Apostila.Equaç.Dif.Civil

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Universidade do estado de minas gerais
Uemg
 
Campus de passos
Faculdade de engenharia
Equações diferenciais
Wagner Bernardes chagas
2015
PREFÁCIO
		A intenção, desta apostila, é oferecer um texto condensado e interessante para o tradicional curso de equações diferenciais elementares, em 40 horas, para os alunos, do 4º Período do Curso de Engenharia Civil do Campus de Passos, UEMG.
		O tratamento dado à matéria tem como objetivo proporcionar ao estudante um texto acessível e atraente.
		A apostila em cada módulo começa com a teoria das soluções de equações diferenciais e termina com exemplos de modelagem matemática de situações reais.
		O fato das equações diferenciais terem múltiplas e importantes aplicações que desempenharam um papel singular no desenvolvimento histórico do assunto, prefiro que os alunos aprendam primeiro a resolver equações diferenciais que envolvem as aplicações mais frequentes e de maior interesse.
		Assim, utilizei aplicações interessantes para motivar e ilustrar as técnicas padrões elementares da solução de equações diferenciais.
		Ao mesmo tempo que dei a devida consideração às aplicações ao mundo real, também achei que um primeiro curso de equações diferenciais deve ser uma abertura para o mundo da matemática. Neste caso, não é factível nem desejável incluir demonstrações dos teoremas fundamentais de existência e unicidade ao longo de um curso elementar.
		A lista de tópicos introdutórios em equações diferenciais é bastante padronizada, e um olhar nos títulos dos módulos não revelará maiores surpresas.
		Embora, em muitos casos, o enfoque reflete o uso disseminado de programas para a solução numérica de equações diferenciais, continuo acreditando que é importante o estudante aprender os tradicionais métodos analíticos elementares. Uma das razões é que o uso efetivo e confiável de métodos numéricos, freqüentemente exige análise preliminar que emprega técnicas padrões elementares; a construção de um modelo numérico realista com frequência se baseia no estudo de um modelo analítico mais simples.
		A apostila naturalmente trata das equações de primeira ordem: com equações separáveis, equações homogêneas, equações exatas, equações lineares e equações de Bernoulli. Também de equações de segunda ordem dos tipos:
		d2y = f(x) e d2y + P . dy + Q . y = R (x) onde P e Q
 dx2 dx2 dx
		são constantes e R (x) é uma função de x.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 
PRIMEIRA ORDEM
MÓDULOS
I	-	Introdução
II	-	Equações de Variáveis Separáveis
III	-	Equações Homogêneas
IV	-	Equações Exatas
V	-	Equações Lineares
VI	-	Equações Redutíveis a Lineares (Bernoulli)
VII	-	Aplicações
VIII	-	Avaliação
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE
SEGUNDA ORDEM
		
IX	-	d2y = f (x)
 dx2
X	-	d2y + P . dy + Q . y = R (x)
 dx2 dx
XI	-	Aplicações
XII	-	Avaliação
MÓDULO I
INTRODUÇÃO
		As Leis do universo estão em grande parte escritas em linguagem matemática. A álgebra é suficiente para resolver muitos problemas estáticos mas os fenômenos naturais mais interessantes envolvem mudança, e são melhor descritos por equações que relacionam quantidades variáveis.
		Como a derivada dy = f ’(t) da função f pode ser vista como a taxa 
 dt
na qual a quantidade y = f (t) varia em relação à variável independente t, é natural que equações envolvendo derivadas sejam freqüentemente usadas para descrever o universo em mudança. Uma equação que envolve uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas é chamada uma equação diferencial.
Equação Diferencial: é aquela que encerra derivadas ou diferenciais.
1) -	dy = x + 3
 dx
2) - 	d2y + 2 dy - 3y = 0
	dx2 dx
3) -	xy ’ + y = 4
4) -	(y ’’’)3 + 3 (y’’)4 + y’ == Sen x
5) -	 d2 y ] 2 + dy ] 3 + 2y = x3 
 dx2 dx
6) -	y’’’ + xy ’’ + 2 y ’ + xy = 0
7) -	y ’’ + 3y ’ + y2 = 0
8) -	z = z + x z
 x y
						
9) -	2 z + 2 z = x2 + y
 x2 y2
		Havendo uma só variável independente, as derivadas são ordinárias e a equação é denominada equação diferencial ordinária. Exemplos: de 1 a 7.
		Havendo duas ou mais variáveis independentes, as derivadas são parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. Exemplos: 8 e 9.
		Obs: Só estudaremos equações diferenciais ordinárias.
		A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece.
		Exemplos: 1, 3 e 8 são de primeira ordem. 
			 2, 5, 7 e 9 são de segunda ordem.
			 4 e 6 são de terceira ordem.
		O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando as derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece.
		Exemplo: 1, 2, 3, 6, 7, 8 e 9 são do primeiro grau
			 5 é do segundo grau
			 4 é do terceiro grau
		Uma equação diferencial será linear, quando y e suas derivadas (mas não x), estiverem somando e elevados ao grau 1, isto é, na forma:
		f1 (x) . y ’’’ + f2 (x) . y ’’ + f3 (x) . y ’ + f4 (x) . y = g (x)
		Exemplos: 1, 2, 3 e 6 são lineares
			 4, 5 e 7 não são lineares.
		Dar a ordem o grau e a linearidade das equações.
	Equações Diferenciais
	Ordem
	Grau
	Linear
	y ’ + y = 0
	
	
	
	y ’ + y2 = 0
	
	
	
	(y’)2 + y2 = 1
	
	
	
	x2y’’ + 5xy’ + 4y = 0
	
	
	
	y’’’ + xy’’ + 2y.y’ + xy = 0
	
	
	
	(y’’’)2 + (y’’)4 + xy = 0
	
	
	
		Solução de uma equação diferencial.
		O problema nas equações diferenciais elementares é a descoberta da primitiva que deu origem à equação.
		Diz-se que uma função y = f(x) é solução de uma equação diferencial se ela satisfaz esta equação.
		Exemplo: Mostre que:
a) y = c1 ex + c2 x	 b) y = 3ex	 e c) y = 2x	
onde c1 e c2 são constantes, são soluções da equação diferencial 
			(1 - x) . y’’ + x . y’ - y = 0		
a) Derive y = c1 ex + c2 x duas vezes para obter y’ = c1 ex + c2 e y’’ = c1 ex. Substitua na equação diferencial para verificar a identidade 
		(1 - x) . c1 ex + x . (c1 ex + c2) - (c1 ex + c2 ex ) = 0
b) Derive y = 3ex duas vezes para obter y’ = 3ex e y’’ = 3ex. Substitua na equação para verificar a identidade (1 - x) . 3ex + x . 3ex - 3ex = 0
c) Derive y = 2x duas vezes para obter y’ = 2 e y’’ = 0. Substitua na equação para verificar a identidade (1 - x) . 0 + x . 2 - 2x = 0
		A solução a) é a solução geral da equação diferencial porque ela satisfaz a equação e contém o número próprio de constantes arbitrárias essenciais.
		As soluções b) e c) são chamadas soluções particulares porque podem ser obtidas designando valores particulares para as constantes arbitrárias da solução geral.
		No caso b) c1 = 3 e c2 = 0
		No caso c) c1 = 0 e c2 = 2
		Exercícios
		Mostrar que cada uma das expressões seguintes é solução particular ou solução geral da equação diferencial.
1) y = 2x2			xy’ = 2y
2) x2 + y2 = c		yy’ + x = 0
3) y = xex + ex		y’’ - 2y’ + y = 0
4) y = c1 ex + c2 e-x y’’ - y = 0		
 
MÓDULO II
EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS.
		As variáveis da equação P (x , y) dx + Q (x , y) dy = 0 são separáveis se admite a forma:
		f1 (x) . h2 (y) dx + f2 (x) . h1 (y) dy = 0 que reduz a:
		f1 (x) dx + h1 (y) dy = 0 da qual a primitiva pode ser obtida por inte-
 f2 (x) h2 (y)
gração.
		 f1 (x) dx + h1 (y) dy = c 
 f2 (x)h2 (y)
Ex. 1 - 	x2 . y3dx + x . y5 dy = 0		x2 . y3dx = - x . y5dy 
		x2 dx = - y5 dy		xdx = - y2dy	
	 x y3
		xdx + y2dy = 0	 xdx + y2dy = c
		 x2 + y3 = c	Solução Geral	
		 2 3
Ex. 2 - 	Sen2x . cosy dx + senx cos2y dy = 0
		Sen2x . cos y dx = - senx cos2y dy
		Sen2x dx = - cos2y dy	 	sen xdx = - cos ydy 
 Senx cosy
		 Senx dx + cosy dy = 0
	 Senx dx + cosy dy = c
		- cosx + senx = c	Solução Geral
Ex. 3 -	x2 . y2 dx + x3 . y dy = 0
		x2 dx + y dy = 0
		x3 y2
	 1 dx + 1 dy = 0 dx + dy = c 
 x y x y
		n x + n y = c	 	n x + n y = nc’ 
		n xy = n c’ 	xy = c’	como c’ = constante
		 xy = c .		Solução Geral
Ex. 4 - 	Achar a solução particular de (1 + x3 )dy - 3x2 ydx = 0 
		Satisfazendo a condição inicial y = 4 quando x = 1.
		(1 + x3)dy - 3x2 ydx = 0		dy - 3x2 dx = 0
 y 1+x3
		 dy - 3x2 dx = c		ny - n 1 + x3 = c 
	 y 1 + x3
		 ny - n 1 + x3 = n c n y = n 1 + x 3+ n c
	 n y = n (1 + x3) c y = c (1 + x3) Solução Geral
		Substituindo x = 1 e y = 4 temos:
		4 = c (1 + 13) 	4 = 2c 	 c = 2 
		a solução particular procurada é:
		y = 2 (1 + x3 ).
Exercícios.
Resolver as equações diferenciais.	
1) (1 + y)dx - (1 + x)dy = 0	
2) y2 dx - x2dy = 0
3) ex . tg y dx + (5 + ex ) se c2 y dy = 0
4) (1 + y2 ) dx + x2 dy = 0
5) dx = ex cos y
 dy
MÓDULO III
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS HOMOGÊNEAS
	Equações Homogêneas: Uma função f (x , y) é homogênea do grau n se
				f (x , y) = n f (x , y)
Ex. a)		f (x , y) = x3 - x y2 é homogênea do 3º grau porque
		f (x , y) = (x)3 - ( x) ( y)2 = 3 x3 - 3 xy2 = 3 (x3 - xy2)
		f ( x , y ) = 3 (x3 - xy2 )	 	 f (x , y ) = 3f (x , y)
 f(x ,y) 
 b)		f (x , y) = ex/y + tg x é homogênea do grau zero porque, 
 x 				,,,
f (x , y) = e y + tg x = ex/y + tg x = º. f (x , y ) 
 y y
 
 c)	f (x , y) = x2 + senx cosy não é homogênea porque,
			f (x, y) = 2 x2 + sen (x) cos (y)
			A equação diferencial M (x, y)dx + N (x , y)dy = 0 é homogênea se M (x , y) e N (x , y) são homogêneas e do mesmo grau.
Ex. a)		(x2y + 2y3)dx + (x3 - 3xy2)dy = 0
			M(x , y) = x2 y + 2y3
M (x,y) = 2x2 y + 23 y3 =3 x2 y + 23 y3 = 3 (x2y + 2y3) = 3 M(x , y)
			N (x , y) = x3 - 3xy2
		N (x,y) = 3 x3 - 3 x 2 y2 = 3 (x3-3xy2) = 3 f(x,y) = 3N(x,y)
			Como M (x , y) e N (x , y) são homogêneas de mesmo grau a equação diferencial é homogênea.
 b) 		(x2 + y2)dx + (x3 - y3 )dy = 0		
		M (x , y) = x2 + y2
		M(x, y) = 2 x2 + 2 y2 = 2 (x2 + y2) = 2 M(x,y) Hom.2º grau
		N (x , y) = x3 - y3
		N(x,y) = 3x3 - 3 y3 = 3 (x3 - y3) = 3 N(x,y) Hom. 3º grau
a equação diferencial não é homogênea.
 c)		(x + 3y)dx + (2x - y2)dy = 0
		M (x , y) = x + 3y
		M (x,y) = x + 3 y = (x +3y) = 1 . M(x , y) Hom. 1º grau.
		N (x , y) = 2x - y2 
		N (x , y) = 2 x - 2y2 = (2x - y2) Não é homogênea.
		a equação diferencial não é homogênea.
		A transformação
					 y = vx
					 dy = vdx + xdv	
		reduzirá qualquer equação homogênea à forma
			P (x , v)dx + Q (x , v)dv = 0
		em que as variáveis são separáveis. Depois da integração, retornamos às variáveis de origem substituindo v = y .
 x
Ex. a)		(x2 + y2 )dx - xy dy = 0 A equação é homogênea do 2º grau.
 
		Substituindo y = vx
					 dy = vdx + xdv 	
		(x2 + v2 x2) dx - xv x (vdx + xdv) = 0
		x2 dx + v2 x2 dx - v2 x2 dx - vx3 dv = 0
		x2 dx - v x3 dv = 0 	Equação de variáveis separáveis
		x2 dx - vdv = 0	 	 dx - v d v = c	 
		 x3 x
		n x - v2 = c como v = y temos			 	
 2 x
		n x - y2 = c 
	 2x2
 
 b) 	(x3 + y3 )dx - 3xy2 dy = 0 Equação homogênea do 3º grau
		 y = vx
		 dy = vdx + xdv
		(x3 + v3 x 3)dx - 3x v2 x2 (vdx + xdv) = 0
		x3dx + v3 x3dx - 3v3 x3dx - 3v2 x4 dv = 0
		x3dx - 2v3x3dx - 3v2 x4dv = 0
		(1-2v3)x3dx - 3v2 x4dv = 0
		x3 dx - 3v2dv = 0
 x4 1- 2v3
		
		dx + 1 . (-6v2dv) = 0	 dx + 1 - 6v2dv = c 
 x 2 1 - 2v3 x 2 1 - 2v3 
		n x + 1 n 1 - 2v3 = n c
 2
		n x + n (1 - 2v3) 1/2 = n c
		n [ x (1 - 2v3 ) 1/2] = n c
		x 1 - 2v3 ½ = c 		 x 1 - 2 y3 ½ = c 
 x3
		x x3 - 2y3 = c x3 - 2y3 = c 
 x3 x
 2
		 x3 - 2y3 = c2 x3 - 2y3 = c x3 - 2y3 = cx	
 x x
 c)	(1 + 2ey/x ) dy + 2ey/x (1 - y ) dx = 0 Homogênea do grau zero
		 x 
		y = vx
		dy = vdx + xdv
		(1 + 2e vx/x ) (vd x + xdv) + 2e vx/x(1 - vx )dx = 0
			 			 x
		vdx + xdv + 2v evdx + 2ev xdv + 2ev dx - 2v evdx = 0
		(v + 2ev)dx + (1 + 2ev)xdv = 0
		dx + (1 + 2ev)dv = 0
 x v + 2ev 
	 dx + (1 + 2ev) dv = c
 x v + 2ev 
		nx + n v + 2e v = n c
		n [ x (v + 2e v)] = n c
		x (v + 2e v ) = c
		x [ y + 2e y/x] = c y + 2xey/x = c
		 x
 d)	 xdy - (y + x2 - y2 ) dx = 0	 Homogênea do 1º grau		
		y = vx
		dy = vdx + xdv
		x (vdx + xdv ) - (vx + x2 - v2 x2 ) dx = 0
		vxdx + x2dv - vxdx - x2 (1 - v2) dx = 0
		x2 dv - x 1 - v2 dx = 0
	 dv___ - xdx = 0
 1 - v2 x2 
	 ___dv__ - dx = c
 1 - v2 x
		arc sen v - n x = c
		arc sen y - nx = c
			 x
		arc sen y = n x + n c
 x
		arc sen y = n (cx)
 x
Exercícios
Resolver as Equações Diferenciais
1) (x sen y - y cos y ) dx + x cos y dy = 0
 x x x
2) (4x - 3y) dx + (2y - 3x) dy = 0
3) (3x2 - y2) dy - 3xy dx = 0
4) (y + xcy/x) dx - xdy = 0
5) (xy cos y + y2 sen y ) dx + (x2 cos y - xy sen y ) dy = 0
 x x x x
 
		
Módulo IV
Equações Diferenciais Exatas
A condição necessária e suficiente para que M (x , y) dx + N (x , y) dy = 0
	Seja uma equação diferencial exata é que:
			 M = Ny x
Exemplos:
	a) (x2 - y) dx + (y2 - x) dy = 0 é exata.
		porque: M = -1 e N = -1 M = N
 y x y x
	b) (y3 - 2x) dx + (x3 - 2y) dy = 0 não é exata
		porque: M = 3y2 e N = 3x2 M N
 y x y x
Se M (x , y) dx + N (x , y) dy = 0 é a diferencial exata da equação
			F (x , y) = c, então
	dF = F dx + F dy = M (x , y) dx + N (x , y) dy
 x y
	 F dx = M (x , y) dx e F dy = N (x , y) dy
 x y
 F = M (x , y) e F = N (x , y)
 x y
	 
F = x M (x , y) dx + f (y) F = x M (x , y) dx + f ’ (y) = N (x , y)
	 y y
que dá f ’ (y) e assim f (y ) pode ser determinado.
Ex.1 . (4x3 y3 - 2xy) dx + (3x4 y2 - x2)dy = 0 M = 12x3 y2 - 2x = N
 y x
	 F = 4x3 y3 - 2xy			 F = 3x4 y2 - x2
 x y 
	
	F = x4 y3 - x2 y + f (y) F = 3x4y2 - x2 + f ’(y)
 y
	igualando 3x4 y2 - x2 = 3x4 y2 - x2 + f ’(y) f ’(y) = 0 f (y) = c 
	F (x , y) = x4 y3 - x2 y + c
		x4 y3 - x2 y = c
Ex.2 . (2x3 +3y) dx + (3x + y - 1) dy = 0 M = 3 = N
 y x 	
	 F = 2x3 + 3y					 F = 3x + y - 1
 x y
	
	F = 2 x4 + 3 yx + f (y) F = 3x + f ’(y)
 4 y
	igualando 3x + f ’ (y) = 3x + y - 1
		 f ’	(y) = y - 1 f (y) = y2 - y
							 2
	F (x , y) = x4 + 3xy + y2 - y x4 + 3xy + y2 - y 	 2 2 2 2
Ex. 3 . (cos y + y cos x) dx + (senx - xsen y) dy = 0
	 M = - sen y + cos x = N
 y x
	 F = cos y + y cos x F = sen x - x sen y
 x y
	
	F = x cos y + y sen x + f (y) F = - x sen y + sen x + f ’ (y)
	 				 y
	igualando - x sen y + sen x + f ’ (y) = sen x - x sen y
	f ’(y) = 0 f (y) = c x cos y + y sen x = c
Ex. 4 . (6xy - y3 )dx + (4y + 3x2 - 3xy2)dy = 0
	 M = 6x - 3y2 = N
 y x
	 F = 6xy - y3 F = 4y + 3x2 - 3xy2
 x y
							
	 F = 6xy - y3 + f ’(x) F = 4 y2 + 3x2 y - 3x y3 + f (x)
 x 2 3
igualando 6xy - y3 + f ’ (x) = 6xy - y3 f ’ (x) = 0 f (x) = c 
				2y2 + 3x2 y - xy 3 = c
Exercícios
1)	y3 dx + 3xy2 dy = 0
2)	(2x + 3y) dx + (3x + 2y) dy = 0
3)	(4x - y) dx + (6y - x) dy = 0
4)	(3x2 + 2y2) dx + (4xy + 6y2) dy = 0
5)	(2xy2 + 3x2) dx + (2x 2y + 4y 3) dy = 0
Módulo V
Equações Diferenciais Lineares
	As equações lineares, são de grande importância pelas suas aplicações na física, química, biologia, etc.
	A equação dy + f (x) . y = g (x) é linear em y.
 dx
Ex. dy + 5 x2 y = cos x é linear em y.
 dx
 dy + 5x2 y2 = cos x não é linear em y.	
 dx
Como d y . e f (x) dx = dy . e f (x) dx + y . e f (x) dx . f (x)	
 dx dx
	 d y . e f (x) dx = e f (x) dx dy + f (x) . y 
 dx dx 
	 
 g (x)
 	 d y . e f (x) dx = g (x) . e f (x) dx 
 dx
integrando: y . e f (x) dx = g (x) . e f (x) dx . dx + c
onde e f (x) dx é um fator de integração da equação linear.
Ex. 1 . dy + 2xy = 4x
 dx
	 f (x) = + 2x
	 g (x) = 4x
					Substituindo na Fórmula
y . e + 2xdx = 4x . e + 2xdx . dx + c
y . e+x2 = 4x . e x2 . dx + c
y . e x2 = 2 e x2 . 2xdx + c
y . e x2 = 2 . e x2 + c
y = 2 + c y = 2 + ce- x2
 e x2 
		 
e x2 . 2x dx
 u = x2
 du = 2x dx
 eu du = eu + c = e x2 + c
Ex. 2 . dy - 3y = e2x linear em y.
 dx
	f (x) = -3 achar e f (x) dx = e -3 dx = e- 3x
	g (x) = e2x
	Substituindo na fórmula:
	y . e- 3x = e2x . e - 3x dx + c
	y . e- 3x = e-x dx + c dado: eax dx = eax + c
								 a
	y . e - 3x = - e - x + c
	y = - e- x + c
 e- 3x e - 3x
	y = - e2x + ce+ 3x
Ex. 3 . dy + 1 . y = x 2 + 3x - 2
 dx x
	f (x) = 1 e 1/x dx = enx = x
 x
	g (x) = x2 + 3x - 2
	y . x = (x2 + 3x - 2) x dx + c
	y . x = (x3 +3x 2 - 2x) dx + c
	y . x = x4 + 3 x3 - 2 x2 + c
 4 3 2
	y = x 3 + x2 - x + c ,
 4 x
PROVA
	Seja e nA = B
	n enA = n B
	n A . n e = n B
 1
	n A = n B
	 A = B	 e nA = A
Ex. 4 . dy + 1 y = 1 .
 dx x +3 x
	f (x) = 1 e 1/x + 3 dx = en | x + 3 | = x + 3 
 x + 3
	g (x) = 1 .
	 x
	y . (x + 3) = 1 . (x + 3) dx + c 
 x
	y . (x + 3) = (1 + 3 ) dx + c
 x
	y . (x + 3) = x + 3 nx + c
	y = 1 (x + 3 nx + c)
 x + 3
Exercícios
	1) dy - 1 . y = 2 (x - 2) 2
 dx x - 2
	2) dy + 2 xy = 2x e- x2
 dx
	3) dy + cotg x . y = 5 ecos x 
 dx
	4) dy + 2xy = 2x
 dx
	5) dy + 4y = e4x 
 dx
 
Módulo VI
Equações Redutíveis a Lineares (Bernoulli)
	Uma equação da forma dy + f (x) . y = yn . g (x) yn
 dx
	resulta 1 . dy + f (x) . __1__ = g (x) ()
 yn dx y n - 1 
	fazendo a transformação:
	v = 1 = y- n + 1
 y n - 1dv = (- n + 1) y- n . dy 1 . dv = 1 . dy
 dx dx (- n + 1) dx yn dx
						 Substituindo em ( )
 1 . dv + f (x) . v = g (x)
	(- n + 1) dx
	dv + (- n + 1) . v = (- n + 1) . g (x) que é linear em v.
 dx	
Ex. l . dy + 2 xy = xy4 y4
 dx
 1 dy + 2x . 1 = x			fazendo a transformação:
 y4 dx y3
 v = 1 = y- 3
 y3 
 dv = - 3 y- 4 . dy - 1 dv = 1 dy
 dx dx 3 dx y4 dx
	- 1 dv + 2x . v = x
 3 dx
	dv - 6xv = - 3x linear em v. 
 dx
	f (x) = - 6x e -6 x dx = e- 3 x2 
		
	g (x) = - 3x
	v . e- 3 x2 = - 3 x . e- 3 x2. dx + c
	v . e- 3 x2 = 1 e - 3 x2 (- 6 x dx) + c
 2
	v . e- 3 x2 = 1 . e- 3 x2 + c
 2
	v = 1 + c e3 x2 1 = 1 + c e3 x2 
	 2 y3 2
	Ex . 2. dy + 1 . y = x . y- 3 y- 3
dx x
 1 . dy + 1 . 1 = x
 y-3 dx x y - 4
	
		v = 1 = y4
 y - 4
	 dv = 4 y3 . dy 1 dv = 1 dy 
 dx dx 4 dx y- 3 dx 
	1 dv + 1 . v = x
 4 dx x
	dv + 4 . v = 4x linear em v.
 dx x
	f (x) = 4 e 4/x dx = e4 n x = en x 4 = x4
 x
	g (x) = 4x
	v . x4 = 4x . x 4 . dx + c
	v . x4 = 4 x5 dx + c
	v . x4 = 4 x6 + c
 6
	v = 2 . x2 + cx- 4
	 3
	y4 = 2 . x2 + cx- 4
 3
Ex. 3 . dy - 2 . y = 1 . y4 y4
 dx x x2
	 1 . dy - 2 . 1 = 1 .
	 y4 dx x y3 x2
	v = 1 = y-3
 y3
	dv = - 3 y- 4 . dy - 1 dv = 1 . dy
 dx dx 3 dx y4 dx
	- 1 dv - 2 . v = 1 .
 3 dx x x2 
	dv + 6 . v = - 3 linear em v.
 dx x x2 
	f (x) = 6 e 6/x dx = e6  nx = e nx6 = x6
 x
	g (x) = - 3 .
		 x2	 
	v . x6 = - 3 . x6 . dx + c
 x2
	v . x6 = - 3 x4 dx + c
	v . x6 = - 3 . x5 + c
 5
	v = - 3 + c ,,,,,,,,,,,,,,,
 5x x6 
	 1 = - 3 + c .
 y3 5x x6 
	
Ex. 4 . dy + 6 y = 3 x y4/3 y4/3 
 dx x
	 1 . dy + 6 . 1 = 3x
 y4/3 dx x y1/3
 v = 1 = y- 1/3
	y1/3
 	dv = - 1 y -4/3. dy - 3 dv = 1 . dy
 dx 3 dx dx y4/3 dx
	- 3 dv + 6 . v = 3x
 dx x
	dv - 2 . v = - x linear em v.
 dx x
	f (x) = - 2 e -2/x dx = e- 2nx = e nx - 2 = x- 2 = 1
 x x2
	g (x) = - x
	v . 1 = - x . 1 dx + c
 x2 x2 
	v . 1 = - dx + c
 x2 x
	v . 1 = - nx + c
 x2 
	v = - x2 nx + cx2
	 1 = cx2 - x2 nx
 y1/3 
	
Exercícios
1) dy + 2x y = - xy2
 dx
2) dy + y = ex . y2
 dx
3) dy - x y = x y - 1
 dx
4) dy - 1 . y = y5
 dx 2x
5) x dy + y = x3 y6
 dx
Módulo VII
Aplicações das Equações Diferenciais de 1ª ordem.
1) Sabendo que a população de uma cidade dobra em 30 anos, em quantos anos será ela o triplo, sabendo que a razão de crescimento é proporcional ao número de habitantes?
Seja P a população da cidade aos t anos
Seja Po a população no tempo t = 0
dP P dP = KP K = cte (fator de proporcionalidade)
dt dt
1ª Solução: Achar o modelo matemático do crescimento desta população.
dP = KP dP = Kd t dP = K dt + c 
dt P P
n P = K t + c
P = eKt + c
P = ec . eKt
P = c . eKt pois e c = cte.
usando a condição inicial: quando t = 0 P = Po
Po = c . eK . 0
Po = c 	 P = Po . e Kt 
quando t = 30 P = 2 Po
2 Po = Po . eK . 30 
2 = e30 K
n 2 = n e30 K 
n 2 = 30 K ne
n 2 = 30 K K = n 2 = 0,02310
 30
P = Po . e0,02310 . t
quando t = ? P = 3 Po
3 Po = Po . e0,02310 . t 
3 = e0,02310 . t 
n 3 = n e0,02310 . t 
n 3 = 0,02310 . t . n e
1,0986123 = 0,02310 . t t = 47,5 anos. 
2ª Solução: usando integral definida.
	integrando entre os limites: t = o P = Po
					 t = 30 P = 2 Po
 2Po 30
dP = Kdt dP =K dt 
 P P
 Po 0
 2Po 30
n P = Kt n 2 Po - n Po = 30 K 
 Po 0
					 n 2 Po = 30 K
 Po
					 n 2 = 30 K K = n 2 = 0,02310			 					 30
integrando entre os limites t = 0 P = Po	
					 t = t P = 3 Po	
 3 Po t 3 Po t
 	 dP = 0,02310 dt n P = 0,02310 t 
 P 
 Po o Po o
	n 3 Po - n Po = 0,02310 t
	n 3 Po = 0,02310 t t = n 3
 Po 0,02310 
					t = 47,5 anos 
2 - De acordo com a Lei de Arrefecimento de Newton, a taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre a temperatura da substância e a do ar. Sendo a temperatura do ar 25º e resfriando a substância de 90º para 60º em 10 minutos, achar o tempo em que a temperatura será 30º.
Seja a temperatura da substância no tempo t minutos
Então d - 25 d = K ( - 25)
 dt dt
 	 d = K d t integrando entre os limites
 -25
					t = 0	 	 = 90
					t = 10 	 = 60
60 10 60 10
 d = K d t n - 25 = K t 
90 -25 0 90 0
 
n 35 - n 65 = 10 Kn 35 = 10 K K = - 0,06190
 65
integrando entre os limites:		t = 0 = 90
						t = t = 30
 30 t 30 t
 d = K dt n [ - 25 ] = - 0,06190 t ] 
 90 -25 0 90 0
n 5 - n 65 = - 0,06190 t n 5 = - 0,06190 t
 65
							 
						 t = 41,4 minutos. 
3 - Um barco está sendo rebocado a uma velocidade de 8 m/s. No instante em que o cabo de reboque é largado (t = 0), um homem no barco começa a remar, no sentido do movimento, exercendo uma força de 12 N. Sabendo que o peso do homem e o barco é de 200 N e que a resistência ao deslocamento, em N é de 2,8 v, sendo v a velocidade em m/s, achar a velocidade do barco no fim de 20 segundos. (Dado g = 10 m/s2)
				FR = m . a 
massa x aceleração = força resultante = força impulsora - resistência
200 x dv = 12 - 2,8 v dv = 0,6 - 0,14 v
 10 dt dt
dv + 0,14 v = 0,6 linear
dt
	v . e 0,14 dt = 0,6 . e 0,14 dt . dt + c
	v . e 0,14 t = 0,6 e 0,14 t . dt + c
	v . e 0,14 t = 0,6 . e 0,14 t + c
 0,14 
	v . e 0,14 t = 4,28 e 0,14 t + c v = 4,28 + c e - 0,14 t 
	quando t = 0 v = 8
	8 = 4,28 + c . e o c = 3,72
	v = 4,28 + 3,72 e - 0,14 t equação do movimento
	quando t = 20 v = ?
	v = 4,28 + 3,72 . e - 0,14 x 20 
	v = 4,28 + 0,22 v = 4,50 m/s 
4 - Um paraquedista está submetido a uma velocidade de 80 m/s no momento em que o paraquedas se abre. Sabendo que a resistência do ar é P v2 . N, onde 
 30
P é o peso total do paraquedista mais o paraquedas, em N, achar:
	a) Sua velocidade em função do tempo t depois do paraquedas aberto. (Dado g = 10 m/s2 ).
	b) Sua velocidade depois de 3 segundos.
massa x aceleração = peso do conjunto - resistência do ar
P . dv = P - Pv2 P . dv = P - P v2 
g dt 30 10 dt 30 
 P . dv = 30 P - P v2 dv = 30 - v2
10 dt 30 dt 3
dv = - (v2 - 30) separável dv = - dt
dt 3 v2 - 30 3
 v t 
a) dv = - dt usando a fórmula du = 1 n u - a +c 
 80 v2-30 0 3 u2 - a2 2 a u + a
									 
	 v t v
 1 n v - 30 = - t 1 n v - 30 - n 80 - 30 = - t .
2 30 v + 30 3 2 30 v + 30 80 + 30 3
 80 0 80
n v - 30 - n 0,87 = - 3,65 t 
 v+ 30
 v - 30 v- 30
 n v+ 30 = - 3,65 t v + 30 = e - 3,65 t
 0,87 0,87 
v - 30 = 0,87 e - 3,65 t v - 30 = 0,87 e - 3,65 t . v + 0,87 30 e - 3,65 t 
v + 30 
v - 0,87 e - 3,65 t . v = 30 + 0,87 30 e - 3,65 t 
v(1 - 0,87e - 3,65 t ) = 30 (1 + 0,87 e - 3,65 t ) v = 30 (1 + 0,87 e- 3,65 t )
 								 1 - 0,87 e - 3,65 t 
b) v = ? quando t = 3
 v = 30 (1 + 0,87 e- 3,65 . 3)
 1 - 0,87 e - 3,65 . 3 
 v = 30 (1 + 0,000015 ) = 5,477 = 5,47
 1 - 0,000015 0,9999
 v = 5,47 m/s 
Módulo VIII
Avaliação
Módulo IX
Equações Diferenciais de Segunda Ordem
	Equações do tipo: d2 y = f (x)
 dx2 
Ex. 1 . d2 y = x2 + 2x + 1 d dy = x2 + 2x + 1 integrando
 dx2 dx dx 
 
 dy = (x2 + 2x + 1) dx + c1
 dx
 dy = x 3 + 2 x2 + x + c1 integrando novamente
 dx 3 2
 y = ( x3 + x2 + x + c1 ) dx + c2
 3
 y = x4 + x 3 + x2 + c1 x + c2 
 12 3 2 
Ex. 2 . d2 y = x + cos x
 dx2 
 dy = x2 + sen x + c1
 dx 2
 y = x3 - cos x + c1 x + c2
 6 
Ex. 3 . d2 y = x ex
 dx2 
 dy = x ex - ex + c1
 dx
 y = x ex - ex - ex + c1 x + c2 
 y = x ex - 2 ex + c1 x + c2
 
 udv = uv - v du
 x ex dx = x ex - ex dx = x ex - ex 
 u = x du = dx
 dv = ex dx v = ex
Exercícios
1) d2y = 3x2 + x + 4
 dx2 
2) e3x . d2 y = 5 (e5x + 2)
 dx2 
3) d2y = x - cos 2 x
 dx2 
4) x . d2 y = x - x2
 dx2 
Módulo X
	Equações do tipo: d2y + P1 . dy + P2 . y = Q (x) onde
 dx2 dx
	P1 e P2 são constantes e Q (x) é uma função apenas de x.
Temos dois casos:
1º caso: Se Q (x) = 0 a equação d2y + P1 dy + P2 . y = 0
 dx 2 dx
	é Homogênea.
	Se m2 + P1. m + P2 = 0 tiver raízes distintas, isto é, m1 m2, então a solução y = c1 em1x + c2 e m2x 
	Será a solução geral da equação d2 y + P1 dy + P2 y = 0.
 dx2 dx
	Se as raízes forem iguais, isto é; m1 = m2 = m, então a 
 y = c1 emx + c2 x emx será a solução geral.
Ex. 1 . d2 y - dy - 6y = 0
 dx2 dx
	 m2 - m - 6 = 0
	 m1 = - 2
					então y = c1 e- 2x + c2 e 3x 
	 m2 = 3	
Ex. 2 . d2 y + dy - 12 y = 0
 dx2 dx
 m2 + m - 12 = 0
 m1 = 3
				 então y = c1 e3x + c2 e- 4x
 m2 = -4
Ex. 3 . d2 y + 4 dy = 0
 dx2 dx
 m2 + 4 m = 0
 m1 = 0
				 então y = c1 e 0x + c2 e- 4x
 m2 = -4
					 y = c1 + c2 e - 4x 
Ex. 4 . d2 y - 4 dy + 13 y = 0
 dx2 dx
 m2 - 4 m + 13 = 0
 m = 4 16 - 52 
		 2
 m = 4 - 36 
 2
 m = 4 36 (-1) 
 2
 m = 4 6 - 1 como i = - 1 
 2m = 4 6 i
 2
 m1 = 2 + 3 i
				 então y = c1 e (2 + 3i) x + c2 e (2 - 3i) x 
 m2 = 2 - 3 i
 usando as relações: e iax = cos ax + i sen ax
 e - iax = cos ax - i sen ax
 
 y = c1 e 2x . e 3ix + c2 e 2x . e - 3ix 
 y = e 2x [ c1 e 3ix + c2 e- 3ix ]
 y = e 2x [ c1 (cos 3x + i sen 3x) + c2 (cos 3x - i sen 3x) ]
 y = e 2x [ c1 cos 3x + i c1 sen 3x + c2 cos 3x - i c2 sen 3x ]
 y = e 2x [ (c1 + c2) cos 3x + i (c1 - c2 ) sen 3x ]
 fazendo c1 + c2 = c3 e i (c1 - c2) = c4 temos:
 y = e 2x [ c3 cos 3x + c4 sen 3x ]
 Generalizando: y = c1 e (a + bi) x + c2 e (a - bi) x 
 y = e 2x [ c3 cos b x + c4 sen b x ]
Ex. 5 . d2 y - 2 dy + 10 y = 0
 dx2 dx
 m2 - 2 m + 10 = 0
 m1 = 1 + 3i
					 onde y = c1 e(1 + 3i) x + c2 e(1 - 3i) x
 m2 = 1 - 3i 
					 y = e1x [ c3 cos 3x + c4 sen 3x ]
Ex. 6 . d2 y + 16 y = 0
 dx2 
 m2 + 16 = 0
 m2 = - 16 m = -16 
 m1 = 4i			então y = c1 e 4 ix + c2 e - 4 ix 
 
 m2 = - 4i y = e 0x [ c3 cos 4x + c4 sen 4x ]
 y = c3 cos 4x + c4 sen 4x
Ex. 7 . d2 y + 6 dy + 9 y = 0
 dx2 dx
 
 m2 + 6 m + 9 = 0
 m = - 6 36 - 36 .
 2
 m = - 6 0
 2 
 m1 = - 3
					então m1 = m2 = m y = c1 e- 3x + c2 x e- 3x
 m2 = - 3
Ex. 8 . d2 y - 2 dy + y = 0
 dx2 dx
 m2 - 2 m + 1 = 0
 m1 = 1					então y = c1 ex + c2 x ex
 m2 = 1 
Exercícios
1) d2 y - 3 dy + 2 y = 0
 dx2 dx
2) d2 y + 5 dy + 6 y = 0
 dx2 dx
3) d2 y + 2 dy = 0
 dx2 dx
4) d2 y + 4 y = 0
 dx2
5) d2 y - 2 dy + 5 y = 0
 dx2 dx
6) d2 y + 4 dy + 4 y = 0
 dx2 dx
7) d2 y - dy + 1 y = 0
 dx2 dx 4
2º caso: d2 y + P1 dy + P2 y = Q (x) onde Q (x) 0
 dx2 dx
	A equação d2 y + P1 . dy + P2 . y = 0 é chamado
 dx2 dx
	Função Complementar (FC) da equação
	d2 y + P1 dy + P2 . y = Q (x). Devemos então, achar uma Integral 
 dx2 dx
Particular (IP) que satisfaça d2 y + P1 dy + P2 . y = Q (x), cuja solução geral
 dx2 dx 
será: y = FC + IP
	IP = N1 . e m1x Q (x) . e- m1x dx + N2 . e m2x Q (x) . e- m2x dx
	onde 1 = N1 + N2 
 (D - m1) (D - m2) D - m1 D-m2 
Ex. 1 . d2 y - dy - 2 y = e2x
 dx2 dx
 m2 - m - 2 = 0
 m1 = - 1
				 então FC = c1 e-x + c2 e2x
 m2 = 2
 IP = N1 . e- x e2x . ex dx + N2 . e2x e2x . e- 2x dx
 IP = N1 . e- x . e3x dx + N2 . e2x dx
 IP = N1 . e- x . e3x + N2 . e2x . x
 3
 IP = 1 N1 . e2x + N2 . x . e2x
 3
	 Cálculo de N1 e N2
	 1 = N1 + N2 .
 	 (D + 1) (D - 2) D + 1 N - 2
 1 = N1 (D - 2) + N2 (D + 1)
	(D + 1) (D - 2) (D + 1) (D - 2)
	1 = N1 (D - 2) + N2 (D + 1)
	
	para D = - 1 1 = - 3 N1 	 N1 = - 1 .
								 3 
	para D = 2	 1 = 3 N2	 	 N2 = 1 .
								 3
	IP = 1 . ( - 1 ) . e2x + 1 . x . e2x 
 3 3 3
 IP = - 1 e2x + 1 . x . e2x 
 9 3
 Solução Geral: y = FC + IP
				 y = c1 e-x + c2 e2x + 1 x e2x - 1 e2x						 3	 9
Ex. 2 . d2 y + 5 dy + 4 y = 3 x
 dx2 dx
	 m2 + 5 m + 4 = 0
	 m1 = - 1
				 então FC = c1 e-x + c2 e- 4x 
	 m2 = - 4
	 IP = N1 . e- x 3 x . ex dx + N2 . e- 4x 3 x . e4x dx
	 IP = 3N1 . e- x x ex dx + 3N2 e- 4x x e4x dx
	 Cálculo das integrais
	 x ex dx = x ex - ex dx		 x e4x dx = x e4x - e 4x dx
 4 4
		 = x ex - ex				 = x e4x - e4x .
							 4 16
	 u = x du = dx u = x du = dx 
	dv = ex dx v = ex dv = e4x v = e 4x .
 4
	IP = 3 N1 e-x (x e x - e x ) + 3 N2 e-4x ( x e4x - e4x )
					 	 4 16
	IP = 3 N1 (x -1) + 3 N2 x - 1 .
					 4 16
	Cálculo de N1 e N2.
 	 1 = N1 + N2 = N1 (D+4) + N2 (D+1) 
	(D+1) (D+4) D+1 D+4 (D+1) (D+4)
	1 = N1 (D+4) + N2 (D+1)
	
 para D = -1 1 = 3 N1 N1 = 1 . 	
 3
 para D = -4 1 = -3 N1 N2 = - 1 . 	 	
 3 
	IP = 3 . 1 (x -1) + 3 - 1 ] [ x - 1 ] .
 	 3		 3 4 16
	IP = x -1 - x + 1 .
 		 4 16
	IP = 3x - 15 .
 		 4 16
	Solução Geral:	y = FC + IP
				y = c1e-x + c2e-4x + 3x - 15 
 4 16
	ex3. d2y + 2 dy - 15y = 1
 dx2 dx 
		m2 + 2m - 15 = 0 
		m1 = 3
				então 	FC = C1 e3x + c2 e-5x
		m2 = -5
	IP = N1 e3x 1 . e-3xdx + N2 e-5x 1 . e5xdx
	IP = N1 e3x . e-3x + N2 e-5x . e5x 
 -3 5
	IP = - N1 + N2 
 3 5 
	Cálculo de N1 e N2. 
	 1 = N1 + N2 = N1 (D+5) + N2 (D-3) 
	(D-3) (D+5) D-3 D+5 (D-3) (D+5)
	
 1 = N1 (D+5) + N2 (D-3)
	para D = 3 1 = 8 N1 N1 = 1 . 	
 8
	para D = -5 1 = -8 N2 N2 = - 1 . 	 	
 8 
 1 -1 .
	IP = - 8 + 8.
 3 5 
	IP = - 1 - 1 	. 
 24 40
	IP = -5 -3 = - 8 = - 1 	. 
 120 120 15
	Solução Geral:	y = C1e3x + C2e-5x - 1 	.
 15
	Exercícios: 
1) d2 y - 3 dy + 2 y = ex
 dx2 dx
2) d2 y - dy - 12 y = x
 dx2 dx
3) d2 y + 5 dy + 6 y = 5
 dx2 dx
MÓDULO XI
APLICAÇÕES
	Vigas Horizontais. O problema consiste em se determinar a deflexão (flexão) de uma viga sujeita a cargas conhecidas. Consideraremos somente vigas homogêneas, quanto ao material, e uniformes. 
	Admitiremos a viga como sendo formada por fibras longitudinais. Na flexão vista na figura, as fibras da metade superior são comprimidas e as da metade
inferior são tracionadas, as duas partes sendo separadas por uma superfície neutra cujas fibras não sofrem tração nem compressão. 
	A fibra, que inicialmente coincidia com o eixo da viga, encontra-se, agora, na superfície neutra, ao longo de uma curva (curva elástica ou curva das deflexões). Determinemos a equação desta curva. 
	Consideremos uma seção transversal da viga, a uma distância x de uma extremidade. Seja AB sua interseção com a superfície neutra e P o traço da curva elástica nessa seção. A Mecânica demonstra que o momento M, em relação a AB, de todas as forças que agem em qualquer das partes em que a viga foi dividida pela seção feita: 
a) é independente da parte considerada, 
b) é dado por 
	A)		 EI = M 
 R
onde 	E = módulo de elasticidade do material da viga, 
	I = momento de inércia da seção transversal, em relação a AB, 
	R = raio de carvatura da curva elástica, no ponto P. 
	Por conveniência, suponhamos que a viga foi substituída por sua curva elástica e a seção transversal pelo ponto P. 
	Tomemos a origem na extremidade esquerda da viga, o eixo dos x na horizontal e o ponto P com as coordenadas (x,y). Como a inclinação dy da 
 dx
curva elástica, em qualquer ponto, é uma quantidade necessariamente pequena, podemos escrever
 3
 1+ dy ]2 2
 	R = dx ] 1 .
 d2y d2y 
 dx2 dx2
A equação A) reduz-se a:
	B)		 EI d2y = M.
 dx2
	O momento fletor M na seção transversal (ponto P da curva elástica) é a soma algébrica dos momentos, em relação à reta AB da seção transversal (ponto P da curva elástica), das forças externas, que agem sobre a parte da viga (parte da curva elástica). Admitiremos aqui que as forças orientadas para cima dão momentos positivos e que as orientadas para baixo dão momentos negativos. 
	
Ex 1. Uma viga horizontal de comprimento 10 m, está livremente suportada por suas extremidades. (Biapoiada). Achar a equação da elástica e a flecha (Deflexão máxima), sendo a carga 200 Kg/m. 
	Tomemos a origem e os eixos coordenadas como na figura. Seja P (x,y) um ponto qualquer da curva elástica, de coordenadas (x,y). Consideremos o segmento OP da viga. Em O existe a reação do apoio = 1000Kg e no ponto meio de OP existe a carga 200x.
	Calculemos o momento fletor M em relação a P (x,y)
	M = 1000x - 200x . x .
 2
	M = 1000 x - 100x2 	Levando para EI d2y = M
 dx2
	EI d2y = 1000x - 100x2 		integrando em x. 
 dx2
	EI dy = 1000 . x2 - 100 x3 + C1
 dx 2 3
	no meio da viga x = 5 dy = 0 
 dx 
	0 = 12500 - 12500 + C1 C1 = - 25000
 3 3
	EI dy = 500 x2 - 100 x3 - 25000 	integrando novamente
 dx 3 3 
	EI y = 500 x3 - 100 . x4 - 25000 x + C2 
 3 3 4 3
	Em 0 x = 0 => y = 0 	não há afundamento 
	0 = 0 - 0 - 0 + C2 => C2 = 0 		
	EI y = 500 x3 - 25 x4 - 25000 x
 3 3 3
	y = 25 [ 20 x3 - x4 - 1000 x ] equação da curva elástica.
 3EI
	A flecha, deflexão máxima, ocorre no ponto meio (x = 5);
	ymax = 25 (20 x 53 - 54 - 1000 . 5)
 3EI
	ymax = 25 (- 3125) - ymax = 78125 flecha
 3EI 3EI 
	
Ex2. Uma viga horizontal de comprimento L, biapoiada, com uma carga uniformemente distribuída de w Kg por unidade de comprimento. Achar a equação da curva elástica e a flecha. 
 M = w . x - wx . x
 2 2
	EI d2y = 1 wx - 1 wx2 		integrando em x
 dx2 2 2
	EI dy = 1 wx2 - 1 w x3 + C1	
 dx 2 2 2 3
 
	EI dy = 1 wx2 - 1 w x3 + C1	
 dx 4 6 
		em x =  dy = 0 
 2 dx
	0 = 1 w2 - 1 w 3 + C1
 	 4 4 6 8 
	0 = 1 w3 - 1 w3 + C1 0 = 3 w3 - w3 + C1
 	 16 48 48
	
	0 = 2 w3 + C1 C1 = - w3 
 	 48 24
	EI dy = 1 wx2 - 1 wx3 - w3	integrando
 dx 4 6 24
	EI y = 1 wx3 - 1 w x4 - w3 x + C2
 4 3 6 4 24
			em x = 0 y = 0 C2 = 0.
	EI y = 1 wx3 - 1 wx4 - 1 w3 x
 12 24 24
	y = 1 [ w ( 2x3 - x4 - 3x )	]	
 EI 24 
	y = w [ 2x3 - x4 -  3x] equação da elástica	
 24EI
	A flecha está em x = 
			 2
	ymax = W (2  3 - 4 - 3 .  ) 
 24 EI 8 16 2
	ymax = W ( 4 - 4 - 4 )
 24 EI 4 16 2
	ymax = W (- 5 4 )
 24 EI 16
 
	- ymax = 5 W 4 flecha
 384 EI
Ex. 3 . Uma vida horizontal de comprimento  , engastada em uma extremidade e com a outra em balanço está sujeita a uma carga uniformemente distribuída de 
W. kg por unidade de comprimento. Achar a curva elástica e a deflexão máxima.
	Consideremos o segmento da extremidade PR.
	A única força é a carga W( - x) no meio de PR.
	M = - W ( - x) .  - x 
				 2
	EI d2y = - 1 W ( - x) 2 = - 1 W (2 - 2  x + x2)
 dx2 2 2
	EI d2y = - 1 W2 + W  x - 1 W x2 integrando
 dx2 2 2
	
EI dy = - 1 W 2 x + w  x2 - 1 W x3 + c1
 dx 2 2 2 3
		em x = 0 dy = 0 c1 = 0
 dx
	EI dy = - 1 W 2 x + 1 W  x2 - 1 W x3 integrando
 dx2 2 6
	EI y = - 1 W 2 x2 + 1 W  x3 - 1 W x4 + c2
		 4		 6 24
		em x = 0 y = 0 c2 = 0
	EI y = - 1 W 2 x2 + 1 W  x3 - 1 W x4
 4 6 24
	y = 1 [ W ( - 6 2 x2 + 4 x3 - x4)]
 EI 24
	y = W [ - 62 x2 + 4  x3 - x4 ] equação da elástica
 24EI
	A flecha está em x =  
	ymax = W (- 64 + 44 - 4)
 24 EI
	ymax = - 3W4
 24 EI
 
	- ymax = W4 flecha
 8 EI
VIGA BIENGASTADA
Ex4:
54