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Matemática Superior - UVB
Faculdade On-line UVB36
Aula 06
Diferenciação e suas 
Propriedades
Objetivos da Aula
• Estudar as propriedades das derivadas, afim de evitar 
erros na operação de funções diferenciáveis;
• Aplicar as regras de derivadas para resolver problemas na 
área administrativa;
• Favorecer o desenvolvimento da capacidade de interpretar 
e resolver problemas, relacionando o conteúdo à prática 
profissional.
Derivada das Funções Trigonométricas
Derivada da função seno
Se f(x) = sen x, então f’(x) = cos x.
Sabemos que sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a. 
Logo o sen (x + h) = sen x . cos h + sen h . cos x, desta forma temos:
( ) ( ) ( )
h
xfhxf
xf
−+=
→0h
lim'
( ) ( )
h
senxhxsen
xf
−+=
→0h
lim'
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Derivada da Função Coseno
Se f(x) = cos x, então f’(x) = -sen x.
De forma análoga a demonstração anterior podemos encontrar a 
derivada da função coseno.
Derivada das demais Funções Trigonométricas
Como as demais funções trigonométricas são definidas a partir do 
seno e cosseno, podemos usar as regras de derivação para encontrar 
suas derivadas.
De fato, usamos a regra do quociente, obtemos
( )
h
senxsenhxhsenx
xf
−⋅+⋅=
→
coscos
lim'
 
0h
( ) 


 ⋅+−⋅=
→ h
senhx
h
senxhsenx
xf
 
0h
coscos
lim'
( ) 


 



+



 −⋅=
→ h
senh
x
h
senxxf cos
1cos
lim'
h
 
0h
( )
h
senh
x
h
h
senxxf
0h0h0h0h
 
→→→→
⋅+−⋅= limcoslim1coslimlim'
( ) =⋅+⋅= 1cos0' xsenxxf xcos 
0 1
se x
xsen
xtgy
cos
 
 ==
, então y’ = sec 2 x. 
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Similarmente, encontramos:
Propriedades Operatórias das Derivadas
Derivada do Produto de Funções ou Regra do Produto
A derivada do produto de duas funções diferenciáveis é dada pela 
seguinte regra:
Exemplos:
1. Determine a derivada da função f(x) = (2x 2 - 1) . (x 3 + 3).
Fazendo pela regra do produto teremos:
( )
x
xsenxsenxx
y
2cos
 −⋅−⋅= coscos' 
 
x
senx
y
2cos
 
22cos
'
+= 
 
==
x
y
2cos
 1
' .xec 2s 
Se y = cotg x então y’ = cosec 2 x; 
 
Se y = sec x então y’ = sec x . tg x, e 
 
Se y = cosec x então y’ = -cosec x . cotg x. 
( ) ( )[ ] ( ) ( )xgxfxgxf
dx
d
''≠
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2. Diferencie a função 
Solução 1 
Usando a regra do produto, temos
Solução 2
Se primeiro usarmos as leis dos expoentes para reescrever f(t), então 
poderemos prosseguir diretamente sem usar a Regra do Produto.
 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )123312' 2332 −+++−= x
dx
d
xx
dx
d
xxf 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxf 43312' 322 ⋅++⋅−= 
 
( ) xxxxxf 12436' 424 ++−= 
 
( ) xxxxf 12310' 24 +−= 
 
( ) ( )12310' 3 +−⋅= xxxxf 
( ) ( )tttf −⋅= 1
( ) ( ) ( ) t
dt
d
tt
dt
d
ttf −+−= 11' 
 
( ) ( ) ( ) 2/1
2
1
11' −⋅−+−⋅= ttttf 
 
( ) =
⋅
−+−=
t
t
ttf
2
1
'
t
t
⋅
−
2
31
 
( ) 2/32/1 ttttttf −=⋅−=
( ) 2/12/1
2
3
2
1
' tttf −= −
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que é igual à resposta dada na solução 1.
Este exemplo mostra que, algumas vezes, é mais fácil simplificar um 
produto de funções do que usar a Regra do Produto. Entretanto, 
existem problemas que a Regra do Produto é o único método 
possível.
Derivada do Quociente de Funções ou Regra do Quociente
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis. Se fizermos previamente 
a conjectura que a função quociente F = f /g é diferenciável, então não 
é difícil achar uma fórmula para F’ em termos de f’ e g’.
Uma vez que F(x) = f(x)/g(x), podemos escrever f(x) = F(x)g(x) e aplicar 
a Regra do Produto:
Resolvendo essa equação para F’(x), obtemos
Se f e g forem diferenciáveis, então
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFxgxgxFxf ''' +=
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )xg
xg
xg
xf
xf
xg
xgxFxf
xF
''
''
'
−
=−=
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2 
''
xg
xgxfxfxg −=
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]2 
'
''
xg
xgxfxfxg
xg
xf −=



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Para ajudar a lembrar esta expressão, observe que ela tem a seguinte 
forma:
Atenção:
A derivada do quociente de duas funções não é dada pelo quociente 
das derivadas das funções; isto é, em geral
Exemplos:
1. Se f(x) = x 3 e g(x) = x 2, então
( )
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]
( )[ ]2 xg
xg
dx
d
xfxf
dx
d
xg
xg
xf
dx
d
−
=



( )
( )



xg
xf
dx
d
( ) ( )
 
rdenominado do Quadrado
rdenominado
do Derivada
 Numerador
numerador
do Derivada
 rDenominado 


−



=
( )
( )
( )
( )xg
xf
xg
xf
dx
d
'
'≠



( )
( )
( ) ( )===



x
dx
d
x
x
dx
d
xg
xf
dx
d
2
3
1 
 
que não é o mesmo que 
 
( )
( )
( )
( )
===
x
x
x
dx
d
x
dx
d
xg
xf
2
3
'
' 2
2
3
 x
2
3
 
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2. Determine f’(x) para que .
Usando a Regra do Quociente, obtemos
Derivada de Uma Função Composta ou Regra da Cadeia
Agora, vamos introduzir mais uma regra de diferenciação, a chamada 
regra da cadeia. Quando usada conjuntamente com as regras de 
diferenciação já vistas por nós, a Regra da Cadeia nos permite ampliar 
consideravelmente a classe de funções que poderemos diferenciar.
Suponha que lhe foi pedido para diferenciar a função
Observe que F é uma função composta. De fato, se tomarmos 
 e seja , então poderemos 
escrever y = F (x) = f (g(x)), isto é F = f o g (lê – se f bola g). Sabemos 
como diferenciar ambos, f e g, então seria proveitoso ter uma regra 
que nos dissesse como achar a derivada de ‘’F = f o g’’ em termos das 
derivadas de f e g.
( )
42 −
=
x
x
xf
( )
( ) ( ) ( )
( )242
4242
'
−
−−−
=
x
x
dx
d
xx
dx
d
x
xf 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )( )242
2142
'
−
⋅−⋅−=
x
xx
xf 
 
 
( ) ( ) =−
−−=
242
242
'
x
xx
xf ( )242
4
−
−
x
 
( ) 12 += xxF
( ) uufy == ( ) 12 +== xxgu
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Isso resulta que a derivada da função composta f o g é o produto 
das derivadas de f e g. Esse fato é uma das importantes regras 
de diferenciação, chamada Regra da Cadeia. Parece plausível 
interpretarmos derivadas como taxa de variação. 
Considere du / dx como a taxa de variação de u em relação a x, dy / 
du como a taxa de variação de y em relação a u, e dy / dx como a taxa 
de variação de y em relação a x. Se u variar duas vezes mais rápido do 
que x e y três vezes mais rápido do que u, então parece razoável que y 
varia seis vezes mais rápido do que x, e assim esperamos que:
TEOREMA PARA A REGRA DA CADEIA
Se f e g forem diferenciáveis e F = f o g for a função composta definida 
por F(x) = f (g(x)), então F é diferenciável de F’ é dada pelo produto
F’(x) = f’(g(x)).g’(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis, 
então
Seja ∆u a variação de u correspondente à variação de ∆x em x, isto é:
∆u = g(x + Dx) – g(x)
Então, a variação correspondente em y é
∆y = f(u + Du) – f(u)
dx
du
du
dy
dx
dy =
dx
du
du
dy
dx
dy =
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Assim,
A única falha nesse raciocínio é que em [ 1 ] pode acontecer que∆u = 0 (mesmo quando ∆x ≠ 0) e, obviamente, não podemos dividir 
por 0 (zero). No entanto, esse raciocínio, no mínimo, sugere que a 
Regra da Cadeia é verdadeira.
A Regra da Cadeia pode ser escrita também na notação linha
(f o g)’(x) = f’ (g(x)).g’ (x) [ 2 ]
ou, se y = f(u) u = g(x), na notação Leibniz:
 [3]
x
y
dx
dy
x ∆
∆=
→∆ 0
lim
 
 
x
u
u
y
dx
dy
x ∆
∆⋅
∆
∆=
→∆ 0
lim
 [ 1 ] 
 
x
u
u
y
dx
dy
xx ∆
∆⋅
∆
∆=
→∆→∆ 00
limlim
 
 
x
u
u
y
dx
dy
xu ∆
∆⋅
∆
∆=
→∆→∆ 00
limlim
 (Note que ∆u → 0 quando ∆x → 0, uma 
vez que g é contínua) 
 
dx
du
du
dy
dx
dy =
dx
du
du
dy
dx
dy =
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A equação [ 3 ] é fácil de lembrar, pois se dy / du e du / dx forem 
quocientes, então devemos calcular du. Lembre-se, entretanto, de que 
du não foi definida, e du / dx não deveria ser tido como um quociente 
atual.
Exemplos:
1. Encontre F’ (x) se 
Solução 1 
(usando a equação [ 2 ]): Como vimos no início desta aula, expressamos 
F como - F(x) = (f o g)(x) = f(g(x)), onde f (u) = e g(x) = x 2 + 1. 
Uma vez que
Solução 2 
(usando a equação [ 3 ]): Se tomarmos u = x 2 + 1 e , então
( ) 12 += xxF
u
( ) ( ) xxg
u
uuf 2'
2
1
2
1
' 2/1 === − e 
 
temos ( ) ( )( ) ( )xgxgfxF ''' ⋅= 
 
( ) =⋅
+
= x
x
xF 2
12
1
'
2 12 +x
x 
uy =
( ) ( )x
udx
du
du
dy
xF 2
2
1
' ⋅== 
 
( ) ( )=⋅
+
= x
x
xF 2
12
1
'
2 12 +x
x
 
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Quando usamos a fórmula [ 3 ], devemos ter em mente que dy / dx 
refere-se à derivada de y quando y é tida como uma função de x 
(chamada de derivada de y em relação a x), ao passo de que dy / du 
refere-se à derivada de y quando y é considerada como uma função 
de u (a derivada de y em relação a u). Assim, no Exemplo 1 y pode ser 
considerada como uma função de x ( ) e também como 
uma função de u ( ). Note que
Nota:
Ao usarmos a Regra da cadeia trabalhamos de fora para dentro. A 
fórmula 2 diz que diferenciamos a função de fora f [na função de dentro 
g(x)] e então multiplicamos pela derivada da função de dentro.
(�)�(� )� (�)�(� )� (�)�
dentrode
funç ãoda
de rivada
dentrode
funç ãona
c a lc ulada
forade
funç ãoda
de rivada
dentrode
funç ãona
c a lc ulada
e xte rna
funç ão
' xgxgfxgf
dx
d
'⋅�=�
Exemplos:
1. Diferencie:
a) y = sen (x 2)
Solução 
Se y = sen (x 2), então a função de fora é a função seno, e a função de 
dentro é a função quadrada; logo, a Regra da Cadeia dá
(� )� (� )� 
dentrode
funç ãoda
de rivada
dentrode
funç ãona
c a lc ulada
forade
funç ãoda
de rivada
dentrode
funç ãona
c a lc ulada
e xte rna
funç ão
xxx 22 2cos ⋅�=�=� sen
dx
d
dx
d
12 += xy
uy =
( ) ( )
u
uf
du
dy
x
x
xF
dx
dy
2
1
'
1
'
2
==
+
== enquanto 
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b) y = sen 2 x
Solução 
Note que sen 2 x = (sen x) 2. Aqui a função de fora é a função quadrada, 
e a função de dentro é a função seno. Então,
(� )� (� )� 
dentrode
funç ãoda
de rivada
dentrode
funç ãona
c a lc ulada
forade
funç ãoda
de rivada
inte rna
funç ão
x2 xsenxsen
dx
d
dx
d
cos2 ⋅�⋅�=�=�
A resposta pode ser deixada como 2 sen x cos x ou sen 2x (pela 
identidade trigonométrica conhecida como fórmula do ângulo 
duplo).
No Exemplo (a) combinamos a Regra da Cadeia com a regra para 
diferenciar a função seno. Em geral, se y = sen u, onde u é uma função 
diferenciável de x, então, pela Regra da Cadeia,
Todas as fórmulas para diferenciar funções trigonométricas podem 
ser combinadas com a Regra da Cadeia.
 Nota:
Agora veremos como se apresentam algumas derivadas que envolvem 
funções trigonométricas:
( )2cos2 xx =
dx
du
u
dx
du
du
dy
dx
dy
 cos==
 
 
Assim 
( )
dx
du
uusen
dx
d
 cos== 
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• A derivada de (sen x) nos leva ao (cos x)
• A derivada de (cos x) nos leva ao (-sen x)
• A derivada de (-sen x) nos leva ao (-cos x)
• A derivada se (-cos x) nos leva ao (sen x)
Derivada da Potência Combinada com a Regra da 
Cadeia
Vamos explicitar o caso especial da Regra da Cadeia, onde a função de 
fora f é uma função potência. Se y = [g(x)] n, então podemos escrever 
y = f(u) = u n, onde u = g(x). Usando a Regra da Cadeia e então a regra 
da Potência, obteremos
TEOREMA PARA A REGRA DA POTÊNCIA COMBINADA COM A 
REGRA DA CADEIA
Se n for qualquer número u = g(x) for diferenciável, então
Exemplos:
a) Diferencie y = (x 3 -1) 100.
( )[ ] ( )xgxgn
dx
du
nu
dx
du
du
dy
dx
dy
'1-n 1n === −
( )
dx
du
nuu
dx
d 1-nn =
 
 
Alternativamente, 
( )[ ] ( )[ ] ( )xgxgnxg
dx
d
'⋅= 1-n n 
 
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Solução 
Tomando u = g(x) = x 3 -1 e n = 100 na forma mostrada acima, temos
b) Encontre f’(x) se 
Solução 
c) Encontre a derivada da função 
Solução 
Combinando a Regra da Potência, da Cadeia e Quociente, obtemos
( ) ( ) ( )111001 39931003 −−=−= x
dx
d
xx
dx
d
dx
dy
 
 
( ) =⋅−= 2993 31100 xx
dx
dy ( )9932 1300 −xx 
( )
3 2 1
1
'
++
=
xx
xf
Primeiro reescreva ( ) ( )
-1/3
1: 2 ++= xxxff . Assim 
 
( ) ( ) ( )11
3
1
' 22 ++++−= xx
dx
d
xxxf
4/3-
 
 
( ) ( ) ( )121
3
1
' 2 +++−= xxxxf 4/3-
( )
9
12
2 




+
−=
t
t
tg
( ) 




+
−




+
−=
12
2
12
2
9'
8
t
t
dt
d
t
t
tg 
 
( ) ( ) ( )( ) =+
−−⋅+




+
−=
2
8
12
22112
12
2
9'
t
tt
t
t
tg
( )
( )10
8
12
245
+
−
t
t
 
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EXEMPLO DE APLICAÇÃO
O número de sócios de uma academia de ginástica aberta há algumas 
semanas é dado aproximadamente pela função
N(t) = 100(64 + 4t) 2/3 (0 ≤ t ≤ 52)
onde N(t) expressa o número de sócios no início da semana t.
a) Determine N’ (t).
b) Com que rapidez o número de sócios da academia estava 
aumentando inicialmente (t = 0)?
c) Com que rapidez o número de sócios da academia estava 
aumentando no início da 40ª semana?
d) Qual era o número de sócios quando a academia foi aberta? E 
no início da 40ª semana?
a) Usando a regra geral da potência obtemos
]
( ) ( )[ ]2/3t
dt
d
tN 464100' += 
 
( ) ( )2/3t
dt
d
tN 464100' += 
( ) ( ) ( )t
dt
d
ttN 464464
3
2
100' ++= 1/3- 
 
( ) ( ) ( )=⋅+= 4464
3
200
' 1/3-ttN ( )1/3t4643
800
+
 
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b) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando 
quando a academia foi aberta, é dada por
 
ou seja, aproximadamente 67 pessoas por semana.
c) A razão segundo a qual o número de sócios estava aumentando no 
início da 40ª semana, é dado por
 
ou seja aproximadamente 44 pessoas por semana.
d) O número de sócios quando a academia foi aberta é dado por
 
que é de aproximadamente 1600 pessoas. O número de sócios no 
início da 40ª semana é dado por
 
isto é, aproximadamente 3688 pessoas
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:
TAN, S.T. Matemática Aplicada à Administração e Economia. São Paulo:Thomson, 2001.
LEITHOLD, L. O. Matemática Aplicada à Economia e Administração. São 
Paulo: Harbra, 1988.
FLAMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. São 
Paulo: Pearson Education do Brasil, 1992
( ) ( ) ≈= 3/1643
800
0'N 7,66 
( ) ( ) ≈+= 3/1160643
800
40'N
( ) ( ) ( )=== 16100641000 2/3N 1600
( ) ( ) ≈+= 2/31606410040N 3,3688
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STEWART, James. Cálculo Volume I. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003