[Relatório] Movimento Harmônico Simples (M.H.S.)

Prévia do material em texto

M. H. S.: OSCILAÇÕES EM UM SISTEMA MASSA-MOLA 
CARVALHO, V. V.1 - Instituto Federal do Sertão Pernambucano - BR 407, Km 08 - Jardim São Paulo 
CEP: 56314-520 | Petrolina/PE – vinniciuscarvalho19@gmail.com 
SOUZA NETO, V. F. L.2 - Instituto Federal do Sertão Pernambucano - BR 407, Km 08 - Jardim São 
Paulo CEP: 56314-520 | Petrolina/PE – victorlopes.prof@gmail.com 
Resumo. Este relatório se refere ao experimento realizado para estudo de um sistema massa-mola, 
consistindo em determinar experimentalmente o valor da constante elástica “k” por meio de equações 
matemáticas oriundas da Lei de Hooke. Por fim comparar os valores obtidos com diferentes massas e, 
consequentemente, diferentes deformações, com valores conhecidos. 
Palavras chave: Movimento Harmônico Simples, massa-mola, lei de Hooke
Introdução 
 Segundo Hallyday (2012) descreve-
mos um movimento harmônico ou periódico, o 
movimento que se repete em intervalos 
regulares, como por exemplo uma partícula 
qualquer que se mova repetidamente de um lado 
para o outro da origem de um eixo x, observe a 
Figura 1. 
Figura 1 
 
Fonte: HALLIDAY, D; RESNICK, R; WALKER, J. (2012) 
Contudo nosso foco é o movimento 
harmônico simples, neste tipo de movimento o 
deslocamento x da partícula é dado por a seguinte 
expressão [Eq. (1)]; 
𝑥(𝑡) = 𝑥𝑚cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜙) (1) 
Onde “x(t)” é o deslocamento no 
instante “t”, “𝑥𝑚” é a amplitude, “(𝜔𝑡 + 𝜙)” 
chamaremos de fase, onde “𝜔” é a frequência 
angular, “t” o tempo e “𝜙” a constante de fase 
ou ângulo de fase. 
 
1 Graduando no curso de Licenciatura em Física do Instituto de Educação, Ciências e Tecnologias do Sertão 
Pernambucano – Petrolina/PE – Turma 1.132171 
2 Graduando no curso de Licenciatura em Física do Instituto de Educação, Ciências e Tecnologias do Sertão 
Pernambucano – Petrolina/PE – Turma 1.132171 
quando ela dispor de uma 
particularidade, no momento em que a 
amplitude, a frequência angular e o angulo de 
fase forem constantes, o movimento harmônico, 
descreverá uma função senoidal do tempo, como 
demonstra a Figura 2, e assim se caracterizará 
como movimento harmônico simples 
 
Figura 2 
 
Fonte: HALLIDAY, D; RESNICK, R; WALKER, J. (2012) 
 Um sistema interessante regido de 
movimento harmônico simples, é o oscilador 
massa-mola, segundo Bonjorno (2003), se 
consideramos um corpo preso na extremidade de 
uma mola. Dada sua origem na posição de 
equilíbrio (ponto 0), e aplicamos uma certa força 
�⃗� para a direita (observe a figura 3). 
Figura 3 
 
Fonte: BONJORNO, José Roberto et al. (2003 
 
 
 
 Ao abandonarmos o corpo (posição A, 
na figura 3), a força �⃗� deixa de existir, a força 
elástica (�⃗�𝑒𝑙) age como força restauradora e 
produz uma aceleração para a esquerda. [...] 
Quando o corpo chega à posição de equilíbrio, a 
força e a aceleração são nulas. Entretanto, o 
corpo adquiriu a sua velocidade máxima nesse 
ponto e continua em movimento, comprimindo a 
mola, criando uma força para a direita, que atua 
sobre o corpo desacelerando até parar (posição 
A’ na figura 3). A partir desse ponto, o corpo é 
acelerado outra vez para a direita, por causa da 
força elástica. Em consequência dessas forças 
para esquerda e direita, exercidas pela mola, o 
corpo realiza um movimento de ida e volta, tal 
que a distância percorrida para a direita em 
relação ao ponto de equilíbrio, é igual a que ele 
percorre para a esquerda , no mesmo intervalo de 
tempo, de tal modo que o tipo de movimento que 
o caracteriza é o movimento harmônico simples. 
 Se o móvel oscila em torno de 
sua posição de equilíbrio por ação 
de uma força que seja proporcional 
às elongações, então o movimento 
oscilatório é dito harmônico sim-
ples. Assim, sendo o corpo deslo-
cado "x", do equilíbrio, por ação 
de uma força restauradora F, essa 
será dada pela lei de Hooke. 
 F = -k x 
(CORREA, 2011) 
Observe a linha pontilhada da Figura 4 
Figura 4 
 
Fonte: VILLAS BÔAS, Newton; DOCA, Ricardo Helou; 
BISCUOLA, Gualter José (2007) 
 Observe que se girarmos a linha 
pontilhada 90º a esquerda, linha essa que 
descreve o movimento da massa no tempo, ela se 
comporta como a linha gráfica da Figura 2, que 
descreve um movimento harmônico simples 
arbitrário no tempo. 
Materiais e métodos (procedimentos 
experimentais) 
Para este experimento foram utilizados os 
equipamentos do CIDEPE (Centro Industrial de 
Equipamentos de Ensino e Pesquisa) dispostos 
em laboratório; que são: 
01 Tripé delta médio com sapatas niveladoras – 
EQ102.03; 
01 Haste inox de 500 MM – EQ017Q; 
01 Mufa de entrada lateral, braço 180mm – 
EQ028.11; 
01 Régua transparente com encaixe para 
manípulo M5 – EQ014.01S; 
01 Mola de tração K=20 N/m, 110 mm – 
23301.002; 
01 Gancho curto de 93 mm – EQ009.03C; 
03 Massa cilíndrica acoplável de 50,0 ± 0,1 g – 
EQ041.01S; 
01 Massa cilíndrica acoplável de 23,0 ± 0,2 g – 
EQ009.05; 
01 Suporte móvel com ponteiro lateral – 
EQ005.05; 
01 Cronômetro digital manual – 30000.09; 
01 Balança digital – QU014.AL500. 
 
Com o auxílio de uma balança digital, 
medimos os pesos das massas acopláveis 
(identificando cada uma - 𝑚1,𝑚2⁡𝑒⁡𝑚3), da 
massa de lastro (𝑚0) e da mola (𝑚𝑠). 
Reservamos os dados para uso posterior. 
Com a montagem inicial do tripé delta, 
da haste e da mufa previamente feita conforme 
instrução 132.052B_m, iniciamos o experimento 
pendurando a régua no manípulo da mufa, e em 
seguida posicionamos uma das extremidades da 
mola na posição B da mufa e na outra 
extremidade da mola o suporte móvel com 
ponteiro lateral, seguido pelo gancho curto com 
as massas acopláveis e a massa de lastro, e logo 
após o sistema ficar em repouso, anotamos a 
posição de equilíbrio (𝑋0) do mesmo. 
Fazendo um elongamento manualmente 
sobre a mola (com o conjunto) de 10 mm da 
posição de equilíbrio (𝑋0), e logo após, soltamos 
o sistema e observamos o fenômeno denominado 
oscilador massa e mola ou oscilador harmônico 
linear simples. 
Sabendo que uma oscilação completa é 
o movimento que o conjunto de massas faz para 
ir e voltar ao ponto de partida; com o auxílio de 
um cronômetro digital, anotamos o tempo 
 
 
 
necessário (em segundos) para o sistema realizar 
10 oscilação completas. Em seguida pudemos 
então calcular o período T do movimento 
harmônico simples. 
Com os dados coletados 
experimentalmente e juntamente com algumas 
fórmulas físicas, determinamos a constante 
elástica K da mola e comparamos com o valor 
fornecido pelo fabricante. 
 
Resultados e Discussões 
Para o processamento dos dados, utilizamos 
as seguintes expressões (nomenclaturas na tabela 
1): 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓 = √
𝐾
𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(2) 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝐾
=
2𝜋
𝜔
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (3) 
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑛
∆𝑡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡ (4) 
 
Onde: 
 
Tabela 1 Nomenclatura dos termos 
𝑋0 Posição de equilíbrio do sistema 
𝑚0 Massa de lastro 
𝑚1 Massa acoplável 1 
𝑚2 Massa acoplável 2 
𝑚3 Massa acoplável 3 
𝑚𝑠 Massa da mola 
∆𝑡 Variação de tempo 
𝑛 Número de ciclos/oscilações 
𝑓 Frequência 
𝑇 Período 
𝐴 Amplitude 
𝐾 Constante elástica da mola 
𝜔 Frequência angular 
Fonte: O Autor 
Neste experimento foi realizado uma 
soma de 15 repetições para coleta de dados com 
o intuito de aproximar os resultados obtidos com 
o mínimo de erro possível. 
Após a determinação das massas 
acopláveis com auxílio da balança pode-sedeterminar a massa total através da soma das 
mesmas, conforme mostrado na tabela 2 
Tabela 2 Massas 
Massa1 (𝑚1) 50,018 g 
Massa 2 (𝑚2) 50,005 g 
Massa 3 (𝑚3) 49,957 g 
Massa da mola (𝑚𝑠) 3,533 g 
Massa lastro (𝑚0) 22,650 g 
Massa total (m) 176,163 g 
Fonte: O Autor 
Logo após o sistema entrar em repouso, 
a posição de equilíbrio (𝑋0) obtida é de 175 mm, 
que equivale a 0,175 m. 
O alongamento produzido na mola, de 
10 mm (0,010m) é que chamamos de Amplitude 
(A) do movimento harmônico simples; por sua 
vez, a amplitude demarca o distanciamento 
máximo em relação à posição 𝑋0 do movimento 
caracterizado pelo vai e vem das massas. 
Todavia, esta amplitude diminui com o tempo, 
devido a uma força que se opõe ao movimento 
(que neste experimento é a resistência do ar), 
fazendo com que tenhamos uma oscilação 
amortecida. Assim como a amplitude, a 
frequência (𝑓), que é a quantidade de 
ciclos/oscilações completas em um tempo 
determinado, também se torna reduzida; esse 
fenômeno pode ser entendido melhor uma vez 
que se sabe que a energia mecânica é dissipada 
ao longo do tempo, devido a ação da força que 
provoca o amortecimento. 
Após coletar um grupo de dados que 
representam o tempo necessário para o sistema 
realizar 10 oscilações completas (desprezando os 
efeitos do amortecimento) construímos a Tabela 
3 a seguir: 
Tabela 3 Dados coletados 
Tempo (s) 
𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇4 𝑇5 𝑇6 𝑇7 𝑇8 𝑇9 𝑇10 𝑇11 𝑇12 𝑇13 𝑇14 𝑇15 
6,12 6,41 6,18 6,19 6,18 6,15 6,13 6,22 6,25 6,19 6,15 6,19 6,34 6,25 6,37 
Tempo médio (�̅�)(s) 6,22 
Desvio padrão (𝒔) 0,09 
Coeficiente de variação (𝒄𝒗) 1,41 % 
Fonte: O Autor 
 
 
 
Ao obtermos o tempo médio (𝑡̅), podemos 
através da equação (4) determinar a frequência 
ou o período de oscilação como mostrado a 
seguir 
𝑓 =
1
𝑇
=
𝑛
∆𝑡
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(4) 
𝑓 =
10
6,22
= 𝟏, 𝟔𝟏⁡𝒉𝒛⁡⁡ 
E como 
𝑓 =
1
𝑇
 
Logo, 
𝑇 =
1
𝑓
= 𝟎, 𝟔𝟐⁡𝒔 
A partir desse dado (valor do período) e 
utilizando a equação (2), podemos calcular a 
frequência angular (𝜔) como mostra a seguir 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
0,62
≅ 𝟏𝟎, 𝟏𝟑𝟒 
Ainda utilizando a equação (2) temos que 
𝜔 = √
𝐾
𝑚
⁡⁡⁡⁡⁡ 
Logo, 
𝜔2 =
𝐾
𝑚
 
E portanto, 
𝐾 = 𝜔2𝑚⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(5) 
𝑲 = 𝟏𝟖, 𝟎𝟖⁡𝑵/𝒎 
Ao compararmos o valor da constante 
elástica da mola obtida com o valor fornecido 
pelo fabricante, temos 
Tabela 4 Constante elástica 
Constante elástica da mola (K) 
Valor 
calculado 
(N/m) 
Valor 
fornecido 
(N/m) 
Erro 
percentual 
(%) 
18,08 20,00 9,6 
Fonte: o Autor 
Considerando que foram desprezados dos 
cálculos a massa do gancho curto e a massa do 
suporte móvel com ponteiro lateral, acreditamos 
que o erro percentual seja aceitável, visto que 
mesmo desconsiderando as massas o valor obtido 
se encontra na faixa de 10% de erro em relação 
ao valor cedido pelo fabricante acerta da 
constante elástica da mola utilizada neste 
experimento. 
Por fim, concordamos com a assertiva dita 
acerca do período e sua relação com a massa e a 
constante elástica, como mostra a seguir 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝐾
⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(6) 
Substituindo os valores encontrados 
experimentalmente, temos que 
𝑇 = 2𝜋√
0,176
18,08
≅ 𝟎, 𝟔𝟏𝟗𝟔⁡𝒔 
Observe que os valores correspondem 
exatamente aos que já se havia calculado 
anteriormente. 
 
Conclusão 
Após a realização deste experimento foi 
possível entender melhor os fenômenos 
oscilatórios, visto que a prática experimental 
transcende a teoria e a consolida. 
Os dados obtidos nesse experimento foram 
bastantes satisfatórios, visto que se encontram 
bastante próximos aos dados fornecidos; com 
uma margem de erro bem pequena. 
Graças ao conhecimento e 
consequentemente o controle de fenômenos da 
natureza como este, através da física e da 
engenharia, que muitas coisas podem ser 
explicadas e melhoradas. Poderíamos dar 
exemplos de oscilações ou fenômenos 
vibratórios desde a simplicidade de um peão em 
um rodeio onde seu corpo se movimenta ora para 
frente ora para trás, até situações mais complexas 
como a fadiga gerada nas asas de um avião 
devido a turbulência do ar, podendo ocasionar 
sua quebra. Logo, devido a tais conhecimentos, é 
que o homem e sua espécie tem conseguido 
sobreviver adaptando-se e sobressaindo-se de 
situações que poderiam até mesmo trazer a sua 
extinção; tais melhorias vão desde o individuo 
até a coletividade. 
 
 
 
 
 
 
Referências 
VILLAS BÔAS, Newton; DOCA, Ricardo 
Helou; BISCUOLA, Gualter José. Tópicos de 
física, 2: termologia, ondulatória e óptica. São 
Paulo: Saraiva, 2007. 
HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; 
WALKER, J. Fundamentos de física, volume 2: 
gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de 
Janeiro: LTC, 9ª ed. 2012. 
BONJORNO, José Roberto et al. Física: história 
& cotidiano. São Paulo: FTD, v. 2, 2003. 
CORREA, Eberth et al. Oscilador harmônico 
com massa variável e a segunda lei de 
Newton. Revista Brasileira de Ensino de 
Física, v. 33, n. 4, p. 4307, 2011.