1EC_B_Função_de_1.o_grau_Problemas_e_Aplicações

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Função de 1.o grau
Problemas e Aplicações
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Introdução
1) Em uma corrida de táxi, sabe-se que R$ 4,60 é o valor da bandeirada e R$ 0,80 é o valor pago por quilômetro rodado. Determine a função que calcula o preço P a ser pago de acordo com a quantidade k de quilômetros rodados.
 
2) Na produção de peças, uma determinada empresa tem uma despesa fixa de R$ 150.000,00 mais uma despesa de R$ 52,00 por unidade produzida. Sendo n o número de unidades produzidas, escreva a lei da função que fornece o custo total C de produção de n peças;
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3) Determine a função que representa o valor V a ser pago após o abastecimento de l litros de gasolina ao preço de R$ 2,49 o litro.
4) Um determinado maquinário de grande porte novo custa R$ 860.000,00. Projeções realizadas por seguradoras apontam que anualmente seu preço deva cair cerca de R$ 5000,00. Obtenha a função que calcula o valor V desse maquinário ao longo de t anos.
5) Um imóvel estimado em R$ 400.000,00 acaba de ser inaugurado em uma região da cidade de São Paulo com grandes perspectivas de crescimento. Considerando-se esse aspecto, acredita-se que esse imóvel deva valorizar cerca de R$ 20.000,00 ao ano. Determine a função que calcula o valor V em reais do imóvel ao longo do tempo t em anos.
 
 Resumo teórico  Definição  Gráficos/ Elementos
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Exercícios
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1) O preço de uma corrida de táxi inclui uma parte fixa (bandeirada) mais um valor variável que depende da quantidade de quilômetros rodados. 
a) Indicando por q a quantidade de quilômetros rodados e por P o preço a pagar, determine a função P(q), na bandeira 1.
b) Determine a função e o preço a pagar por uma corrida de 33,80 km, na bandeira 1.
c) Calcule a distância percorrida por passageiro que pagou R$ 33,80 na bandeira 2 e que fez uso de 1 hora de espera.
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2) Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo mensal de R$ 32.500,00 mais um custo variável de R$ 21,40 por peça produzida. Sendo n o número de unidades produzidas:
a) obtenha a função que fornece o custo total de produção de n peças;
b) calcule o custo total de produção de 1000 peças.
c) quantas peças geram um custo total de R$ 92.420,00?
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3) Uma empresa A possui atualmente uma carteira composta de 5150 clientes. Entretanto, essa empresa vem perdendo espaço para uma empresa concorrente B, na ordem de 150 clientes mês. A empresa B, em questão, possui no momento uma carteira com 2000 clientes e vem ampliando seu espaço no mercado, angariando cerca de 200 clientes mês. 
a) Obtenha as funções que determinam mensalmente o número de clientes de cada uma das empresas;
b) Após quantos meses a empresa B supera a carteira de clientes da empresa A? Represente graficamente, no plano cartesiano, a situação em análise.
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4) Uma empresa A possui atualmente uma carteira composta de 5000 clientes e está aumentando sua carteira na ordem de 200 clientes mês. Uma empresa concorrente B, possui no momento uma carteira com 4000 clientes e vem ampliando seu espaço no mercado em cerca de 300 clientes mês. 
a) Obtenha as funções que determinam mensalmente o número de clientes de cada uma das empresas;
b) Após quantos meses a empresa B supera a carteira de clientes da empresa A? Represente graficamente, no plano cartesiano, a situação em análise.
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5) Uma empresa A possui atualmente uma carteira composta de 5000 clientes e está perdendo espaço no mercado, diminuindo sua carteira na ordem de 200 clientes mês. Uma empresa B, possui no momento uma carteira com 6000 clientes e também vem perdendo espaço: cerca de 300 clientes mês. 
a) Obtenha as funções que determinam mensalmente o número de clientes de cada uma das empresas;
b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a situação em análise.
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6) Obtenha em cada caso a função f(x) = ax + b, cuja reta, que é seu gráfico, passa pelos pontos:
a) (1; -2) e (2; 1) b) (3; -5) e (4; -9) 
c) (2; 6) e (-3; -14) d) (-2; 13) e (3; -2)
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7) O salário de um vendedor é composto de uma parte fixa de R$ 600,00 mais uma comissão de 4% sobre o volume total de vendas em reais. Determine o modelo matemático que expressa o salário S desse vendedor em função do volume V de vendas.
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8) Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal composta de um parte fixa mais um percentual (comissão) sobre o volume de vendas em reais. Quando o vendedor vende R$ 50.000,00, sua remuneração é R$ 1.800,00; quando vende R$ 80.000,00 sua remuneração é R$ 2.400,00. Determine:
 a) o salário fixo desses vendedores;
 b) a comissão (percentual).
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9) O valor de um veículo novo é de US$ 45,720.00 e, com seis anos de uso, é de US$ 39,810.00. Supondo que o preço caia com o tempo segundo uma linha reta (depreciação linear):
a) obter a função que representa o valor do carro ao longo do tempo.
b) qual o valor de um carro com sete anos e meio de uso? 
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10) O valor de um imóvel novo é de R$ 350.000,00 e, devido a sua localização, pressupõe-se uma valorização da ordem de R$ 150.000,00 para os próximos quatro anos. Considerando-se que a valorização é linear, obtenha a função que calcula o valor V do imóvel ao longo do tempo t.
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11) Um maquinário industrial com dois anos de uso, tem seu valor de mercado estimado em R$ 280.000,00. Estudos realizados por seguradoras apontam que, com cinco anos de utilização, seu preço de mercado atinja a marca de R$ 205.000,00. Considerando-se uma Depreciação Linear, determine:
a) Qual o modelo matemático que relaciona o valor V (em reais) desse equipamento ao longo do tempo t (em anos)?
b) Qual era o valor de mercado desse equipamento novo? E com oito anos de uso?
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12) O custo C de produção de x litros de certa substância é dado por função afim de x, com x maior ou igual a zero, de tal forma que para 0 litros dessa substância temos um custo de R$ 400,00 e para 8 litros temos um custo de R$ 520,00. Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros?
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13) Uma imobiliária possui 30 apartamentos disponíveis para aluguel. Ao preço de R$ 350,00, todas as unidades são alugadas e, para cada R$ 20,00 de aumento mensal, em média, um apartamento fica vazio. Considerando linear a relação entre as variáveis preço (p) e quantidade (q) de apartamentos ocupados, qual é a lei que as relaciona? Ao preço de R$ 690,00 quantas unidades são alugadas? Com o objetivo de alugar 18 unidades qual deve ser o valor do aluguel?
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14) A receita mensal de vendas (R) de uma empresa relaciona-se com os gastos com propaganda (p) por meio de uma função de 1.o grau. Quando a empresa gasta R$ 15.000,0 por mês com propaganda, sua receita naquele mês é de R$ 50.000,00; se o gasto mensal com propaganda for o triplo daquele, a receita mensal cresce 30% em relação àquela.
a) Obtenha a expressão R em função de p (ou seja, a função R(p)) 
b) Qual a receita mensal esperada se o gasto mensal com propaganda for de R$ 28.000,00?
c) Para se obter uma receita de cerca de R$ 60.000,00 qual deverá ser o gasto com propaganda?
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15) Para produção de uma determinada quantidade de peças, uma empresa possui um custo fixo de R$ 18.000,00, mais um custo por peça produzida de R$ 4,00. Cada peça é revendida por R$ 5,50.
a) Obter a Função Custo.
b) Qual o custo de produção de 3000 peças? Qual o custo médio de produção nesse caso?
c) Quantas peças geram um custo total de produção de R$ 33.000,00?
d) Obter a Função Receita.
e) Qual a receita obtida com a produção (e venda) de 4000 peças?
f) Que quantidade de peças deve ser produzida e vendida para se obter uma receita de R$ 27.500,00?
g) A partir de que quantidade de peças produzidas e vendidas a receita passa a superar os custos? (Ponto de Nivelamento ou Ponto de Equilíbrio) Represente graficamente, no plano cartesiano, a situação em questão.
h) Obter a
Função Lucro.
i) A partir de que quantidade de peças produzidas e vendidas a empresa passa a ter lucro?
j) Qual o lucro quando a empresa produz e vende 15.000 peças?
k) Quantas peças devem ser vendidas para se atingir um lucro de R$ 8.370,00?
l) Representar em um mesmo plano cartesiano as funções Custo, Receita e Lucro.
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16) Para produção de uma determinada quantidade de peças, uma empresa possui uma despesa fixa de R$ 120.000,00, mais um custo por peça de R$ 80,00. Cada peça é revendida com acréscimo de 20% sobre o custo unitário de produção.
a) Obter a Função Custo.
b) Qual o custo de produção de 10000 peças?
c) Quantas peças geram um custo total de produção de R$ 744.000,00
d) Obter a Função Receita.
e) Qual a receita obtida com a produção (e venda) de 5000 peças?
f) Que quantidade de peças deve ser produzida e vendida para se obter uma receita de R$ 806.400,00?
g) A partir de que quantidade de peças produzidas e vendidas a receita passa a superar os custos? Represente graficamente, no plano cartesiano, a situação em questão.
h) Obter a Função Lucro.
i) A partir de que quantidade de peças produzidas e vendidas a empresa passa a ter lucro?
j) Qual o lucro quando a empresa produz e vende 15.000 peças?
k) Quantas peças devem ser vendidas para se atingir um lucro de R$ 59.200,00?
l) Representar em um mesmo plano cartesiano as funções Custo, Receita e Lucro.
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17) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por C(x)=50000+45x, onde x é o número de camisas produzidas por mês. Cada camisa é vendida por R$ 70,00. Atualmente, o lucro mensal é de R$ 25.000,00. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá produzir e vender mensalmente:
a) o dobro do que produz e vende.
b) 1000 unidades a mais do que produz e vende.
c) 3000 unidades a mais do que produz e vende.
d) 4000 unidades a mais do que produz e vende.
e) 50% a mais do produz e vende.
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18) O custo fixo mensal de uma empresa é R$ 30.000,00, o custo variável por unidade é R$ 12,00, e a margem de contribuição por unidade é de 40% sobre o custo unitário.
(Obs: A diferença entre o preço de venda e o custo variável por unidade (custo unitário) é chamada de margem de contribuição por unidade.)
a) Obtenha as funções Custo e Receita e determine o ponto de equilíbrio Receita x Despesas. 
b) Obtenha a função Lucro e faça o esboço do gráfico das funções Custo, Receita e Lucro em um mesmo plano cartesiano.
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19) Uma determinada empresa tem uma despesa mensal, em reais, dada por C(n) = 105000 + 28n, onde n é o número de unidades produzidas mensalmente. A margem de contribuição por unidade é de 25% sobre o custo unitário.
a) Qual o custo fixo mensal dessa empresa?
b) Qual o custo unitário de produção?
c) Para a produção de 10000 unidades, qual o custo médio por unidade produzida?
d) Qual o ponto de nivelamento (ou ponto de equilíbrio entre receita e despesas)?
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20) Sabendo-se que a margem de contribuição por unidade é R$ 3,00, o preço de venda é R$ 10,00 e o custo fixo é R$ 150,00 por dia, obtenha: 
a) A função receita diária
b) A função custo total diário
c) O ponto de nivelamento
d) A função lucro diário
e) A quantidade que deve ser vendida para que haja um lucro de 180 reais por dia.
 
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RESPOSTAS
1) a) P(q) = 3,80 +1,54q b) R$ 55,85 c) aproximadamente 16,5 km
2) a) C(n) = 32500 + 21,40.n b) R$ 53.900,00 c) 2800
3) a) A(t) = 5150 – 150t e B(t) = 2000 + 200t b) 9 meses
4) a) A(t) = 5000 + 200t e B(t) = 4000 + 300t b) 10 meses
5) a) A(t) = 5000 – 200t e B(t) = 6000 + 300t b) 10 meses
6) a) y = 3x – 5 b) y = – 4x + 7 c) y = 4x – 2 d) y = – 3x + 7
7) S (V) = 600 + 0,04.V
8) a) R$ 800,00 b) 2%
9) a) V(t) = 45720 – 985t b) US$ 38,332.50
10) V(t) = 350000 + 37500t 
11) a) V(t) =330000 – 25000t b) R$ 330.000,00; R$ 130.000,00
12) 20 litros
13) p(q) = 950 – 20.q (ou q(p) = -0,05p + 47,5); 13 unidades; R$ 590,00
14) a) R(p) = 0,5p +28000 b) R$ 56.500,00 c) R$ 37.000,00
15) a) C(n) = 18000 + 4n b) R$ 30.000,00 c) 3750 d) R(n) = 5,5n 
 e) R$22.000,00 f) 5000 g) 12000 h) L(n) = 1,5n -18000
 i) 12000 j) R$ 4.500,00 k) R$ 17.850,00	 l) gráfico
16) a) C(n) = 120000 + 80n	b) R$ 920.000,00	c) 7800
 d) R(n) = 96n	e) R$ 480.000,00	f) 5000
 g) 7500		h) L(n) = 16n - 120000	i) 7500
 j) R$ 120.000,00	k) 11200		l) gráfico		
17) Alternativa “c”
18) a) C(n) = 28800 + 12n ; R(n) = 16,80n; (6000; 100.800)
 b) L(n) = 4,80n - 28800 
19) a) R$ 105.000,00 b) R$ 28,00 c) R$ 38,50 d) 15000 unidades
20) a) R(n) = 10n b) C(n) = 7n + 150 c ) n=50 d) L(n) = 3n -150 e) n=110