);
• Exige, para sua efetiva utilização, um número maior de amostras 
que o utilizado no gráfico para variáveis.
• O controle do processo em tempo real somente pode ser iniciado 
caso todas as causas especiais presentes tenham sido eliminadas.
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Gráficos para Atributos – np:
• Metodologia
• Gráfico baseia-se na distribuição binomial;
• Com o processo em controle, coletar os dados relacionados aos 
resultados obtidos (ex: número de clientes insatisfeitos);
• Estimar a probabilidade de falha (ou insatisfação dos clientes), 
dividindo o total de ocorrências registradas pelo total de 
observações;
• Média e variabilidade do número de defeituosos:
• Limites de Controle:
np
)1( pnp 
)p(pnpnLSCnp  13
 
pnLMnp 
 
)p(pnpnLICnp  13
 
No excel: Função Distr.binom
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Gráficos para Atributos – np:
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Gráficos para Atributos – np:
• Exemplo: Considere que diariamente são avaliados 200 clientes
Dia
da
Pesquisa
Número de
Clientes
Insatisfeitos
Dia NCI Dia NCI Dia NCI
1 2 9 0 17 5 25 0
2 0 10 3 18 3 26 2
3 2 11 2 19 3 27 2
4 0 12 2 20 4 28 1
5 5 13 1 21 0 29 3
6 4 14 2 22 2 30 1
7 3 15 4 23 3 subtotal 9
8 0 16 1 24 0 total 60
subtotal 16 15 20 clientes pesquisados:
6000
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Gráficos para Atributos – np:
• Exemplo:
Numero de Clientes Insatisfeitos com a Comida
Dias da Pesquisa 
LM = 2,0
LSC= 6,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1 5 10 15 20 25 30
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Gráficos para Atributos - Desempenho:
• Características Gerais:
• Desempenho é ditado por sua capacidade em indicar a presença 
de causas especiais, por meio de pontos situados fora dos limites 
de controle, ou no caso da existência apenas de causas naturais, 
sua concentração exclusiva entre os limites;
• Erro tipo I ou α: Sinalização de causas inexistentes
• Erro tipo II ou ß: Não sinalização de causa especial presente no 
processo;
• Tais riscos são calculados através da distribuição binomial, o que é 
facilitado com a função DISTR.BINOM do Excel.
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Gráficos para Atributos - Desempenho:
• Exemplo:
Valores de 

 e 

 para n=100 e LSC=3,98 
p np Pr[D 3]   
0,01 1 0,981 0,019 ______ 
0,02 2 0,857 _____ 0,857 
0,03 3 0,647 _____ 0,647 
0,05 5 0,265 _____ 0,265 
0,10 10 0,01 ______ 0,01 
 
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Gráficos para Atributos – np:
• Exercício:
Considere que amostras de 100 
produtos cada foram analisadas 
buscando identificar o número 
unidades defeituosas. Com base nos 
dados obtidos, traçar a carta de 
controle, eliminando os pontos 
eventualmente fora de controle para 
definir os parâmetros do processo em 
estado de controle estatístico.
Calcule o erro tipo I, e supondo 
alterações na fração de defeituosos de 
± 20%, calcule o erro tipo II.
Dia Defeitos Dia Defeitos
1 11 16 10
2 8 17 9
3 13 18 4
4 6 19 7
5 11 20 11
6 4 21 9
7 15 22 20
8 9 23 19
9 12 24 10
10 9 25 6
11 12 26 13
12 10 27 9
13 9 28 9
14 8 29 12
15 9 30 8
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Gráficos para Atributos – p:
• Metodologia
• Idêntico ao gráfico para número de defeituosos, sendo entretanto 
todos os valores divididos por n para obtenção da fração não 
conforme;
• Sua grande vantagem está no fato de sua linha média indicar 
diretamente o nível de qualidade do processo;
• Média e variabilidade do número de defeituosos:
• Limites de Controle:
p
n
pp )1( 
n/)p(ppLSC p 000 13 
 
n/)p(ppLIC p 000 13 
 
0pLM p 
 
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Gráficos para Atributos – p:
• Exercício:
 
No. Amostra 
 
Tamanho 
No. 
Defeituosos 
Fração de 
defeituosos 
 
No. Amostra 
 
Tamanho 
No. 
Defeituosos 
Fração de 
defeituosos 
1 300 12 0,040 14 300 3 0,010 
2 300 3 0,010 15 300 0 0,000 
3 300 9 0,030 16 300 5 0,017 
4 300 4 0,013 17 300 7 0,023 
5 300 0 0,000 18 300 8 0,027 
6 300 6 0,020 19 300 16 0,053 
7 300 6 0,020 20 300 2 0,007 
8 300 1 0,003 21 300 5 0,017 
9 300 8 0,027 22 300 6 0,020 
10 300 11 0,037 23 300 0 0,000 
11 300 2 0,007 24 300 3 0,010 
12 300 10 0,033 25 300 2 0,007 
13 300 9 0,030 TOTAL 7500 138 0,018 
 
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Amostras com tamanho variável: Usar p
Abordagem 1 – Limites Variáveis:
- Média: 
- LCS: 
- LCI:
Abordagem 2 – Padronização:
- LCS = 3
- LCI = -3
- Média = 0
p in
pp
p
)1.(
3


in
pp
p
)1.(
3


i
i
i
n
pp
pp
z
)1.( 


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Gráficos p – Amostras com tamanhos diferentes:
• Exercício:
Considere que amostras de tamanhos 
diferentes foram coletadas buscando 
identificar o número unidades 
defeituosas. Com base nos dados 
obtidos, traçar a carta de controle.
Amostra Tamanho Defeitos
1 100 12
2 80 8
3 80 6
4 100 9
5 110 10
6 110 12
7 100 11
8 100 16
9 90 10
10 90 6
11 110 20
12 120 15
13 120 9
14 120 8
15 110 6
16 80 8
17 80 10
18 80 7
19 90 5
20 100 8
21 100 5
22 100 8
23 100 10
24 90 6
25 90 9
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Gráficos para Atributos – c:
• Características Gerais
• Diferença entre defeito e defeituoso
• Usado quando não se objetiva classificar itens em defeituosos ou 
não defeituosos, mas avaliar o número de defeitos ou não 
conformidades em uma amostra (unidade de inspeção)
• Ex: quantidade de defeitos em 100 m lineares de um rolo de tecido
• Seus valores apresentam distribuição poisson;
• Condição para tal distribuição:
• Na unidade de inspeção deverá haver um grande número de 
oportunidades para ocorrência de não conformidades
• O evento associado a uma não conformidade específica deve ser um 
fato raro
• As ocorrências de dois defeitos sucessivos devem ser independentes
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Gráficos para Atributos – c:
• Características Gerais
• Distribuição Poisson:
• Média e variabilidade dos dados
Onde g é o número de amostras coletadas.
• Limites de Controle:
g
c
c


c3cLCIc 
c
c3cLCSc 
k!
.
)(
kc ce
kxP


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Gráficos para Atributos – c:
• Exercício:
A tabela abaixo representa os dados obtidos a partir de análise de 26 amostras 
de placas de circuitos impressos, com 100 unidades cada uma. Cada amostra 
com 100 peças cada uma será considerada como uma Unidade de Inspeção. 
No. AmostraNo. Defeitos No. Amostra No. Defeitos 
1 21 14 19 
2 24 15 10 
3 16 16 17 
4 12 17 13 
5 15 18 22 
6 5 19 18 
7 28 20 39 
8 20 21 30 
9 31 22 24 
10 25 23 16 
11 20 24 19 
12 24 25 17 
13 16 26 15 
 TOTAL 516 
 
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Gráficos para Atributos – c:
• Exercício:
A tabela abaixo representa os defeitos identificados na análise de 30 rolos de 
tecido. Elabore o gráfico do número de defeitos, elimine eventuais pontos que 
estejam fora dos limites, calcule o erro tipo I e o erro tipo II considerando a 
ampliação de 10%, 20% e 30% do número médio de defeitos.
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Gráficos u – Amostras com tamanhos diferentes:
Quando o número de unidades que compõe uma amostra é variável, busca-
se monitorar a taxa de defeitos por unidade, sendo utilizado o gráfico U.
Desta forma, se c = total de defeitos em uma amostra de n unidades de 
inspeção, estabelece-se que o número médio de defeitos por unidade de 
inspeção será:
Os limites de controle serão:
n
c
u 
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Gráficos u – Amostras com tamanhos diferentes:
Exercício: Uma empresa 
trabalha com unidades de 
inspeção de tamanhos 
variáveis. Após coletar 20 
amostras, determinou o total de 
defeitos, que é apresentado na 
tabela ao lado. Verificar se o 
processo está sob controle em 
relação a taxa de defeitos por 
unidade.
Amostra Tamanho Defeitos
1 140 7
2 132 13
3 98 3
4 102 16
5 40 3
6 126 7
7 132 16
8 132 12
9 156 12
10 190 17
11 210 24
12 167 14
13 134 16
14 120 3
15 110 5
16 134 5
17 167 18
18 167 10
19 123 1
20 135 13
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ANÁLISE DE CAPACIDADE
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Análise de Capacidade
• Objetivo: Determinar se o processo está operando de tal modo a fazer 
com que todas as características de qualidade relevantes se situem 
dentro das especificações fixadas.
• Se o processo está estatisticamente estável: o processo é capaz?
• Processo pode estar estável, mas não ser capaz
• Um processo “capaz” produz resultados consistentes com as metas de 
negócio e é avaliado como eficiente. É capaz de atingir especificações 
do cliente
• Se o processo não é capaz: 
• Reduzir variação
• Deslocar a média
• Análise de capacidade possibilita e direciona identificação de 
oportunidades de melhoria de processo
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ESTUDO DE CAPACIDADE
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LES - LEI
ˆ6
LEI LESVN
Variação 
natural
Cp =
ˆ6
LEILES 
Índice de 
desempenho =
ˆ6
LEILES 
QUANTIFICANDO O 
ATENDIMENTO ÀS ESPECIFICAÇÕES
Recomendado: Cp > 1,33, o que 
corresponde a um afastamento de 
4 desvios padrões da linha média.
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LEI LES
withinˆ
Cp = 2
Cp = 0,67
Cp = 1
maiorCp Menor variabilidade 
devido às causas 
comuns
QUANTO É BOM? 
Mínimo “aceitável”: Cp = 1,33
0,0063% de itens fora da 
faixa
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ˆ6
LES
VN
Variação 
natural Cps =
Índice de 
desempenho =


ˆ3
LES
Características com especificações em apenas 
um lado:


ˆ3
LES
Cpi =


ˆ3
LEI
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Capacidade do processo x Probabilidade de 
falhas:
Considerando um processo normalmente distribuído, é possível estimar a 
probabilidade de falhas serem geradas, tanto no caso da existência de 
uma única especificação como no caso de especificações para ambos os 
lados (neste caso, considerou-se o processo centrado)
Especificações 
de um lado
Especificações 
nos 2 lados
0,25 226628 453255
0,5 66807 133614
0,6 35931 71861
0,7 17865 35729
0,8 8198 16395
0,9 3467 6934
1 1350 2700
1,1 484 967
1,2 159 318
1,3 48 96
1,4 14 27
1,5 4 7
1,6 1 2
1,7 0,17 0,34
1,8 0,03 0,06
2 0,0009 0,0018
Falhas por milhão de peças
CP
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Exercício
Considere os dados da tabela a seguir, que representam a largura, em 
mm, de uma peça automotiva. Suponha que tal peça apresente apenas a 
especificação inferior, no valor de 200 mm. Determine a capacidade do 
processo e o número esperado de peças defeituosas por milhão de 
unidades.
265 197 346 280 265 200 221 265 261 278
205 286 317 242 254 235 176 262 248 250
263 274 242 260 281 246 248 271 260 265
307 243 258 321 294 328 263 245 274 270
220 231 276 228 223 296 231 301 337 298
268 267 300 250 260 276 334 280 250 257
260 281 208 299 308 264 280 274 278 210
234 265 187 258 235 269 265 253 254 280
299 214 264 267 283 235 272 287 274 269
215 318 271 293 277 290 283 258 275 251
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Calcule o Cp:
LEI = 10 LES = 12
6/1ˆ 
Cp = 2
Utilizando índices 
considerando o 
deslocamento da média!
UTILIZAÇÃO DOS ÍNDICES
Como avaliar o 
desempenho?
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Índice de desempenho 
(média deslocada):





 
 ˆ3
;
ˆ3
min
LEIxxLES
Cpk =







 
 ˆ3
;
ˆ3
min
LEIxxLES
LEI LESVN
Variação 
natural
ˆ3ˆ3
x
QUANTIFICANDO O ATENDIMENTO ÀS 
ESPECIFICAÇÕES CONSIDERANDO 
DESLOCAMENTO DA MÉDIA
x
x
- LEI LES -
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UTILIZAÇÃO DOS ÍNDICES
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COMPARAÇÃO ENTRE OS ÍNDICES
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Exercício
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Exercício
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Exercício
1) Determine o percentual de itens fora das especificações (994,0 –
1006,0), o Cp e o Cpk, para as seguintes situações:
a) Média 1000 e desvio padrão 2.
b) Média 1002 e desvio padrão 2.
c) Média 1002 e desvio padrão 4.
2) Calcule a capacidade para o processo relacionado ao exercício sobre 
gráficos por variáveis, considerando especificações entre 40 e 110 
(slide 250).
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Exercício
Na usinagem de peças uma característica importante é o comprimento das 
mesmas. A Tabela a seguir apresenta as medições na produção de 20 amostras 
com 3 peças. Analise a performance/capacidade do processo considerando as 
seguintes especificações: LSE = 12 e LIE = 9. Calcule o índice ppm.
Lote Medições Média Amplitude
1 10,69 10,80 10,39 10,627 0,41
2 10,20 10,30 10,72 10,407 0,52
3 10,42 10,61 10,54 10,523 0,19
4 10,98 10,27 10,50 10,583 0,71
5 10,61 10,52 10,67 10,600 0,15
6 10,57 10,46 10,50 10,510 0,11
7 10,44 10,29 9,86 10,197 0,58
8 10,20 10,29 10,41 10,300 0,21
9 10,46 10,76 10,74 10,653 0,3
10 10,11 10,33 10,98 10,473 0,87
11 10,29 10,57 10,65 10,503 0,36
12 10,83 11,00 10,65 10,827 0,35
13 10,35 10,07 10,48 10,300 0,41
14 10,69 10,54 10,61 10,613 0,15
15 10,44 10,44 10,57 10,483 0,13
16 10,63 9,86 10,54 10,343 0,77
17 10,54 10,82 10,48 10,613 0,34
18 10,50 10,61 10,54 10,550 0,11
19 10,29 10,79 10,74 10,607 0,5
20 10,57 10,44 10,52 10,510 0,13