Apostila Estatistica_Paulo_Lixandrao_rev 01 (2)

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Prof. Paulo Lixandrão 
2020 
 
ESTATISTICA APLICADA A ENGENHARIA 
 
São Paulo Engenharia Química Professor: Paulo Lixandrão 
 
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rev.01 
Sumário 
1. Apresentação do Curso ............................................................................................................. 4 
1.1 Horário de Aulas .................................................................................................................. 4 
1.2 Requisitos imprescindíveis para cursar a disciplina ............................................................ 4 
1.3 Expectativas nas Aulas ........................................................................................................ 4 
1.4 Critério de Avaliação ........................................................................................................... 4 
1.4.2 Critérios de Aprovação e Retenção .............................................................................. 4 
1.6 Programa de Aulas .............................................................................................................. 4 
1.7 Referências Bibliográficas ................................................................................................... 5 
2. Fundamentos da Estatística ...................................................................................................... 6 
2.1 Definição ............................................................................................................................. 6 
2.2 Métodos estatísticos ........................................................................................................... 6 
2.3 Características ..................................................................................................................... 6 
2.3.1 Elementos de amostragem .......................................................................................... 6 
2.4 Critérios de Arredondamento Somatório ........................................................................... 7 
2.5 Algarismo significativo ........................................................................................................ 7 
2.6 Exercícios ............................................................................................................................. 8 
3. Organização e Apresentação dos Dados ................................................................................... 9 
3.1 Exercícios ............................................................................................................................. 9 
4. Medidas de Tendência Central ................................................................................................ 11 
4.1 Exercícios ........................................................................................................................... 13 
5. Distribuição Normal de Probabilidades................................................................................... 14 
5.1 Exercícios ........................................................................................................................... 15 
6. A METODOLOGIA DO CONTROLE DA QUALIDADE E O CEP .................................................... 17 
6.2 Método da Carta de Controle ........................................................................................... 20 
6.3 Finalidades das Cartas de Controle por Variáveis ............................................................. 21 
7. Construção das Cartas X̄ e R .................................................................................................... 22 
7.1 Exercícios ........................................................................................................................... 23 
8. Construção das Cartas X̄ e s .................................................................................................... 26 
9. Capacidade de um Processo .................................................................................................... 28 
9. 1 Índices de Capacidade do Processo (Cp e CPk) ................................................................ 30 
APÊNDICE .................................................................................................................................... 32 
 
 
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1. Apresentação do Curso 
1.1 Horário de Aulas 
 
Horário 
Sala 
Sexta 
19:30 ↔ 21:00 
 
21:20 ↔ 23:00 
 
1.2 Requisitos imprescindíveis para cursar a disciplina 
• Estar devidamente matriculado (a) 
na disciplina 
• Matemática básica 
• Interpretação de texto 
1.3 Expectativas nas Aulas 
• Interesse 
• Questionamentos pertinentes 
• Respeito aos prazos e horários 
• Organização 
1.4 Critério de Avaliação 
A média final (MF) será calcula de acordo com a equação descrita abaixo: 
𝑀𝐹 = ((𝑃1 × 0,25) + (𝑃2 × 0,35) + (𝑃𝑟𝑒𝑝 𝑥 0,20) + (𝐸𝑥𝑒𝑟𝑐 𝑥 0,20) 
em que: • P1: nota da primeira prova 
• P2: nota da segunda prova 
• Prep: Preparação Prévia para as aulas 
• Exerc: Exercícios em sala de aula 
 
1.4.2 Critérios de Aprovação e Retenção 
De acordo com o Art. 164 (Capítulo X da Organização Didática), o aluno é considerado aprovado, 
se atender de maneira simultânea: 
➢ MF ≥ 6,0 e frequência mínima de 75% (setenta e cinco por cento) das aulas; 
➢ Realização do IFA (Instrumento Final de Avaliação) 
4,0 ≤ MF < 6,0 e frequência mínima de 75% (setenta e cinco por cento) das aulas; 
1.6 Programa de Aulas 
o Fundamentos da Estatística: Amostragem, Estrutura de pesquisa. 
o Organização e apresentação de dados / Histograma e Polígonos de Frequência. 
o Medidas de Tendência Central, Medidas de Dispersão. 
 
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o Distribuição Normal de Probabilidades. 
o A Metodologia do Controle da Qualidade e o CEP / Conceito de Variação. 
o Conceito de Variação: Diagrama de Causa e Efeito. 
o Métodos da Carta de Controle. 
o Construção das Cartas de Controle X e R. 
o Índices Cp e Cpk. 
 
1.7 Referências Bibliográficas 
 
Bibliografia Básica 
MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para 
Engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012. 
MORETTIN, P. A.; BUSSAB W. Estatística Básica. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2011. 
BORNIA, A. C.; REIS, M. M.; BARBETTA, P. A. Estatística para cursos de engenharia e informática. 
3. Ed. São Paulo: Atlas, 2010. 
Bibliografia complementar 
STEVENSON, W. J. Estatística Aplicada à Administração. São Paulo: Harbra, 2001. 
LEVINE, David; BERENSON, Mark L.; STEPHAN, David. Estatística: Teoria e Aplicações - Utilizando 
Microsoft Excel Português. 1. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2000. 
MEYER, P. Probabilidade, aplicações à estatística. São Paulo: LTC, 2000. 
ANDERSON, d. r.; SWEENEY, d. J.; WILLIAMS, T. a. Estatística aplicada à administração e 
economia. 2. Ed. São Paulo: Ed. Pioneira Thomson Learning, 2003. 
BARROS NETO, B.; SCARMINIO, I. S.; BRUNS, R. E. Como Fazer Experimentos - Pesquisa e 
Desenvolvimento na Ciência e na Indústria. 4. Ed. São Paulo: Bookman, 2010. 
 
 
http://www.editoraatlas.com.br/Atlas/webapp/detalhes_produto.aspx?prd_des_ean13=9788522459940
 
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2. Fundamentos da Estatística 
2.1 Definição 
Estatística: é a parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, 
descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões. 
 
A estatística dedutiva (também conhecida como Estatística Descritiva) se encarrega de descrever 
o conjunto de dados desde a elaboração da pesquisa até o cálculo de determinada medida. 
 
A estatística indutiva(ou Estatística Inferencial) está relacionada à incerteza. Inicia-se no cálculo 
das Probabilidades e se desenvolve por toda área da inferência. 
 
2.2 Métodos estatísticos 
Método: é um meio mais eficaz para se atingir uma meta. 
 
a) Método Experimental: consistem em manter constante todas as causas (fatores), menos uma, que 
sofre variação para se observar seus efeitos, caso existam. Exemplo: Coletar a medida do diâmetro 
externo de um eixo sinterizado. 
 
b) Método Estatístico: diante da impossibilidade de manter as causas constantes, admitem-se todas 
essas causas presentes variando-as, registrando essas variações e procurando determinar, no 
resultado final, que influências cabem a cada uma delas. Exemplo: Quais as causas que determinam 
o aumento de preço de um produto quando a sua oferta diminuiu, seria impossível no momento da 
pesquisa manter constante a uniformidade dos salários, preferência dos consumidores, nível geral de 
preços de outros produtos etc. 
 
2.3 Características 
2.3.1 Elementos de amostragem 
a) População: é o conjunto de elementos para os quais se deseja estudar determinada(s) 
característica(s). Exemplo: Um grande banco, querendo lançar um novo produto, precisa conhecer o 
perfil socioeconômico dos seus clientes e, neste caso, a população de interesse é formada pelos 
clientes de todas as agências do banco. 
b) Amostra: é um subconjunto da população. Há várias razões para se trabalhar com amostragem – 
custo e tempo, em geral, são as mais comuns. Mas, além de serem mais baratas e rápidas, as 
pesquisas por amostragem, se bem planejadas, podem fornecer resultados quase tão precisos quanto 
aqueles fornecidos por pesquisas censitárias, em que todos os elementos da população são 
 
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investigados. Exemplos clássicos de pesquisa censitária são os Censos Demográficos realizados a cada 
dez anos no Brasil e em outros países. 
 
2.4 Critérios de Arredondamento Somatório 
Em conformidade com as Regras de arredondamento na Numeração Decimal - Norma ABNT NBR 
5891:2014, o arredondamento é efetuado da seguinte maneira: 
 
Condições Procedimentos Exemplos (1 casa decimal) 
Regra 1 
< 5 
Quando o algarismo a ser conservado for seguido 
de algarismo inferior a 5, permanece o algarismo a 
ser conservado e retiram-se os posteriores. 
5,221 passa a 5,2 
8,442 passa a 8,4 
53,240 passa a 53,2 
Regra 2 
> 5 
Quando o algarismo a ser conservado for seguido 
de algarismo superior a 5, ou igual a 5 seguido de 
no mínimo um algarismo diferente de zero, soma-
se uma unidade ao algarismo a ser conservado e 
retiram-se os posteriores. 
42,87 passa a 42,9 
25,081 passa a 25,1 
53,99 passa a 54,0 
Regra 3 
= 5 
(i) Quando o algarismo a ser conservado for ímpar, 
seguido de 5 e posteriormente de zeros, soma-se 
uma unidade ao algarismo a ser conservado e 
retiram-se os posteriores. 
2,350 passa a 2,4 
25,7500 passa a 25,8 
76,95002 passa a 77,0 
Regra 4 
= 5 
(ii) Quando o algarismo a ser conservado for par, 
seguido de 5 e posteriormente de zeros, 
permanece o algarismo a ser conservado e retiram-
se os posteriores. 
24,2500 passa a 24,2 
24,6500 passa a 24,6 
Tabela 1 
 
2.5 Algarismo significativo 
O resultado de uma medição expressa o valor de uma grandeza física. É muito importante 
saber distinguir o valor efetivamente obtido no processo de medição, daqueles decorrentes de 
cálculo ou arredondamento numérico. Assim, dado o resultado de uma medição, os algarismos 
significativos são todos aqueles contados, da esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo 
diferente de zero. 
Exemplos: 
• 45,30cm > tem quatro algarismos significativos; 
• 0,0595m > tem três algarismos significativos; 
• 0,0450kg > tem três algarismos significativos. 
 
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Fonte: Instituto de Pesos e Medidas do Estado de São Paulo - IPEM 
2.6 Exercícios 
1) Escreva cada número com arredondamento para décimos: 
a) 35,32216 = i) 2.303,8714 = q) 31,5000 = 
b) 65,39 = j) 171,29401 = r) 99,9998 = 
c) 13,61 = k) 2,5000 = s) 5,5557 = 
d) 23,585 = l) 5.356,8799 = t) 12,468 = 
e) 41,6502 = m) 0,0832 = u) 1,309 = 
f) 1,610091 = n) 769,014 = v) 103,424 = 
g) 456,541 = o) 100,9999 = x) 102,468 = 
h) 351,567 = p) 42,876 = z) 10,0309 = 
 
2) Escreva cada número com arredondamento para milésimos: 
a) 35,32266 = h) 2.303,8714 = o) 99,9998 = 
b) 65,3955 = i) 171,29401 = p) 5,5557 = 
c) 13,6100 = j) 5.356,8799 = q) 12,468 = 
d) 23,5851 = k) 0,0832 = r) 1,3091 = 
e) 1,610091 = l) 769,0140 = s) 103,4240 = 
f) 456,5491 = m) 100,9999 = t) 10,0309 = 
g) 351,5695 = n) 42,0001 = 
 
3) Escreva cada número com arredondamento para unidade: 
a) 35,92216 = i) 2.303,8714 = q) 32,01313 = 
b) 65,39 = j) 171,29401 = r) 99,9998 = 
c) 13,61 = k) 0,236 = s) 5,5557 = 
d) 23,585 = l) 5.356,8799 = t) 12,468 = 
e) 41,5502 = m) 0,0832 = u) 1,309 = 
f) 1,610091 = n) 769,014 = v) 103,524 = 
g) 456,541 = o) 100,9999 = x) 102,468 = 
h) 351,567 = p) 42,876 = z) 10,5000 = 
 
 
 
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4) Escreva cada número com arredondamento para centena: 
a) 256,541 = d) 550,000 = g) 2.303,33 = 
b) 100,9999 = e) 769,0 = h) 450,000 = 
c) 351,567 = f) 142,76 = 
 
3. Organização e Apresentação dos Dados 
3.1 Exercícios 
1) O exame de sangue de quarenta pacientes de um hospital constatou o seguinte número de 
leucócitos (glóbulos brancos) por mm³. 
5800 3900 7100 3500 2800 4500 6900 5700 
2000 2400 1500 1400 5900 7200 3100 5800 
1300 2100 4100 3400 2000 3100 2900 1600 
4000 2500 8300 4200 3200 2400 1900 6800 
5900 2600 6100 8900 2900 1900 1900 1100 
 
1º Passo: Organização dos Dados 
 
 
 
 
 
 
2º Passo: Determinação da Amplitude Total 
H = Maior valor – Menor valor = 
3º Passo: Agrupar os valores em intervalo de classe 
Construir uma tabela de frequências absoluta e relativa, considerando a amplitude de classe 
igual a 2000 (h=2000). 
Número de leucócitos por mm³ Freq. Simples ou Absoluta Freq. Relativa ou Percentual 
Ⱶ 
Ⱶ 
Ⱶ 
Ⱶ 
TOTAL 
 
 
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2) Uma agência bancária fez, no último dia do mês, uma pesquisa sobre os depósitos em 
caderneta de poupança e seus respectivos valores em reais, desprezados os centavos, e 
obteve os seguintes dados: 
50 70 150 90 80 340 110 320 610 800 
130 120 60 90 180 270 320 110 260 340 
580 410 230 210 430 290 480 60 700 720 
70 90 50 220 70 240 80 270 270 350 
430 320 180 420 310 315 410 490 90 710 
 
a) Considere intervalos com h=200 e construa uma tabela de frequências absoluta e relativa. 
b) Plote o Histograma e o Polígono de Frequências. 
 
 
 
 
 
 
 
Ⱶ 
Ⱶ 
Ⱶ 
Ⱶ 
TOTAL 
 
 
 
 
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4. Medidas de Tendência Central 
 
Média: é determinada pelo resultado da divisão do somatório dos números dados pela 
quantidade de números somados. 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 = 
3 + 12 + 23 + 15 + 2
5
 
Moda: é a medida de tendência central que consiste no valor observado com mais frequência 
em um conjunto de dados. 
5, 4, 2, 1, 3, 7, 1, 1, 2 e 1. 
Para essa sequência, a moda é de 1, pois é o número que aparece mais vezes. 
Mediana: é a medida de tendência central que indica exatamente o valor central de um conjunto 
de dados quando organizados em ordem crescente ou decrescente. 
5, 8, 7, 4 e 8. 
Colocando as cinco notas em ordem crescente,por exemplo, obtemos 4 < 5 < 7 < 8 = 8 
A mediana é o valor que está no centro dessa sequência, ou seja, 7. 
Resumindo o cálculo da Mediana: 
• Coloque os valores do conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente; 
• Se a quantidade de valores do conjunto for ímpar, a mediana é o valor central; 
• Se a quantidade de valores do conjunto for par, é preciso tirar a Média Aritmética dos 
valores centrais. 
 
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Medida de Dispersão 
Dispersão é sinônimo de variação ou variabilidade. Para medir a dispersão, duas medidas são 
usadas mais frequentemente: a amplitude e o desvio padrão. 
Considere o conjunto de dados representados por diagrama de pontos abaixo, podemos ver 
facilmente que os três conjuntos têm a mesma média, a mesma mediana e a mesma moda 
(medidas de tendência central). No entanto, esses conjuntos têm características diferentes. 
 
Figura 1 
Em estatística, podemos ter uma ideia de como esses dados se distribuem em torno da média, 
ou seja, se estão muito ou pouco dispersos. Para tanto, basta calcular as medidas de dispersão 
que são: o desvio médio, a variância e o desvio padrão. 
Desvio Médio Absoluto: o desvio médio é calculado pela média aritmética dos valores absolutos 
dos desvios: 
 
Variância: a dispersão dos dados também pode ser calculada considerando-se os quadrados dos 
desvios médios. 
 
Desvio Padrão: o desvio padrão é utilizado para representar a dispersão dos valores, sendo 
calculado pela raiz quadrada da variância. 
 
 
 
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4.1 Exercícios 
1) Determinada editora pesquisou o número total de páginas, das revistas mais vendidas em 
uma cidade. 
Revistas A B C D E F 
n° de páginas 62 90 88 92 110 86 
 
Calcular: 
a) O número médio de páginas 
b) O desvio médio 
c) A variância 
d) O desvio padrão 
 
2) Em um supermercado, a reposição de pacotes de arroz, nesta segunda-feira, permitiu a 
construção da seguinte tabela de dados: 
Marca do Arroz A B C D E 
Quantidade de pacotes 120 60 280 200 140 
 
Calcule: 
a) A média de pacotes repostos 
b) O desvio médio 
c) A variância 
d) O desvio padrão 
 
3) Uma distribuidora pesquisou o consumo de refrigerantes entre diferentes faixas etárias, 
para melhor direcionar a sua campanha publicitária. Calcule o desvio padrão. 
Exercício Prova P1 – 1° Semestre/2016 
 
Idade dos Consumidores Número de Consumidores 
10 Ⱶ 14 60 
14 Ⱶ 18 100 
18 Ⱶ 22 130 
22 Ⱶ 26 90 
26 Ⱶ 30 20 
TOTAL 400 
 
 
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5. Distribuição Normal de Probabilidades 
Para a especificação 100f10 (LIE: 99,824 mm e LSE: 99,964 mm) foi escolhido um processo de 
fresamento e foram usinadas milhares de peças. Extraiu-se uma amostra de 400 peças, 
medindo-as com um instrumento com resolução de 0,005 mm. Os valores obtidos foram os 
representados na tabela abaixo. Construa um histograma tipo dot-plot, represente o valor 
médio e os limites de especificação. 
 
 
 
 
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Figura 2 
5.1 Exercícios 
1) A massa de uma caixa de peças é uma variável aleatória com distribuição normal de 
probabilidade com média de 80 kg e desvio padrão de 5 kg. O carregamento de 300 caixas 
de peças é feito. Seja X a massa do carregamento normalmente distribuído. Determine a 
probabilidade da massa do carregamento ser menor do que 24.100 kg. Resposta: (87,49%). 
 
2) A massa de uma pessoa adulta tem distribuição normal com média de 75 kg e variância de 
(18 kg)². Reúne-se 200 pessoas adultas. Qual a probabilidade de que a massa do grupo esteja 
entre 14.980 e 15.096 kg? Resposta: (57,45%). 
 
3) Seja X uma variável aleatória que representa a massa de uma caixa de peças. Sabe-se que X 
tem distribuição normal de probabilidade, com média igual a 50 kg e desvio padrão de 4 kg. 
Nestas condições, pede-se: 
a) P(56 ≤ X ≤ 58). Resposta: (4,4%). 
b) X, tal que P(X ≥ X2) = 0,86. Resposta: (X=54,32). 
 
4) Uma indústria de perfumes acondiciona o seu produto em vidros, numa média de 0,1 litros, 
com desvio padrão de 0,004 litros, segundo uma distribuição normal. Uma caixa é carregada 
com 60 vidros. Qual a probabilidade da caixa transportar acima de 5,95 litros? Resposta: 
(94,63%). 
 
5) O volume de óleo contido em cada lata fabricada normalmente com média de 1,03 litros e 
desvio padrão de 0,06 litros. Em cada teste de qualidade uma lata é rejeitada se tiver um 
volume menor do que 0,985 litros. Qual a probabilidade de uma lata ser rejeitada? 
Resposta: (22,36%). 
 
6) A vida média de certo aparelho fabricado pela empresa Beta® é de 8 anos com desvio padrão 
de 1,7 ano. Considerando que a duração desses aparelhos segue uma distribuição normal, 
pede-se: 
a) A porcentagem de aparelhos que duram entre 6 e 7 anos. Resposta: (15,86%). 
 
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b) Se o fabricante substitui os aparelhos que representam defeito dentro do prazo de 
garantia, determine qual deve ser este prazo para que no máximo 5% dos aparelhos 
sejam substituídos. Resposta: (5,28 anos). 
 
7) Considere o exercício do início do capítulo (dot-plot) que possui distribuição normal. 
Pergunta-se. Qual a probabilidade de a dimensão de 100f10 estar dentro dos limites de 
especificação (LIE e LSE)? SUGESTÃO: Desenvolver o exercício no Excel para encontrar o µ, 
VAR e o σ. 
 
 
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6. A METODOLOGIA DO CONTROLE DA QUALIDADE E O CEP 
 
O controle da qualidade de um processo produtivo envolve a realização das seguintes etapas 
consecutivas: 
• definição de um padrão a ser atingido; 
• inspeção (medir o que foi produzido e comparar com o padrão); 
• diagnóstico das não-conformidades (descrição do desvio entre o que foi produzido e o 
padrão); 
• identificação das causas das não-conformidades/defeitos; 
• ação corretiva para eliminação das causas; 
• atualização dos padrões (produto ou processo); 
• O CEP, Controle Estatístico de Processo, tradicionalmente, é uma ferramenta com base 
estatística, de auxílio ao controle da qualidade, nas etapas do processo, particularmente no 
caso de processo de produção repetitivo. 
Os princípios fundamentais para implantação e gerenciamento do CEP são: 
• pensar e decidir baseado em dados e fatos; 
• pensar separando a causa do efeito, buscar sempre conhecer a causa fundamental dos 
problemas; 
• reconhecer a existência da variabilidade na produção e administrá-la; 
• usar raciocínio de prioridade (Pareto); 
• girar permanente e metodicamente o ciclo de controle (Ciclo PDCA: Plan, Do, Check, Action), 
visando a melhoria contínua do desempenho; 
• definir o próximo processo/etapa/posto de trabalho como cliente da etapa anterior. O 
cliente define a qualidade esperada; 
• identificar instantaneamente focos e locais de disfunção e corrigir os problemas a tempo; 
• educar, treinar e organizar a mão de obra visando uma administração participativa e o auto 
controle. 
As principais técnicas de apoio ao CEP são: 
• Amostragem (Inspeção, Planos de Amostragem); 
• Folha de Verificação; 
• Histograma/Gráficos; 
• Diagrama de Pareto; 
• Diagrama de Causa e Efeito/6M/Espinha de Peixe; 
• Estratificação; 
• Gráficos de Controle (Gráficos de Shewhart); 
• Diagrama de Correlação. 
 
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6.1 Conceito de Variação 
 
o não existem dois objetos fabricados exatamente iguais 
o quando a variação é muito pequena, aparentementeos objetos são iguais 
o utilizando-se instrumentos mais precisos, as variações poderão ser identificadas 
 
Existem três variações que podem ocorrer em um item produzido: 
1) Variação Interna: é aquela que ocorre dentro do mesmo item. Exemplo: acabamento 
superficial em faces opostas de uma mesma peça, ou o diâmetro de um eixo que varia ao 
longo de seu comprimento. 
2) Variação item a item: é aquele que ocorre entre itens produzidos em tempos próximos. 
Exemplo, a intensidade luminosa de quatro lâmpadas produzidas consecutivamente por 
uma máquina será diferente. 
3) Variação tempo a tempo: é aquela que ocorre em itens produzidos em diferentes períodos 
do dia. Exemplo: após o desgaste da ferramenta, as peças serão produzidas de forma 
diferente. 
Existem seis fatores que contribuem para essas variações: 
1) Máquinas: Este fator de variação inclui o desgaste de ferramentas, o ajuste das máquinas, 
as vibrações das máquinas, as flutuações elétricas, hidráulicas e pneumáticas, etc. Quando 
todas estas fontes estão ocorrendo juntas existe certa variabilidade, no qual o processo 
opera. Mesmo máquinas supostamente iguais terão variabilidades diferentes. 
2) Métodos: As alterações dos parâmetros dos processos ou na tecnologia utilizada podem 
provocar variações nos produtos produzidos. 
3) Materiais: Uma vez que variações ocorrem em produtos acabados, elas também ocorrem 
em matérias-primas, já que estas são produtos acabados de outros processos. Variações em 
características tais como resistência a tração, ductilidade, limite de escoamento, 
porosidade, composição química, etc. contribuem para variações do produto final. 
4) Meio Ambiente: Temperatura, umidade, luminosidade e radiação podem contribuir para 
variações no processo e, consequentemente, no produto final. 
5) Mão-de-obra: O treinamento do operador, a forma como o operador executa uma 
operação, suas condições físicas e emocionais, podem contribuir para a variação de sua 
performance e, consequentemente, do produto final. 
6) Medidas: As falhas nos equipamentos de inspeção, a utilização inadequada desses 
equipamentos ou a aplicação incorreta de padrões de qualidade, podem contribuir para 
variações no produto final. Em geral, as variações decorrentes da inspeção correspondem a 
um décimo do total de variações. 
 
 
 
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Uma técnica para identificação das variações citadas acima, é o Diagrama de Causa e Efeito, 
também conhecido como Diagrama Espinha de Peixe ou Diagrama de Ishikawa. 
 
 
Figura 3 
 
Causas comuns ou aleatórias: (são inerentes ao próprio processo, são relativamente difíceis de 
serem identificadas, consistem num número muito grande de pequenas causas). 
Causas especiais de variação: (representam um descontrole temporário do processo, são 
possíveis de serem identificadas e corrigidas, as causas e os efeitos são facilmente observáveis). 
 
 
Figura 4 
 
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6.2 Método da Carta de Controle 
 
A Carta de Controle visa identificar se as variações observadas em um dado processo são 
decorrentes de causas: a) comuns de variação; b) especiais de variação; que necessitam ser 
identificadas e eliminadas do processo. 
A Carta de Controle (Ilustração 1), é um registro gráfico da qualidade de uma característica 
particular de um produto. 
Eixo Horizontal - Número do subgrupo Eixo Vertical – Variável que está sendo controlada 
Identifica uma particular amostra 
composta de um número fixo de peças 
Representa a variação da medida 
 
 
Figura 5 
Características: 
• Cada ponto assinalado no gráfico representa a média dos pesos de cada subgrupo. 
Exemplo: Subgrupo 5 é composto pelas peças com as massas |3,46|, |3,49|, |3,45| e 
|3,44|, cuja média é 3,46Kg. 
• Médias são utilizadas em lugar de valores individuais, pois as mesmas indicam mudanças 
na variação muito mais rapidamente. 
• A linha cheia no centro da carta pode ter três interpretações diferentes: 
1. Média dos pontos plotados, ou média de X também conhecida como X. 
 
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2. Valor de referência, ou um padrão, Xo, baseado em dados históricos, em valores 
econômicos de custo de produção, em necessidades do serviço ou em 
especificações. 
3. Média da população, u, se esse valor é conhecido. 
4. As duas linhas pontilhadas que aparecem no gráfico são os limites de controle, 
superior e inferior (LSC e LIC) e ajudam no julgamento da significância da 
variação da qualidade do produto (variações da qualidade entre os subgrupos). 
6.3 Finalidades das Cartas de Controle por Variáveis 
 
• Melhoria da qualidade: utilizar a carta de controle unicamente para comprovar a 
existência de um programa de controle de qualidade é perda de tempo. 
• Sobre a capacidade do processo: a verdadeira capacidade do processo só pode ser 
alcançada depois que uma significativa melhoria foi obtida. Durante o ciclo de melhoria 
de qualidade, a carta de controle indicará quando não é mais possível obter melhoria 
da qualidade sem investimento significativo. Neste momento, a verdadeira capacidade 
do processo pode ser obtida. 
• Para tomada de decisões relativas à especificação do produto: uma vez que a verdadeira 
capacidade do processo foi obtida, as especificações podem ser obtidas. 
• Para tomada de decisões sobre o processo de produção: caso haja necessidade de se 
eliminar alguma causa especial de variação. 
• Para tomada de decisões de peças recém-produzidas: pode demonstrar se o lote pode 
ir para o processo seguinte, alguma inspeção ou reparo. 
 
 
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7. Construção das Cartas X̄ e R 
 
1) Selecionar a característica de qualidade a ser controlada: deve ser uma característica de 
qualidade mensurável e que possa ser expressa em números. 
 
Exemplos: sete unidades básicas do SI – comprimento (m), massa (kg), tempo (s), corrente 
elétrica (A), temperatura (k), substância (mol) e intensidade luminosa (cd). Ainda podem ser 
qualquer derivada destas: potência (W), velocidade (m/s), força (kg.m/s²), energia (J), densidade 
(kg/m³), pressão (N/m²), etc. 
 
Deve-se dar prioridade as características que afetam a performance do produto. 
 
2) Definir o método de amostragem e o tamanho da amostra: existem dois métodos para 
retirada das amostras (subgrupos): 
a. Método Instantâneo: consiste na retirada da amostra, correspondente ao subgrupo, 
da produção realizada simultaneamente ou consecutivamente. Exemplos: Quatro 
parafusos produzidos simultaneamente na mesma máquina ou quatro lâmpadas 
produzidas consecutivamente em uma máquina. 
b. Método Periódico: consiste na retirada da amostra, correspondente ao subgrupo, 
aleatoriamente, da produção realizada durante um determinado período de tempo. 
Exemplo: Um operador, a cada intervalo de uma hora, retira, aleatoriamente, a amostra 
correspondente ao subgrupo. 
 
Conceito de Lotes homogêneos: itens produzidos pela mesma máquina, mesmo 
operador, mesma matriz, mesmo molde, etc. 
 
3) Coletar os dados: os dados podem ser registrados em uma tabela. 
 
4) Determinar o valor central e os limites de controle: 
 
5) Determinar os limites de controle revisados: a maioria dos processos industriais não estão 
sob controle, quando analisados pela primeira vez, assim é possível que alguns pontos caiam 
fora dos limites de controle das cartas. 
 
6) Utilizar a carta de controle para suas finalidades: quando as cartas de controle são 
implantadas em uma estação de trabalho, geralmente ocorre uma melhoria de performance 
do processo (efeito psicológico do operador). 
 
 
Exemplo: 
1) Para a fabricação de um eixo, foram definidas comocaracterísticas mais importantes: o 
diâmetro, comprimento e profundidade do rasgo para chaveta. Inicialmente, será controlada a 
profundida do rasgo para chaveta, devido sua importância na montagem do eixo com a 
engrenagem, utilizando-se a chaveta. 
2) Método de amostragem: instantâneo, serão coletados 25 subgrupos de 4 eixos cada. 
 
 
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Número 
Subgrupo 
Data Hora 
Medidas 
(décimos) 
Média 
Máx. Min. 
Range 
Observações 
X1 X2 X3 X4 X̄ R 
1 23-dez 08:50 35 40 32 33 6,35 40 32 0,08 
2 23-dez 11:30 46 37 36 41 6,40 46 36 0,1 
3 23-dez 01:45 34 40 34 36 6,36 40 34 0,06 
4 23-dez 03:45 69 64 68 59 6,65 69 59 0,1 Operador novo 
5 23-dez 04:20 38 34 44 40 6,39 44 34 0,1 
6 27-dez 08:35 42 41 43 34 6,40 43 34 0,09 
7 27-dez 09:00 44 41 41 46 6,43 46 41 0,05 
8 27-dez 09:40 33 41 38 36 6,37 41 33 0,08 
9 27-dez 01:30 48 52 49 51 6,50 52 48 0,04 
10 27-dez 02:50 47 43 36 42 6,42 47 36 0,11 
11 28-dez 08:30 38 41 39 38 6,39 41 38 0,03 
12 28-dez 01:35 37 37 41 37 6,38 41 37 0,04 
13 28-dez 02:25 40 38 47 35 6,40 47 35 0,12 
14 28-dez 02:35 38 39 45 42 6,41 45 38 0,07 
15 28-dez 03:55 50 42 43 45 6,45 50 42 0,08 
16 29-dez 08:25 33 35 29 39 6,34 39 29 0,1 
17 29-dez 09:25 41 40 29 34 6,36 41 29 0,12 
18 29-dez 11:00 38 44 28 58 6,42 58 28 0,3 Linha óleo danif. 
19 29-dez 02:35 33 32 37 38 6,35 38 32 0,06 
20 29-dez 03:15 56 55 45 48 6,51 56 45 0,11 Material ruim 
21 30-dez 09:35 38 40 45 37 6,40 45 37 0,08 
22 30-dez 10:20 39 42 35 40 6,39 42 35 0,07 
23 30-dez 11:35 42 39 39 36 6,39 42 36 0,06 
24 30-dez 02:00 43 36 35 38 6,38 43 35 0,08 
25 30-dez 04:25 39 38 43 44 6,41 44 38 0,06 
Total 160,25 2,19 
Para simplificar, os valores individuais estão representados apenas pela fração decimal. 
Tabela 2 - Dados da profundidade do rasgo para chaveta 
 
Figura 6 
7.1 Exercícios 
1) Cartas de Controle para X̄ e R devem ser construídas para certa dimensão, medida em 
milímetros. Os dados foram coletados, em subgrupos de tamanho igual a seis e estão na 
 
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tabela abaixo. Determine o valor central e os limites de controle e revise-os, se necessário, 
assumindo a existência de causas especiais de variação no processo. Utilize duas casas 
decimais na resolução. 
 
 
 
 
2) Cartas de Controle X̄ e R são mantidas para a massa em quilogramas, de um pigmento de 
cor, de um processo de produção em batelada. Após serem coletados 25 subgrupos de 
tamanho igual a 4, tem-se: 
∑ X̄ = 52,08 kg ∑ 𝑅 = 11,82 𝑘𝑔 
Assumindo que o processo está sob controle, calcule o valor central e os limites de 
controle, para o próximo período de produção. 
 
3) Cartas de Controle estão sendo mantidas para a resistência elétrica, em ohms, de um 
componente eletrônico. O tamanho do subgrupo é 6. Após serem coletados 25 subgrupos, 
tem-se: 
∑ X̄ = 2046,5 ∑ 𝑠 = 17,4 
Se o processo está sob controle estatístico, calcule o valor central e os limites de 
controle. 
 
4) A quantidade (em mililitros, ml) de suco presente em uma garrafa deve ser monitorada pelos 
gráficos de controle R e usando amostras de tamanho n = 5. Dados para 20 amostras 
preliminares são os seguinte. Construa gráficos de controle R e X̄ usando os dados da 
tabela abaixo. 
 
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8. Construção das Cartas X̄ e s 
 
A Carta do Desvio Padrão (Carta s) é utilizada para controlar a dispersão no processo, 
assim como a Carta R. Pode-se dizer que a Carta s é mais precisa do que a Carta R, visto que o 
cálculo do desvio padrão utiliza todos os dados dos subgrupos, diferentemente do que a Carta 
R, que apenas utiliza os valores máximos e mínimos no cálculo do range. 
Número 
Subgrupo 
Data Hora 
Medidas 
(décimos de mm) 
Média 
Desvio 
Padrão Observações 
X1 X2 X3 X4 X̄ s 
1 23-dez 08:50 6,35 6,40 6,32 6,33 6,35 0,036 
2 23-dez 11:30 6,46 6,37 6,36 6,40 6,40 0,045 
3 23-dez 01:45 6,34 6,40 6,34 6,36 6,36 0,028 
4 23-dez 03:45 6,69 6,64 6,68 6,59 6,65 0,045 Operador novo 
5 23-dez 04:20 6,38 6,34 6,44 6,40 6,39 0,042 
6 27-dez 08:35 6,42 6,41 6,43 6,34 6,40 0,041 
7 27-dez 09:00 6,44 6,41 6,41 6,46 6,43 0,024 
8 27-dez 09:40 6,33 6,41 6,38 6,36 6,37 0,034 
9 27-dez 01:30 6,48 6,52 6,49 6,51 6,50 0,018 
10 27-dez 02:50 6,47 6,43 6,36 6,42 6,42 0,045 
11 28-dez 08:30 6,38 6,41 6,39 6,38 6,39 0,014 
12 28-dez 01:35 6,37 6,37 6,41 6,37 6,38 0,020 
13 28-dez 02:25 6,40 6,38 6,47 6,35 6,40 0,051 
14 28-dez 02:35 6,38 6,39 6,45 6,42 6,41 0,032 
15 28-dez 03:55 6,50 6,42 6,43 6,45 6,45 0,036 
16 29-dez 08:25 6,33 6,35 6,29 6,39 6,34 0,042 
17 29-dez 09:25 6,41 6,40 6,29 6,34 6,36 0,056 
18 29-dez 11:00 6,38 6,44 6,28 6,58 6,42 0,125 Linha de óleo danificada 
19 29-dez 02:35 6,33 6,32 6,37 6,38 6,35 0,029 
20 29-dez 03:15 6,56 6,55 6,45 6,48 6,51 0,054 Material ruim 
21 30-dez 09:35 6,38 6,40 6,45 6,37 6,40 0,036 
22 30-dez 10:20 6,39 6,42 6,35 6,40 6,39 0,029 
23 30-dez 11:35 6,42 6,39 6,39 6,36 6,39 0,024 
24 30-dez 02:00 6,43 6,36 6,35 6,38 6,38 0,036 
25 30-dez 04:25 6,39 6,38 6,43 6,44 6,41 0,029 
Total 160,25 0,972 
Tabela 3 - Dados da profundidade do rasgo para chaveta 
 
 
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Resultado Preliminar da Plotagem das Cartas de Controle com os dados preliminares 
 
 
 
 
6,30
6,35
6,40
6,45
6,50
6,55
6,60
6,65
0 5 10 15 20 25
M
é
d
ia
 (
m
m
)
Número do Subgrupo
Carta de Controle da Média - Carta X barra
X̄
X 2 barras
LSCX
LSIX
-0,010
0,010
0,030
0,050
0,070
0,090
0,110
0,130
0 5 10 15 20 25
D
e
sv
io
 P
ad
rã
o
 (
m
m
)
Número do Subgrupo
Carta de Controle de Dispersão - Carta s
s
s barra
LSCs
LSIs
 
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9. Capacidade de um Processo 
 
A capacidade de um processo é sua variabilidade diante do intervalo de tolerância fixado, após 
a sua otimização e estabilização. Um processo é considerado estável quando se encontra sob 
controle. 
A capacidade de um processo determina a relação entre o desempenho real e o desempenho 
especificado. Um processo é considerado capaz quando: 
➢ Atende aos limites de especificação definidos pelos clientes; 
➢ Encontra-se controlado, ou seja, tem todas as causas comuns entre os limites de 
controle. 
 
Figura 7 
 
 
Figura 8 
 
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29 
rev.01 
 
Figura 9 
 
Tabela 4 
 
 
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rev.01 
9. 1 Índices de Capacidade do Processo (Cp e CPk) 
 
1) A massa de um pacote de arroz é um parâmetro importante da qualidade. Dados sobre a 
massa (em gramas, g) são apresentados na tabela abaixo (25 amostras de cinco pacotes 
cada). 
 
a. Construa gráficos de controle R e para a massa usando esses dados. O processo está sob 
controle estatístico? 
b. Verifique se a média do processo está centrada entre os limites de especificação inferior e 
superior, os quais foram estabelecidos em 4800 g e 5200 g, respectivamente. Estime a 
capacidade do processo usando os índices Cp e Cpk. Interprete os resultados obtidos. 
Adaptado de: Francisco, LOUZADA,, DINIZ, A.R., FERREIRA, H., FERREIRA, L.. Controle Estatístico 
de Processos - Uma Abordagem Prática para Cursos de Engenharia e Administração. LTC, 
05/2013. VitalBook file.ESTATISTICA APLICADA A ENGENHARIA 
 
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rev.01 
 
2) (15-28 P.693) Suppose that a quality characteristic is normally distributed with specifications 
at 100 ± 20. The process standard deviation is 6. 
a. Suppose that the process mean is 100. What are the natural tolerance limits? What is 
the fraction defective? Calculate PCR and PCRk and interpret these ratios. 
 
3) (15-29 P.693) Suppose that a quality characteristic is normally distributed with specifications 
from 20 to 32 units. What value is needed for σ to achieve a PCR of 1.5? 
Adaptado de: MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. APPLIED STATISTICS AND 
PROBABILITY FOR ENGINEERS. 6TH EDITION. WILEY, 2013. 
4) Uma fita plástica, usada num dispositivo eletrônico, é fabricada com tolerância máxima de 
305,70 mm de largura e tolerância mínima de 304,55 mm. Se as fitas ficam abaixo da 
tolerância mínima, elas são sucateadas e se ficam acima da tolerância máxima, são 
retrabalhadas. A largura da fita tem uma distribuição normal, com média igual a 305,20 mm 
e desvio padrão igual a 0,25 mm. 
a. Qual a porcentagem de fitas sucateadas? 
b. Qual a porcentagem de fitas retrabalhadas? 
c. Em que ponto o processo deve ser centrado para que a porcentagem sucateada não 
ultrapasse 0,1%? 
d. Qual será a porcentagem retrabalhada, quando a porcentagem sucateada for de 0,1%? 
 
5) Uma máquina de embalar açúcar produz pacotes cuja massa segue uma distribuição normal 
com média de 1.010 gramas e desvio padrão de 6 gramas. Sendo a especificação para a 
massa 1.020 ± 20 gramas, calcule o índice de capacidade e o índice de performance deste 
processo e compare-os. Sabendo que a legislação de um determinado país não permite 
mais do que 1% da produção com massa inferior a 1 kg e que não é possível reduzir a 
variabilidade do processo, onde o mesmo deve estar centrado para que a legislação seja 
respeitada? 
 
6) A viscosidade do CMC (Carboxi-Metil-Celulose) para uso em fluidos de perfuração de poços 
possue especificação mínima de 150 cp. A análise da produção do CMC durante vários dias 
revelou que o processo está estatisticamente estável e que os valores individuais 
apresentam uma distribuição normal, com média igual a 216 cp e desvio padrão 16,5 cp. É 
este processo capaz de atender à especificação? 
 
Adaptado de: GRIFO, EQUIPE. CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO – SÉRIE QUALIDADE 
BRASIL . Editora Pioneira, 1997. 
 
 
 
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APÊNDICE 
 
 
Figura 10 - Área sob a curva Normal Padrão, de 0 até Z 
 
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Figura 11 - Fatores para Cartas de Controle por Variáveis