GEOMETRIA_ANALITICA-1ª_parcial

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1 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO PLANO 
 
 Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas 
orientadas x e y, perpendiculares entre si concorrendo no ponto 0 (origem). A reta 
orientada x é denominada eixo x ou eixo das abscissas; a reta orientada y é 
denominada eixo y ou eixo das ordenadas. Os eixos coordenados x e y dividem o 
plano em 4 partes ou quadrantes. 
 
 Por um ponto qualquer do plano traçam-se perpendiculares sobre cada um dos 
eixos, determinando neles os pontos Px e Py tal que x = OPx e y = OPy. Sendo 
assim podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais, 
ficando P determinado por suas coordenadas cartesianas (ou retangulares); P(x,y) 
onde x é abscissa e y é a ordenada de P. 
 Reciprocamente, dado um par de números reais, localiza-se no plano um único 
ponto P. Há, portanto, uma correspondência bijetiva (biunívoca) entre os pontos do 
plano e os pares de números reais. 
 
Particularidades: 
a) O(0,0): origem do sistema cartesiano 
b) Px(x,0): projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas 
c) Py(0,y): projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas 
 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL NO ESPAÇO 
 
 É constituído por três retas orientadas x, y e z mutuamente perpendiculares 
entre si e concorrentes no ponto O. 
 
Elementos: 
 ponto O: origem do sistema cartesiano 
 retas orientadas: eixos cartesianos: Ox, Oy e Oz. 
 Planos: planos cartesianos xOy, xOz e yOz. 
 
Pelo ponto P do espaço traçam-se três planos paralelos aos planos 
coordenados individualizando um paralelepípedo retângulo que intercepta os eixos x, y 
e z nos pontos Px, Py e Pz respectivamente. 
Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla ordenada de números 
reais P(x,y,z) que são suas coordenadas, onde: 
 2 
 
x = OPx: abscissa 
y = OPy: ordenada 
z = OPz: cota 
 
Este sistema estabelece uma correspondência bijetiva entre cada ponto do 
espaço e a terna ordenada de números reais. Os planos coordenados dividem o 
espaço em 8 regiões denominadas octantes. 
 
 
Particularidades: 
a) O (0,0): origem do sistema. 
b) P1(x,y,0), P2(0,y,z) e P3(x,0,z): projeções ortogonais de P sobre os planos 
coordenados. 
c) Px (x,0,0), Py(0,y,0) e Pz(0,0,z): projeções ortogonais de P sobre os eixos 
coordenados. 
 
Exercícios: 
1) Determinar as coordenadas dos pontos do gráfico abaixo: 
 
2) Representar graficamente os seguintes pontos: 
A (1,2,3), B (2,-3,4), C (1,-2,-3), D (2,3,-2) e E (-2,-2,3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 
VETORES: Definições. 
 
 Reta orientada (eixo): uma reta é orientada quando é fixado um sentido de percurso, 
considerado positivo e indicado por uma seta. 
 
 Segmento orientado AB: é determinado por um par ordenado de pontos, origem A e 
extremidade B. Geometricamente é representado por uma seta. 
 B 
 
 A 
 
 Segmento nulo: a extremidade coincide com a origem. É um ponto. 
 Segmentos opostos: se AB é um segmento orientado, BA é o oposto de AB. 
 Medida de um segmento: fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento 
orientado pode-se associar um número real não negativo, denominado comprimento 
ou módulo. É indicado por 
AB
. 
 
 
 
 
O segmento nulo tem comprimento igual a zero. 
Segmentos opostos tem mesma medida. 
 
 Direção e Sentido: dois segmentos orientados não nulos tem a mesma direção se 
suas retas suportes forem paralelas ou coincidentes. O sentido é dado pela seta. 
 Segmentos eqüipolentes: dois segmentos orientados AB e CD são eqüipolentes 
quando tem a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento. 
Representamos por AB ~ CD. 
 Vetor determinado por um segmento orientado AB: é o conjunto de todos os 
segmentos orientados equipolentes a AB. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O vetor determinado por AB é indicado por 
AB
 ou 
AB 
 ou 
v
 . 
 
 Vetores iguais: 
CDAB 
 se e somente se AB ~ CD. 
 Vetor nulo: é o vetor de direção e sentido arbitrários. É indicado por 
0
 . 
 Vetores opostos: se 
ABv 
 o oposto é 
vABBA


. 
 4 
 Vetor unitário: vetor de módulo um. 
1v

. 
 Versor de um vetor não nulo 
v
 , é um vetor unitário de mesma direção e mesmo 
sentido de 
v
 . 
v
v
vvers 



. 
 Vetores colineares: tem mesma direção. 
 Vetores coplanares: tem representantes (imagens geométricas) sobre um mesmo 
plano. 
 Soma de ponto com vetor: a soma do ponto A com o vetor 
v
 é o ponto B que é a 
extremidade da imagem geométrica de 
v
 construída a partir de A. 
 
 
ABv
BvA



 . 
 
 
 
 
OPERAÇÕES COM VETORES 
 
 Adição: 
Geometricamente a soma de n vetores é feita considerando as imagens geométricas dos 
vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor 
seguinte. O vetor resultante é aquele que fecha a poligonal, tendo por origem a origem 
do primeiro vetor e extremidade a extremidade do último vetor. 
 
Dados os vetores 
wevu

,
, obter graficamente: 
a) 
wu


 
b) 
wvu


 
c) 
wu


 
d) 
uw


 
e) 
wvu


 
 
w
 
 
v
 
 
 
u
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5 
 Multiplicação de número real por vetor: 
 
O produto de um número real 
0k
 por um vetor 
0

v
 é um vetor 
vkp


. O vetor 
vk
 
tem mesma direção de 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ângulo entre dois vetores 
 
O ângulo de dois vetores não nulos é o ângulo 

 formado pelas semiretas OA e OB e 
tal que 
 0
. 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
a) Se 
0
, os vetores tem a mesma direção e o mesmo sentido. 
b) Se 
 
, os vetores tem a mesma direção e sentidos contrários. 
c) Se 
2

 
 os vetores são ortogonais. Indicamos por 
vu


. 
 
 
 
 
 
 
d) O vetor nulo é considerado ortogonal a qualquer vetor. 
e) Se 
vu


 e 
k
, então 
vku


. 
f) O ângulo formado pelos vetores 
veu


 é o suplemento do ângulo de 
veu

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Exercícios: 
 
1. A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira 
ou falsa cada uma das afirmações: 
 
 
 
2. Dado o paralelepípedo a seguir, decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das 
afirmações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 7 
3. Com base na figura do exercício 1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
 
4. Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
5. A figura abaixo apresenta um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O o 
ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada 
uma das afirmações: 
 
 
6. Com base na figura do exercício 5, determinar os vetores abaixo, expressando-os com 
origem no ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 8 
7. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações: 
 
 
 
8. O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 
ADeAB
, sendo M e N pontos 
médios dos lados DC e AB, respectivamente. Determinar: 
 
 
 
9. No hexágono regular ABCDEF, obter: 
BDFDFEAEc
BEAEADb
AFFEABa


)
)
)
 
 
10. Dados os pontos M, N e P, escrever o vetor 
PA
 em função dos vetores 
PNePM
, 
sabendo que o ponto A pertence à reta suporte de MN e tal que 
AMAN 3
. 
11. Qual a condição que devem satisfazer os vetores 
veu

 de modo que o vetor 
vu


 
seja bissetriz do ângulo por eles formado? 
12. Sendo dados 
8,4,  vuuvu

, calcule 
v

 e determine os ângulos que o 
vetor 
vu


 forma com 
u
 e com 
v
 respectivamente. 
13. Os vetores 
veu

 formam um ângulo de 60
o
. Sabe-se que 
58  veu

. Calcule 
vuevu


. 
 
 
 
 
 
 
 9 
Respostas: 
1. 
 
 
2. 
 
3. 
 
 
4. 
 
5. 
 
 
6. 
 
7. 
 
 
8. 
 
9. 
ABAEAD ,,
 
12. 
 60,30,34
 
13. 
7,129
 
 
 
 
 
 
 10 
VETORES NO 
2
 E NO 
3
 
 
Até agora estudamos os vetores sob o ponto de vista geométrico, representando-os por 
segmentos de reta orientados. Outra forma de representação é a algébrica, onde os 
vetores são relacionados com o referencial cartesiano. 
 
Decomposição de um vetor no plano: 
 
Dados dois vetores 
21 vev

 não colineares e um vetor 
v
 coplanar a eles, podemos obter 
v
 a partir de 
21 vev

 (basta determinar vetores que tenham a mesma direção de 
21 vev

 e 
que somados resultem 
v
 ). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v
 é combinação linear de 
21 vev

. 
 O conjunto {
21, vv

} é denominado base no plano. Qualquer conjunto de dois 
vetores não colineares forma uma base no plano. 
 Os números 
21 aea
 são as componentes ou coordenadas de 
v
 em relação à base 
{
21, vv

}. 
 
Na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais, isto é, as bases compostas por 
vetores unitários e ortogonais. 
Dentre as infinitas bases ortonormais no plano destaca-se a base que determina o 
sistema cartesiano ortogonal xOy denominada base canônica. Os vetores unitários e 
ortogonais são simbolizados por 
jei
 , ambos com origem na origem do sistema e 
extremidades em 
   1,00,1 e
 respectivamente. Base canônica 
 ji

,
. 
 
 
 
 
 
 
Expressão analítica (ou cartesiana) de um vetor 
 
Fixada uma base, usaremos a canônica, fica estabelecida uma correspondência 
biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados de números reais. A cada vetor 
do plano podemos associar um par ordenado de números reais. Os números x e y são as 
componentes ou coordenadas de 
v
 na referida base. 
 
 
 
 
 
 11 
Igualdade de vetores: 
Dois vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 são iguais se e somente se 
2121 yyexx 
. 
 
Operações com vetores: 
Sejam os vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 e 

. 
 
 11
2121
,
,
yxu
yyxxvu
 


 
 
Vetor definido por dois pontos. 
Um vetor tem infinitos representantes que são os segmentos orientados de mesma 
direção, mesmo sentido e mesmo comprimento. Quando as componentes de um vetor 
AB
 são calculadas pela diferença 
AB 
, temos o representante cuja origem está na 
origem do sistema. 
Exemplo: Dados os pontos A(-2,3), B(1,4), C(1,2) e D(4,3) determinar os vetores 
CDeAB
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paralelismo de dois vetores. 
Dois vetores 
   2211 ,, yxveyxu 

 são paralelos se existe um número real 

 tal que 
vu


 
   2211 ,, yxyx 
 
   2211 ,, yxyx 
 
2121 yyexx  
 

2
1
2
1
y
y
x
x
 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são proporcionais. 
 
Considera-se o vetor nulo paralelo a qualquer vetor. 
Se uma das componentes de um vetor for nula, a respectiva componente de um vetor 
paralelo também é nula. 
 
Módulo de um vetor 
Seja 
 yxv ,

 pelo teorema de Pitágoras temos que 
22 yxv 
 
 
A distância entre dois pontos 
   2211 ,, yxBeyxA
 é o módulo do vetor 
AB
. 
ABBAd ),(
. 
 12 
Vetores no espaço 
 
A base canônica no espaço é composta pelos vetores 
keji

,
 representados com origem 
no ponto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Igualdade de vetores: 
Dois vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 são iguais se e somente se 
212121 , zzeyyxx 
. 
 
Operações com vetores: 
Sejam os vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 e 

. 
 
 111
212121
,,
,,
zyxu
zzyyxxvu
 


 
 
Paralelismo de dois vetores. 
Dois vetores 
   222111 ,,,, zyxvezyxu 

 são paralelos se existe um número real 

 
tal que 
vu


 
   222111 ,,,, zyxzyx 
 
   222111 ,,,, zyxzyx 
 
212121 zzyyxx   

2
1
2
1
2
1
z
z
y
y
x
x
 Dois vetores são paralelos quando suas componentes são 
proporcionais. 
 
Módulo de um vetor 
Seja 
 zyxv ,,

 pelo teorema de Pitágoras temos que 
222 zyxv 
 
 
 
 
A distância entre dois pontos 
   222111 ,,,, zyxBezyxA
 é o módulo do vetor 
AB
. 
ABBAd ),(
. 
 
 
 13 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Dados os pontos A(-1,3), B(2,5) e C(3,-1), calcular 
CBBAeABOA 43 
. 
(-4,1), e (-5,-30) 
2. Dados os vetores 
     6,121,5,4,2  wevu

, determinar a e b tais que 
vbuaw


. a= -1 e b =2 
3. Dados os pontos A(2,-2) e B(-1,4) e os vetores 
   1,23,1  veu

, 
determinar: 
a) a) 
u

 c) 
vu

32 
 
b) b) 
vu


 d) d(A,B) 
45,97,13,10
 
 
4. Calcular os valores de a para que o vetor 
 2, au

 tenha módulo 4. 
32a
 
5. Calcular os valores de a para que o vetor 







2
1
,au

 seja unitário. 
2
3
a
 
6. Dado o vetor 
 4,3 v

, calcular o versor de 
v
 e o versor de 
v

2
. 







5
4
,
5
3
 
7. Em 
3
 apresentar o vetor genérico que satisfaz a condição: 
a) Paralelo ao eixo dos x; 
b) Representado no eixo dos z; 
c) Paralelo ao plano xy; 
d) Paralelo ao plano yz; 
e) Ortogonal ao eixo dos y; 
f) Ortogonal ao eixo dos z; 
g) Ortogonal ao plano xy; 
h) Ortogonal ao plano xz. 
 
8. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(4,5,-2), determinar o ponto P tal que 
PBAP 
. 







2
1
,1,3P
 
9. Dados os pontos A(1,2,3), B(-6,-2,3) e C(1,2,1), determinar o versor do vetor 
BCBAv 23 
 . 






9
4
,
9
4
,
9
7
 
10. Seja o vetor 
    kjmimv

527 
. Calcular m para que 
38v

. 
4m
 ou 
5m
 
11. Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(0,1,2), B(-1,0,-1) e C(2,-1,0). 
 3112 
 
12. Dado o vetor 
 3,1,2 v

, determinar o paralelo a 
v
 que tenha: 
a) Sentido contrário ao de 
v
 e três vezes o módulo de 
v
 ; (-6,3,9) 
b) O mesmo sentido de 
v
 e módulo 4; 







14
12
,14
4
,
14
8
 
c) Sentido contrário ao de 
v
 e módulo 5. 







14
15
,
14
5
,
14
10
 
 14 
13. Determinar o simétrico do ponto P(3,1,-2) em relação ao ponto A(-1,0,-3). 
,P
(-5,-1,-4). 
14. Num paralelogramo ABCD, sabe-se que A(1,3,-2) e que as diagonais são 
   1,0,23,2,4  BDeAC
. Calcular as coordenadas dos outros três vértices. 
B(4,4,-4), C(5,5,-5) e D(2,4,-3). 
15. Verificar se os vetores 
  






6
1
,
6
2
,
6
1
1,1,1 veu

 são unitários. 
v
 é 
unitário 
16. Determinar o valor de a para que 
 aaau 2,2,

 seja um versor. 
3
1a
 
17. Dados os pontos A(1,0,-1), B(4,2,1) e C(1,2,0), determinar o valor de m para 
que 
7v

, sendo 
BCACmv 
 . 
2m
 
18. Determinar o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,y,4), B(10,y,-2) e 
C(2,0,-4) seja equilátero. 
2y
 
19. Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1,2,-2) seja igual 
a 3. P(0,0,0) ou P(0,0,-4). 
20. Dados os pontos A(3,m-1,-4) e B(8,2m-1,m) determinar m de modo que 
35AB
. 
3m
 ou 
1m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 15 
PRODUTO ESCALAR 
 
O produto escalar dos vetores 
veu

, representado por 
vu


 ou 
 vu

,
, é o número real 
dado por 
cosvuvu  
 
 0
 
 
0vu
 , indica que   0cos é agudo ou nulo. 
 
0vu
 , indica que   0cos é obtuso ou raso. 
 
0vu
 , quando um dos vetores é nulo ou quando os dois vetores são ortogonais. 
 
Propriedades 
 
Para quaisquer vetores 
wevu

,
 e o número real 

, valem as propriedades: 
I) Comutativa: 
uvvu


 
II) Associativa em relação à multiplicação por escalar: 
     vuvuvu
   
III) Distributiva em relação à adição de vetores: 
  wuvuwvu


 
IV) 
2
uuu


 
V) 
222
2 vvuuvu


 
 
Expressão analítica do produto escalar 
 
Sejam os vetores 
kzjyixu

111 
 e 
kzjyixv

222 
. 
212121 zzyyxxvu 
 
 
1. Dados os vetores 
kjivekjiu

 24853
, calcular 
vu


. 14 
2. Sendo 
 1203,2 evu 
 o ângulo entre 
veu

, calcular 
vu


 e 
vu


. 
73 e
 
3. Dados os vetores 
     1,1,1,1,,12,,1  aweaavaau

 determinar o 
valor de a de modo que 
  wvuvu


 a =2 
4. Dados os pontos A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3), determinar o vetor 
x
 tal que 
 ACABBCxABx  2
. 
 15,13,17 x

 
5. Mostrar que os vetores 
   2,5,43,2,1  veu

 são ortogonais. 
6. Usando o produto escalar, mostrar que o triângulo de vértices 
   1,1,2,1,3,2 BA
 
e 
 2,2,2 C
 é um triângulo retângulo. 
7. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 
10cm. Calcular 
ACAB 
. 50 
8. Os lados de um triângulo retângulo (reto em A) medem 5, 12 e 13. Calcular 
CBCABCBAACAB 
. 169 
9. Qual o valor de x para que os vetores 
  kjixbekjixa

42145 
 
sejam ortogonais? -3 ou 2 
10. Dados os vetores 
     xxcexbxa ,8,22,5,2,,1,2 
 , determinar o valor 
de x para que o vetor 
ba


 seja ortogonal ao vetor 
ac


. 3 ou -6 
 
 16 
Ângulo de dois vetores 
 
Da definição 
cos vuvu 
 temos: 
 
vu
vu



cos
 
 
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor 
 
Seja o vetor não nulo 
kzjyixv


. 
Ângulos diretores de 
v
 são os ângulos 
 e,
 que 
v
 forma com os vetores 
keji

,
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cossenos diretores de 
v
 são os cossenos de seus ângulos diretores. 
 
   
v
x
v
zyx
iv
iv







)1(
0,0,1,,
cos
 
   
v
y
v
zyx
jv
jv







)1(
0,1,0,,
cos 
    
v
z
v
zyx
kv
kv







)1(
1,0,0,,
cos
 
 
Os cossenos diretores de 
v
 são as componentes do seu versor: 
 
  cos,cos,cos,,,, 









v
z
v
y
v
x
v
zyx
v
v

 . 
Como o versor é um vetor unitário, temos: 
1coscoscos 222   
 
1. Seja o triângulo de vértices A(-1,-2,4), B(-4,-2,0) e C(3,-2,1). Determinar o 
ângulo interno ao vértice B. 
45
 
2. Calcular os ângulos diretores de 
 0,1,1v

. 
 9013545
 
3. Os ângulos diretores de um vetor são 
e 60,45
. Determinar 

. 
 12060 ou
 
4. Um vetor 
v
 do espaço forma com os vetores 
jei
 ângulos de 
 12060 e
, 
respectivamente. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
2v

. 
 2,1,1 
 
5. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
4v

, 
v
 é ortogonal ao eixo Oz, forma 
ângulo de 
60
 com o vetor 
i
 e ângulo obtuso com 
j
 .  0,32,2  
 17 
Projeção de um vetor sobre outro. 
 
Sejam dois vetores 
u
 e 
v
 não nulos e 

 o ângulo entre eles. 
Podemos decompor 
v
 tal que 
21 vvv


 sendo 
uveuv

21 //
. 
 
 
 
 
 
 
O vetor 
1v

 é denominado projeção ortogonal de 
v
 sobre 
u
 e é representado por 
vprojv u

1
 
 
Se 
uvuv
  11 //
 
Sabendo que 
21 vvv


, temos: 
12 vvv


, substituindo 
1v

 
uvv
 2
 
Se
022  uvuv

 
uu
uv
uuuv
uuuv
uuv















0
0)(
 
 
vprojuv u

1
 
 
u
uu
uv
vproju




 )(



 
 
 
Interpretação geométrica do módulo do produto escalar 
 
O módulo do produto escalar dos vetores 
uev

, sendo 
u

 unitário, representa o 
comprimento do vetor projeção de 
v

sobre 
u

. 
 
 
Determinar o vetor projeção de 
 3,2,1 u

 na direção de 
 2,1,2 v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 18 
Exercícios: 
1. Calcular n para que seja de 
30
 o ângulo entre os vetores 
  jvenu

 2,,1
. 
15
 
2. Determinar o vetor 
v

, paralelo ao vetor 
 2,1,1u

, tal que 
18uv
 . 
 6,3,3 
 
3. Determinar o vetor 
v
 , sabendo que 
5v

, 
v
 é ortogonal ao eixo Oz, 
6wv
 
e 
kjw

32 
. 
 0,3,4
 
4. Sabe-se que 
4
1
cos
2
1
cos,2   ev
. Determinar 
v
 . 









2
11
,
2
1
,1
 
5. O vetor 
v
 é ortogonal aos vetores 
   2,0,13,1,2  weu

 e forma ângulo 
agudo com o vetor 
j
 . Calcular 
v
 , sabendo que 
63v

. 
 1,7,2
 
6. Determinar o vetor 
v
 , ortogonal ao eixo Oz, que satisfaz as condições 
101 vv

 e 
52 vv

, sendo 
 1,3,21 v

 e 
 2,1,12 v

. 
 0,4,1
 
7. Calcular o módulo dos vetores 
vu


 e 
vu


, sabendo que 
4u

, 
3v

 e oângulo entre 
veu

 é de 
60
. 
1337 e
 
8. Sabendo que 
2u

, 
3v

 e o ângulo entre 
veu

 é de 
rad
4
3
, determinar 
   vuvu

22 
. 
21526
 
9. Determinar 
wvwuvu


, sabendo que 
2u

, 
3v

 e
5w

. -9 
10. O vetor 
v
 é ortogonal aos vetores 
 0,2,1a

 e 
 3,4,1b
 e forma ângulo agudo 
com o eixo Ox. Determinar 
v
 , sabendo que 
14v

. 
 4,6,12 
 
11. Calcule o ângulo formado pelos vetores 
kjivekjiv

2222 21 
 e 
determine um vetor unitário sobre a bissetriz do ângulo desses vetores. 
 











 
 0,
10
1
,
10
3
9
4
cosarc
 
 
12. Dados os vetores 
   1,3,22,2,1 21  vev

, determine os vetores 
bea
 
tais que 
121 //, vbevavba


. 
 
   21322329227 ,,10,,9   ba
 
 
13. Os vetores 
bea
 formam um ângulo de 60°. Calcule um ângulo formado pelos 
vetores 
veu

, sabendo que 
bau

2
, 
26,  beabav

. 
 
182
9111
cosarc
 
 
 
 19 
14. Os vetores 
veu

 são dois lados consecutivos de um paralelogramo e formam 
um ângulo de 60°. Calcule o ângulo formado pelas diagonais do paralelogramo, 
sabendo que 
24  veu

. 








7
21
cosarc
 
 
15. Dados os vetores 
   1,1,11,1,0  veu

 determine os vetores 
w
 , sabendo que 
    5;  wevvwuuw

. (1,2,0) e (1,0,2) 
 
16. Um vetor unitário 
v
 forma com o eixo coordenado Ox um ângulo de 60° e com 
os outros dois eixos Oy e Oz ângulos congruentes. Calcule as coordenadas desse 
vetor e o ângulo que ele forma com um vetor 
kjw


. 








 30
4
6
,
4
6
,
2
1 v
 
 
17. Os vetores 
veu

 formam um ângulo de 

3
2
 rad. Sabe-se que 
54  veu

. 
Calcule: 
 
   
   
    1613232)
61)
6123)



vuvuc
vuvub
vuvua



 
 
18. Dados os vetores unitários 
wevu

,
 que satisfaçam a condição 
0

 wvu
, 
calcule 
     wvwuvu


. –3/2 
19. Os vértices de um triângulo são M( 1,1,2), N(5,1,3) e Q( -3,9,3). Calcule as 
coordenadas do vetor 
HM
 , onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. (2,2,1) 
 
20. Determine 
u
 tal que 
2u

, o ângulo entre 
 0,1,1veu

 seja de 45° e que 
 0,1,1u

. 
 










1,
2
2
,
2
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20 
Produto vetorial ou externo 
 
O produto vetorial dos vetores 
 111 ,, zyxu 

 e 
 222 ,, zyxv 

, nesta ordem, 
representado por 
vu


ou 
vu


, é o vetor: 
222
111
zyx
zyx
kji
vu


 
 
Propriedades: 
     
 
 
)()(:)10
:)9
:)8
,:)7
:)6
0
0)5
)4
)3
)2
0)1
2222
wvuwvuoassociativéNão
senvuvuMódulo
vuvuvuLagrangedeIdentidade
positivotriedroumformamvuevuSentido
v
u
vuDireção
vku
u
vu
wuvuwvu
vmuvumvum
uvvu
uu





























 
 
Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
)3,1,2( u

 e 
)0,1,1(v

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostrar num gráfico um representante de cada um dos seguintes vetores: 
a) 
ij

2
 b) 
ki

23 
 
 
 
 
 
 21 
Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial 
 
Geometricamente o módulo do produto vetorial mede a área do paralelogramo 
determinado pelas imagens geométricas de dois vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores 
)0,1,4()2,1,3(  veu

. 
117
u.a. 
2. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1). 
62
u.a. 
3. Calcular x, sabendo que A(x,1,1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0) são vértices de um triângulo 
de área 
2
29 . 
5
1
3  xoux
 
4. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
abeba

2
, sendo 
)3,0,1()2,1,3(  bea
 . 
kk ),1,7,3(
 
5. Sabendo que 


452,3 eba 
 é o ângulo entre 
bea
 , calcular 
ba


. 
3
 
6. Se 
33ba

, 
 603 ea 
 é o ângulo entre 
bea
 , calcular 
b

. 
2
 
7. Dados os vetores 
)1,1,2()2,4,3(  veu

, obter um vetor de módulo 3 que seja ao 
mesmo tempo ortogonal aos vetores 
vuevu

2
. 
 15,3,6
30
1

 
8. Calcular a área do triângulo de vértices A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3). 
6
u.a. 
9. Dado o triângulo de vértices A(0,1,-1), B(-2,0,1) e C(1,-2,0), calcular a medida da 
altura relativa ao lado BC. 
7
353 u.c. 
10. Dados os vetores 
 2,1,1)2,2,2(,)1,1,0(  wevu

, determinar o vetor 
x
 , 
paralelo a 
w
 , que satisfaz à condição: 
vux


. 
 4,2,2 
 
11. Determinar um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos vetores 
)3,1,2()0,1,1(  bea
 . 
 1,1,1
3
1

 
 22 
12. Determinar o valor de m para que o vetor 
 mw ,2,1

 seja simultaneamente 
ortogonal aos vetores 
)1,3,1()0,1,2(  veu

. 
5m
 
 
13. Determine 
u
 tal que 
2u

, o ângulo entre 
 0,1,1veu

 seja de 45° e que 
 0,1,1u

. 
 










1,
2
2
,
2
2 
14. Determinar 
u
 tal que 
   6,4,21,3,2,33  ueuu

. Dos vetores determinados, 
qual o que forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0)? (3,-3,-3) e (-3,3,3) o 
primeiro 
 
15. Resolva o sistema  
 




kikjia
kjia


22
9432 . kjia   
 
16. Determine 
a
 tal que 
    62  aekjikia 

. (-1,2,1) 
 
17. Determinar 
vu


, sabendo que 
113,12  veuvu

. 
5vu
 
 
18. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 
uvevu

 2
 sendo 
   2,1,00,2,3  veu

. Um deles é (-12,-18,9) 
 
19. Dados os vetores 
   1,2,22,1,3  veu

, calcular: 
 
a) área do paralelogramo determinado por 
veu

; 
103
 
 
b) a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor 
v
 . 
10
 
 
20. Calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores 
veu

, sabendo que 
suas diagonais são 
   2,1,14,3,1  vuevu

. 
35
 
 
21. Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC, sendo A( 4,2,1), 
B( 1,0,1) e C( 1,2,0). 
5
7
h
 
 
22. Dado o vetor 
 0,1,2u

, determinar o vetor 
v
 ortogonal ao eixo Oz, sabendo que 
26  vuevu

. (2,-2,0) ou (-2/5, 14/5, 0) 
 
23. Dado 
 1,2,1u

, determine um vetor 
v
 ortogonal ao eixo Ox tal que 
1331vu

 e que o vetor 
vu


 forme ângulos congruentes com os eixos Oy e 
Oz. 
 11,11,0 

v
 
 
 23 
24. São dadosos vetores 
     8,6,263,2,1,1,1,1  wevu

. Determinar os vetores 
bea
 , ortogonais entre si, sabendo que a é simultaneamente ortogonal aos vetores 
wbaqueeveu


. 
   5,10,253,4,1  bea
 
 
25. É dado o vetor 
 2,1,0v

. Determine o vetor 
w
 ortogonal ao eixo Ox, sabendo que 
12wv

 e que 
4wv
 . (0,-4,4) ou (0, 28/5, -4/5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 24 
Produto misto 
 
O produto misto dos vetores 
 111 ,, zyxu 

, 
 222 ,, zyxv 

 e 
 333 z,y,xw 

, nesta 
ordem, representado por 
 wvu

,,
 ou 
 wvu  ,,
 é o número real 
wvu


. 
 
333
222
11
,,
zyx
zyx
zyx
wvu 
 
 
Propriedades: 
 
I) Nulidade: 
 wvu

,,
=0 quando: 
a) um vetor é nulo, 
b) dois vetores são paralelos, 
c) três vetores são coplanares. 
II) Cíclica: 
O produto misto independe da ordem circular dos vetores: 
 
 wvu

,,
=
   vuwuwv

,,,, 
 
Porém muda de sinal quando trocamos a posição de dois vetores consecutivos: 
 
 wvu

,,  wuv

,,
. 
 O produto misto não se altera se os sinais 
 e
 forem permutados entre si. 
 
wvu

 wvu


 
III) Associativa em relação à multiplicação por número real 
 m
 wvu

,,
=
 wvum

,,
=
 wvmu

,,
=
 wmvu

,,
 
 
Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são 
coplanares? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
Módulo do produto misto: 
 
  cos,, wvuwvu  
 

 é o ângulo formado pelos vetores 
vu


 e 
w
 podendo 
ser agudo ou obtuso. 
 
Interpretação geométrica do módulo do produto misto 
 
Geometricamente o módulo do produto misto dos vetores 
u
 , 
v
 e 
w
 , representa o 
volume de um paralelepípedo cujas arestas são as imagens geométricas destes 
vetores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
1. Sabendo que 
    5,,2,,  xwvexwu

, calcular: 
       
10)24)36)2)
,2,35),,42)2,3,3),,)


dcba
xwvudxwvucxwubwxua
 
 
2. Um paralelepípedo é determinado pelos vetores 
     5,1,21,0,2,4,1,3  wevu

. Calcular seu volume e a altura relativa à base 
definida pelos vetores 
veu

. 
30
17
17 e
 
 
3. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
 2,1,01 v

, 
   2,,31,2,4 32  mvev

 seja igual a 33. Calcular a 
altura desse paralelepípedo relativa à base definida por 
21 vev

. 
89
334 417   hmoum
 
 
4. Dados os pontos A( 2,1,1), B( -1,0,1) e C( 3,2,-2), determinar o ponto D do eixo Oz 
para que o volume do paralelepípedo determinado por 
DAeCABA

,
 seja 25 u. v. 
 (0,0,-10) ou (0,0,15) 
 
 26 
5. Calcular o volume do tetraedro de base ABC e vértice P, sendo A( 2,0,0), B( 
2,4,0), C( 0,3,0) e P( 2,-2,9). Qual a altura do tetraedro relativa ao vértice P? 
V= 12 h= 9 
 
6. Sabendo que os vetores 
     2,1,33,1,,4,1,2  DAemCABA
 determinam 
um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m. m= -17/2 ou m= 19/2 
 
7. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores: 
      
      323,0,3,2,1,1,,2)
6,3,2,0,1,,1,2)


koukwekvkub
kkkwevkua

 
 
8. Mostre que 
   wvuwuwvvu

,,2,, 
. 
9. Para que valor de m os pontos A(m,1,2), B(2,-2,-3), C(5,-1,1) e D(3,-2,-2) são 
coplanares? m=4 
10. Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos 
vetores 
     1,0,42,,6,0,1,2 321  vemvv

 seja igual a 10. 6 ou -4 
11. Determinar o valor de k para que os vetores 
   kbka ,2,1,1,,2 
 e 
)3,0,3( c

 
sejam coplanares. 
32  kk
 
12. Os vetores 
    )1,,1(4,1,1,3,1,2  mmceba
 determinam um 
paralelepípedo de volume 42. Calcular m. 
3
8
,2

 mm
 
13. Dados os pontos A(1,-2,3), B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1), determinar o valor de 
m para que seja de 20 u.v. o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores 
ADeACAB,
. 6 ou 2 
14. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) e 
D(4,2,7). Calcular a altura relativa ao vértice D.
3
12
2 e
 
15. Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo dados A(-1,3,2), B(0,1,-1), C(-2,0,1) e 
D(1,-2,0). Calcular a altura relativa ao vértice A.
10
8
4 e
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 27 
A reta 
 
Uma reta fica determinada ou definida quando dela conhecemos a posição e a direção. 
A posição é assegurada por um ponto conhecido (ponto diretor) e a direção através de 
um vetor não nulo, também conhecido (vetor diretor). 
 
Equações: 
 
Seja r uma reta que passa pelo ponto 
),,( 111 zyxA 
 e tem a direção do vetor não nulo 
),,( cbav 

. Para que um ponto 
),,( zyxP 
 do espaço pertença à reta é necessário que 
os vetores 
veAP
 sejam paralelos. 
vtAP
vtAP
tvtAP





 ,
 
Substituindo 
),,( zyxP 
, 
),,( 111 zyxA 
 e 
),,( cbav 

, temos a equação vetorial da 
reta. 
Equação vetorial da reta: 
),,(),,(),,( 111 cbatzyxzyx 
. 
 
Ex.: 
)5,3,1()4,0,1(:  tPr
 
 
 
Equações paramétricas da reta: Da equação vetorial isolamos x, y e z, obtendo assim 
as equações paramétricas da reta 








ctzz
btyy
atxx
1
1
1
. 
Ex.: 








12
4
32
tz
ty
tx
 
Equações simétricas da reta: 
c
zz
b
yy
a
xx 111 



 
 
Ex.: 
35
2
2
3
: 1
zyx
r 




 
 
Equações reduzidas da reta: 
 
)1,,(),1,(),,1(
)0,,(),0,(),,0(
pmvpmvpmv
qnPqnPqnP
qpyy
nmzx
qpyz
nmyx
qpxz
nmxy

















 
 
 28 
Exercícios: 
 
1. Determinar um ponto e um vetor diretor de cada uma das retas: 
 
a) 








tz
ty
tx
2
21
2
 b) 
2
1
12
4





 zyx
 
c) 





zy
zx
21
2
 d) 





xz
xy
42
31
 
e) 





yz
yx
1
 f) 
zyx 
 
 
2. Determinar as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelo ponto 
A(1,3,0) e tem a direção do vetor 
)1,4,3( v

. 
 
3. Determinar as equações reduzidas, sendo y a variável independente, da reta que passa 
pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,1). 
 
p. 132: 1,2,6,8 
 
 
Casos particulares 
Até agora utilizamos as componentes do vetor diretor não nulas, no entanto uma ou 
duas destas componentes podem ser iguais a zero. 
 
1° caso: Uma das componentes do vetor é nula. 
O vetor é ortogonal a um dos eixos coordenados, sendo assim a reta é paralela ao plano 
dos outros dois eixos. 
 
a) SeyOzrOxcbva //),,0(,0 

 
 








1
11
xx
c
zz
b
yy
 
b) Se 
xOzrOycavb //),0,(,0 

 
 








1
11
yy
c
zz
a
xx
 
c) Se 
xOyrOzbavc //)0,,(,0 

 
 
 








1
11
zz
b
yy
a
xx
 
 29 
2° caso: Duas componentes do vetor são nulas. 
O vetor tem a direção de um dos vetores 
kouji

,
 e, portanto a reta é paralela a um 
dos eixos coordenados. 
 
a) Se 
xOyrouOzrkcvba  ////),0,0(,0
 














1
1
1
1
1
yy
xx
ctzz
yy
xx
 
 
 
 
b) Se 
xOzrouOyrjbvca  ////)0,,0(,0

 














1
1
1
1
1
zz
xx
zz
btyy
xx
 
 
c) Se 
yOzrouOxriavcb  ////)0,0,(,0

 














1
1
1
1
1
zz
yy
zz
yy
atxx
 
 
Os eixos coordenados são retas particulares. 















0
0
:
0
0
:
0
0
:
y
x
Oz
z
x
Oy
z
y
Ox
 
 
Exercícios: p. 134: 11,12,13e,h. 
 
Ângulo de duas retas 
 
É o menor ângulo formado pelos vetores diretores. 
21
21
cos
vv
vv




, 
2
0

 
 
Exercícios p.135: 14a,c,15 
 
 
Condições de paralelismo, ortogonalidade e coplanaridade de duas retas. 
 
Se 
212121 //// vkvvventãorr


 
 
 
Se 
0212121  vvvventãorr

 
 
Se 
1r
 é coplanar a 
2r
 então 
2121, AAevv
 são coplanares   0, 212,1  AAvv 
. 
 30 
Retas perpendiculares são retas ortogonais e coplanares. 
021 vv

 e 
  0, 212,1 AAvv 
 
 
Reta ortogonal a duas retas. 
Se 
 21
2
1
vvkv
r
r
r


 
 
Exercícios p.136: 18a,20,22,23a,24b,d,25,27,31,32,35. 
 
 
Exercícios: 
 
1. Dada a reta 








tz
ty
tx
r
24
3
2
:
, determinar o ponto de r tal que: 
a) a ordenada seja 6; (-1,6,-10) 
b) a abscissa seja igual a ordenada; (5/2, 5/2, -3) 
c) a cota seja o quádruplo da abscissa. (-4,9,-16) 
 
2. O ponto P( m,1,n) pertence à reta que passa por A( 3,-1,4) e B( 4,-3,-1). Determinar 
P. P(2,1,9) 
 
3. Seja o triângulo de vértices A(-1,4,-2), B(3,-3,6) e C(2,-1,4).Escrever equações 
paramétricas da reta que passa pelo ponto médio do lado AB e pelo vértice oposto 
C. 
x = 2 + t, y = -1 – 3/2t, z = 4 + 2t 
4. Os pontos M1(2,-1,3), M2(1,-3,0) e M3(2,1,-5) são pontos médios dos lados de um 
triângulo ABC. Obter equações paramétricas da reta que contém o lado cujo ponto 
médio é M1. x= 2 + t, y = -1 + 4t, z = 3 – 5t 
 
5. Obter equações reduzidas na variável x, da reta: 
 
a) que passa por A(4,0,-3) e tem a direção do vetor (2,4,5); y = 2x – 8 , z = 5/2x – 13 
b) que passa pelos pontos A(1,-2,3) e B(3,-1,-1). y= x/2 – 5/2 , z = -2x + 5 
 
6. Representar graficamente as retas de equações: 
 
 






















4
3
)
1
3
)
2
4
)
3
2
)
y
x
d
z
y
c
xz
y
b
z
xy
a
 
 
7. Dados os pontos A(0,0,1), B( 1,2,1) e C( 1,0,1), obtenha as equações da bissetriz 
interna do triângulo ABC, relativa ao vértice C. x = 1 – t, y = t, z = 1 
 
8. Escreva as equações paramétricas da reta r, que passa pelo ponto A(2,0,-3) e é 
paralela à reta 
6
3
4
3
5
1
:


 zyx
s
. x = 2 – 15t, y = 4t, z = - 3 + 18t 
 31 
9. Dada a reta 








tz
ty
tx
r
1
:
 e os pontos A(1,1,1) e B( 0,0,1), determine o ponto de r 
eqüidistante de A e B. P(1,0 0) 
 
10. Sejam P( 1,0,1) e Q( 0,1,1). Determine um ponto C da reta PQ tal que a área do 
triângulo ABC seja 
2
1
. 
 
a) A( 1,3,2), B( 2,2,2) não existe C 
 
b) A( 3,-2,1), B( 0,0,1) (2,-1,1) ou (4,-3,1) 
11. Verifique se as retas 
   
3
1
1
2
1
:0,2,10,1,0:





z
y
x
setPr
 são 
perpendiculares. 
 
12. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P( 1,0,1) e é 
perpendicular à reta 








tz
y
tx
r
1
0:
. x = 1 + t, y = 0, z = 1 –t 
 
 
13. Obtenha os vértices B e C do triângulo eqüilátero ABC, sendo A(1,1,0) e sabendo 
que o lado BC está contido na reta 








tz
ty
x
r
0
:
. B(0,0,0) e C(0,1,-1) 
 
14. Determine o ângulo entre as retas: 
 
 










2
5
32:
2
2
3
:)
z
yxse
tz
ty
tx
ra
; 60° 
 














0
3
2
1
:
0
3
3
2
:)
y
z
x
se
y
z
x
rb
. 45° 
 
15. Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção de 








yz
yx
se
zy
xr
22
1
:
32
1
2:
 e é simultaneamente ortogonal a elas. 
x = 2 + t, y = -1 – 5t, z = 3t 
 
 32 
16. Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, calcular o ponto de 
interseção. 
 
a) 










1
73
5
32
:
xz
xy
se
xz
xy
r
 I(2,1,3) 
b) 














tz
ty
tx
se
zyx
r
38
4
1
:
4
2
3
1
2
3
:
 I(1,2,-2) 
c) 










2
1
3
4
:
10
32
:
zy
xse
xz
xy
r
 reversas 
d) 
















hz
hy
hx
se
tz
ty
tx
r
131
71
63
:
66
53
2
:
 I(3,8,12) 
e) 













xz
xy
se
tz
ty
tx
r
2
6
:4
2
:
 coincidentes 
 
17. Determinar os pontos da reta 








tz
ty
tx
r
23
21
2
:
 que distam 6 unidades do ponto 
A( 2,1,3). 
 (4,5,7) e (0,-3,-1) 
 
18. Calcular o ângulo que a reta que passa por A(3,-1,4) e B( 1,3,2) forma com a sua 
projeção sobre o plano xy. 









6
30
cosarc
 
 
19. Dado o ponto A( 3,4,-2) e a reta 








tz
ty
tx
r
24
2
1
:
 , determinar: 
 
a) As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r; 
x = 3 – 2h, y = 4, z = -2 + h 
 
b) O ponto simétrico de A em relação a reta r. (-5,4,2) 
 
20. Forme as equações simétricas de uma reta traçada pelo ponto A(-1,4,5) e que seja 
perpendicular à reta 
   2,1,11,1,2:  tPr
. 
5
2
4
,1 

 z
y
x
 
 
 33 
22. Decompor o vetor 
v
 =(-2,-6,-1) em dois vetores 
bea
 tais que 
rbera 

//
 sabendo 
que 





1
2
:
zy
zx
r
. 
   2,3,13,3,3  ba
 
 
23. Forme as equações reduzidas em função de x, da reta que possui o ponto P( 2,3,-1) e 
os ângulos diretores são 60°, 120° e 135°. 





2212
5
:
xz
xy
r
 
 
 
24. Determine as equações reduzidas, sendo z a variável independente, da reta que 
passa pelo ponto A(3,-6,0) e é paralela à reta r: x = 2y = 3z.





6
2
3
33
zy
zx 
 
25. Os vértices de um triângulo são O(0,0,0), A(3,4,0) e B(1,2,2). Determine as 
equações reduzidas, sendo z a variável independente, da bissetriz interna do ângulo 
AÔB. 







zz
zx
5
11
5
7