Apostila Eron Geometria Analítica (MAT217)

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA VETORIAL 
E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
 
ERON 
 
 
 
Salvador, Julho de 2011. 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON ii 
APRESENTAÇÃO 
 
Este material é parte de notas de aulas da disciplina Álgebra Vetorial e Geometria 
Analítica. Consta dos conteúdos que formam a ementa da referida disciplina 
 
§ Vetores e álgebra vetorial 
§ Reta e plano no espaço 
§ Cônicas 
§ Coordenadas polares 
 
O principal objetivo destas notas é que tenhamos um material para acompanhar as 
aulas, e assim, adquirir maior flexibilidade e dinâmica nas mesmas. 
 
Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possam conter estas 
notas, ainda incompletas, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias. 
 
No final há uma lista com as referências bibliográficas utilizadas para confeccionar este 
material, você deve procurar obter pelo menos uma delas para lhe ajudar na compreensão dos 
conteúdos. Observo também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de 
textos e livros citados na bibliografia, deve servir como um material de auxílio, 
principalmente no momento em que se realizam a aulas. 
 
Salvador, julho de 2011. 
 
Eron 
eronsouza@gmail.com 
 
 
 
 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON iii 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
A Geometria Analítica, também denominada de coordenadas geométricas, se baseia 
nos estudos da Geometria através da utilização da Álgebra. Uma característica importante da 
GA se apresenta na definição de formas geométricas de modo numérico, extraindo dados 
informativos da representação. Com base nesses estudos, a Matemática passa a ser vista 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON iv 
como uma disciplina moderna, capaz de explicar e demonstrar situações relacionadas ao 
espaço. 
As noções intuitivas de vetores começam a ser exploradas de forma contundente, na 
busca por resultados numéricos que expressem as idéias da união da Geometria com a 
Álgebra. Os vetores constituem a base dos estudos do espaço vetorial, objetos que possuem as 
características relacionadas a tamanho, direção e sentido. Os vetores são muito utilizados na 
Física, como ferramenta auxiliar nos cálculos relacionados à Cinemática Vetorial, Dinâmica, 
Campo Elétrico entre outros conteúdos relacionados. 
Os cientistas Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz concentraram estudos na 
Geometria Analítica, que serviu como base teórica e prática para o surgimento do Cálculo 
Diferencial e Integral, muito utilizado atualmente na Engenharia. 
A Geometria, como ciência dedutiva, foi desenvolvida pelos gregos. Mas, apesar do seu 
brilhantismo faltava operacionalidade à geometria grega e isto só iria ser conseguido mediante 
aplicação da Álgebra como princípio unificador. Os gregos, porém, não tinham desenvolvido 
bem a notação e as propriedades da Álgebra e somente no século XVII esta área da 
Matemática estaria razoavelmente aparelhada para uma fusão criativa com a Geometria. 
Ocorre, porém, que o fato de haver condições para uma descoberta não exclui o toque 
de genialidade de alguém. E no caso da geometria analítica, fruto dessa fusão, o mérito não 
foi de uma só pessoa. Dois franceses, Pierre de Fermat (1601-1665) e René Descartes (1596-
1650), curiosamente ambos graduados em Direito, nenhum deles matemático profissional, são 
os responsáveis por esse grande avanço científico: o primeiro movido basicamente por seu 
grande amor, a matemática e o segundo por razões filosóficas. E, diga-se de passagem, não 
trabalharam juntos: a geometria analítica é um dos muitos casos, em ciência, de descobertas 
simultâneas e independentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON v 
UM POUCO DE HISTÓRIA 
 
A Geometria Analítica em busca de seu verdadeiro pai 
 
Por Elenice S. L. Zuin 
Departamento de Matemática e Estatística (PUC-MG) 
 
 
René Descartes 
O francês René Descartes (1596–1650) é anunciado como o pai 
da Geometria Analítica, por ter escrito sua mais famosa obra: o 
Discours de la méthode por bien conduire sa raison et chercher 
la verité dans les science (Discurso do método para bem conduzir 
a razão e procurar a verdade nas ciências). Quase todos os livros 
didáticos de matemática apontam Descartes como o criador da 
Geometria Analítica. Mas, até que ponto isto é verdade? Neste 
artigo, iremos voltar alguns séculos na História para podermos 
refletir e julgar a quem caberia o título de “Pai da Geometria 
Analítica”. Tudo começa na Antigüidade. Os antigos egípcios, em agrimensura, e os antigos 
gregos, na elaboração de seus mapas, usavam métodos que, através de coordenadas 
convenientes, podiam fixar a posição de um ponto. Ao longo da história, vários trabalhos 
sugerem usos de coordenadas e aplicações de álgebra, ainda que rudimentar, à geometria. Já, 
no século XIV vamos encontrar Nicola Oresme (1323-1382), natural da diocese de Bayeux, na 
França que se tornou bispo de Lisieux, na Normandia, em 1377. Ele foi estudante e professor 
da Universidade de Paris. Oresme escreveu várias obras. Um tratado sobre a Origem, 
Natureza e Mudanças das Moedas, que o torna pioneiro como economista político daquela 
época. Escreveu, também, sobre Astrologia, mas na área da matemática, entre outros, é que 
ele nos deixou um trabalho original. “… ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um 
pensamento brilhante – porque não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual 
variam as coisas? Vemos aqui, é claro, uma sugestão antiga daquilo que agora chamamos 
representação gráfica de funções. Tudo o que é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na 
forma de quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um 
corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou 
pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou 
perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento 
representava a velocidade. As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de 
uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade dos 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON vi 
segmentos velocidade (que chamamos ordenadas) preencherá um triângulo retângulo. Como a 
área desse triângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu, assim, uma 
verificação geométrica da regra de Merton, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de 
tempo é a metade da velocidade final. Além disso, o diagrama leva obviamente à lei de 
movimento usualmente atribuída a Galileu no século dezessete. (…) A representação gráfica 
de funções, conhecida então como a latitude de formas continuou a ser um tópico popular 
deste o tempo de Oresme até o de Galileu. O Tractatus de latitudinibus formarum, escrito 
talvez por um estudante de Oresme, senão pelo próprio Oresme, apareceu em numerosas 
formas manuscritas e foi impresso pelo menos quatro vezes entre 1482 e 1515; mas constituía 
apenas um resumo de uma obra maior de Oresme intitulada Tractatus de Figuratione 
potentiarum et mensurarum. Aqui Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de 
sua ‘latitude de formas’ em que uma função de duas variáveis independentes era representada 
como um volume formado de todas as ordenadas erigidas segundo uma reta dada, em pontos 
numa parte do plano de referência. Encontramos até uma insinuação de uma geometria de 
quatro dimensões…” Voltando a Descartes, Discours de la méthode contém três apêndices: 
La dioptrique, Les météores e La géométrie. Descartesdiz no seu livro: “Todo problema de 
geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos 
de certos segmentos basta para a construção”, deste modo, podemos perceber que seu 
objetivo era, em geral, uma construção geométrica, diferentemente da redução da geometria à 
álgebra como se pensa. La Géométrie tem duas seções: “Como os cálculos de aritmética se 
relacionam com operações e geometria” e “Como a multiplicação, a divisão e a extração de 
raízes quadradas são efetuadas geometricamente”, mostrando que as cinco operações 
aritméticas correspondem a construções com régua e compasso. O que é mais representativo 
em La géométrie é uma teoria de equações algébricas onde Descartes propõe um método para 
se determinar o número de raízes falsas (negativas) e verdadeiras (positivas) de uma equação. 
 
Discours de la Methode 
Edição de 1637. Segundo Boyer e Struik, La Géométrie não se 
assemelha em nada com a geometria analítica, são usadas ordenadas 
oblíquas, não se encontram eixos perpendiculares, ou coordenadas 
retangulares (também conhecidas por coordenadas cartesianas, em 
homenagem a Descartes!). Não se fala de distâncias entre dois 
pontos, inclinação de uma reta ou mesmo ângulo entre duas retas, 
não se usa abscissas negativas. Descartes, apesar de colocar algumas 
equações do segundo grau, que são interpretadas como 
representativas de seções cônicas, não faz deduções de equações das 
seções cônicas e nem mesmo de uma simples reta ou circunferência. Um fato interessante é 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON vii 
que a edição original do livro foi publicada sem o nome de Descartes! Apesar disto, segundo 
os historiadores, todos sabiam quem era o autor. Os três apêndices do Discours de la 
méthode, para a maioria das pessoas, pareciam textos soltos, e isto ficou tão evidente que 
foram omitidos em reedições posteriores, uma vez que não se entendia como os mesmos 
tinham alguma relação com o seu método geral, exposto no livro. Struik diz, em relação à 
geometria analítica: “este ramo da matemática se desenvolveu sob a influência do livro de 
Descartes, mas dificilmente La Géométrie pode ser considerada um primeiro texto sobre o 
assunto”, lembrando que “Apolônio já tinha uma caracterização das seções cônicas por meio 
daquilo que agora – com Leibniz – podemos chamar coordenadas, embora não lhes fossem 
atribuídos valores numéricos. Porém, a latitude e a longitude na Geographia, de Ptolomeu, 
eram coordenadas numéricas. Papus, na sua Colecção, tinha um Tesouro de Análise 
(Analuomenos), no qual temos apenas de modernizar a notação para obter uma aplicação da 
álgebra à geometria. Mesmo a idéia de representação gráfica tinha ocorrido antes de 
Descartes, como, por exemplo, nos trabalhos de Oresme”. Para situar a época na qual estes 
trabalhos foram desenvolvidos, Apolônio escreveu As cônicas por volta do ano de 225 a.C., 
Ptolomeu viveu no século II e Papus no século IV. Como o Tractatus de latitudinibus 
formarum, ou apenas De latitudinibus formarum, onde Oresme expõe a sua representação 
gráfica, foi impresso várias vezes, é de se imaginar que este trabalho tenha influenciado tanto 
Descartes como outros matemáticos do Renascimento. 
 
Pierre de Fermat 
Contemporâneo de Descartes, o advogado francês Pierre de Fermat 
(1601–1665) foi um grande nome na História da Matemática. Em 
geral, os nossos estudantes do Ensino Médio, e mesmo superior, 
nunca ouviram falar em Fermat. Este homem notável, que tantas 
contribuições deu ao mundo, se dedicava, nas suas horas livres, à 
ciência e à matemática; não se preocupou em publicar nenhum de 
seus estudos e descobertas. Seus trabalhos foram divulgados através 
de correspondência a amigos e a outros intelectuais. Em 1629, ele 
iniciou um trabalho de recompor as obras perdidas da Antigüidade, 
fazendo pesquisas e se baseando em tratados clássicos. Uma das obras reconstruídas por ele 
foi Lugares Planos, de Apolônio. Acredita-se que ao reconstruir a obra de Apolônio ele se 
inspirou para chegar ao princípio fundamental da geometria analítica. Ele escreveu Ad locus 
planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos), que só foi publicado depois 
da sua morte. Neste pequeno ensaio, ele trata das equações de retas e cônicas, referidas a um 
sistema de eixos, em geral, perpendiculares. Usando a álgebra resolveu problemas 
geométricos. No seu livro encontramos as equações gerais de retas, circunferências e equações 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON viii 
mais simples de parábolas, elipses e hipérboles, sendo que também apresenta reduções de 
equações do primeiro e segundo graus através de translações e rotações de eixos. Um outro 
fato importante é que o monge franciscano Marin Mersenne, que vivia em Paris, interessado 
em Filosofia, Ciência e Matemática, formou um grupo de intelectuais que se reuniam 
freqüentemente. Estavam entre eles, Gilles Persone de Roberval, Blaise Pascal, Girard 
Desargues, Pierre Gassendi, e mesmo o inglês Thomas Hobbes, que estava sempre na França. 
O monge mantinha correspondência com diversas pessoas que desenvolviam trabalhos 
expressivos na época: na Itália com Galileu Galilei, Boaventura Cavalieri e Evangelista 
Torricelli; em Toulousse com Fermat; com Descartes, que na época morava na Holanda. 
Neste fantástico grupo, as grandes idéias e descobertas sempre transitavam e eram discutidas; 
Mersenne se encarregava de se fazer conhecer o conteúdo de suas correspondências ao grupo e 
transmitir tudo que circulava de novidade aos seus correspondentes. Descartes, muito antes 
de publicar o Discours de la méthode, em 1637, já tinha lido o manunscrito original do 
trabalho de Fermat, escrito em 1629. Como as informações circulavam através de Mersenne, 
este provavelmente, lhe encaminhou as idéias de Fermat, mesmo antes de Descartes ter 
oportunidade de ler a Introdução a lugares planos e sólidos (assunto para se refletir!). 
 
Marin Mersenne 
O trabalho de Fermat só foi publicado em 1679, após a sua morte, e o 
livro de Descartes em 1637. Este fato pode ter gerado a idéia de que 
Descartes, realmente, foi o criador da Geometria Analítica. Outro 
ponto, a ser destacado, é que Fermat utilizou a álgebra de Viète (1540–
1603), o que fazia parecer sua obra não tão moderna como a de 
Descartes, uma vez que este introduziu diversas notações que ainda são 
usuais. Agora, você tem informações suficientes para ajudar a 
Geometria Analítica a encontrar o seu verdadeiro Pai (!). A partir desta pequena viagem 
pela História da Matemática, nos convencemos da importância de se pesquisar fatos que, 
mesmo durante muitos séculos, são colocados como verdadeiros. E dentro da Educação e, 
também, no nosso dia-a-dia, cada um de nós deve começar refletir a respeito das palavras do 
próprio Descartes: “O bom senso é a coisa mais bem repartida deste mundo…” . “Todavia é 
possível que me engane e que seja talvez um pouco de cobre e vidro o que tomo por ouro e 
diamantes” Artigo publicado na Revista MatNews 2, 1998. p.48-51. No século XIV o estudo 
das mudanças, em geral, e do movimento, em particular, foram estudados nas universidades 
em Oxford e Paris. Em Merton College, Oxford, foi deduzida uma formulação para o 
movimento de velocidade com variação uniforme, que ficou conhecido como regra de Merton. 
A regra expressa em termos de tempo e distância, diz essencialmente que se um corpo se 
move com movimento uniformemente acelerado a distância coberta será igual à que seria 
 
ALGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALITICA – ERON ix 
percorrido por outro corpo que se deslocasse com movimento uniforme durante o mesmo 
intervalo de tempo com velocidade igual à do primeiro no pontomédio do intervalo de 
tempo. (Boyer, 1996, p. 178). Boyer, 1994, p. 180-182. IStruik, 1989, p.161–162. Boyer 
acredita que mesmo que Descartes tivesse conhecimento da obra de Oresme, ele não 
conseguiu fazer qualquer relação entre a latitude de formas e a sua classificação das 
construções geométricas. (Boyer, 1996, p.237). Mersenne (1588–1648) é autor de trabalhos na 
área de Física e Matemática. Roberval, entre outros trabalhos, fez um estudo a ciclóide 
provando que a área sob um arco da curva é igual a três vezes a área do círculo gerador; em 
1638, descobriu como traçar a tangente à curva em qualquer ponto. Gassendi filósofo francês, 
foi um dos proponentes da teoria atomista. Defendia a idéia de que o Universo é formado por 
minúsculas partículas, cujos movimentos e interações podem ser estudados e previstos 
matematicamente. Usando a notação algébrica de Viète, Fermat escrevia em latim “D in A 
aequetur B in E”, o que hoje escreveríamos como Dx = By, para representar o caso mais 
simples de uma equação linear. Descartes introduziu uma nova notação para as equações 
algébricas, usa as primeiras letras do alfabeto, a, b, c para designar as constantes e x, y, z 
para denotar as variáveis, notação preservada até hoje. In Discurso do Método, p.39. 
 
 
Este artigo tem base nas seguintes referências bibliográficas: 
BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Trad.Elza Furtado Gomide. São Paulo: 
Blücher, 1996. 
DESCARTES, René. Discurso do método. Trad. João Cruz Costa. Rio de Janeiro: Ediouro, 
[s.d]. 
EVES, Howard. História da Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992. 
STRUIK, Dirk. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE I 
 
VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
CONTEÚDOS 
§ Vetores – um pouco de história 
§ Grandezas vetoriais 
§ Segmentos orientados 
§ Equipolência e propriedades 
§ Vetor 
§ Representação analítica de um vetor 
§ Operações com vetores e propriedades 
§ Produto escalar – definição, propriedade e aplicações 
§ Produto vetorial – definição, propriedades e aplicações 
§ Produto misto – definição, propriedades e aplicações 
§ Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 2
VETORES – UM POUCO DE HISTORIA 
 
A lei do paralelogramo para a adição de vetores é tão intuitiva que sua origem é 
desconhecida. Pode ter aparecido em um trabalho, agora perdido, de Aristóteles (384-322 
a.C.), e está na Mecânica de Heron (primeiro século d.C.) de Alexandria. Também era o 
primeiro corolário no Principia Mathematica (1687) de Isaac Newton (1642-1727). No 
Principia, Newton lidou extensivamente com o que agora são consideradas entidades vetoriais 
(por exemplo: velocidade e força), mas nunca com o conceito de um vetor. O estudo 
sistemático e o uso de vetores foram fenômenos do século XIX e início do século XX. 
Vetores nasceram nas primeiras duas décadas do século XIX com as representações 
geométricas de números complexos. Caspar Wessel (1745-1818), Jean Robert Argand (1768-
1822), Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e pelo menos um ou dois outros, conceberam 
números complexos como pontos no plano bidimensional, isto é, como vetores bidimensionais. 
Matemáticos e cientistas trabalharam com estes novos números e os aplicaram de várias 
maneiras; por exemplo, Gauss fez um uso crucial de números complexos para provar o 
Teorema Fundamental da Álgebra (1799). Em 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) 
mostrou que os números complexos poderiam ser considerados abstratamente como pares 
ordenados ( , )a b de números reais. Esta idéia era parte de uma campanha de muitos 
matemáticos, incluindo Hamilton, para procurar uma maneira de estender os “números” 
bidimensionais para três dimensões; mas ninguém conseguiu isto preservando as propriedades 
algébricas básicas dos números reais e complexos. 
Em 1827, August Ferdinand Möbius publicou um pequeno livro, The Barycentric 
Calculus, no qual introduziu diretamente segmentos de reta que eram denotados por letras do 
alfabeto, vetores na essência, mas não no nome. No seu estudo de centros de gravidade e 
geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética destes segmentos de reta; adicionou-
os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses estavam em outro 
lugar, contudo, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos. 
Depois de muita frustração, Hamilton estava finalmente inspirado a desistir da procura 
por um sistema “numérico” tridimensional e em vez disso, inventou um sistema de quatro 
dimensões que chamou de quatérnios. Nas suas próprias palavras: 16 de outubro de 1843, 
O que parecia ser uma segunda-feira e um dia de Conselho da Academia Real 
Irlandesa - eu estava caminhando para participar e presidir, …, ao longo do Canal 
Real, … uma sub-corrente de pensamento estava na minha mente, que finalmente deu 
um resultado, o qual não é muito dizer que logo senti a importância. Um circuito 
elétrico pareceu fechar; e uma faísca surgiu, ... Não pude resistir ao impulso ... 
escrever com uma faca sobre uma pedra da ponte Brougham, quando passamos por 
ela, a fórmula fundamental... . 
Os quatérnios de Hamilton foram escritos, q w ix jy kz= + + + , onde w, x, y, e z eram 
números reais. Hamilton rapidamente percebeu que seus quatérnios consistiam de duas partes 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 3
distintas. O primeiro termo, o qual chamou de escalar e “x, y, z para suas componentes 
retangulares, ou projeções em três eixos retangulares, ele [referindo-se a si próprio] foi 
induzido a chamar a expressão trinomial propriamente dita, assim como a reta a qual ela 
representa, de um VETOR”. Hamilton usou suas “fórmulas fundamentais”, 
2 2 2 1i j k ijk= = = − = − , para multiplicar quatérnios, e imediatamente descobriu que o 
produto, 1 2 2 1q q q q=− , não era comutativo. 
Hamilton tinha se tornado cavaleiro em 1835, e era um cientista conhecido que já 
tinha feito um trabalho fundamental em Ótica e Física Teórica na época que inventou 
quatérnios, por isso foi imediatamente reconhecido. Em troca, devotou os 22 anos restantes 
de sua vida ao seu desenvolvimento e promoção. Escreveu dois livros completos sobre o 
assunto, Lectures on Quaternions (1853) e Elements of Quaternions (1866), detalhando não 
apenas a álgebra dos quatérnios mas também como poderiam ser usados em Geometria. Em 
certo ponto Hamilton escreveu, “eu ainda devo afirmar que esta descoberta me parece ser tão 
importante para a metade do século XIX como a descoberta de flúxions foi para o final do 
século XVII”. Ele teve um discípulo, Peter Guthrie Tait (1831-1901), que, na década de 1850, 
começou a aplicar quatérnios a problemas em eletricidade e magnetismo e a outros problemas 
em Física. Na segunda metade do século XIX, a defesa de Tait dos quatérnios provocou 
reações calorosas, ambas positivas e negativas, na comunidade científica. 
Ao redor da mesma época que Hamilton descobriu os quatérnios, Hermann Grassmann 
(1809-1877) estava escrevendo The Calculus of Extension (1844), agora muito conhecido pelo 
seu título em alemão, Ausdehnungslehre. Em 1832, Grassmann começou a desenvolver “um 
novo cálculo geométrico” como parte do seu estudo da teoria de marés, e subseqüentemente 
usou estas ferramentas para simplificar partes de dois trabalhos clássicos, o Analytical 
Mechanics de Joseph Louis Lagrange (1736-1813) e o Celestial Mechanics de Pierre Simon 
Laplace (1749-1827). Em seu Ausdehnungslehre, primeiro Grassmann expandiu o conceito de 
vetores a partir da familiar 2 ou 3 dimensões para um número arbitrário,n, de dimensões; 
isto estendeu grandemente as idéias de espaço. Segundo, e ainda mais geralmente, Grassmann 
antecipou grande parte da álgebra matricial e linear moderna e análise vetorial e tensorial. 
Infelizmente, o Ausdehnungslehre tinha dois pontos contra si. Primeiro, era muito 
abstrato, faltando exemplos explicativos e foi escrito em um estilo obscuro com uma notação 
extremamente complicada. Mesmo depois de tê-lo estudado, Möbius não tinha sido capaz de 
entendê-lo completamente. Segundo, Grassmann era um professor de ensino médio sem uma 
reputação científica importante (comparado a Hamilton). Embora seu trabalho tenha sido 
amplamente ignorado, Grassmann promoveu sua mensagem nas décadas de 1840 e 1850 com 
aplicações em eletrodinâmica e geometria de curvas e superfícies, mas sem muito sucesso 
geral. Em 1862, publicou uma segunda edição revisada do seu Ausdehnungslehre, mas 
também era escrito de maneira obscura e era muito abstrato para os matemáticos de sua 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 4
época e praticamente teve a mesma sina da primeira edição. No final de sua vida, Grassmann 
distanciou-se da matemática e iniciou uma segunda carreira de pesquisa muito bem sucedida, 
em fonética e lingüística comparada. Finalmente, nas décadas de 1860 e 1870, o 
Ausdehnungslehre começou lentamente a ser entendido e apreciado e Grassmann começou a 
receber algum reconhecimento favorável por sua matemática visionária. Uma terceira edição 
do Ausdehnungslehre foi publicada em 1878, ano seguinte de sua morte. 
Durante a metade do século XIX, Benjamin Peirce (1809-1880) era, de longe, o mais 
proeminente matemático nos Estados Unidos, e se referiu a Hamilton como, “o monumental 
autor dos quatérnios”. Peirce foi um professor de matemática e astronomia em Harvard de 
1833 a 1880 e escreveu um enorme livro chamado System of Analytical Mechanics (1855; 
segunda edição 1872), no qual, surpreendentemente não incluiu quatérnios. Em vez disso, 
Peirce expandiu o que chamou de “esta maravilhosa álgebra do espaço” ao escrever seu livro 
Linear Associative Algebra (1870), um trabalho totalmente de álgebra abstrata. Dizia-se que 
quatérnios era o assunto favorito de Peirce e ele teve muitos alunos que se tornaram 
matemáticos e que escreveram um bom número de livros e artigos sobre o assunto. 
James Clerk Maxwell (1831-1879) foi um proponente dos quatérnios perspicaz e crítico. 
Maxwell e Tait eram escoceses, tinham estudado juntos em Edimburgo e na Universidade de 
Cambridge e dividiam os mesmos interesses em Física-Matemática. No que chamou de 
“classificação matemática de quantidades físicas”, Maxwell dividiu as variáveis da Física em 
duas categorias, escalares e vetoriais. Então, em termos desta estratificação, apontou que usar 
quatérnios tornava transparente as analogias matemáticas em Física que tinham sido 
descobertas por Lord Kelvin (Sir William Thomson, 1824-1907) entre o escoamento de calor e 
a distribuição de forças eletrostáticas. Contudo, nos seus artigos, especialmente em seu muito 
influente Treatise on Electricity and Magnetism (1873), Maxwell enfatizou a importância do 
que descreveu como “idéias de quatérnios... ou a doutrina de vetores” como um “método 
matemático... um método de pensar”. Ao mesmo tempo, apontou a natureza não homogênea 
do produto de quatérnios, e avisou cientistas para não usar “os métodos de quatérnios” com 
seus detalhes envolvendo os três componentes vetoriais. Essencialmente, Maxwell estava 
sugerindo uma análise puramente vetorial. 
William Kingdon Clifford (1845-1879) expressou “admiração profunda” pelo 
Ausdehnungslehre de Grassmann e era claramente a favor de vetores, os quais freqüentemente 
chamava de passos, em lugar de quatérnios. Em seu Elements of Dynamic (1878), Clifford 
decompôs o produto de dois quatérnios em dois produtos vetoriais muito diferentes, os quais 
chamou de produto escalar e produto vetorial. Para análise vetorial, disse “minha convicção é 
que seus princípios exerceram uma ampla influência sobre o futuro da ciência matemática”. 
Embora o Elements of Dynamic fosse supostamente o primeiro de uma seqüência de livros-
texto, Clifford não teve a oportunidade de seguir estas idéias porque morreu jovem. 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 5
O desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje foi 
revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839-
1903) feito para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, 
Connecticut (seu pai também foi professor em Yale) e suas conquistas científicas principais 
foram em Física, termodinâmica propriamente dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em 
termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas dos resultados de Gibbs. Gibbs 
tomou conhecimento dos quatérnios quando leu o Treatise on Electricity and Magnetism de 
Maxwell, e Gibbs também estudou o Ausdehnungslehre de Grassmann. Concluiu que vetores 
forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu trabalho em física. Assim, começando em 
1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre análise vetorial para seus 
alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados Unidos, na 
Inglaterra e na Europa. O primeiro livro moderno sobre análise vetorial em inglês foi Vector 
Analysis (1901), as notas de Gibbs colecionadas por um de seus alunos de pós-graduação, e 
Edwin B. Wilson (1879-1964). Ironicamente, Wilson cursou a graduação em Harvard (B.A. 
1899) onde tinha aprendido sobre quatérnios com seu professor, James Mills Peirce (1834-
1906), um dos filhos de Benjamin Peirce. O livro de Gibbs/Wilson foi reimpresso em uma 
edição em 1960. Uma outra contribuição para o moderno entendimento e uso de vetores foi 
feita por Jean Frenet (1816-1900). Frenet entrou na École normale supérieure em 1840, então 
estudou em Toulouse, onde escreveu sua tese de doutorado em 1847. A tese de Frenet 
continha a teoria de curvas espaciais e as fórmulas conhecidas como as fórmulas de Frenet-
Serret (o triedro de Frenet). Frenet contribuiu com apenas seis fórmulas enquanto que Serret 
contribui com nove. Frenet publicou esta informação no Journal de mathematique pures et 
appliques em 1852. 
Na década de 1890 e na primeira década do século XX, Tait e alguns outros 
ridicularizaram vetores e defenderam quatérnios enquanto outros cientistas e matemáticos 
desenharam seu próprio método vetorial. Oliver Heaviside (1850-1925), um físico autodidata 
que foi grandemente influenciado por Maxwell, publicou artigos e seu livro Electromagnetic 
Theory (três volumes, 1893, 1899, 1912) nos quais atacou quatérnios e desenvolveu sua 
própria análise vetorial. Heaviside tinha recebido cópias das notas de Gibbs e falou muito 
bem delas. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na Alemanha 
(1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão 
se seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia 
(1907) e na Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da 
Física e da Matemática Aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático 
intrínseco. 
 
Fonte: George B. Thomas Cálculo, vol I e II. Pearson Education. 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 6
ÁLGEBRA VETORIAL 
 
Grandezas escalares e vetoriais. As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. 
As grandezas escalares são caracterizadas por sua intensidade ou tamanho (um número e sua 
unidade correspondente), como por exemplo: tempo, comprimento, massa, temperatura, etc. 
As grandezas vetoriais se caracterizampor três componentes: intensidade, direção e sentido, 
como por exemplo: a força, momento linear, velocidade, deslocamento, etc. 
 
Alguns exemplos de grandezas escalares 
§ 50 kg de massa 
§ 30 minutos 
§ 15 m de comprimento 
 
Grandezas vetoriais 
 
Uma força de 5 N fazendo um ângulo de 30° com a 
reta x e tendo o sentido da esquerda para a direita. 
Veja a figura ao lado 
 
 
F
�
 x
 30º
 
 
 
Uma velocidade de 10 m/s na direção da reta s e 
no sentido da direita para a esquerda. Veja figura 
ao lado. 
 
 
Na tabela abaixo, listamos algumas grandezas físicas escalares e vetoriais. 
 
Grandezas escalares Grandezas vetoriais 
Distância percorrida Posição 
Comprimento Velocidade 
Tempo Aceleração 
Temperatura Força 
Energia Campo elétrico 
Massa Campo magnético 
Potência Momento linear 
Pressão Momento angular 
Carga elétrica Torque 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 7
Fluxo magnético Densidade de corrente elétrica 
Corrente elétrica Magnetização 
Potencial elétrico Momento de dipolo elétrico 
Entropia Momento de dipolo magnético 
 
Segmento orientado é um segmento determinado por um par ordenado de pontos, onde o 
primeiro é chamado origem e o segundo, extremidade. Isto define a orientação ou sentido do 
segmento. 
Notação: ( , )A B ou AB 
 
 A
 B
 
 
Segmento nulo é aquele cuja origem coincide com a extremidade: ( , )A A ou AA . 
Segmentos opostos. O segmento orientado BA diz-se oposto do 
segmento orientado AB . 
 
 
 A
 B
 
Medida de um segmento – comprimento. Fixada uma unidade de comprimento, fica 
associado a cada segmento orientado AB um número real não negativo, seu comprimento, 
que é a sua medida em relação àquela unidade. 
 
Exemplo – O segmento ao lado tem med 3AB = . 
 
 A
 B
 |
 |
 
Observações 
§§§§ med medAB BA= 
§§§§ med 0AA = 
 
Direção e sentido. Dois segmentos orientados não nulos AB e CD têm a mesma direção se 
as suas retas suportes são paralelas ou coincidentes. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 8
AB , DC e EF têm a mesma direção. 
AB e EF têm o mesmo sentido. 
AB e DC têm sentidos opostos 
 
 
Observação. Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles possuem 
a mesma direção. 
 
Segmentos eqüipolentes. Um segmento orientado AB é eqüipolente a um segmento orientado 
CD , se e somente se: 
 
i) ambos são nulos; 
ii) se não são nulos, têm mesmo comprimento e mesmo sentido. 
Notação: AB CD∼ 
 
Propriedades da eqüipolência 
i) AB AB∼ (reflexiva) 
ii) AB CD CD AB⇒∼ ∼ (simétrica) 
iii) e AB CD CD EF AB EF⇒∼ ∼ ∼ (transitiva) 
iv) Dado um segmento orientado AB e um ponto C , existe um único ponto D tal que 
AB CD∼ . 
v) AB CD BA DC⇒∼ ∼ 
vi) AB CD AC BD⇒∼ ∼ 
 
 
Vetor. Chama-se vetor determinado por um 
segmento orientado AB o conjunto de todos os 
segmentos eqüipolentes a AB . Denotamos por AB
����
 
ou B A− ou ainda por uma letra minúscula v
�
. 
 A
 B
 v
�
 
 
C 
 D 
A 
B 
A B C D 
 E F 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 9
Observações 
§ Os segmentos nulos determinam um único vetor, chamado vetor nulo. Denotamos 
0AA =
���� �
. 
§ AB CD AB CD= ⇒
���� ����
∼ . 
 
Vetor oposto. O vetor BA
����
 diz-se oposto de AB
����
. Se AB
����
 é representante de um vetor v
�
, o 
vetor oposto de v
�
 é indicado por v−
�
. 
 
Módulo (norma ou comprimento) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus 
representantes. Notação: v
�
 ou v
�
. 
 
Vetor unitário é o vetor cujo módulo (norma) é 1, ou seja, um vetor v
�
 é dito unitário se 
1v =
�
. 
 
Direção (e sentido). A direção (o sentido) de um vetor não nulo v
�
 é a direção (o sentido) de 
qualquer um dos seus representantes. 
 
Versor de um vetor não nulo v
�
 é o vetor unitário que tem mesmo sentido de v
�
. Denotamos 
o versor de v
�
 por ºv
�
 ou vˆ . 
 
Vetores paralelos são aqueles que têm a mesma direção. 
 
Observamos que o vetor nulo é paralelo a qualquer vetor. 
 
 A
 B
 C
 D
 
 
Vetores coplanares são aqueles que têm representantes num mesmo plano. 
 
Vetores colineares são aqueles que têm representantes numa mesma reta. 
 
Proposição. Dado um ponto A e um vetor v
�
, existe um único ponto B tal que v AB=
�����
, isto 
é B A v= +
�
, ou ainda, v B A= −
�
. 
 
Propriedades envolvendo ponto e vetor 
i. 0A A+ =
�
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 10
ii. ( )A v v A− + =
� �
 
iii. A v B v A B+ = + ⇒ =
� �
 
iv. A v A u v u+ = + ⇒ =
� �� �
 
v. A AB B+ =
����
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
 
Adição de vetores. Dados dois vetores e u v
��
 e um ponto A , tomemos um ponto B tal que 
B A u= +
�
 e um ponto C tal que C B v= +
�
. Os pontos A e C determinam um vetor 
s u v= +
�� �
, chamado soma de e u v
��
. 
 , e A B C
AC AB BC
∀
= +
���� ���� ����
 
 u
�
 v
�
 
 A
 B
 C
 u
�
 v
�
 s
�
 
Observamos que o vetor s
�
 não depende do ponto A . 
 
 
Regra do paralelogramo. Escolhendo representantes de e u v
��
 
com a mesma origem A , o vetor soma tem como representante 
a diagonal do paralelogramo formado pelos vetores e u v
��
. 
 
 u
�
 v
�
 s
�
 
 
 
Propriedades da adição de vetores. Sejam , e u v w
� ��
 vetores quaisquer. Então, 
i. u v v u+ = +
� �� �
 comutativa 
ii. ( ) ( )u v w u v w+ + = + +
� � � �� �
 associativa 
iii. 0u u+ =
�� �
 elemento neutro 
iv. ( ) 0u u+ − =
�� �
 elemento oposto 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 11
Diferença de vetores. Dados dois vetores e u v
��
, chama-se diferença dos vetores e u v
��
 ao 
vetor ( )d u v= + −
� ��
 e é indicado por d u v= −
� ��
. 
 
 
Exemplos – Observemos a soma dos vetores indicados nas figuras abaixo: 
a) b) 
 AB AC AF AH+ + =
���� ���� ���� ����
 AO FO DC FC+ + =
���� ���� ���� ����
 
 
 
PRODUTO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR 
 
Definição. Sejam a ∈ ℝ e v
�
 um vetor. 
a. Se 0a = ou 0v =
��
 então 0av =
��
. 
b. Se 0a ≠ e 0v ≠
��
, então o vetor av
�
 caracteriza-se por: 
§ av v
� �
� (a direção do vetor resultante é a mesma de v
�
); 
§ av
�
 e v
�
 têm o mesmo sentido, se 0a > ; 
§ av
�
 e v
�
 têm sentidos contrários, se 0a < ; 
§ av a v=
� �
. 
 
 
Propriedades. Sejam ,a b ∈ ℝ e e u v
��
 vetores quaisquer. 
 v
�
 
2v
�
 1
2
v−
�
A B
C
G
E
F
D
H
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 12
i. ( )a u v au av+ = +
� �� �
 
ii. ( )a b v av bv+ = +
� � �
 
iii. ( ) ( )ab v a bv=
� �
 
iv. 1v v=
� �
 
 
Observações 
§ Se 0a ≠ , 
1
v
a
�
 é indicado por v
a
�
. 
§ Se 0v ≠
��
, ˆ vv
v
=
�
� é o versor de v
�
. 
 
Regras de sinais. Sejam a ∈ ℝ e v
�
 um vetor. 
i. ( ) ( )a v av− = −
� �
 
ii. ( )( )a v av− = −
� �
 
iii. ( )a v av− − =
� �
 
 
 
DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
Combinação linear. Dados n vetores 1 2, , , nv v v
� � �
… e n escalares 1 2, , , na a a… , o vetor 
1 1 2 2 n nv a v a v a v= + + +
� � � �
⋯ é dito uma combinação linear dos vetores 1 2, , , nv v v
� � �
… com 
coeficientes 1 2, , , naa a… . 
 
 
Exemplo – s u v= +
�� �
, o vetor s
�
 é combinação linear de e u v
��
. 
 u
�
 v
�
 s
�
 
 
Independência linear. Dados n vetores 1 2, , , nv v v
� � �
… , dizemos que esses vetores são 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 13
§ linearmente independentes (LI) se, e somente se, a equação 
1 1 2 2 0n nv a v a v a v= + + + =
�� � � �
⋯ admite apenas a solução nula 1 2 0na a a= = = =⋯ . 
 
§ Se existe algum escalar não nulo como solução da equação acima, então os vetores são 
ditos linearmente dependentes (LD). 
 
Exemplos 
 u
�
 2v u=
� �
 
 u
�
 v
�
 
 e u v
��
 são LD, pois 2 0v u− =
�� �
. e u v
��
 são LI, pois 0 0 0v u+ =
�� �
. 
 
 
ALGUNS RESULTADOS SOBRE (IN)DEPENDÊNCIA LINEAR 
 
1. Teorema. n vetores são LD se, e somente se, um deles for escrito como combinação linear 
dos outros. 
 
2. Teorema. Um vetor v
�
 é LD se, e somente se, 0v =
��
. 
 
3. Teorema. e u v
��
 são LD se, e somente se, e u v
��
 são paralelos. 
 
4. Corolário. Se 0v ≠
��
, então dados e u v
��
 vetores paralelos, existe um único k ∈ ℝ tal que 
u kv=
��
. 
 
5. Teorema. Três vetores são LD se, e somente se, são coplanares. 
 
6. Corolário. Se e u v
��
 são LI e w
�
 é coplanar com e u v
��
, então existe um único par de 
números ,a b ∈ ℝ , tal que w au bv= +
� ��
. 
 
7. Teorema. Quatro vetores são sempre LD no 3ℝ . 
 
8. Corolário. Se 1 2 3, ,v v v
� � �
 são LI e w
�
 é um vetor qualquer, então existe um único terno de 
números , ,a b c ∈ ℝ , tal que 1 2 3w av bv cv= + +
� � � �
. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 14
BASE 
Algumas definições 
1.1. Um conjunto de vetores V munido das operações definidas anteriormente de 
multiplicação por um número real e adição, é chamado espaço vetorial sobre ℝ . 
 
1.2. Seja V um espaço vetorial. Sejam 1 2, , , nv v v V∈
� � �
… . Dizemos que 1 2, , , nv v v
� � �
… geram V , 
se para todo w V∈
�
, 1 1 2 2 n nw a v a v a v= + + +
� � � �
⋯ , ou seja, w
�
 pode ser escrito como 
combinação linear de 1 2, , , nv v v
� � �
… . 
 
1.3. Dizemos que { }1 2, , , nv v v
� � �
… é uma base de V , se esses vetores geram V e se são LI. 
 
Exemplos 
a) O conjunto unitário de qualquer 0v ≠
��
 constitui uma base para um conjunto de vetores 
paralelos a v
�
. 
 
 
b) O conjunto de quaisquer dois vetores { }1 2,v v
� �
 LI constitui uma base para o conjunto de 
vetores coplanares com 1 2, v v
� �
. 
 
 
c) O conjunto de quaisquer três vetores { }1 2 3, ,v v v
� � �
 LI constitui uma base para o conjunto de 
vetores do espaço 3ℝ . 
 
Seja { }1 2 3, ,E e e e=
� � �
 uma base para o 3ℝ . Se 3v ∈
�
ℝ , temos 1 1 2 2 3 3v a e a e a e= + +
� � � �
. Costuma-
se expressar v
�
 da forma ( )1 2 3, , Ev a a a=
�
 que são as coordenadas de v
�
 na base E ou 
( )1 2 3, ,v a a a=
�
 sem o índice E quando não se há dúvida quanto à base utilizada. 
 
Teorema. Sejam ( )1 2 3, ,u a a a=
�
 e ( )1 2 3, ,v b b b=
�
 expressos pelas suas coordenadas numa 
mesma base E e seja k ∈ ℝ . Então, 
 
r 
v
�
 
1v
�
 
2v
�
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 15
I. 1 1 2 2 3 3 , e u v a b a b a b= ⇔ = = =
��
 
II. ( )1 1 2 2 3 3, ,u v a b a b a b+ = + + +
��
 
III. ( )1 2 3, ,ku ka ka ka=
�
 
 
Exemplo – Sendo ( )1,2, 0u = −
�
 e ( )3, 3,5v = −
�
, determine 3 2w u v= − +
� ��
. 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1,2, 0 2 3, 3,5 3, 6,0 6, 6,10 9, 12,10w = − − + − = − + − = −
�
 
 
 
Teorema. ( )1 2 3, ,u a a a=
�
 e ( )1 2 3, ,v b b b=
�
 são LD ⇔ 1 1 2 2 3 3, e a kb a kb a kb= = = para 
algum escalar k ∈ ℝ . 
 
Exemplos 
a) ( )1,2, 0u = −
�
 e ( )2, 4, 0v = −
�
 são LD, pois 2v u= −
� �
. 
b) 0
�
 e u
�
 são LD, pois 0 0u=
� �
. 
 
Teorema. ( )1 2 3, ,u a a a=
�
 e ( )1 2 3, ,v b b b=
�
 e ( )1 2 3, ,w b b b=
�
 são LD ⇔ 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
= . 
 
Corolário. ( )1 2 3, ,u a a a=
�
 e ( )1 2 3, ,v b b b=
�
 e ( )1 2 3, ,w b b b=
�
 são LI ⇔ 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
a b c
a b c
a b c
≠ . 
 
Exemplo – ( ) ( ) ( )1,2, 3 , 0,1,2 e 1,2, 1u v w= = = −
� ��
 são LI, pois 
1 0 1
2 1 2 4 0
3 2 1
= − ≠
−
. 
 
Vetores ortogonais. Dois vetores e u v
��
 são ortogonais se podem ser 
representados por segmento orientados ortogonais. 
 
Denotamos u v⊥
��
 (lê-se “u
�
 é ortogonal a v
�
”). 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras e a sua recíproca, temos: 
2 2 2
 u v u v u v⊥ ⇔ + = +
� � �� � �
. 
u v+
��
 
u
�
 
v
�
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 16
Observações 
a. o vetor nulo é ortogonal a todo vetor. 
b. e ( )u v u w u v w⊥ ⊥ ⇒ ⊥ +
� � � �� � �
. 
c. e u v k u kv⊥ ∈ ⇒ ⊥
� �� �
ℝ . 
 
Base ortonormal. Uma base é ortonormal se é formada por vetores unitários, ortogonais dois 
a dois. 
O conjunto { }ˆˆ ˆ, ,i j k é a base canônica do 3ℝ , onde ( )ˆ 1,0, 0i = , ( )ˆ 0,1, 0j = , ( )ˆ 0,0,1k = . 
 
Sistema de coordenadas cartesianas é um conjunto formado por um ponto O e uma base. 
Indicamos um sistema de coordenadas cartesianas no espaço por { }ˆˆ ˆ, , ,O i j k , se usarmos a base 
canônica do 3ℝ . O ponto O é chamado de origem do sistema e os eixos que passam por O e 
tem as direções dos vetores da base, no caso, de ˆˆ ˆ, e i j k são chamados de eixo das abscissas, 
eixo das ordenadas e eixo das cotas, respectivamente. 
Consideremos as coordenadas do vetor OP
����
 em relação à base { }ˆˆ ˆ, ,i j k : 
 
ˆˆ ˆOP xi yj zk= + +
����
 ou ( ), ,OP x y z=
����
. 
 
Chamamos coordenadas do ponto P em relação ao sistema { }ˆˆ ˆ, , ,O i j k , as coordenadas do 
vetor OP
����
. Portanto, para ( ), ,OP x y z=
����
 tem-se ( ), ,P x y z . 
x
y
iˆ
jˆ
ˆxi
ˆyj
v
�
O
 ˆ ˆv xi yj= +
�
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 17
Exemplo 
 
 
 
Propriedades. Seja { }ˆˆ ˆ, , ,O i j k um sistema de coordenadas 
a. Se ( )1 1 1, ,P x y z e ( )2 2 2, ,Q x y z , então ( )2 1 2 1 2 1, ,PQ Q P x x y y z z= − = − − −
����
. 
b. Se ( )1 1 1, ,P x y z e ( ), ,v a b c=
�
, então ( )1 1 1, ,P v x a y b z c+ = + + +
�
. 
c. O ponto médio de PQ é o ponto 1 2 1 2 1 2, ,
2 2 2
x x y y z z
M
 + + +     
. 
 
Exemplo – 
(1,2, 3)P , (2,3,5)Q , ( )1,1,2PQ OA= =
���� ����
 
 
 
 
Módulo de um vetor a partir de suas coordenadas. Seja { }ˆˆ ˆ, ,i j k uma base ortonormal. Se 
ˆˆ ˆv xi yj zk= + +
�
, então 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 18
2 2 2v x y z= + +
�
. 
 
Exemplo – ( ) ( )
22 21, 1,2 1 1 2 6v v v= − ⇒ = + − + ⇒ =
� � �
. 
 
 
Propriedades do módulo (ou da norma) de um vetor 
1. 0v ≥
�
 e 0 0v v= ⇔ =
�� �
. 
2. kv k v=
� �
 onde k ∈ ℝ . 
3. u v u v+ ≤ +
� �� �
 (desigualdade triangular) 
 
 
Distância entre dois pontos. Considere dois pontos ( )1 1 1, ,A x y z e ( )2 2 2, ,B x y z , a distância 
entre A e B , ( , )d A B , é dada por 
( , )d A B BA B A= = −
����
. 
 
Exemplo – Considere os pontos (0,2, 1)A − e (3, 0,1)B , a distância entre esses pontos é dada 
por 
2 2 2( , ) | | (3, 2,2) 3 ( 2) 2 17d A B BA= = − = + − + =
����
. 
 
 
Vetor unitário (versor) associado a um vetor. Dado um vetor 0v ≠
��
, podemos associar a estevetor um vetor unitário vˆ do seguinte modo: ˆ
| |
v
v
v
=
�
� . 
 
Exemplo – Seja (0,2, 1)u = −
�
, o vetor unitário associado a u
�
 é 
(0,2, 1) 2 1
ˆ 0, ,
| | 5 5 5
u
u
u
 − − = = =   
�
� . 
 
 
PRODUTO ESCALAR 
 
Definição. Dados e u v
��
 vetores não nulos e escolhido um ponto O , podemos escrever 
A O u= +
�
 e B O v= +
�
. O ângulo θ determinado pelos representantes OA
����
 e OB
����
 de e u v
��
, 
respectivamente, é denominado ângulo dos vetores e u v
��
 (ou medida angular entre e u v
��
). 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 19
 
§ Notação: ( ),u vθ =
��
, onde 0 180θ° ≤ ≤ ° 
§ Se 0θ = , e u v
��
 têm mesmo sentido. 
§ Se 180ºθ = , e u v
��
 têm sentidos opostos. 
§ ( ) ( ), e ,u v u v−
� �� �
 são ângulos suplementares. 
 O
 A
 B
 u
�
 v
�
 θ
 
 
Definição. O produto escalar ou produto interno dos vetores e u v
��
, indicado por u v⋅
��
 ou 
,u v
��
 é o número real 
cosu v u v θ⋅ =
� �� �
, onde ( ),u vθ =
��
. 
§ 0u v⋅ >
��
 indica que cos 0θ > , o que ocorre quando θ é ângulo agudo. 
§ 0u v⋅ <
��
 indica que cos 0θ < , o que ocorre quando θ é ângulo obtuso. 
§ 0u v⋅ =
��
 indica que: 
a) um dos vetores é nulo, 
b) os vetores são ortogonais, pois cos90º 0= . 
 ~ 
 
Propriedades. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w
� ��
 e qualquer que seja k ∈ ℝ , vale: 
I. Se e u v
��
 são não nulos e ( ),u vθ =
��
, então cos
u v
u v
θ
⋅
=
��
�� . 
II. u u u= ⋅
� � �
 
III. u v v u⋅ = ⋅
� �� �
 
IV. ( ) ( ) ( )k u v ku v u kv⋅ = ⋅ = ⋅
� � �� � �
 
V. ( )u v w u v u w⋅ + = ⋅ + ⋅
� � � �� � �
 
VI. Se 0u ≠
��
, então 0u u⋅ >
� �
. 
 
 
Interpretação geométrica do produto escalar. Sejam e u v
��
 
vetores não nulos. O vetor v
�
 se exprime de maneira única 
1 2v v v= +
� � �
, onde 1 2 e v u v u⊥
� �� �
� . 
v
�
 
2v
�
 
u
�
 
1v
�
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 20
 
1v
�
 diz-se projeção ortogonal do vetor v
�
 na direção do vetor u
�
. Denotamos 1 projuv v= �
� �
. 
 
 
Prova. Como 1v u
� �
� , temos 1 , .v ku k= ∈
� �
ℝ Temos o seguinte 
( )
2 2
2 2( ) 0v u ku v u k u u v u k u k u⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =
� � �� � � � � � � �
 ⇒ 
2
v u
k
u
⋅
=
� �
�
. Ainda, 1 2
v u
v u
u
⋅
=
� �
� �
�
. 
Logo, 
2
proj
u
v u
v u
u
⋅
=�
� �
� �
�
. 
2
v u
u
⋅
� �
�
 é a medida algébrica da projeção de v
�
 na direção de u
�
. 
 
Expressão cartesiana do produto escalar. Fixada uma base ortonormal { }ˆˆ ˆ, ,i j k , o produto 
escalar dos vetores 1 1 1
ˆˆ ˆu x i y j z k= + +
�
 e 2 2 2
ˆˆ ˆv x i y j z k= + +
�
 é o número real 
1 2 1 2 1 2x x y y z z+ + . Ou seja, 
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +
��
. 
Prova. 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 
u v x i y j z k x i y j z k
x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k
z x k i z y k j z z k k
⋅ = + + ⋅ + + =
= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
��
 
Como ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0i j i k j k⋅ = ⋅ = ⋅ = e ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1i i j j k k⋅ = ⋅ = ⋅ = , a expressão acima reduz-se a 
1 2 1 2 1 2u v x x y y z z⋅ = + +
��
 
 
Exemplos – Dados ( )3,0,4u =
�
 e ( 1,2, 0)v = −
�
, temos: 
§ ( )3 1 0 2 4 0 3u v⋅ = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = −
��
 
§ ( ) ( )
3 3 3 5 3 5
cos , , arccos
25 255 59 16 1 4
u v u v
 −  = = − = − ⇒ = −   + ⋅ +  
� �� �
 
§ 
3 9 12
proj , 0,
25 25 25u
v u
   −    = ⋅ = − −        
�
� �
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 21
§ medida algébrica da 
3
proj
25u
v =�
�
. 
 
Aplicação física do produto escalar. A projeção de vetores ocorre naturalmente na Física para 
calcular trabalho. Definimos o trabalho W realizado por uma força de intensidade F 
movimentando um objeto de uma distancia d por W Fd= , mas esta definição só se aplica 
quando a força é dirigida na mesma direção em que o objeto é movimentado. 
Suponha, entretanto, que a força constante é um vetor F PR=
�����
 como na figura 
abaixo, movendo um objeto do ponto P para o ponto Q , então o vetor deslocamento é dado 
por D PQ=
�����
. O trabalho dessa força é definido como o produto da componente dessa força 
ao longo de D
�
 e a distancia que o objeto foi movido: 
( )cos cosW F D F D F Dθ θ= = = ⋅
� � � � � �
 
 
Exemplos 
 
 
1 – Um caixote é empurrado 8 metros para cima de uma 
rampa por uma força constante de 200N aplicada a um 
ângulo de 25º com a rampa. Determine o trabalho 
produzido por essa força. (resposta: 1450N.m=1450 Joules) 
 
2 – Uma força é dada pelo vetor ˆˆ ˆ3 4 5F i j k= + +
�
 e move uma partícula do ponto (2,1, 0)P 
para o ponto (4,6,2)Q . Determine o trabalho realizado. 
 
 
Cossenos diretores de um vetor. Fixada 
uma base ortonormal { }ˆˆ ˆ, ,i j k , chamamos 
cossenos diretores de v
�
, 0v ≠
��
, os cossenos 
dos ângulos que v
�
 forma com os vetores da 
base. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 22
Sejam ( ) ( ) ( )ˆˆ ˆ, , , e ,v i v j v kα β γ= = =
� � �
, chamados de ângulos diretores do vetor v
�
. Para 
ˆˆ ˆv xi yj zk= + +
�
, temos as seguintes expressões: 
ˆ
cos
ˆ
v i x
vv i
α
⋅
= =
�
�� ; 
ˆ
cos
ˆ
v j y
vv j
β
⋅
= =
�
�� ; 
ˆ
cos
ˆ
v k z
vv k
γ
⋅
= =
�
�� . 
Logo, ( ), , cos , cos , cosv x y z
v v v v
α β γ
  =  =   
�
� � � � , 
ou seja, as coordenadas de um versor são as coordenadas dos cossenos diretores do vetor e, 
portanto, 
2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = . 
 
Exemplos 
1 – Dado o vetor (1,2,1)v =
�
, calcular os cossenos e os ângulos diretores. 
 
2 – Calcular os ângulos diretores do vetor AB
����
 sabendo que (2,2, 3)A − e (3,1, 3)B − . 
 
3 – Os ângulos diretores de um vetor são 45º, e 60ºβ , determine β . 
 
PRODUTO VETORIAL 
Orientação do espaço. Consideremos as bases { }1 2 3, ,e e e
� � �
 e { }1 2 3, ,f f f
� � �
 tais que possamos 
expressar 
1 1 1 2 2 3 3
2 1 1 2 2 3 3
3 1 1 2 2 3 3
f a e a e a e
f b e b e b e
f c e c e c e
 = + + = + +
 = + +
� � � �
� � � �
� � � �
. 
Se 
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
a a a
b b b
c c c
∆ = > , dizemos que as bases { }1 2 3, ,e e e
� � �
 e { }1 2 3, ,f f f
� � �
 têm mesma orientação. 
Se 0∆ < , elas têm orientações opostas. 
 
As bases são divididas em duas classes. As bases da classe fixada 
são ditas positivas e as de orientação oposta à classe fixada são 
ditas negativas. Adotamos, por convenção, uma base positiva do 
espaço 3ℝ , a que é formada por três vetores cujos sentidos são os 
sentidos dos dedos médio, indicador e polegar da mão esquerda, 
nesta ordem. 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 23
 
Exemplos 
a) { }ˆˆ ˆ, ,i j k é uma base positiva. 
b) { }ˆˆ ˆ, ,j i k é uma base negativa, pois tem orientação oposta à base { }ˆˆ ˆ, ,i j k . 
c) { }ˆ ˆ ˆ, ,k i j é uma base positiva, pois tem a mesma orientação da base { }ˆˆ ˆ, ,i j k . 
 
Definição. Fixada uma orientação no espaço, o produto vetorial dos vetores e u v
��
, indicado 
por u v×
��
, é um vetor tal que 
 
i) se e u v
��
 são LD, então 0u v× =
���
; 
ii) se e u v
��
 são LI e ( ),u vθ =��
, então 
a) senu v u v θ× =
� �� �
, 
b) u v×
��
 é ortogonal a e u v
��
, 
c) , e u v u v×
� �� �
 formam uma base positiva. 
 
Exemplos 
1 – Dada a base ortonormal positiva { }ˆˆ ˆ, ,i j k tem-se que 
a) ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆi i j j k k× = × = × 
b) ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , i j k j k i k i j× = × = × = 
 
2 – Sejam e u v
��
 vetores com representantes no plano α , conforme a figura, onde 4u =
�
, 
5v =
�
 e ( ), 30u v = °
��
. Temos: 
1
sen 30 4 5 10
2
e
1
sen 30 5 4 10
2
u v u v
v u v u
× = ° = ⋅ ⋅ =
× = ° = ⋅ ⋅ =
� �� �
� �� �
 
 
Assim, u v v u× = ×
� �� �
, mas v u×
� �
 e u v×
��
 são vetores opostos, como ilustra a figura. 
 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 24
3 – Para cada caso nas figuras, determine u v×
��
. 
a) 
 
b) 
 
 
Propriedades do produto vetorial. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w
� ��
 e qualquer que 
seja k ∈ ℝ , vale: 
 
§ 0u u× =
�� �
 
§ ( )u v v u× = − ×
� �� �
 
§ ( ) ( ) ( )k u v ku v u kv× = × = ×
� � �� � �
 
§ ( ) ( ) ( )u v w u v u w× + = × + ×
� � � �� � �
 
 
Expressão cartesiana do produto vetorial. Fixada uma base ortonormal positiva { }ˆˆ ˆ, ,i j k e 
dados os vetores ( )1 1 1, ,u x y z=
�
 e ( )2 2 2, ,v x y z=
�
, o produto vetorial de e u v
��
 é dado por 
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ˆˆ ˆy z z x x yu v i j k
y z z x x y
× = + +
��
, 
que é o desenvolvimento de Laplace em relação à primeira linha do determinante simbólico 
1 1 1
2 2 2
ˆˆ ˆi j k
u v x y z
x y z
× =
��
. 
Prova. ( ) ( )1 1 1 2 2 2ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆu v x i y j z k x i y j z k× = + + × + +
��
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ 
x x i i x y i j x z i k y x j i y y j j y z j k
z x k i z y k j z z k k
= × + × + × + × + × + × +
+ × + × + ×
 
Logo, ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ˆˆ ˆu v y z z y i z x x z j x y y x k× = − + − + −
��
 
 
Exemplo – Dados ( ) ( )1,2, 2 e 1, 0, 1u v= − = −
��
, temos 
ˆˆ ˆ
2 2 2 1 1 2 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ1 2 2 2 2
0 1 1 1 1 0
1 0 1
i j k
u v i j k i j k
− −
× = − = + + = − − −
− −
−
��
. 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 25
Interpretação geométrica do produto vetorial 
Cálculo da área de um paralelogramo. Seja ABCD o paralelogramo abaixo. 
 
A área do paralelogramo é dada por 
ABCD
S AB h= ⋅
▱
����
 
onde senh AD θ=
����
, logo, sen
ABCD
S AB AD θ=
▱
���� ����
, ou seja, 
 
ABCD
S AB AD= ×
▱
���� ����
 
 
Área de um triângulo. Observamos também que a área do triângulo ABD é dada por 
1
 
2ABD
S AB AD
∆
= ×
���� ����
. 
Exemplos 
1 – De um triângulo ABC∆ sabemos que 2, 3AB AC= =
���� ����
 e 3 3AB AC⋅ =
���� ����
. Determine 
a área deste triângulo. 
( ) ( )3 3 3 13 3 cos , sen ,
2 3 2 2
AB AC AB AC AB AC⋅ = ⇔ = = ⇔ =
⋅
���� ���� ���� ���� ���� ����
 
1
2 3 32
2 2 2ABC
AB AC
S
× ⋅ ⋅
= = =
���� ����
 u.a. 
 
 
 
2 – Calcule a área do triângulo PQR△ 
representado na figura. 
 
C D 
h 
θ 
B A 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 26
PRODUTO MISTO 
 
Definição. Sejam , e u v w
� ��
 vetores quaisquer. O produto misto dos vetores , e u v w
� ��
, 
indicado por , ,u v w   
� ��
, é o número real ( )u v w× ⋅
� ��
. 
 
 
Exemplo – Dados os vetores ( ) ( ) ( )1,0, 1 , 1, 3,2 e 1, 3,2u v w= − = − =
� ��
, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 1,0, 1 1, 3,2 1,3,2 3, 1, 3 1, 3,2 3 3 6 6u v w    = − × − ⋅ = − ⋅ = − + =      
� ��
. 
 
Expressão cartesiana do produto misto. Fixada uma base ortonormal { }ˆˆ ˆ, ,i j k e dados os 
vetores 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
u x i y j z k
v x i y j z k
w x i y j z k
= + +
= + +
= + +
�
�
�
 
tem-se o produto misto 
( ) 1 1 1 1 1 13 3 3
2 2 2 2 2 2
, ,
y z z x x y
u v w u v w x y z
y z z x x y
  = × ⋅ = + +  
� � � �� �
 
 
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
x y z
u v w x y z
x y z
  =  
� ��
 
 
Exemplo – Dados os vetores ( ) ( ) ( )1,0, 1 , 1, 3,2 e 1, 3,2u v w= − = − =
� ��
, refazendo o cálculo, 
1 0 1
, , 1 3 2 6
1 3 2
u v w
−
  = − =  
� ��
 
 
Propriedades do produto misto. Quaisquer que sejam os vetores , e u v w
� ��
 e k ∈ ℝ , valem: 
1. , , 0 , e u v w u v w  = ⇔  
� � � �� �
 são coplanares. 
 2. , , , , , , , ,k u v w ku v w u kv w u v kw       = = =              
� � � � � � � �� � � �
 
 3. 1 2 1 2, , , , , ,u u v w u v w u v w
     + = +          
� � � � � �� � � �
 
 4. , , , , , ,u v w v w u w u v     = =          
� � � � � �� � �
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 27
 5. , , , ,u v w v u w   = −      
� � � �� �
 
6. , , , , , , 0u u v v u u u v u     = = =          
� � �� � � � � �
 
 
A demonstração de todas estas propriedades é imediata, usando as propriedades dos 
determinantes. 
 
Interpretação geométrica do produto misto 
Volume de um paralelepípedo. O módulo de , ,u v w   
� ��
 é igual ao volume do paralelepípedo de 
arestas , e u v w
� ��
. 
Considere o paralelepípedo de arestas , eAB u AD v AE w= = =
���� ���� ����� ��
 como mostrado na figura. 
 
O volume deste paralelepípedo é dado por 
P b
V S h= ⋅ 
onde 
b
S u v= ×
��
 e cosh w θ=
�
. Lembrando que u v×
��
 tem a direção da altura h do 
paralelepípedo, pois é ortogonal a e a u v
��
, do que observamos que ( ),w u vθ = ×
� ��
. Logo, 
( )cos , ,PV u v w u v w u v wθ  = × = × ⋅ =   
� � � � � �� � �
. 
 
 , , 
P
V u v w =   
� ��
 
 
Exemplo – Considere o paralelepípedo da figura. Sabe-se 
que (1, 0,1)AB =
����
, ( )1,1,1BE =
����
 e ( )0,3, 3AD =
����
. 
Calcule: 
a) o volume do paralelepípedo ABCDEFGH ; 
b) a altura do paralelepípedo em relação à base ABCD . 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 28
a) , ,
P
V AB AD AE
 
=  
 
���� ���� ����
, onde ( ) ( ) ( )1,0,1 1,1,1 2,1,2AE AB BE= + = + =
���� ���� ����
 
1 0 1
, , 0 3 3 3
2 1 2
AB AD AE
 
= = − 
 
���� ���� ����
 e o volume do paralelepípedo é 3 3− = . 
 
b) 
( )
( ) ( ) ( )0
0 0 0
proj
AB AD
h AE AE AB AD AB AD AE AB AD
×
  = = ⋅ × ⋅ × = ⋅ ×  
���� ����
���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ����
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
1,0,1 0, 3,3 3, 3,3 e 3 3 3, 3, 3AB AD AB AD AB AD× = × = − − × = ⇒ × = − −
���� ���� ���� ���� ���� ����
( ) ( )2,1,2 3, 3, 3 3 3h = ⋅ − − = − = 
 
Volume de um Tetraedro. Também podemos afirmar que o 
módulo de , ,u v w   
� ��
 é igual a seis vezes o volume do 
tetraedro de arestas , e u v w
� ��
. 
O volume do tetraedro ABDE é dado por 
1
3T b
V S h= ⋅ ⋅ , 
onde 
2b
u v
S
×
=
��
 e cosh w θ=
�
. 
Logo, ( )
1 1
cos
3 2 6T
u v
V w u v wθ
×
= = × ⋅
��
� � ��
. Então, 
 
AB u=
���� �
, AD v=
���� �
 e AE w=
���� �
. 
 
1
 , , 
6T
V u v w =   
� ��
 
 
Exercício – Em relação a uma base ortonormal positiva são dados os vetores ( )1,2, 1u = −
�
, 
( ) ( )0,3, 4 , 1,0, 3v w= − =� � e ( )0,0,2t =
�
. Calcule o volume do tetraedro ABCD , sabendo 
que projvAB u= �
���� �
, AC
����
 é o vetor oposto do versor de w
�
 e ()projtBD AB AC= �
���� ���� ����
. 
 
 
Aplicação em Química. Na molécula do metano ( 4CH ), o átomo de carbono ocupa o centro 
de um tetraedro regular em cujos vértices estão os átomos de hidrogênio. Determine o ângulo 
entre duas das valências do carbono. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 29
Solução. O resultado deste problema está presente em todos os cursos de química orgânica. O 
estranho número fornecido pelo professor é aceito pelos alunos, mas, em geral, eles não têm a 
menor idéia de como esse resultado foi obtido. Para calcular esse ângulo, a geometria 
analítica é um método imbatível, aliada, é claro, com alguma inventividade. 
Em um sistema de coordenadas no espaço, consideremos inicialmente um cubo de 
aresta 2 (para facilitar) com um vértice na origem, outro no eixo X , outro no eixo Y e outro 
no eixo Z . Não é difícil escolher quatro vértices desse cubo que formem um tetraedro 
regular. 
 
Os pontos (0,0,0)A , (2,2,0)B , (0,2,2)C e (2, 0,2)D formam um tetraedro regular (uma vez 
que as distâncias entre dois quaisquer deles são diagonais de faces do cubo) e são ocupados 
pelos hidrogênios. 
 
O ponto (1,1,1)P , centro do cubo e também centro do 
tetraedro, está ocupado pelo carbono. 
O resto é fácil. Para calcular, por exemplo, o ângulo ˆAPB , 
consideremos os vetores: 
 ( 1, 1, 1)u PA= = − − −
�����
 e (1,1, 1)v PB= = −
�����
. 
O cosseno do ângulo entre eles é: 
1 1 1 1
cos
33 3
α
− − +
= = − 
Com uma calculadora, determinamos um valor muito 
aproximado para esse ângulo: 109 28 16.395α ′ ′′= ° . 
 
 
 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 30
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM – VETORES, ÁLGEBRA VETORIAL 
1 – Em cada afirmação marque V (verdadeira) ou F (falsa). 
a) [__] Se u v= �� , então u v= �� . 
b) [__] Se u v= �� , então u v= �� . 
c) [__] Se u v�� � , então u v= �� . 
d) [__] Se u v= �� , então u v�� � . 
e) [__] Se w u v= +� �� , então w u v= +� �� . 
f) [__] Se w u v= +� �� , então , e w u v� �� são paralelos. 
g) [__] 5 5 5v v v= − =� � � . 
h) [__] 3v� e 4
7
v−
�
 são paralelos e de mesmo sentido. 
i) [__] Se e u v�� são vetores que tem a mesma direção, então 0u v× =
���
. 
j) [__] u v u v= − ⇒ =� �� � . 
 
2 – Na Figura 1 os hexágonos são regulares. Em cada caso, determine a soma dos vetores 
indicados. 
 
Figura 1 
 
3 – Obtenha a soma dos vetores indicados em cada caso da Figura 2. 
a) ABCDEFGH é um paralelepípedo. 
b) ABCDEFGH e EFGHIJLM são cubos de arestas congruentes. 
c) O cubo ABCDEFGH tem centro O e está dividido em oito cubos congruentes por planos 
paralelos às faces. 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 31
 
Figura 2 
 
4 – Sejam , , , M N P O pontos coplanares e não colineares, tais que 
2
5
MN PM= −
����� ����
. Escreva 
ON
����
 como combinação linear de OM
����
 e OP
����
. 
 
5 – Sejam , , e A B C D pontos coplanares tais que e CD CB
���� ����
 são LI e 
1
3
CD AB= −
���� ����
. 
Expresse AD
����
 como combinação linear de e AC AB
���� ����
. 
 
6 – Considere os vetores ˆˆ ˆ 2A i j k= + −
�
, ˆˆ ˆ3 2B i j k= − +
�
 e ˆˆ 5C j k= −
�
. Determine: 
a) 2 3A B+
� �
 b) A B+
� �
 
c) A B+
� �
 d) A C⋅
� �
 
e) A B×
� �
 f) C B×
� �
 
g) ( )A B C⋅ ×
� � �
 h) C C×
� �
 
i) ( )A B C× ×
� � �
 j) proj
A
B�
�
 
k) ângulo entre A
�
 e B
�
. l) ângulo entre proj
A
B�
�
 e C
�
. 
 
7 – Dados (2, 4)u = −
�
, ( 5,1)v = −
�
 e ( 12,6)w = −
�
 determinar 1 2 e k k de modo que 
1 2w k u k v= +
� ��
. 
 
8 – Considere u
�
, v
�
 e w
�
 vetores quaisquer. Demonstre ou argumente corretamente cada um 
dos resultados abaixo: 
a) ˆ ˆproj ( )
u
v v u u= ⋅�
� �
. 
b) proj ( ) proj proj
u u u
a b a b+ = +� � �
� �� �
. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 32
c) a desigualdade de Schwarz: u v u v⋅ ≤
� �� �
. 
d) a desigualdade triangular: u v u v+ ≤ +
� �� �
. 
e) a lei do paralelogramo: 
2 2 2 2
2 2u v u v u v+ + − = +
� � �� � �
. 
f) u v u v− ≤ +
� �� �
. 
g) 
2 22 2( )a b a b a b× = − ⋅
� � �� � �
 
h) Se a
�
 e b
�
 são ortogonais a u
�
 então +a b
��
 é ortogonal a u
�
. 
i) e a b
��
 são ortogonais se e somente se a b a b+ = −
� �� �
. 
j) Se u v
��
� então 0u v× =
���
. 
k) ( ) ( ) ( )u v w u w v u v w× × = ⋅ − ⋅
� � � � � �� � �
 
l) , , 0 , e u v w u v w  = ⇔  
� � � �� �
 são coplanares. 
m) , , 0a b c  =  
�� �
 se pelo menos dois dos vetores forem iguais. 
 
 
 
 
9 – Suponha que ( ) 2u v w⋅ × =
� ��
. Determine: 
a) ( )u v w× ⋅
� ��
 b) ( )u w v⋅ ×
� ��
 
c) ( )v u w⋅ ×
� ��
 d) ( )u v v× ⋅
� ��
 
 
10 – Determine v
�
, paralelo ao vetor (1, 1,2)u = −
�
 tal que 18v u⋅ = −
� �
. 
 
11 – Sejam dados , e a b c
�� �
 vetores unitários tais que o ângulo entre quaisquer deles é 45º. 
Calcule 2a b c+ −
�� �
. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 33
12 – Dados os pontos (2,3)A e (5, 4)B , determine um ponto C tal que (2,1)AC
����
� e 
AC AB=
���� ����
. 
 
13 – Dados os pontos ( 4, 3)A − e (2,1)B , encontrar as coordenadas do ponto P quando: 
a) P pertence ao eixo Oy e é eqüidistante de A e B ; 
b) P é eqüidistante de A e B e sua ordenada é o dobro da abcissa. 
 
14 – Sabendo que o ângulo entre os vetores (2,1, 1)u = −
�
 e (1, 1, 2)v λ= − +
�
 é dado por 
rad
3
π
, determine o valor de λ . 
 
15 – Determinar o valor de e m n para que o vetor (1,2 , )w m n=
�
 seja simultaneamente 
ortogonal aos vetores (2, 1, 0)u = −
�
 e (1, 3, 1)v = − −
�
. 
 
16 – Considere as forças E
�
 e B
�
 definidas por ( )( ) ,3 1,1E t t t= − −
�
 e ( )2( ) 2 ,1, 1B t t t= −
�
, onde 
0t ≥ , atuando numa região do espaço 3ℝ . Calcule o valor de t para que E
�
 e B
�
 sejam 
ortogonais. 
 
17 – Resolva os problemas: 
a) Determine z para que os vetores (2, 1, )u z= −
�
, (1, 0,2)v =
�
 e ( , 3, )w z z=
�
 sejam coplanares. 
b) Verifique se são coplanares os vetores: (3,1,2)u =
�
, (4, 1,0)v = −
�
 e (0, 1, 0)w = −
�
. 
 
18 – De um paralelogramo ABCD temos: (1,2, 3)A , (5,2, 3)B , (7, 3, 4)C , AB DM⊥
���� �����
 e 
1
3
DE DB=
���� ����
. Determine a área do triângulo MDE . 
 
19 – Calcule o volume do tetraedro que possui vértice nos pontos (1, 0, 0)A , (2,1, 1)B − , 
(0, 1,1)C − e (4,2,7)D . 
 
20 – Dados os pontos (0, 0,1)A , (2, 1,2)B − , (0,2,2)C e ( , 3 , 1)D t t t + que constituem os 
vértices de um tetraedro ABCD , determine t sabendo que o volume deste tetraedro é 
5
3
. 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 34
21 – Três vetores, , e A B C
� � �
 estão orientados como na figura. 
Sabe-se que 20A =
�
, =40B
�
 e 30C =
�
. 
Determine 
a) as componentes do vetor resultante (VR); 
b) módulo e direção de VR; 
(a direção pode ser dada pelo ângulo com a horizontal) 
 y
 x O
 
A
�
 
B
�
 
C
�
 45°
 45°
 
 
22 – A figura dá informações sobre dois vetores: u
�
 e v
�
. 
Ambos os vetores tem módulo 10 unidades e a sua soma 
vetorial é s
�
. Determine: 
a) as coordenadas x e y de s
�
; 
b) o módulo de s
�
; 
c) o ângulo que s
�
 faz com o eixo Ox . 
 x
 y
 30º
 105º
 
 
 
23 – Duas forças 1F
�
 e 2F
�
 com intensidadesde 10 N e 12 N 
respectivamente, atuam sobre um objeto localizado no 
ponto P (figura ao lado). Determine a força resultante F
�
 
que atua em P , determinando sua intensidade e direção 
(ângulo θ ). 
 
24 – Considere os vetores , eu v w
� ��
 representados na 
figura ao lado. Determine: 
 
a) a projeção ortogonal de v
�
 sobre w
�
; 
b) o ângulo formado entre os vetores e u v
��
; 
c) a área do triangulo determinado por ev w
� �
 . 
d) o volume do paralelepípedo determinado por 
, eu v w
� ��
 . 
 
 
25 – Determine a resultante das forças em cada item a seguir: 
(I) 1F 80kgf=
�
, 2F 150kgf=
�
 e 3F 180kgf=
�
. (II) 1F 120kgf=
�
, 2F 100kgf=
�
 e 3F 120kgf=
�
. 
w
�
v
�
u
�
 
3 
3 
4 
1 
1 
O 
Z 
Y 
X 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 35
 
1F
�
 
2F
�
 
3F
�
 x
 y
 30º
 45º
 
 
1F
�
 
2F
�
 
3F
�
 30º
 x
 y
 □
 
 
(III) (IV) 1T 100kgf=
�
, 2T 80kgf=
�
 e 3T 60kgf=
�
 e gF 40kgf=
�
. 
 
 
26 – Uma pessoa vende a hamburgers, b cachorros quentes e c sucos. Ela cobra $3, 00R por 
um hamburger, $2, 00R por cachorro quente e $1,00R por suco. Se ( , , )A a b c=
�
 e 
(3,2,1)P =
�
, o que significa o produto escalar A P⋅
� �
? 
 
27 – Dada a força constante ˆˆ ˆ10 18 6F i j k= + −
�
 move uma partícula ao longo de uma reta 
do ponto (2,3, 0)A ao ponto (4,9,15)B . Suponha que a distancia é medida em metros e a 
intensidade da força medida em Newtons. Determine o trabalho realizado por essa força. 
 
28 – Considere o conjunto de forças na figura ao 
lado. Determine o trabalho realizado pela força 
resultante dessas forças para deslocar (em 
metros), em linha reta, uma partícula que está na 
origem até o ponto (2, 3)Q − . Sabendo que 
1F 120N=
�
, 2F 100N=
�
 e 3F 120N=
�
. 
 
1F
�
 
2F
�
 
3F
�
 30º
 x
 y
 □
 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 36
Vetor torque. Seja uma força F
�
 atuante em uma partícula única, situada no ponto P , cuja 
posição relativamente à origem O do referencial inercial é dada pelo vetor r
�
 (veja figura). 
Esses dois vetores, r
�
 e F
�
, estão contidos num plano. 
O momento vetorial ou vetor torque τ
�
 atuante sobre a 
partícula em relação á origem O é definido em temos 
do produto vetorial de r
�
 e F
�
, isto é 
r Fτ ×=
���
. 
A unidade de torque pode ser o Newton-metro (N m⋅ ) 
ou libra-pé ( lb ft⋅ ), entre outras possibilidades. 
 
 
 
29 – Um parafuso é apertado aplicando uma força de 40N a 
0,25m por uma chave inglesa como mostra a figura. 
Determine a magnitude do torque em torno do centro do 
parafuso. 
 
30 – Suponha que uma força F
�
 com magnitude 
de 3 lb é aplicada ao conjunto alavanca-haste 
mostrado na figura ao lado. 
a) Determine as coordenadas da força F
�
 e do 
vetor r
�
 que liga a origem ao ponto onde F
�
 é 
aplicada; 
b) Determine o vetor torque de F
�
 em relação à 
origem. 
 
31 – A posição de uma partícula no plano xy , no tempo t é dada por ( ) , ( )t tx t e y t te= = . 
a) Escrever a função vetorial ( )( ) ( ), ( )f t x t y t=
�
 que descreve o movimento da partícula; 
b) Onde se encontrará a partícula em 0t = e em 2t = ? 
 
32 – Uma partícula se desloca no espaço. Em cada instante t o seu vetor posição é dado por 
1 ˆˆ ˆ( )
2
r t ti j k
t
= + +
−
�
. Determinar a posição da partícula no instante 0t = e 1t = ; 
 
 
PARTE I – VETORES, ALGEBRA VETORIAL E APLICAÇÕES – ERON 37
33 – Considere as aplicações vetoriais 2ˆ ˆ( )f t ti t j= +
�
 e ˆˆ ˆ( ) (sen ) (cos )g t ti t j t k= + +
�
, com 
0 2t π≤ ≤ . Calcular: 
a) (1) (0)f g+
� �
 b) ( 1) ( )f g π− ⋅
� �
 
c) (1) (2 )f g π×
� �
 d) 2 (1) (0)f g−
� �
 
 
34 – Calcule: 
a) 
3 2
22
4 4 ˆ ˆlim 
6t
t t t
i j
t t→−
 + + + 
− −  
 b) 
1
1 ˆˆ ˆlim ( 1) ( 1)
1t
t
i t j t k
t→
 − + − + + −  
 
 
35 – Seja 2 3ˆˆ ˆ( ) 2 3f t ti t j t k= + +
�
 e 2ˆˆ ˆ( ) 2 3g t ti j t k= + −
�
, 0t ≥ . Calcule: 
a) ( ) ( )
1
lim 
t
f t g t
→
 +  
� �
 b) ( ) ( )
1
lim 
t
f t g t
→
 ⋅  
� �
 
c) 
1
lim ( ) ( )
t
f t g t
→
 ×  
� �
 d) ( ) ( )
1
lim 1
t
t f t
→
 +  
�
 
 
 
 
PARTE II – RETA E PLANO NO ESPAÇO – ERON 1 
PARTE II – RETA E PLANO NO ESPAÇO 
 
 
 
 
 
 
Esta parte das notas é uma aplicação de vetores e servirá para fixar o conteúdo de vetores e 
ajudar na descrição analítica desses objetos geométricos, que seja, retas e planos. Na 
disciplina álgebra linear, os vetores, retas e planos serão exemplos “padrão” necessários para 
uma compreensão mais geométrica dos espaços vetoriais. 
 
Conteúdos 
§ Equações da reta: vetorial, paramétricas, simétricas e normal (reduzida) 
§ Interpretação física da equação vetorial de uma reta 
§ Plano: postulados e determinação 
§ Equações do plano: vetorial, paramétricas e geral 
§ Posições relativas entre retas e entre planos 
§ Posições relativas entre retas e planos 
§ Condição de ortogonalidade 
§ Ângulos 
§ Distâncias 
§ Exercícios de Aprendizagem 
 
 
 
PARTE II – RETA E PLANO NO ESPAÇO – ERON 2 
EQUAÇÕES DA RETA 
 
Equação vetorial da reta 
Definição. Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. 
Sejam v
�
 um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r . 
 
, , AX tv t X A tv t= ∈ ⇔ = + ∈
���� � �
ℝ ℝ . 
 v
�
 A
 X
 r
 
Exemplos 
a) Uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos ( 5,2, 3)A − e (4, 7, 6)B − − é dada por 
 ( , , ) ( 5,2, 3) (9, 9, 9), A A tAB x y z t t= + ⇒ = − + − − ∈
����
ℝ 
ou ainda, ( , , ) ( 5,2,3) (1, 1, 1), x y z t t= − + − − ∈ ℝ . 
 
b) As equações vetoriais dos eixos coordenados são 
 ˆX O ti= + , eixo das abscissas 
 ˆX O tj= + , eixo das ordenadas 
 ˆX O tk= + , eixo das cotas 
 
Interpretação física da equação vetorial de uma reta. Podemos interpretar a equação 
X A tv= +
�
 como o movimento descrito por um ponto sobre a reta r , com velocidade 
constante (vetorial) igual a v
�
, t indicando o tempo e A a posição no instante inicial 0t = . 
Valores negativos de t indicam o “passado” do movimento, em relação ao instante inicial. A 
cada valor de t temos uma posição bem determinada do ponto móvel e fazendo t percorrer 
todo o conjunto ℝ , a reta r é percorrida integralmente pelo ponto (r representa a trajetória 
do movimento). Como há muitos movimentos retilíneos uniformes com a mesma trajetória, 
fica fácil entender por que existem muitas equações vetoriais para a mesma reta. 
 
Equações paramétricas da reta. Seja { }1 2 3, , ,O e e e
� � �
 um sistema de coordenadas cartesianas no 
espaço. Consideremos em relação a este sistema: 
PARTE II – RETA E PLANO NO ESPAÇO – ERON 3 
( , , )X x y z um ponto genérico, ( )0 0 0, ,A x y z um ponto dado e ( , , )v a b c=
�
 um vetor diretor da 
reta r . 
Escrevendo a equação vetorial da reta em coordenadas, obtemos 
( )0 0 0( , , ) , , ( , , )x y z x y z t a b c= + 
ou seja, 
0
0
0
,
x x at
y y bt t
z z ct
 = + = + ∈
 = +
ℝ 
que é o sistema de equações paramétricas da reta r . 
 
 
Exemplo – As equações paramétricas do eixo coordenado y são 
0 0 0
0 1 ,
0 0 0
x t x
y t y t t
z t z
  = + ⋅ =   = + ⋅ ⇒ = ∈ 
  = + ⋅ =   