Elipse - Conceito e atividades com resoluções

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F1 F2
P
1 CURSOS DE ENGENHARIA 
 DISCIPLINA: GEOMETRIA ANALÍTICA 
 PROFESSORA: Rosely Bervian DATA: _____ / _____ / _____ 
 ALUNO(A):__________________________________________________________ 
 
 
ESTUDO DIRIGIDO - ELIPSE 
 
1) DEFINIÇÃO 
A elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos 
desse plano é igual a uma constante e maior do que a distância entre os dois fixos. 
Os pontos fixos são chamados focos. Considere d(F1,F2) = 2c, c > 0. 
 
 
 
 
 
 
P pertence à elipse se, e somente se, d(P,F1) + d(P,F2) = 2a (constante), a > c. 
 
2) ELEMENTOS DA ELIPSE 
• A reta que passa pelos focos é chamada ___________________________. 
• Os pontos de interseção do eixo focal com a elipse são chamados_________________. 
• O ponto médio do segmento 
1 2F F
 é chamado_________________________________. 
• A reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo focal é 
chamada___________________. Essa reta intersecta a elipse nos pontos B1 e B2. 
• O segmento 
1 2A A
 é chamado ___________________ e seu comprimento é igual a _____. 
• O segmento 
1 2B B
 é chamado ___________________ e seu comprimento é igual a _____. 
• Um segmento que liga dois pontos distintos da elipse é chamado de ____________. 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
• Uma corda que passa pelo foco é chamada _____________________. 
• As cordas focais que são perpendiculares ao eixo focal são chamadas 
_____________________. 
• Uma corda que passa pelo centro da elipse é chamada ___________________. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) EQUAÇÕES REDUZIDAS DA ELIPSE 
1º TIPO: Elipse de centro na origem e eixo focal coincidindo com o eixo Ox. 
 
 
 
 FOCOS: F1(c,0) e F2(–c , 0) 
 EIXO FOCAL: y = 0 
 EIXO NORMAL: x = 0 
 
 
Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. Então, pela definição de elipse, o ponto P deve satisfazer à 
seguinte condição: 
 
 
A2 A1 F2 
B2 
B1 
C F1 
x
y
P
F2 F1l
C
l'
B2
B1
A2 A1
R2
L2
R1
L1
G
F
E
D
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
 Logo, 
           
2 2 2 2 2 22 2x c y 0 x c y 0 2a x c y x c y 2a                
 
         2 2 2 22 2 2 2
2 2
x c y 2a x c y x c y 2a x c y              
 
 
2 2x c y     
2 22 2 24a 4a x c y x c y       
2x 22cx c   
22 2 24a 4a x c y x     22cx c  
 
 
22 22cx 4a 4a x c y 2cx        
2 2 24a x c y 4a 4cx     
 
 
2 2 2a x c y a cx         
2
2 22 2a x c y a cx     
 
 
22 2 4 2 2 2a x c y a 2a cx c x       
 
 
2 2 2 2 4 2 2 2a x 2cx c y a 2a cx c x         
 
2 2 2a x 2a cx 2 2 2 2 4 2a c a y a 2a cx    2 2c x  2 2 2 2 2 2 4 2 2a x a c a y a c x     
 
2 2 2 2 2 2 4 2 2a x c x a y a a c        2 2 2 2 2 2 2 2a c x a y a a c   
 
 
Fazendo a2 – c2 = b2, obtemos 
 
   2 2 2 2 2 2 2 2
2 2b b
a c x a y a a c     
2 2 2 2 2 2b x a y a b 
 
 
Dividindo ambos os membros da última equação por a2b2, temos: 
 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
b x a y a b
 
a b a b a b
  
 2b 2
2 2
x
a b
2a

2
2
y
a
2 2
2
a b
b

2 2a b
2 2
2 2
x y
 1
a b
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 2
2 2
x y
1
a b
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
A1 
A2 
F1 
F2 
x
y
B2 B1 C 
2º TIPO: Elipse de centro na origem e eixo focal coincidindo com o eixo Oy. 
 
 
 FOCOS: F1(0,c) e F2(0,–c) 
 EIXO FOCAL: x = 0 
 EIXO NORMAL: y = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, obtemos a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________ 
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________ 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
3º TIPO1: Elipse de centro no ponto (h,k) e eixo focal paralelo ao eixo Ox. 
 
 
 
 FOCOS: F1(h+c,k) e F2(h–c,k) 
 EIXO FOCAL: y = k 
 EIXO NORMAL: x = h 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos considerar um sistema auxiliar xOy, obtido por uma translação do sistema xOy, de modo 
que a nova origem O coincida com o centro da elipse C(h,k). Observe que, agora, o eixo focal da 
elipse coincide com o eixo Ox. Com relação a esse novo sistema, a equação da elipse é 
 
 
 
 
 
 
 
As equações de translação são: '
'
x x h
y y k
 

 
. Substituindo na equação anterior, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 O 1º. tipo é um caso particular do 3º. tipo, quando h = 0 e k = 0. 
x
y
F1 F2 A1 
B1 
B2 
A2 C x' 
y' 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
4º TIPO2: Elipse de centro no ponto (h,k) e eixo focal paralelo ao eixo Oy. 
 
 
 
 
 FOCOS: F1(h,k+c) e F2(h,k–c) 
 EIXO FOCAL: x = h 
 EIXO NORMAL: y = k 
 
 
 
 
 
 
De modo semelhante ao que foi feito anteriormente, obtemos a seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: i) Comprimento do latus rectum 
 
Considere uma elipse de equação 2 2
2 2
1
x y
a b
 
. 
Fazendo x = c ou x = –c , obtemos y =  
2b
a
. Então, os extremos de um latus rectum são 
os pontos 2
1 ,
b
L c
a
 
 
 
 e 2
1 ,
b
R c
a
 
 
 
 e do outro 
são 2
2 ,
b
L c
a
 
 
 
 e 2
2 ,
b
R c
a
 
  
 
. Assim, o 
comprimento de cada latus rectum de uma 
elipse é 22b
a
. 
 
 
2 O 2º. tipo é um caso particular do 4º.tipo, quando h = 0 e k = 0. 
F1 
F2 
A1 
B1 B2 
A2 
C 
x' 
y' 
x
y
x
y
L1 L2 
R1 R2 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
ii) Excentricidade 
 
Uma importante característica de uma elipse é a sua excentricidade, que é definida pelo número 
c
a
. Uma vez que a > c, temosque a excentricidade é menor do que 1. 
 
 
 
 
 
 
A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de zero 
são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são 
achatadas. Por outro lado, fixada uma excentricidade, todas as infinitas elipses com esta 
excentricidade têm a mesma forma, diferindo apenas pelo tamanho. (WINTERLE, Paulo. Vetores e 
Geometria Analítica) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e = 0.577 e = 0.745 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e = 0.882 e = 0.943 
 
 
 
 
 
 
c
e , e 1
a
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
Questão 1. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação reduzida da elipse a partir dos 
elementos dados: 
 
a) Focos F1(3,8) e F2(3,2) e comprimento do eixo maior igual a 10. 
b) Vértices A1(5,–1) e A2(–3,–1) e excentricidade 3
4
e 
. 
c) Centro C(1,2), um dos focos é F(6,2) e P(4,6) é um ponto da elipse. 
d) Eixo focal paralelo ao eixo Ox, um dos focos é F(–4,3) e uma das extremidades do eixo 
menor é o ponto B(0,0). 
e) Focos F1(7,1) e F2(–5,1) e comprimento do latus rectum é 64
5
. 
f) Vértice A1(3,4) e extremidades do eixo menor B1(5,1) e B2(1,1). 
 
 
Questão 2. Determine as coordenadas dos vértices, dos focos, das extremidades do eixo menor, as 
equações do eixo focal e do eixo normal, a excentricidade e o comprimento do latus rectum de 
cada uma das seguintes elipses: 
 
a) 16x2 + 9y2 – 32x – 36y – 92 = 0 
b) 25x2 + 9y2 – 54y – 144 = 0 
 
 
Questão 3. Determine as coordenadas dos focos e a equação reduzida da cônica abaixo. 
 
x
y
4
4
-2
 
 
 
 
 
 
 
 
 Profa. Rosely Bervian 
 
 
RESPOSTAS 
 
Q1. a)    2 23 5
1
16 25
x y 
 
 b)    2 21 1
1
16 7
x y 
 
 c)    2 21 2
1
45 20
x y 
 
 
 d)  22 3
1
25 9
yx 
 
 e)    2 21 1
1
100 64
x y 
 
 f)    2 23 1
1
4 9
x y 
 
 
 
Q2. a) Centro: V(1,2), Vértices: A1(1,6) e A2(1,–2), Focos: F1
 1,2 7
 e F2
 1,2 7
, eixo 
focal: x = 1, eixo normal: y = 2, latus rectum = 
9
2
, excentricidade: 7
4
e 
. 
 
 b) Centro: V(0,3), Vértices: A1(0,8) e A2(0,–2), Focos: F1
 0,7
 e F2
 0, 1
, eixo focal: x = 0, 
 eixo normal: y = 3, latus rectum = 
18
5
, excentricidade: 
4
5
e 
. 
 
Q3. F1
 2,1 5
, F2
 2,1 5
,    2 22 1
1
4 9
x y 
 