calculo 2 exercicios

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Encontre a curvatura para a curva r(t) = ti + (ln cos t)j para -π2<t<π2 
 
 
sen t 
 cos t 
 
sen t + cos t 
 
tg t - sen t 
 
tg t 
 
 
Explicação: 
Curvatura (k) = (y''x'-y'x'') / (x'²+y'²)3/2 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A integral definida da função vetorial r(t) = (3t² - 1)i + (2t +2)j + (t³)k para t [0,2] é: 
 
 
〈 2/3,6,4 〉 
 〈2,2/3,6 〉 
 〈6,8,4 〉 
 
〈 4/3,4,5 〉 
 
〈4,6,5 〉 
 
 
Explicação: 
(t³ - t)i + (t² +2t)j + (t4 / 4)k para t [0,2] = (6, 8, 4) 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 sent i - t2 k + C 
 -cost j + t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 
 
Explicação: 
As integrais indefinidas de funções vetoriais são calculadas componente por componente. 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque as únicas respostas corretas para as derivadas de 1ª ordem fx e fy da 
função: f(x,y)=xe3y 
 
 fx= -e3y e fy= -3xe3y 
 fx=π3y e fy=3πe3y 
 fx=e3y e fy=3xe3y 
 fx=ey e fy=3xey 
 fx=0 e fy=0 
 
 5a Questão 
 
 
Duas aeronaves viajam pelo espaço com trajetórias diferentes dadas pela funções 
vetoriais: 
r1(t)=10i+t²j+(8t -15)k 
r2(t)=(7t - t²)i+(6t - 5)j+t²k 
Podemos concluir que 
a) as aeronaves não colidem. 
 b) as aeronaves colidem no instante t=2 
c) as aeronaves colidem no instante t=5 
d) as aeronaves colidem no instante t=3 
e) as trajetórias não se interceptam 
 
 
(e) 
 
(d) 
 (a) 
 (c) 
 
(b) 
 6a Questão 
 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 (0, -1, 1) 
 
(0, 2, -1) 
 (-1, 0, 1) 
 
(1, 1, -1) 
 
(2, 1, -1) 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde sua 
posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 i/2 + j/2 
 
2i 
 
2i + j 
 2j 
 
2i + 2j 
Seja a função vetorial r(t) = (t²)i + (t −2)j + (5t² - 10)k . O limite dessa função quando t → 2 é dado por: 
 
 
〈6,8,12〉 
 〈4,0,10〉 
 
〈4,8,7〉 
 
〈2,3,11〉 
 
〈2,4,12〉 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Considere as afirmações. Assinale (V) caso seja verdadeira ou (F) caso seja 
falsa: 
1) ( ) A reta tangente a uma curva r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k em t = 
t0 é uma reta que passa pelo ponto P(x(t0),y(t0),z(t0) paralela ao 
vetor v(t) = x'(t0)i + y'(t0)j + z'(t0)k. 
 2) ( ) Portanto as equações paramétricas da reta tangente são: 
x =x(t0) + t.x'(t0)y= y(t0) + t.y'(t0)z= z(t0) + t.z'(t0) 
3) ( ) O vetor tangente unitário de uma curva derivável r(t) é: 
T= v(t)|v(t)|. 
4) ( ) O comprimento L de uma curva lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k é dado 
por 
L=(dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2 
5) ( ) A reta normal unitária principal no plano é N=dTdt|dTdt| 
 
 
 1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (F) 3) (V) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule r'(t)=v(t) e indique a única resposta correta se r(t)=ti+ (2 - t)j,em t = 1. 
 
 r'(t)=v(t)=14i + j 
 r'(t)=v(t)=15i - 3j 
 r'(t)=v(t)=12i - j 
 r'(t)=v(t)=13i - 2j 
 r'(t)=v(t)=32i - j 
 
 4a Questão 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫(costi+3t2j)dt, qual a única resposta 
correta? 
 
 (sent)i + t³j 
 (cost)i - sentj + 3tk 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i + 3tj 
 
(cost)i - 3tj 
 
 5a Questão 
 
 
A trajetória de um corpo é definida pelo vetor posição →r=(t2,sen(t),−cos(2t)). Determine a aceleração (m/s2) 
para t = π (segundos) 
 
 
(2,-1,0) 
 (2,0,-4) 
 
(0,0,-1) 
 
(2,0,4) 
 
NDA 
 
 6a Questão 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana 
para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
y = x + 1 
 y = x - 4 
 
y = x 
 
y = x + 6 
 y = 2x - 4 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Passando o ponto P(1,√3) de coordenadas cartesianas para coordenadas polares vamos obter: 
 
 ( 2, π/6) 
 
( 2, π/2) 
 
( 6, π/2) 
 
( 6, π/6) 
 ( 4, π/6) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Para y=5, calcule o comprimento da curva no intervalo de x pertencente a [2, 8]. 
 
 
3 
 6 
 
5 
 2 
 
4 
 
 2a Questão 
 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 
 2a Questão 
 
 
O limite da função vetorial r = (t²)i + (t-1)j + (e^t)k quando t = 0 é: 
 
 
(0, 2, -1) 
 (0, -1, 1) 
 
(2, 1, -1) 
 
(-1, 0, 1) 
 
(1, 1, -1) 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dado f(t) = (e^3t sen t, 3t - 2) , calcule f ' (t) : 
 
 
f ' (t) = (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
f ' (t) = e^3t 
 f ' (t) = 3 sen t + cos t 
 
f ' (t) = 3 j 
 f ' (t) = e^3t (3 sen t + cos t) i + 3 j 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Descreva a curva na forma paramétrica definida pela função vetorial r(t) = 〈1+t, 2+5t, -1+6t〉. 
 
 x=1+t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x=1+t; y=2+5t 
 x=1 -t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x= t; y=2+5t; z=-1+6t 
 
x=1+t; y=2+5t; z=-1 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre a equação polar correspondente a equação cartesiana dada 
por 
 
 
=cotg θ. cossec θ 
 r =3 cotg θ. sec θ 
 
r=tg θ. cossec θ 
 
r=3 tg θ. cos θ 
 r =3 tg θ . sec θ 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i+ (tsent)j + tk? 
 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 (cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) 
= (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o 
intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no 
instante t = 0. 
 
 9 
 
14 
 
1 
 
2 
 3 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta 
correta. 
 
 (sent,-cost,2t) 
 (sent,-cost,0) 
 (-sent, cost,1) 
 (sent,-cost,1) 
 (sect,-cost,1) 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 (1 +cost,sent,0) 
 (1-sent,sent,0) 
 (1-cost,0,0) 
 (1-cost,sent,0) 
 (1-cost,sent,1) 
 
C 
 
 y = 7 + 2x - 0,25x² 
 y = x² -7x - 1 
 y = x³ -5x²-3 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 y = x - 7x² + 5 
 
 2a Questão 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t)=t³i+t²j. Calcule a 
aceleração em t=2s. 
 
 
6i+j 
 
i-2j 
 
12i-2j 
 12i+2j 
 
i+j 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considerando a função f(x,y) = 3x3.y5, simbolizaremos por fx e fy as derivadas parciais de fx,y) em função de 
x e em função de y, respectivamente. Assim fx(0;2) e fy(-2,0) são, respectivamente. 
 
 0 e 0 
 
36 e 60 
 
9 e 15 
 
18 e -30 
 
36 e -60 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas 
funções componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única 
resposta correta para o limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i + j + k 
 i + j - k 
 i - j - k 
 - i + j - k 
 j - k 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre a equação polar (r), sabendo que: x^2 + y^2 = a^2 
 
 
3a 
 
2a 
 
sqrt (a) 
 
1/a 
 a 
 
 
Descreva a curva paramétrica f(t) = (2t - 4, 3 + t²), no formato y=f(x). 
 
 y = x³ -5x² -3 
 y = 7 + 2x + 0,25x² 
 y = 7 + 2x - 0,25x² 
 y = x - 7x² + 5 
 y = x² -7x - 1 
 
Encontre ∂z/∂x se a equação é yz - ln z = x + y. 
 
 
z / (yz + 1) 
 z / ( z - 1) 
 
z / y 
 
z / (y - 1) 
 z / (yz - 1) 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja F = F(x,y,z) a função identicamente nula. Então, ∂F/∂x - ∂F/∂y + ∂F/∂z é igual a 
 
 
1 
 
2 
 0 
 
-1 
 
-2 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Substitua a equação cartesiana x216+y225=1 por uma equação polar equivalente. 
 
 9((rcos(θ))2 -16r2=400 
 16((rcos(θ))2+9r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=400 
 9((rcos(θ))2+16r2=0 
 9((rcos(θ))2+r2=400 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre ∂y/∂x para y^(2 )- x^2-sen (x.y)=o usando derivação implícita. 
 
 (2x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 (2x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
(2+y cos(xy))/(2y-x cos(xy)) 
 
(x+y cos(xy))/(y-x cos(xy)) 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
A circunferência x2+y2=9 em coordenadas polares é dada por: 
 
 
r = 5 
 r = 3 
 
r = 4 
 r = 7 
 
r = 6 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Sendo o vetor v (t) = (2 + cos 6t , 2 + sen 6t) . O vetor velocidade é: 
 
 
não existe 
 
V(t) (6 sen 6t, -6 cos 6t) 
 V(t) (-6 sen 6t, 6 cos 6t) 
 
V(t) (-16 cos 6t, - 16 sen 6t) 
 
V(t) (-36 cos 6t, - 36 sen 6t) 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 
 
 x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
 x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 x
40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
 20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a integral definida: ∫01 [t3i + 7j + (t + 1)k]dt. 
 
 
0,25i - 7j + 1,5k 
 
-0,25i - 7j - 1,5k 
 0,25i + 7j - 1,5k 
 0,25i + 7j + 1,5k 
 
-0,25i + 7j + 1,5k 
Qual a taxa de variação máxima de f(x,y) = 3x^2 - 2xy em P (1,1) 
 
 4,47 
 
9,31 
 2,56 
 
2,28 
 
3,47 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Transformando a coordenada polar (-4, π6) em coordenada cartesiana, obtemos: 
 
 
(−2√3,−2) 
 
(2√3,2) 
 
(−2√3,−√2) 
 
(−4,√3) 
 
(√3,0) 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre a derivada parcial fy se f(x,y) = y.senxy. 
 
 xy.cosxy + senxy 
 
y.cosxy + senxy 
 xy.cosxy - senxy 
 
x.cosxy + senxy 
 
cosxy + senxy 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Calcule a derivada parcial de segunda ordem da função: f(x,y) = 2.x2 + y2. 
 
 
fxx = 2, fxy = 4, fyx = 0, fyy = 0 
 
fxx = 0, fxy = 0, fyx = 2, fyy = 4 
 fxx = 2, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 4 
 
fxx= 0, fxy = 0, fyx = 4, fyy = 2 
 fxx = 4, fxy = 0, fyx = 0, fyy = 2 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Calcule a integral: 
A=12∫0πr²dr e indique a única resposta correta. 
 
 -π 
 2π 
 0 
 π²3 
 π³6 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
x40+exy.2xy e 12x20y + y4exy 
 
 20x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 x4+exy.2xy e 12x2y + y4exy 
 
 x4+exy.30xy e 12x2y + 40y4exy 
 
 
 
 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se move a longo de 
uma curva então,em qualquer instante t , pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como o produto do 
módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 I,II e III 
 I,II,III e IV 
 I,III e IV 
 I,II e IV 
 II,III e IV 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre dwdt se: w = x.y + z, 
x = cost t, y = sent, z = t. Qual é o valor da derivada em t 
= 0? 
 
 
1 
 
-1 
 -2 
 
0 
 2 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Use a regra da cadeia para encontrar a derivada de w = xy em relação a t ao longo do caminho x = cost, y 
= sent. Qual é o valor da derivada em t = Π/2? 
 
 -1 
 
1 
 
0 
 
-2 
 2 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
 7a Questão 
 
 
Encontre dw/dt , onde w=ln (x^2 y^2)/z com x = at, y = senbt e z = cost. 
 
 
2/t + 2bt + tgt 
 
2/t + 2btgt + cotgt 
 
2bcotgt + tgt 
 
2/t + 2bcotgt 
 2/t + 2bcotgt + tgt 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Sabendo que r'(t) = v(t), determine v(t) e indique a única resposta correta se 
r(t) = 12ti + (2 - t)j, em t = 1. 
 
 
r'(t) = v(t) = 32i - j 
 r'(t) = v(t) = 12i - j 
 
r'(t) = v(t) = 13i - 2j 
 
r'(t) = v(t) = 15i - 3j 
 
r'(t) = v(t) = 14i + j 
Determine a integral ∫01∫02∫0(1-z)dydxdz 
 
 
2-2z 
 2 
 
0 
 
1-z 
 1 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
ENCONTRE A ∂f/∂y se f (x, y) = y sen xy 
 
 
y2 cos xy + x sen xy 
 xy2 cos xy + sen xy 
 
x2 y cos xy + x sen xy 
 
x y2 cos xy + x sen xy 
 xy cos xy + sen xy 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule o limite da seguinte função vetorial: 
 
limt→∞[(1+3t)t i+(lntt) j+(5t3+t2t3-1) k] 
 
 e3 i + 5k 
 3i+j+5k 
 e3 i+j 
 e3i+j+5k 
 3i+5k 
 
 4a Questão 
 
 
Calcule a integral dupla: 
∫24 ∫12 (x² + y²) dydx 
 
 70/3 
 
70/11 
 70/13 
 
70/9 
 
70/15 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O domínio da função f(x, y) = √(25 - x^2 - y^2 ) está: 
 
 
no centro do círculo. 
 
no raio do círculo. 
 Limitado pela circunferência do círculo de raio igual a 5, com centro em (0, 0). 
 
no interior do círculo com centro na origem e raio menor que 5. 
 
na reta y = x. 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Qual é o valor da derivada direcional da função f(x,y) = x2+ y2 no ponto (1,1) e na direção do vetor U = (0,-
1) 
 
 
-4 
 -2 
 -1 
 
-5 
 
-3 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 z=-8x+12y -14 
 z=8x - 10y -30 
 z=8x-12y+18 
 z=-8x+12y-18 
 z=-8x+10y-108a Questão 
 
 
Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da 
função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1) 
 
 ∇f=<e, e,-e> 
 ∇f=<-e,-e, e> 
 ∇f=<-e,-1,-e> 
 ∇f=<-1,-1,-1> 
 ∇f=<-e,-e,-e> 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j + 3k 
 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 (-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 (-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Com relação a função f(x,y) = 3xy^2+x^3-3x, podemos afirmar que: 
 
 
O ponto (-1,0) e ponto de Sela. 
 O ponto (0,1) e ponto de Máximo. 
 
O ponto (0,-1) e ponto de Máximo local. 
 O ponto (1,0) e ponto de Mínimo local. 
 
O ponto (1,1) e ponto de Máximo. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O vetor posição de um objeto, que se move no plano, é dado por r(t) = (t³)i + (t²)j . Calcule a aceleração 
em t =1 segundo. 
 
 
6i - 2j 
 
6i + j 
 6i + 2j 
 
i - 2j 
 
i + j 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual é a resposta correta para a derivada da função vetorial r(t) = (t.cost)i + (t.sent)j + 
tk ? 
 
 
(t.cost - sent)i + (sent - t.cost)j + k 
 (cost - t.sent)i + (sent + t.cost)j + k 
 
(sent - t.cost)i + (sent.cost)j - k 
 (cost - t.sent)i + (sent + cost)j + k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
 5a Questão 
 
 
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100 metros quadrados. A prefeitura exige 
que exista um espaço livre de 25 metros na frente, 20 metros atrás e 12 metros em cada lado. Encontre as 
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. 
 
 a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (104,33) e (195,62) 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (97,33) e (145,62) 
 a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (147,33) e (105,62) 
 
a área mínima é obtida quando as dimensões do lote forem aproximadamente (17,33) e (95,62) 
 
n.r.a 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Uma partícula tem vetor posição dado por r(t) = (cost, sent, t). O seu vetor velocidade v(t) é dado por: 
 
 
(sent, -cost, 0) 
 (sent, -cost, 1) 
 
(sent, -cost, t) 
 
(sect, -cost, 1) 
 (-sent, cost, 1) 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a única resposta correta para a equação paramética para a reta que 
passa por P(3, -4, -1) paralela ao vetor `v = i + j + k`. 
 
 `x = t`; `y = - t`; `z = -1 + t` 
 `x = 3 + t`; `y = -4 + t`; `z = 1 - t` 
 `x = 3 + t`; `y = 4 + t`; `z = -1 + t` 
 `x = 3 + t`; `y = -4 + t`; `z = -1 + t` 
 `x = -3 + t`; `y = -4 + t`; `z = -1 + t` 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a equação do plano tangente à esfera `x² + y² + z² = 
50 no ponto `P(3,4,5)`. 
 
 `3x + 4y - 5z = 0` 
 `6x+8y-5z = 0` 
 `3x - 4y + 5z = 18` 
 
 `6x + 8y + 10z = 100 ` 
 
 `3x + 4y + 5z = 0 ` 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy + 2y2 , onde x(t) = t e y (t) = t ? 
 
 
6t 
 
8t 
 2t 
 
4t 
 -8t 
 
 2a Questão 
 
 
Dada a 
função f(x,y,z)=sen(y+2z)+ln(xyz)+cos(x+2z) encontre 2∂f∂x+2∂f
∂y-∂f∂z 
 
 
cos(y+2z)+(1x)+(1y)+(1z)-sen(x+2z) 
 2(xz+yz-xy)xyz 
 cos(y+2z)-sen(x+2z) 
 
1xyz 
 
 (1x+1y+1z) 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere a regiao delimitada por y = (a2 - x2 )1/2 , o eixo x e as retas x = - a e x = a, sendo girada ao 
redor do eixo x. Determine qual o sólido gerado e qual o volume referente a mesma. 
 
 
O solido gerado é uma esfera de raio 3 e o volume gerado será (4/3) pi. 
 
O solido gerado é uma elipse e o volume gerado será pi a3 . 
 
O solido gerado é uma esfera de raio 5 e o volume gerado será (4/3) pi . 
 
O solido gerado é uma elipse de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a. 
 O solido gerado é uma esfera de raio a e o volume gerado será (4/3) pi a
3 . 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O divergente de F(x, y) = 
(4x2 - y)i + (x.y - 3y2)j vale: 
 
 
6y + 2x 
 9x -6y 
 
3y - x 
 2y - x 
 
2y -3x 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y são, 
respectivamente 
 
 
5x e 5y+10 
 5x e 10 
 
5x e 10x 
 5y e 5x+10 
 
5 e 10y 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1;2) é 
 
 
-10 
 
20 
 10 
 15 
 
5 
 
 7a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = 3t ? 
 
 -23t - 81t2 
 -46t - 81t2 
 -46t - 81 
 -46 - 81t2 
 -46t - 27t2 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontrar o volume do tetraedro: ∫01 ∫x1 ∫0y-xF(x, y, 
z)dzdydx. 
Considerar F(x, y, z) = 1. 
 
 
7/6 
 1/6 
 
2/3 
 
1/2 
 
5/6 
 
Usando diferencial, obter o aumento aproximado do volume de um cilindro circular reto, quando o raio da 
base varia de 3 cm para 3,1 cm e a altura varia de 21 cm até 21,5 cm. 
 
 
11,12 pi cm^3 
 
2,1 pi cm^3 
 17,1 pi cm^3 
 
2 pi cm^3 
 
10 pi cm^3 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 27/2 
 
41 
 
18/5 
 
22 
 
33/19 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Qual é a derivada parcial da funçãof(x,y)=(yex+x sen y) 
 
 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos x 
 fx=yex+sen y e fy=ex+cos y 
 
 fx=yex+sen x e fy=ex+cos y 
 
 fx=ex+sen y e fy=ex+cos y 
 
 fx=yex+sen y e fy=ey+cos y 
 
 
Explicação: Derivada Parcial de 1 ordem 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A concentração de certo fármaco no sangue, t horas após sua administração, é dada pela fórmula: y(t) = 
(10 t)/〖(t+1)〗^2 , t ≥0 Em qual intervalo essa função é crescente? 
 
 0 ≤t < 1 
 
T > 1 
 T > 10 
 
1/2<="" 10<="" td=""> 
 
T ≥0 
 
 5a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = -t e y (t) = t ? 
 
 
-18t-1 
 
18t 
 
-18t+1 
 18t -3t² 
 18t+1 
 
 6a Questão 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: 
 
 
Sobre a função z=3x^3 y^2+y^3 x^2, podemos afirmar que ∂z/∂x∂y=6xy+6xy^2. 
 
Considerando a função z=3x^2+xy+y^3, podemos afirmar que ∂z/∂x=3xy+y. 
 Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 
cm, respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo, 0,1 cm. Utilizando o 
diferencial total para estimar o erro máximo contido no cálculo, podemos afirmar que volume do cone 
é de aproximadamente 20π cm^3. 
 
Todas as opções são verdadeiras. 
 
Se as dimensões de uma caixa retangular medem 75 cm, 60 cm e 40 cm e que a cada medida a 
precisão e de 0,2 cm, então podemos afirmar que a diferença entre o volume do sólido e o volume 
estimado pelo diferencial é maior que 5%. 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do 
sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os 
intervalos 
R= [0,1]x[0,3]. 
 
 1/2(e-1)(e6-1) 
 
-1/2(e-1)(e6-1) 
 
1/2(e-1) 
 
(e-1)(e6-1) 
 
1/2(e6-1) 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações 
y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 
 
 
105 
 
120 
 110 
 125 
 
115 
 
 2a Questão 
 
 
Utilizando a derivadaparcial de segunda ordem, qual é o resultado fxx da 
função : f(x,y)=(x3+y3−3xy) ? 
 
 12x 
 
8x 
 
15x 
 
10x 
 6x 
 
 3a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = x2 -8xy - y3 , onde x(t) = t e y (t) = - t ? 
 
 
18t+2 
 
18t-1 
 
18t 
 18t+1 
 
-18t+1 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
14 
 
18/35 
 
15/17 
 27/2 
 
12 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Qual o gradiente da função f(x,y) = -x2 - y + 4 ? 
 
 
(-2x, 1) 
 (-2x, -1) 
 
(2x, 1) 
 
(2x, -1) 
 
(-2, 1) 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
- 11 
 
5 
 12 
 
-12 
 11 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre a integral ∬dxdy no interior da região R, definida pelos pontos (0,0), (1,0) e (0,1): 
 
 
1/4 ua 
 1/5 ua 
 
1 ua 
 ½ ua 
 
1/3 ua 
 
 2a Questão 
 
 
Determine as derivadas de primeira ordem da função: 
 f(x,y,z) = x2y - 3xy2 + 2yz. 
 
 fx = 2xy - 3y , fy = x
2 - 3xy + 2z, fz = 2z 
 
fx = 2x - 3y2 , fy = x2 - 3xy + 2y, fz = 2y 
 
fx = xy - 3y , fy = x - 6xy + 2z, fz = 2y 
 fx = 2xy - 3y2 , fy = x2 - 6xy + 2z, fz = 2y 
 
fx = 2xy - y2 , fy = x2 - 6x + 2z, fz = y 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A função T(x,y)=60-2x²-3y² representa a temperatura em qualquer ponto de uma chapa. Encontrar a razão 
de variação da temperatura em relação a distância percorrida ao longo da placa na direção dos eixos x e y, 
no ponto (1,2). Considere a temperatura medida em graus e a distância em cm. 
 
 
-4º/cm e 12º/cm 
 -4º/cm e -12º/cm 
 13º/cm e -15º/cm 
 
4º/cm e 12º/cm 
 
14º/cm e 2º/cm 
 
 4a Questão 
 
 
Qual das soluções a seguir apresenta a equação da reta tangente a curva 
3x+2sen(3(y-1))=9 no ponto P(3,1)? 
 
 
3x+2y+2=0 
 x+2y-5=0 
 
x+y-9=0 
 
NDA 
 3x+2y-2=0 
 
 5a Questão 
 
 
Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do 
sólido gerado pela expressão ∫ ∫(x2 + y2) dxdy para os 
intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 
 
 17(u.v.) 
 
21(u.v.) 
 
15(u.v.) 
 
2(u.v.) 
 8(u.v.) 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a derivadas de f(x,y,z) = ln(4) + xy2-2(sin(2z))2-2(cos(2z))2 em P(2,1,1). 
 
 
NDA 
 fx=1 fy=4 fz=-8 
 fx=1 fy=4 fz=0 
 
fx=5/4 fy=2 fz=-8 
 
fx=1 fy=2 fz=-8 
 
 8a Questão 
 
 
Qual é a derivada total dz/dt, sendo z = 2x2 -4xy - 2y2 , onde x(t) = -t e y (t) = -t 
 
 
4t 
 
2t 
 -8t 
 8t 
 
-4t 
Sendo f(x,y)=5xy+10y, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (1;2) é 
 
 
-5 
 
15 
 -10 
 
5 
 10 
 
 2a Questão 
 
 
Determine o gradiente da função f(x)=sen(2x)y+yz em P(0,1,2). 
 
 
(2,2,2) 
 (0,0,0) 
 (2,2,1) 
 
NDA 
 
(-1,0,2) 
 
 3a Questão 
 
 
Se z=x2y+3xy4, onde x = sen(2t) e y = cos(t), o valor de dzdt, quando t = 0, equivale a: 
 
 
2 
 0 
 
8 
 
4 
 6 
 
 
Explicação: 
A questão tem duas soluções, sendo a primeira com o uso da Regra 
da Cadeia. Entretanto a mais rápida se dá substituindo na expressão 
original o x e o y pelas expressões dadas e derivando-se a nova 
expressão. Assim: 
z(t)=sen²(2t)cos(t)+3sen(2t)cos4(t) 
Agora, deriva-se a expressão acima e, ao final, substitua t = 0 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
1)O cálculo de uma integral tripla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de seis maneiras 
diferentes. 
2)O cálculo de uma integral dupla em coordenadas cartesianas pode ser efetuado de quatro maneiras 
diferentes. 
 3)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo se duas ( ou três ) integrais 
simples, de diferentes maneiras, segundo o sistema de coordenadas considerado. 
 4)A ordem de integração de integrais duplas ou triplas é arbitrário. 
 5)O cálculo de integrais duplas ( ou triplas) se reduz ao cálculo sucessivo de duas ( ou três ) integrais 
simples, sempre da mesma forma. 
 As seguintes afirmações são verdadeiras: 
 
 
 
1,3,5 
 1,3,4 
 2,4,5 
 
1,2,3 
 
2,3,4 
 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da soma: d2xdt2+w2x? 
 
 w2 
 -wsen(wt) 
 0 
 cos2(wt) 
 w2sen(wt)cos(wt) 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a única resposta correta para a derivada parcial da função f(x,y) = x2 + y2 + x2y. 
 
 
fx = - 2x(1 + y); fy = 2y - x2 
 fx = 2(1 + y); fy = y2 + x2 
 fx = 2x(1 + y); fy = 2y + x2 
 fx = x(1 + y); fy = y + x2 
 fx = 2x(1 - y); fy = 2y - x2 
 
 5a Questão 
 
 
Determine dois números cuja a soma seja 20 e o produto seja máximo. 
 
 
16 e 4 
 10 e 10 
 
12 e 8 
 
15 e 5 
 
11 e 9 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 10 u.v 
 
18 u.v 
 9/2 u.v 
 
24/5 u.v 
 
16/3 u.v 
 
 
Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 
0=<="" td=""> 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x, y e z são funções de outra variável t. 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz-se que dwdt é a derivada total de w com relação a t e 
representa a taxa de variação de w à medida que t varia. 
Supondo w=x2+y2+z2 onde x=etsent, y=etcost, z= 2e2t, 
calcule dwdt para t=0, encontre dwdt. 
 
 dwdt=18 
 dwdt=12 
 dwdt=16 
 dwdt=20 
 dwdt=0 
 
 
Explicação: 
dw/dt = dw/dx.dx/dt + dw/dy.dy/dt + dw/dz.dz/dt 
dw/dt = 2x.et(sent + cost) + 2yet(cost - sent) + 2z.4e2t 
dw/dt = 2etsent.et(sent + cost) + 2etcost.et(cost - sent) + 2.2e2t.4e2t 
dw(0)/dt = 2e0sen0e0(sen0+cos0) + 2e0cos0e0(cos0-sen0)+16e0 = 18 
 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se f(x,y,z) = sen(xy) + cos(z), encontre o valor máximo da derivada direcional no ponto (0,π,π/2). 
 
 
4√(π^2+ 1) 
 
5√(π^2+ 1) 
 2√(π^2+ 1) 
 √(π^2+ 1) 
 
3√(π^2+ 1) 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 
 
 288π 
 188π 
 
144π 
 
36π 
 
244π 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
π 
 
0 
 2π 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
π+senx 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (5x4 - y)i + (6x.y.z 
- 3y2)j no ponto (0,1,1). 
 
 
-5 
 
-4 
 -2 
 -6 
 
-1 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação 
às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 
2]. 
 
 
7 
 35/4 
 35/6 
 
35/2 
 
35/3 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considerando as funções f(t), g(t) e h(t) para t pertencente aos Reais, analise as afirmativas abaixo: 
 
I. A função f(t) é contínua para t = 0; 
II. A função g(t) é descontínua para t = 0; 
III. A função h(t) não possui imagem para t = pi/6; 
Encontramos afirmativas corretas somente em: 
 
 
III 
 I e II 
 
II 
 
I, II e III 
 
I 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcular o volume do sólido:∫01 ∫01-z ∫02 dxdydz. 
 
 2 
 
1.5 
 
2.5 
 
3 
 1 
 
 
A derivadada função f(x,y,z) = x3 - xy2 - z, em Po=(-2, 1, 0), na direção do vetor V = 2i +3j - 6k será: 
 
 
-51/7 
 
12/7 
 40/7 
 
-37/7 
 26/7 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=cos x, com x variando de 
0 a pi/2, obtemos: 
 
 
2,0 
 1,0 
 pi/2 
 
0,5 
 
1,5 
 
 
Explicação: É só calcular a Integral de 0 a pi/2 da Integral de 0 a cos x, dy dx 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
Integrando temos: 
 
 (sent)i + t4j 
 
(cost)i-(sent)j+3tk 
 (cost)i+3tj 
 
-(sent)i-3tj 
 (cost)i-3tj 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única 
resposta correta. 
 
 (0,0,2) 
 (0, 1,-2) 
 (0,-1,2) 
 (0,-1,-1) 
 (0,0,0) 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Se f(x) = sen(x) + cos(x) + tg(x), então f'(0) é igual a: 
 
 
1/2 
 -1 
 
1 
 2 
 
-1/2 
 
 
Explicação: Note que, f'(x) = cos(x) - sen(x) + sec²(x). Daí, f'(0) = cos(0) - sen(0) + sec²(0) = 1 - 0 + 1 = 
2. 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dadas as expressões paramétricas: x=e-2t e y=6e4tindique a única expressão 
correta na forma y=f(x): 
 
 
 y=- 6x2, x>0 
 y=2x2 
 y=6x2 
 y=1x, x>0 
 y=6x2, x>0 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcular a área da região limitada pelas curvas : y = 1 - x² e y = -3, que interceptam-se nos pontos de 
abscissas -2 e 2. 
 
 32/3 u.a. 
 8/3 u.a. 
 
5/2 u.a. 
 
-12 u.a. 
 
-4/3 u.a. 
 
 2a Questão 
 
 
Vamos supor que a função f(x,y) = 1000 - 2x2 + 15y represente o consumo semanal de feijão de um 
restaurante (em Kg), em função do preço x (em R$) do quilo de feijão e do preço y (em R$) do quilo de 
arroz. 
Analisando os resultados das derivadas parciais fx e fy no ponto P=(3,4), podemos concluir acertadamente 
que: 
 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de 
feijão irá aumentar em 20 Kg. 
 Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá aumentar em, aproximadamente, 15 Kg. 
 
Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá aumentar. 
 Aumentando o preço do feijão de 3 para 4 reais, mantendo-se fixo o preço do arroz, o consumo de 
feijão irá reduzir em, aproximadamente, 12 Kg. 
 
Aumentando o preço do arroz de 4 para 5 reais, mantendo-se fixo o preço do feijão, o consumo de 
arroz irá aumentar. 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcular o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação z = x² + y² e inferiormente 
pela região R = {(x, y) ∈ R² : 1 ≤ x² + y² ≤ 4 e x ≥ 0}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x2/6 e y = 6 , que interceptam-se nos pontos de 
abscissas -6 e 6. 
 
 36 u.a. 
 
24 u.a. 
 
18 u.a. 
 48 u.a. 
 
72 u.a. 
 
 5a Questão 
 
 
Considere a função f: R →R definida por y = f(x) = x4 - 5x2 + 4, para cada x ∈ R.A área da região limitada pelo 
gráfico da função y=f(x),o eixo Ox e as retas x=0 e x=2 é igual a: 
 
 
38/15 unidades de área 
 16/15 unidades de área 
 
22/15 unidades de área 
 
75/15 unidades de área 
 60/15 unidades de área 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontrar a área da região limitada pelas curvas y = 3 - x e y = 3 - x², que interceptam-se nos pontos de 
abscissas 0 e 1. 
 
 
6 u. a. 
 1/6 u.a. 
 8/3 u.a. 
 
5/2 u.a. 
 
2/5 u.a. 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcular a área da região delimitada pelas curvas dadas y = 5 - x² e y = x + 3, que se interceptam nos 
pontos de abscissas -2 e 1 
 
 9/2 u.a. 
 
2/9 u.a. 
 12 u.a. 
 
15/2 u.a. 
 
4/3 u.a. 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre dy/dx derivando implicitamente: x^(4 ) ( x+y)= y^2 (3x-y ) 
 
 (3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-3xy) 
 
(3y^3-5x^(3 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
(3y^2-5x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+y^(2 )-6xy) 
 
(y^2-x^(4 )-4x^(3 ) y)/(x^(4 )+3y^(2 )-6xy) 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a integral dupla ∬(x-3y²) dA, onde R = { (x,y)/ 0 ≤x ≤2 ; 1≤y ≤2} 
 
 
4 
 
16 
 - 12 
 12 
 
14 
 
 
Explicação: 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Dividir o número 120 em 2 partes tais que o produto de uma pelo quadrado da 
outra seja máximo. 
 
 
100 e 20 
 
60 e 60 
 30 e 90 
 80 e 40 
 
50 e 70 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual é o resultado da integral dupla ∫0−1∫0−1xydxdy 
 
 
-1/8 
 
-1/4 
 
-1/2 
 1/4 
 
1/8 
 
 
Explicação: Resultado se dá pelo cálculo da integral dupla 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 189/10 
 
58 
 
197/13 
 
150/29 
 
14 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = 
( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * y^(2) * z ) (k). 
O divergente da função F(x,y,z) vale: 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calculando por integral dupla a área entre o eixo x e a curva y=sen x, com x 
variando de 0 a π, obtemos: 
 
 
1,5 
 2,0 
 
π/2 
 
0,5 
 1,0 
Qual o resultado da integral dupla ∫0−1∫0−12xydxdy? 
 
 
1/4 
 1/2 
 
-1 
 
1/6 
 
1 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre os números críticos de f(x) = x3/5(4-x). 
 
 
0 
 
0 e 4 
 
1 e 4 
 
3/2 
 3/2 e 0 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Seja F(r,θ,φ)=(r.cos(θ).cos(φ), r.sen(θ).cos(φ), r.sen(φ)). Então, o div F é igual a 
 
 cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) - r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 - cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) + r.cos(φ) 
 
cos(θ).cos(φ) + r.cos(θ).cos(φ) - r.cos(φ) 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual é o resultado da integral tripla :∫20∫20∫20xyzdxdydz? 
 
 
6 
 
4 
 8 
 1/6 
 
1/8 
 
 
Explicação: Cada uma das integrais tem seu valor igual a 2, o produto das 3 da 8 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Seja F(x,y) = (x²-7, x.y, z). Então div F é igual a: 
 
 
x+y 
 3x+1 
 x+z 
 
2x+y+1 
 
y+z 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre as derivadas parciais da função ln(xyz) 
 
 
df/dx = 1/x df/dy = 2/y df/dz = 1/z 
 
df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z 
 df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 2/z 
 
df/dx = 2/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z 
 df/dx = 1/x df/dy = 1/y df/dz = 1/z 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque apenas a alternativa correta: Qual o gradiente da função z=xy^2+yx^2 no ponto (1,2) e qual o 
valor máximo da derivada direcional neste ponto? 
 
 
-8i ⃗+5j ⃗ e √19 
 
-18i ⃗+5j ⃗ e √19 
 2i ⃗+7j ⃗ e √85 
 
8i ⃗-5j ⃗ e √69 
 8i ⃗+5j ⃗ e √89 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Calcule a integral dupla: ∬_R▒〖(1+4xy)〗 ) dA , onde R = { (x,y)/ 1 ≤y ≤3; 0≤x ≤ 1 } 
 
 
1 + 2y 
 10 
 
2 + 16x 
 
y + y^2 
 
18 
Calculando por integral dupla a área entre as curvas y= x e y=2x, com x variandode 0 a 2, obtemos: 
 
 
1,5 
 1,0 
 2,0 
 
2,5 
 
0,5 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
14 
 189/10 
 58 
 
150/29 
 
197/13 
 
 5a Questão 
 
 
 Calcular a Integral dupla abaixo 
 
 
 
 
 32/3 
 
21/3 
 22/3 
 
31/3 
 
23/3 
 
 6a Questão 
 
 
O resultado da integral dupla ∫10∫10xydxdy é : 
 
 
1/6 
 1/4 
 1/2 
 
1/5 
 
1/8 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a área da região limitada por 
 
 
 
96/3 
 64/3 
 
31/3 
 
32 
 
32/3 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Qual resultado da integral ∫0−1∫0−14xydxdy? 
 
 
2 
 1 
 
4 
 -2 
 
-1 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcule a integral dupla de f(x,y) = xy^2, onde R = [−1, 0] × [0, 1]. 
 
 
0 
 
1/6 
 
25/3 
 
25/6 
 -1/6 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Transforme para o sistema de coordenadas polares a 
integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o seu 
valor. 
 
 π2 
 π4 
 
 π 
 π3 
 π5 
Calcule a integral de linha de função f(x,y)=2xy sobre a curva no R2 dada por x2+4y2=4 ligando os pontos 
(2,0) e (0,1) pelo arco de menor comprimento 
 
 28/9 
 14/9 
 
-1 
 
1 
 
0 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x + 2 
 
 
5/6 
 9/2 
 
1 
 
3 
 
1/2 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine a integral de linha do campo conservativo F=(2xy-3x, x^2+2y) entre os pontos (1,2) e (0,-1). 
 
 
1/2 
 
0 
 -7/2 
 
7/2 
 
-1/2 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcular a integral tripla de F(x,y,z) = z sobre a região R limitada no primeiro octante pelos planos y=0, 
z=0, x+y=2, 2y+x=6 e pelo cilindro y^2 + z^2 = 4. 
 
 26/3 
 2 
 
15/4 
 
3 
 
13/26 
 
 5a Questão 
 
 
Um objeto percorre uma elipse 4x^2 +25y^2 = 100 no sentido anti-horário e se encontra submetido à força 
F (x, y) = (−3y, 3x), com a força em Newtons e o deslocamento em metros. Ache o trabalho realizado em 
Joules. 
 
 60PI 
 20PI 
 
100PI 
 
40PI 
 
80PI 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Apresente a expressão do operador rotacional do campo 
vetorial: 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x.z -ey)j+(x.y+z2)k no ponto P(0,0,1). 
 
 
j+k 
 
 i -j 
 
 
i+k 
 
i+j+k 
 
 i -j+k 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Use coordenadas esféricas para calcular o volume limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e 
abaixo pelo cone z= SQRT( x^2 + y^2). 
 
 
Nenhuma das alternativas anteriores. 
 
16*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 32*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 64*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
128*Pi(2-SQRT(2))/3; onde Pi = 3,14 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Qual é o gradiente ∇f no ponto (1,1,1) para a função f(x,y,z)=x2+y2-2z2+senx ? 
 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (4+cos1)i+2j-4k 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+4j-4k 
 ∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-8k 
 ∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-4k 
 
∇f no ponto (1,1,1) = (2+cos1)i+2j-6k 
Qual a força necessária que atua num objeto 3 kg de massa e vetor posição r = t3i + t2j + t3k?Lembre das leis de 
newton F=MA 
 
 
F = 6t i + 6 j + 18t k 
 F = 9t i + 6 j + 9t k 
 
F = 12t i + 6 j + 12t k 
 
F = 9t2 i + 6 j + 9t2 k 
 F = 18t i + 6 j + 18t k 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O valor da integral é 
 
 
-2/3 
 2/3 
 
0 
 
1/12 
 -1/12 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
8π3 
 
82 
 8π2 
 
2 
 
π2 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
As coordenadas do vetor tangente à função f(t), para t pertencente ao intervalo [1;5], em t0=2 são: 
 
 
 v = (4; 16) 
 
v = (-2; 3) 
 
v = (3; -5) 
 
v = (-1; 2) 
 v = (-3; 5) 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + 
t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 
 2t j 
 t2 i + 2 j 
 3t2 i + 2t j 
 0 
 - 3t2 i + 2t j 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre o divergente de F(x, y) = (x3 - y)i + (2x.y - y3)j 
no ponto (1,1). 
 
 2 
 
6 
 3 
 
4 
 
5 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Utilizando o Teorema de Green, calcule a integral de linha abaixo, sabendo-se que C é a curva representada 
pela fronteira . 
 
 
 
 -6 
 3 
 
6 
 
-3 
 
-1 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 1,3,4 
 
1,2,4 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 25, 33 
 
34,67 
 53,52 
 
32,59 
 
33,19 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) em relação 
às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e z varia no intervalo [3 , 
4]. 
 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6