Geometria_Analitica_parte1

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Geometria Anal´ıtica
Professora: Dra. Fab´ıola Aiub Sperotto
Colaborador: Felipe de Freitas Vilar
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e F´ısica - IMEF
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
2013
Suma´rio
1 Estudo da Reta 4
1.1 Revisa˜o: Estudo da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Vetores 11
2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Operac¸o˜es entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 Produtos de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.7.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.8 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.8.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.9 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.9.2 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3 Retas e Planos 64
3.1 Retas no R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
1
3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.4 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.5 Equac¸o˜es do Plano no Espac¸o (R3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.7 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.7.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.8 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4 Coˆnicas, superf´ıcies qua´dricas e coordenadas polares 118
4.1 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2 Elementos e Equac¸o˜es das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.1 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.2.2 Translac¸a˜o de eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.2.3 Equac¸a˜o Canoˆnica da Para´bola com centro gene´rico . . . . . . 124
4.2.4 Equac¸o˜es Parame´tricas da para´bola . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.2.6 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.2.7 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.8 Equac¸a˜o Canoˆnica da Elipse com centro gene´rico . . . . . . . 131
4.2.9 Circunfereˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.10 Equac¸o˜es Parame´tricas da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2.11 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.2.12 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.2.13 Equac¸a˜o Canoˆnica da Hipe´rbole com centro gene´rico . . . . . 139
4.2.14 Equac¸o˜es Parame´tricas da Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . 140
4.2.15 Tabela de fo´rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.2.16 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.3 Superf´ıcies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4 Superf´ıcie Cil´ındrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.4.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.5 Superf´ıcie coˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2
4.6 Coordenadas Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.6.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.7 Mudanc¸as de Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.7.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.8 Equac¸o˜es Polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8.1 C´ırculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
4.8.2 Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.9 Equac¸o˜es Polares das Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.9.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.10 Rotac¸a˜o dos Eixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.11 Lista de exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
3
Cap´ıtulo 1
Estudo da Reta
1.1 Revisa˜o: Estudo da Reta
Conceito de Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A × B) e´ o
conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A e b ∈ B:
A× B = {(a,b)|∀a ∈ A; ∀b ∈ B}
Exemplo 1 Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.
A× B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
Dois produtos cartesianos importantes:
Sendo R - conjunto dos reais.
O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈ R; ∀y ∈ B}.
O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R, ∀y ∈ R,∀z ∈ R}.
Coordenadas Cartesianas na reta
Uma reta orientada e´ uma reta na qual tomamos um sentido positivo de percurso
(flecha).
4
Cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma ordenada, portanto, o ponto
P e´ um par ordenado (x,y) onde x pertence ao eixo das abscissas e y pertence ao
eixo das ordenadas.
Note que o eixo x e´ perpendicular ao eixo y.
Distaˆncia entre dois pontos
Para falar em distaˆncia entre dois pontos devemos lembrar do Teorema de Pita´goras,
que relaciona as medidas dos lados de um triaˆngulo retaˆngulo. Os lados que formam
um aˆngulo reto sa˜o denominados catetos e o lado oposto ao aˆngulo reto e´ chamado
de hipotenusa. Assim, temos
a2 = b2 + c2.
Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)
|−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
5
|−→PQ| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ponto Me´dio
Considere treˆs pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), onde P e´ o ponto
me´dio entre A e B, enta˜o AP = PB. Portanto,
x =
(x1 + x2)
2
, y =
(y1 + y2)
2
A Reta
E´ fa´cil perceber que dois pontos distintos definem uma u´nica reta. Considere a
reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta´ sobre a reta desde que
A,B e P sejam colineares, como podemos observar pela figura abaixo.
6
Tal condic¸a˜o de alinhamento e´ satisfeita se os triaˆngulos ABM e APN forem
semelhantes,
PN
AN
=
BM
AM
Portanto,
y − y0
x− x0 =
y1 − y0
x1 − x0 .
Onde, x0,y0,x1,y1 sa˜o nu´merosconhecidos. Tal constante e´ o coeficiente angular
da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variac¸a˜o △y das ordenadas dos pontos
conhecidos da reta pela variac¸a˜o △x de suas abscissas.
a =
△y
△x =
y1 − y0
x1 − x0 .
Enta˜o,
y1 − y0
x1 − x0 = a ou y− y0 = a(x−x0) e´ a equac¸a˜o na forma ponto coeficiente
angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b, enta˜o a forma da
equac¸a˜o reduzida da reta e´ dada por
y = ax+ b.
Sendo assim, a e´ o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Dizer que
y = ax + b e´ uma equac¸a˜o de uma dada reta significa que todo ponto da reta tem
coordenadas que satisfazem sua equac¸a˜o. Reciprocamente, todo par ordenado que
satisfaz sua equac¸a˜o e´ um ponto da reta.
Declividade ou coeficiente angular
Considere uma reta r na˜o paralela ao eixo Oy e α sua inclinac¸a˜o, o coeficiente
angular a e´ o nu´mero real que expressa a tangente trigonome´trica de sua inclinac¸a˜o
α.
a = tgα
Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :
7
8
Exemplo 2 Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da reta, por
exemplo, A(2,3) e B(4,7), enta˜o:
a =
7− 3
4− 2 =
4
2
= 2
Equac¸a˜o da reta conhecidos um ponto e a declividade:
Considere P (x,y) um ponto gene´rico sobre a reta e a a declividade (coeficiente
angular), temos
tgα = a =
y − y1
x− x1 ⇒ y − y1 = a(x− x1)
Exemplo 3 Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular da reta e´ 2,
usando a equac¸a˜o (y − y1) = a(x− x1), temos:
(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.
Equac¸a˜o Geral da reta:
Toda reta possui uma equac¸a˜o na forma ax + by + c = 0 na qual a,b e c sa˜o
constantes e a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, chamada de equac¸a˜o geral da
reta.
Retas paralelas
9
Retas concorrentes
Exemplo 4 Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0, determinar o
ponto P de intersec¸a˜o das retas r e s. Soluc¸a˜o: Resolver o seguinte sistema:
{
3x+ 2y − 7 = 0
x− 2y − 9 = 0
Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda equac¸a˜o,
y =
−5
2
. Portanto, P (4,
−5
2
).
10
Cap´ıtulo 2
Vetores
2.1 Vetores
Introduc¸a˜o
Existem dois tipos de grandezas: as grandezas escalares (munidos por nu´meros
reais) e as grandezas vetoriais (que na˜o podem ser representados por um u´nico
nu´mero). Exemplos de grandezas escalares: comprimento, temperatura, tempo, entre
outras.
As grandezas vetoriais sa˜o usadas por matema´ticos e cientistas para lidar com
quantidades que na˜o podem ser descritas ou representadas por um u´nico nu´mero,
sa˜o quantidades que tem tamanho e direc¸a˜o, e incluem forc¸a, velocidade, acelerac¸a˜o,
entre outras.
Por exemplo, para descrevermos uma forc¸a, precisamos registrar a direc¸a˜o e o
sentido nos quais ele atua, bem como seu tamanho.
No deslocamento de um corpo, precisamos indicar em qual direc¸a˜o e sentido ele
se move e a distaˆncia percorrida.
Reta Orientada – Eixo: Uma reta r e´ orientada quando fixarmos nela um sentido
de percurso, considerado positivo e indicado por uma seta.
r
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✯
11
Segmento Orientado: Um segmento orientado e´ determinado por um par ordenado
de pontos, o primeiro e´ chamado origem ou ponto inicial do segmento, o segundo
chamado extremidade ou ponto final.
A
B
✟✟
✟✟
✟✟
✟✟
✟✯
Segmento Nulo: E´ aquele cuja extremidade coincide com a origem. Os segmentos
nulos teˆm comprimento igual a` zero.
Segmentos Opostos: Se AB e´ um segmento orientado, o segmento orientado BA
e´ oposto de AB.
Comprimento de um segmento (ou magnitude):
Se fixarmos uma unidade de comprimento a cada segmento orientado temos associado
um nu´mero real que e´ a medida do segmento em relac¸a˜o aquela unidade. O comprimento
do segmento AB e´ indicado por
−→
AB.
O comprimento do segmento AB representado na figura abaixo e´ denotado por−→
AB = 6u.c.
A
| | | | |
B
✲
| |
u
Direc¸a˜o: A direc¸a˜o de um segmento e´ da origem para a extremidade. Dois
segmentos orientados na˜o nulos AB e CD teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas suportes
desses segmentos sa˜o paralelas:
Figura 2.1: Vetores paralelos
12
Figura 2.2: Vetores paralelos 2
Segmentos coincidentes:
Figura 2.3: Segmentos coincidentes
Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sa˜o equipolentes quando teˆm
a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento.
13
Figura 2.4: Segmentos equipolentes
Vetores
Por definic¸a˜o, um vetor e´ um segmento de reta orientado, que em linguagem
habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambe´m denominada
ponto inicial) e uma extremidade (tambe´m denominada ponto terminal), sua direc¸a˜o
e´ da origem para a extremidade. Invertendo a seta obtemos um vetor com direc¸a˜o
contra´ria. Observe a figura:
Figura 2.5: Definic¸a˜o de vetor
Notac¸a˜o:
−→
AB ou B − A. O vetor tambe´m costuma ser indicado por letras
minu´sculas ~v ou em negrito v. Ou algumas vezes por letras maiu´sculas em negrito,
por exemplo, F, para denotar forc¸a.
Quando escrevemos ~v =
−→
AB, significa que o vetor ~v e´ determinado pelo segmento
de reta orientado AB. Um mesmo vetor
−→
AB e´ determinado por uma infinidade
de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor. Assim, um segmento
determina um conjunto que e´ o vetor, e qualquer um destes representantes determina
14
o mesmo vetor.
As caracter´ısticas de um vetor ~v sa˜o as mesmas de qualquer um de seus representantes,
isto e´: o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor sa˜o o mo´dulo, direc¸a˜o e o sentido de
qualquer um de seus representantes.
Vetores iguais: Dois vetores
−→
AB e
−→
CD sa˜o iguais se, e somente se,
−→
AB=
−→
CD. Ou
se, ~u =
−→
AB e ~v =
−→
CD, enta˜o ~u = ~v.
Vetor Nulo: Qualquer ponto do espac¸o e´ representante do vetor zero ou vetor
nulo, e e´ indicado por ~0 ou
−→
AA isto e´, a origem coincide com a extremidade. Este
vetor na˜o possui direc¸a˜o e sentidos definidos.
Vetores Opostos: Pela figura abaixo observamos que o vetor
−→
A1B1, e´ o vetor
oposto de
−→
AB e, podemos indicar por -
−→
A1B1.
Vetor Unita´rio: Um vetor ~v e´ unita´rio se |~v| = 1. Por exemplo, os vetores da
base canoˆnica padra˜o no espac¸o (R3) dados por: ~i=(1,0,0), ~j=(0,1,0) e ~k=(0,0,1) sa˜o
vetores unita´rios.
Versor: Versor de um vetor na˜o nulo ~v e´ o vetor unita´rio de mesma direc¸a˜o e
mesmo sentido de ~v. Sempre que ~v 6= 0, seu comprimento na˜o e´ zero.
~u =
∣∣∣∣ 1|~v|
∣∣∣∣ = 1|~v|~v = 1
15
Figura 2.6: 2 vetores opostos
Conclui-se que ~u =
~v
|~v| , e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~v chamado versor do
vetor na˜o-nulo ~v.
Por exemplo, tomemos um vetor ~v de mo´dulo 3, ~|v|=3.
~v
✲| |
✲ ~u
✛ −~u
O vetor ~u que tem o mesmo sentido de ~v e´ chamado versor de ~v.
Vetores Colineares: Dois vetores ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem a mesma direc¸a˜o.
Em outras palavras: ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem representantes AB e CD
pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Vetores Coplanares: Se os vetores na˜o nulos ~u, ~v e ~w (na˜o importa o nu´mero de
vetores) possuem representantes EF , HG e IJ pertencentes a um mesmo plano π,
diz-se que eles sa˜o coplanares.
Dois vetores ~u e ~v quaisquer sa˜o sempre coplanares, pois podemos sempre tomar
um ponto no espac¸o e, com origem nele, imaginar os dois representantes de ~u e ~v
pertencendo a um plano π que passa por este ponto.
Treˆs vetores podera˜o ou na˜o ser coplanares.
16
Figura 2.7: Vetores colineares
Figura 2.8: Vetores colineares 2
Figura 2.9: Vetores coplanares
2.2 Operac¸o˜es entre Vetores
Duas operac¸o˜es que envolvem vetores sa˜o a adic¸a˜o de vetores e a multiplicac¸a˜o
por escalar.
17
Me´todos Geome´tricos:
- Me´todo da Triangulac¸a˜o: Consiste em colocar a origem do segundo vetor coincidente
com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resultante) e´ o que fecha o
triaˆngulo (origem coincide com a origem do primeiro, extremidade coincide com a
extremidade do segundo).
Figura 2.10: Veja que ~w = ~u+ ~v
- Me´todo do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois vetores coincidentes
e construir o paralelogramo.O vetor soma e´ a diagonal cuja origem coincide com a
origem dos dois vetores. A outra diagonal e´ a diferenc¸a entre os vetores.
 
 
 
 
 
 
 
 ✒
~u
✲
~v
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✶
~u+ ~v
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 5
18
Figura 2.11: Me´todo do paralelogramo
2.2.1 Agora tente resolver!
1. Usando os me´todos anteriores, copie os vetores ~u, ~v, ~w o que for necessa´rio
para esboc¸ar os vetores abaixo:
a) ~u+ ~v
b) ~u− ~v
c) ~u+ ~v + ~w
d) ~u− ~w
2. Dado o paralelogramo abaixo definido pelos pontosABCD e pelos seus respectivos
pontos me´dios, complete:
a)
−→
AC +
−→
AB
b)
−→
BA +
−→
CA
19
c)
−→
AD −
−→
BD
d)
−→
AF +
−→
BD
Exemplo 6 Quando os vetores tem o mesmo sentido:
~u✲
~v ✲
~u✲ ~v ✲
✲~u+ ~v
Exemplo 7 Quando os vetores tem sentidos opostos:
✲~u
✲~u+ ~v ✛ ~v
Adic¸a˜o: Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adic¸a˜o, admite as seguintes
propriedades:
❼ Comutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u
20
 
 
 
 
 
 ✒
~u
✲~v
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✶
~u+ ~v
❼ Associativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
 
 
 
 
 
 ✒
~u
✲~v
❅
❅
❅
❅
❅
❅❘
~w
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✶
~u+ ~v
PPPPPPPPPPPPPPPPPPq~v + ~w ✲
~u+ (~v + ~w) ou (~u+ ~v) + ~w
❼ Elemento neutro: ~u+ 0 = ~u
❼ Elemento oposto (ou sime´trico): ~u+ (−~u) = 0
se ~u =
−→
AB, o seu sime´trico e´
−→
BA e escrevemos
−→
AB= −
−→
BA ou ~u = −~u
O vetor ~u+ (−~u), escreve-se ~u− ~u, e´ chamado diferenc¸a entre vetores.
Multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por vetor: Dado um vetor na˜o nulo ~v e um
nu´mero real a 6= 0 chama-se produto do nu´mero real a pelo vetor ~v, o vetor a~v
tal que:
❼ Mo´dulo: |a~v| = |a||~v|.
-O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de ~v.
21
❼ Direc¸a˜o: a~v e´ paralelo a ~v.
-Isto e´, tem a mesma direc¸a˜o de ~v.
❼ Sentido: a~v e ~v tem o mesmo sentido se a > 0, e contra´rio se a < 0.
-Se a = 0 ou ~v = 0 enta˜o a~v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilata o
vetor, ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor.
Exemplo 8
Propriedades:
i. a(b~v)=(ab)~v - Associativa
ii. (a+b)~v=a~v+b~v - Distribuitiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de escalares.
iii. a(~u+~v)=a~u+a~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores.
iv. 1~v=~v - Identidade.
Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii:
 
 
 ✒
~u
✲~v
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✏✶
~u+ ~v 
 
 
 
 
 ✒
2~u
✲2~v
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏
✏✏✶
2~u+ 2~v
Aˆngulo entre vetores: E´ o aˆngulo formado por duas semi-retas OA e OB de
mesma origem O, este aˆngulo e´ indicado por θ.
22
(a) Se ~u ‖ ~v e teˆm mesmo sentido e direc¸a˜o, enta˜o θ = 0.
✲~u
✲~v
(b) Se eles teˆm sentidos contra´rios, enta˜o θ = π.
✛ ~u
✲~v
(c) Se θ = π/2, os vetores sa˜o ortogonais.
✻
~v ✲
~u
Observac¸o˜es:
✻
~v ✲
~u
 
 
 
 
 
 ✒
O
A
B
C−−−−−−−
|
|
|
|
~u+ ~v
∆OBC : |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2
-O vetor nulo e´ considerado ortogonal a qualquer vetor.
Exemplo 9
23
Figura 2.12: aˆngulo entre vetores
2.2.2 Agora tente resolver!
(a) Dados os vetores ~u,~v e ~w, ver figura 2.13, construir os vetores:
Figura 2.13: Figura do exerc´ıcio 1.
a) ~x = 2~u− 1
3
~v
b) ~r = 1
2
~v − w + 2
3
~u
(b) Dada a figura 2.14, ondeM,N e P sa˜o os pontos me´dios de AB, BC, CA,
respectivamente, represente os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM em func¸a˜o de
−→
AB
e
−→
AC.
24
Figura 2.14: Figura do exerc´ıcio 2.
2.3 Vetores no Plano
Dados dois vetores na˜o paralelos, um vetor ~v pode ser decomposto segundo
as direc¸o˜es dos eixos coordenados.
De modo geral, dados dois vetores quaisquer na˜o paralelos, para cada vetor ~v
representado no mesmo plano de ~v1 e ~v2 , existe uma so´ dupla de nu´meros reais
a1 e a2 tal que
~v = a1~v1 + a2~v2
Quando isto acontece o vetor ~v e´ expresso por uma combinac¸a˜o linear de ~v1
e ~v2. O conjunto B = {~v1, ~v2} e´ chamado base no plano.
Os nu´meros a1 e a2 sa˜o chamados de componentes ou coordenadas do vetor ~v na
base B. As bases mais utilizadas sa˜o as ortonormais. Uma base representada
por {e1, e2} e´ ortonormal, se seus vetores forem e1 ⊥ e2 e |~e1| = |~e2| = 1. Em
um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores do plano sempre
podera˜o ser escritos como uma combinac¸a˜o linear dos vetores na˜o colineares ~i
e ~j.
Observac¸a˜o: Qualquer vetor ~v = (a1,a2) pode ser escrito como uma combinac¸a˜o
linear dos vetores da base em R2:
~v = (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2) = a1(1,0) + a2(0,1) = a1~i+ a2~j
Exemplo 10
25
Figura 2.15: Base canoˆnica no plano.
Expressa˜o Anal´ıtica de um Vetor
Fixada a base {~i,~j}, fica estabelecida uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre os
vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de nu´meros reais. Assim, a cada
vetor ~v do plano pode-se associar um par (x,y) de nu´meros reais que sa˜o suas
componentes na base dada.
Um vetor no plano e´ um par ordenado (x,y) de nu´meros reais e representamos
por: ~v = (x,y) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Onde:
x e´ a primeira componente, e e´ chamada abscissa de ~v,
y e´ a segunda componente, e e´ chamada ordenada de ~v.
Para as operac¸o˜es alge´bricas de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de um vetor por um
escalar sa˜o va´lidas as propriedades vistas anteriormente (comutativa, associativa,
elemento neutro, elemento oposto, distributivas em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores
e a adic¸a˜o de escalares).
26
Igualdade de vetores: ~v = (x1,y1), e ~j = (x2,y2), sa˜o iguais se x1 = x2,y1 = y2
(coordenadas correspondentes iguais).
Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor
−→
AB onde a origem e´ o ponto
A(x1,y1) e extremidade B(x2,y2), onde
−→
OA= (x1,y1), e
−→
OB= (x2,y2), enta˜o:
−→
AB=
−→
OB −
−→
OA= (x2,y2)− (x1,y1) = (x2 − x1,y2 − y1)
Exemplo 11 Encontre o vetor a partir do ponto A(6,9) ate´ a origem.
Soluc¸a˜o:
−→
AO=O − A=(0,0)-(6,9)=(-6,-9).
E´ o sime´trico de A, -A.
Observac¸a˜o: lembre-se que um vetor tem infinitos representantes que sa˜o os
segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido.
Dentre os infinitos representantes do vetor
−→
AB , o que melhor representa e´
aquele que tem origem em O(0,0) e extremidade em P (x2 − x1,y2 − y1). O
vetor ~v =
−→
AB e´ o vetor posic¸a˜o ou representante natural de
−→
AB .
E tambe´m, ~v =
−→
AB= B − A.
Operac¸o˜es:
❼ Adic¸a˜o: ~u+ ~v = (x1 + x2,y1 + y2) = (x2 + x1,y2 + y1) = ~v + ~u
Exemplo 12 Se ~u=(1,2) e ~v=(-2,2), enta˜o:
~u+ ~v=(1,2)+(-2,2)=(1+(-2),2+2)=(-1,4)
❼ Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar α~u = (αx1,αy1)
Exemplo 13 Se α=2, enta˜o: α~u=2(1,2)=(2,4)
❼ −~u = (−1)~u = (−x1,− y1)
Exemplo 14 -~u=-(1,2)=(-1,-2)
❼ ~u− ~v = (x1 − x2,y1 − y2)
27
Figura 2.16: Soma de vetores.
Exemplo 15 ~u− ~v=(1,2)-(-2,3)=(1-(-2),2-3)=(3,-1)
Mo´dulo de um vetor: O mo´dulo ou comprimento do vetor ~v = (a,b) e´ um
nu´mero real na˜o negativo, definido por:
|~u| = √a2 + b2
Isso e´ facilmente demostrado pelo Teorema de Pita´goras.
Pelo gra´fico, percebemos que aplicando o teorema de Pita´goras: |~u|2 = a2+ b2,
onde os catetos a e b do triaˆngulo sa˜o as coordenadas do vetor no plano e a
hipotenusa c e´ exatamente a medida do vetor ~u.
Logo, |~u| = √a2 + b2.
28
Exemplo 16 Encontre as componentes e o mo´dulo (ou comprimento) do vetor
de origem A(−3,4) e extremidade B(−5,2).
Soluc¸a˜o:
~v =
−→
AB= B − A = (−5,2)− (−3,4) = (−2,− 2)
|
−→
AB | =√(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2u.c.
Distaˆncia entre dois pontos: Dados os pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) a distaˆncia
e´ definida por:
d(A,B) = |
−→
AB | =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Exemplo 17 Um jato, voando para leste a 600mi/h sem vento, encontra um
vento de popa de 70mi/h atuando no sentido de 60◦ em relac¸a˜o ao nordeste.
O jato mante´m-se seguindo rumo ao leste, mas devido ao vento, adquire uma
nova velocidade em relac¸a˜o ao solo e uma direc¸a˜o e um sentido novos. Qual
seria essa nova velocidade?
Soluc¸a˜o:
Sando ~u = a velocidade do avia˜o sozinho e ~v =velocidade do vento de popa.
Enta˜o, |~u| = 600 e |~v| = 70 . A velocidade do avia˜o em relac¸a˜o ao solo e´ dada
pela magnitude e pela direc¸a˜o do vetor resultante ~u + ~v. Se o eixo x positivo
representar o lestee o eixo y positivo representar o norte, enta˜o as componentes
de ~u e ~v sera˜o
29
~u = (600,0) e ~v = (70cos(60)◦,70sen(60◦)) = (35,35
√
3).
Portanto,
~u+ ~v = (635,35
√
3)
|~u+ ~v| =
√
6352 + (35
√
3)2 ≃ 637,88mi/h
2.3.1 Agora tente resolver!
(a) Sejam ~u=(3,-2) e ~v=(-2,5) encontre as componentes dos vetores:
a) 3~u
b) ~u+ ~v
c) 2~u-3~v
d) 3
5
~u+ 4
5
~v
(b) Sendo A(1, − 2), B(2,1), C(3,2), D(−2,3) decompor os vetores −−→BD e−−→
AD +
−−→
DC tomando como base os vetores
−→
AB e
−→
AC.
Ponto me´dio: Dados A(x1,y1) e B(x2,y2), o ponto me´dio representado por
M(x,y) e´ portanto, M = (x1+x2
2
,y1+y2
2
).
✲A B|
M
Ja´ que
−→
AM=
−→
MB
M − A = B −M
(x− x1,y − y1) = (x2 − x,y2 − y)
x− x1 = x2 − x
y − y1 = y2 − y
30
Resolvendo as equac¸o˜es respectivamente em relac¸a˜o a x e y.
x =
x1 + x2
2
e
y =
y1 + y2
2
Paralelismo de dois vetores: Dois vetores ~u = (x1,y1), e ~v = (x2,y2), sa˜o
paralelos se, ~u = α~v, ou seja (x1,y1) = α(x2,y2), onde pela condic¸a˜o de
igualdade x1 = αx2, e y1 = αy2, portanto
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Exemplo 18 Os vetores ~u = (12,8) e ~v = (6,4) sa˜o paralelos pois,
12
6
=
8
4
=
2 = α.
Exemplo 19 Dados ~u=(3,-1), ~v=(-1,2). Encontre ~w na igualdade:
3~w − (2~v − ~u) = 2(4~w − 3~u)
Soluc¸a˜o:
3~w − (2(−1,2)− (3,− 1)) = 2(4~w − 3(3,− 1))
3~w − ((−2,4)− (3,− 1)) = 8~w − (18,− 6)
3~w − 8~w = (−18,6) + (−5,5)
−5~w = (−23,11)
~w =
(
23
5
,
−11
5
)
Observac¸a˜o:
Para resolver o pro´ximo exerc´ıcio, lembrar que:
- (⊥) - Condic¸a˜o de perpendicularismo - aˆngulo e´ igual a 90➦.
- (‖) - Condic¸a˜o de paralelismo.
31
3. A figura abaixo representa um retaˆngulo. Decidir se e´ verdadeira ou falsa cada
uma das afirmac¸o˜es:
a)
−→
AF⊥
−→
CB
b)
−→
BA‖
−→
CA
c)
−→
AD⊥
−→
DF
d)
−→
AF=
−→
EC
2.3.2 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (2, − 4), ~v = (−5,1) e ~w = (−12,6). Determinar a1, a2
tais que ~w = a1~u+ a2~v.
2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesiano A(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4)
e responder as seguintes questo˜es:
a) O vetor
−→
AB e´ ortogonal ao vetor
−−→
CD? Justifique.
b) O vetor
−−→
DA e´ paralelo ao vetor
−−→
BC?
3. Determine o ponto C tal que
−→
AC = 3
−→
AB sendo A(0,− 4) e B(1,2).
4. Verdadeiro ou Falso:
a) Se ~u = ~v enta˜o |~u| = |~v|.
b) Se |~u| = |~v| enta˜o ~u = ~v.
c) Se ~u ‖ ~v enta˜o ~u = ~v.
32
5. Dados os vetores −→u = (4,5) e −→v = (3,4), calcular −→u + −→v , 2−→u e 2−→v . Fac¸a a
representac¸a˜o geome´trica dos vetores resultantes no plano.
2.4 Vetores no Espac¸o
O produto cartesiano R × R × R ou R3 e´ o conjunto R3 = {(x,y,z)/x,y,z ∈ R}
e sua representac¸a˜o geome´trica e´ o espac¸o cartesiano determinado pelos treˆs eixos
cartesianos, ortogonais dois a dois.
Seja x, y, z o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Um vetor −→v pode ser escrito
como combinac¸a˜o linear dos vetores da base representados por~i,~j,~k, onde,~i=(1,0,0),
~j=(0,1,0) e ~i=(0,0,1) que formam a base canoˆnica no espac¸o.
O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde ao vetor ~i.
O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde ao vetor ~j.
O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde ao vetor ~k.
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Observac¸a˜o 1: Representac¸a˜o da base no sentido positivo. Esta base obedece a`
regra da Ma˜o direita.
A base canoˆnica representada pelo conjunto B = {~i,~j,~k} e´ formada por vetores
unita´rios, portanto |~i| = |~j| = |~k| = 1, e dois a dois ortogonais com origem em O.
O vetor
~v = x~i+ y~j + z~k
tambe´m pode ser expresso por ~v = (x,y,z) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Exemplo 20 ~v = 2~i− 3~j + ~k=(2,-3,1)
Observac¸a˜o 2: Nos eixos coordenados em R3 cada dupla de eixos determina um
plano:
a) o plano xOy ou simplesmente xy;
b) o plano xOz ou xz;
c) o plano yOz ou yz.
Estes treˆs planos dividem o espac¸o em oito partes, chamadas de octantes:
1. Primeiro octante: (x,y,z)
2. Segundo octante: (−x,y,z)
34
3. Terceiro octante: (−x,− y,z)
4. Quarto octante: (x,− y,z)
E assim sucessivamente, formando oito octantes.
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