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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito AP1 – Me´todos Determin´ısticos II Questa˜o 1: (2,0pts) Seja f : R − {−2} −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x−1 x+2 . Encontre um nu´mero real x tal que f(f(x)) = 1 4 . Soluc¸a˜o: (vale 2,0pt) Para determinarmos o valor de x tal que f(f(x)) = 1 4 , precisamos determinar f(f(x)) = x−1 x+2 − 1 x−1 x+2 + 2 = x− 1− x− 2 x− 1 + 2x+ 4 = −3 3x+ 3 . Enta˜o, −3 3x+ 3 = 1 4 ⇐⇒ 3x+ 3 = −12⇐⇒ x = −5. Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x+ 1 e g(x) = x2 − 2 se x ≤ −1 x se |x| < 1 2− x2 se x ≥ 1 . Determine: a) Determine (g ◦ f) (−3); b) A lei de definic¸a˜o de g ◦ f . Soluc¸a˜o: a) (vale 1,0pt) (g ◦ f) (−3) = g(f(−3)) = g(−2) = 2. b) (vale 1,5pt) Precisamos determinar os valores de x tais que x+ 1 ≤ −1 e quando x+ 1 ≥ 1. x+ 1 ≤ −1⇐⇒ x ≤ −2 e x+ 1 ≥ 1⇐⇒ x ≥ 0. Logo, f(g(x)) == (x+ 1)2 − 2 se x ≤ −2 x+ 1 se −2 < x < 0 2− (x+ 1)2 se x ≥ 0 Questa˜o 3: (3,0pts) a) Considere g(x) = log x+2(x 2 − 3x− 4). Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x). b) Sabendo que log x a = 3, log x b = 5 e log x c = 4, calcule log x ( a 4 b3c ) . Soluc¸a˜o: a) ( Vale 1,5pt) Precisamos que x+2 > 0 e que x+2 6= 1, e tambe´m, que x2−3x−4 > 0. A primeira parte devemos ter que x > −2 e x 6= −1. A outra condic¸a˜o, segue da observac¸a˜o: x2 − 3x − 4 = (x + 1)(x − 4) > 0, desde que, x < −1 ou x > 4. Todas essas condic¸o˜es juntas obtemos: {x ∈ R : −2 < x < −1 e x > 4}. Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 b) (vale 1,5pt) log x ( a4 b3c ) = log x (a4)− log x (b3c) = log x (a4)− (log x (b3) + log x (c)) = 4 log x (a)− (3 log x (b) + log x (c)) = 4× 3− (3× 5 + 4) = 12− 19 = −7 Questa˜o 4 (2,5pts) Calcule os seguintes limites: a) lim x→4 2−√x 2 √ x(x− 4) b) lim x→1 x3 − 3x+ 2 x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 Soluc¸a˜o: a) (Vale 1,0pt) lim x→4 2−√x 2 √ x(x− 4) = limx→4 (2−√x)(2 +√x) 2 √ x(x− 4)(2 +√x) = lim x→4 4− x 2 √ x(x− 4)(2 +√x) = −1 2×√4(2 +√4) = − 1 16 . b) (Vale 1,5pt) Observe que se avaliarmos os polinoˆmios x3 − 3x+ 2 e x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 em x = 1, ambos se anulam. Logo x− 1 divide a ambos. Dividindo obtemos: x2 + x− 2 que tambe´m possui x = 1 como raiz e dividindo x4− 3x3 + x2 +3x− 2 obtemos x3− 3x+2 que tambe´m possui x = 1 como raiz. Portanto, podemos dividir ambos por (x− 1)2 = x2 − 2x+ 1 e obtemos lim x→1 x3 − 3x+ 2 x4 − 3x3 + x2 + 3x− 2 = limx→1 (x+ 2)(x2 − 2x+ 1) (x2 − x− 2)(x2 − 2x+ 1) = lim x→1 (x+ 2) (x2 − x− 2) = 1 + 2 1− 1− 2 = 3 −2 = − 3 2 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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