AD2 ALII 2014 2 gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AD2 – A´lgebra Linear II – 2014/2
Gabarito
AVISO: E´ obrigato´rio, nas resoluc¸o˜es de sistemas lineares, reduzir por linhas a` forma em escada a matriz
associada ao sistema.
Questa˜o 1 (2,8 pontos) Seja Π o plano gerado por v1 = (2,−1,−1) e v2 = (1, 0, 2). Considere o
operador linear T reflexa˜o com respeito ao plano Π.
a) [1,2 pts] Deˆ exemplo de uma base ortonormal do R3 formada por autovetores de T , indicando os
seus autovalores.
b) [0,8 pt] Determine uma matriz ortogonal P que diagonaliza T e a sua correspondente matriz
diagonal D.
c) [0,8 pt] Determine a matriz A que representa T na base canoˆnica do R3.
Soluc¸a˜o:
a) Vamos, primeiramente, construir uma base ortogonal do R3 formada por autovetores de T .
A reflexa˜o com respeito a um plano Π tem as seguintes propriedades:
Se u ∈ Π, enta˜o T (u) = u. Logo, u ∈ Π e u 6= (0, 0, 0) e´ autovetor de T associado ao
autovalor 1.
Se u ⊥ Π, enta˜o T (u) = −u. Logo, u ⊥ Π e u 6= (0, 0, 0) e´ autovetor de T associado ao
autovalor −1.
Portanto, v1 = (2,−1,−1) e v2 = (1, 0, 2) sa˜o autovetores de T associados ao autovalor 1.
Observamos que v1 ⊥ v2.
O vetor v3 = v1 × v2 e´ normal ao plano Π, logo e´ autovetor associado ao autovalor −1.
Temos v3 = v1 × v2 = det

 −→i −→j −→k2 −1 −1
1 0 2

 = −2−→i − 5−→j +−→k = (−2,−5, 1).
Assim,
{v1 = (2,−1,−1)︸ ︷︷ ︸
λ1=1
, v2 = (1, 0, 2)︸ ︷︷ ︸
λ2=1
, v3 = (−2,−5, 1)︸ ︷︷ ︸
λ3=−1
}.
e´ uma base ortogonal do R3 formada por autovetores de T .
Normalizando esses vetores, obtemos a base ortonormal formada por autovetores de T
β =
{
u1 =
v1
‖v1‖ =
(
2√
6
,− 1√
6
,− 1√
6
)
, u2 =
v2
‖v2‖ =
(
1√
5
, 0, 2√
5
)
, u3 =
v3
‖v3‖ =
(
− 2√
30
,− 5√
30
, 1√
30
)}
,
associados, respectivamente, aos autovalores λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = −1.
b) Uma matriz ortogonal P e´ a matriz de mudanc¸a de base, da base ortonormal β (obtida no item
(a)) para a base canoˆnica, dada por P =
[
u1 u2 u3
]
=


2√
6
1√
5
− 2√
30
− 1√
6
0 − 5√
30
− 1√
6
2√
5
1√
30

.
1
A sua correspondente matriz diagonal e´ D =

 λ1 0 00 λ2 0
0 0 λ3

 =

 1 0 00 1 0
0 0 −1

.
c) Temos que
A = PDP−1 = PDP t =


2√
6
1√
5
− 2√
30
− 1√
6
0 − 5√
30
− 1√
6
2√
5
1√
30



 1 0 00 1 0
0 0 −1




2√
6
− 1√
6
− 1√
6
1√
5
0 2√
5
− 2√
30
− 5√
30
1√
30


=


2√
6
1√
5
− 2√
30
− 1√
6
0 − 5√
30
− 1√
6
2√
5
1√
30




2√
6
− 1√
6
− 1√
6
1√
5
0 2√
5
2√
30
5√
30
− 1√
30

 =

 1115 −23 215−23 −23 13
2
15
1
3
14
15

 .
Questa˜o 2 (3,0 pontos) Seja v = (−1, 1, 0).
a) [1,6 pts] Determine uma base ortonormal β = {u1, u2, u3} do R3 tal que u3 tenha mesma direc¸a˜o
e sentido de v e u1 × u2 = u3.
b) [0,4 pt] Determine a matriz Aβ, que representa na base β a rotac¸a˜o de
pi
2 radianos, no sentido
positivo, em torno da reta ℓ gerada por v.
c) [1,0 pt] Determine a matriz A, que representa na base canoˆnica, a rotac¸a˜o de pi2 radianos, no
sentido positivo, em torno da reta ℓ gerada por v.
Soluc¸a˜o:
a) Escolhemos, primeiramente, uma base ortogonal do R3 com v3 = v = (−1, 1, 0). Os dois primeiros
vetores v1 e v2 devem estar no plano Γ de equac¸a˜o −x+ y + 0z = 0, plano normal a v passando pela
origem.
Tomamos v1 = (0, 0, 1), fazendo x = 0, z = 1 e obtendo y = 0.
Seja v2 = (a, b, c) 6= (0, 0, 0) tal que{
v2 ∈ Γ⇐⇒ −a+ b = 0⇐⇒ a = b
v2 ⊥ v1 ⇐⇒ 〈v1, v2〉 = 0⇐⇒ 〈(0, 0, 1), (a, b, c)〉 = 0⇐⇒ c = 0.
Nesse caso, reduzindo por linhas a` forma em escada a matriz associada ao sistema obtemos[ −1 1 0
0 0 1
]
L1←(−1)L1∼
[
1 −1 0
0 0 1
]
.
Assim, a− b = 0 e c = 0 e logo, v2 = (b, b, 0), b ∈ R. Escolhemos b = 1 e v2 = (1, 1, 0).
Temos que v1 × v2 = det

 −→i −→j −→k0 0 1
1 1 0

 = −−→i +−→j + 0−→k = (−1, 1, 0) = v3.
Logo, {v1, v2, v3} e´ uma base ortogonal orientada positivamente. Normalizando esses vetores,
obtemos que
β =
{
u1 =
v1
‖v1‖ = (0, 0, 1) , u2 =
v2
‖v2‖ =
(
1√
2
,
1√
2
, 0
)
, u3 =
v3
‖v3‖ =
(
− 1√
2
,
1√
2
, 0
)}
e´ uma base ortonormal do R3 com u3 = u1 × u2 e u3 com mesma direc¸a˜o e sentido de v = v3.
2
b)
Aβ =

 cos pi2 − sen pi2 0sen pi2 cos pi2 0
0 0 1

 =

 0 −1 01 0 0
0 0 1

 .
c) A = PAβP
−1, onde P e´ a matriz de mudanc¸a de base, da base β para a base canoˆnica, e´ dada por
P =
[
u1 u2 u3
]
=

 0
1√
2
− 1√
2
0 1√
2
1√
2
1 0 0

 e P−1 = P t (P e´ matriz ortogonal). Logo,
A =

 0
1√
2
− 1√
2
0 1√
2
1√
2
1 0 0



 0 −1 01 0 0
0 0 1



 0 0 11√2 1√2 0
− 1√
2
1√
2
0


=

 0
1√
2
− 1√
2
0 1√
2
1√
2
1 0 0



 −
1√
2
− 1√
2
0
0 0 1
− 1√
2
1√
2
0

 =


1
2 −12 1√2
−12 12 1√2
− 1√
2
− 1√
2
0

 .
Questa˜o 3 (3,0 pontos) Em cada item fac¸a o que se pede:
a) [1,6 pts] Sejam a e b nu´meros reais e T (x, y) =
(
ax+ by, bx+ 1√
2
y
)
.
a.1) [1,2 pts] Determine os nu´meros reais a e b para que T seja um operador ortogonal.
a.2) [0,4 pt] Quantos operadores ortogonais ha´? Justifique a sua resposta.
b) [1,4 pts] Seja S a projec¸a˜o ortogonal sobre a reta de equac¸a˜o 2x− y = 0.
b.1) [0,6 pt] Deˆ exemplo de uma base ortonormal do R2, formada por autovetores de S, indicando
os autovalores.
b.2) [0,8 pt] Determine S(x, y).
Soluc¸a˜o:
a) (a.1) Temos que T (1, 0) = (a, b) = v1 e T (0, 1) =
(
b, 1√
2
)
= v2, logo a matriz de T na base canoˆnica
do R2 e´ A =
[
v1 v2
]
=
[
a b
b 1√
2
]
.
T e´ um operador ortogonal ⇐⇒ T leva base ortonormal em base ortonormal
⇐⇒ {e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)} vai por T na base ortonormal {v1, v2}
⇐⇒ as colunas de A, v1 e v2, sa˜o ortogonais e unita´rias.
Logo,
〈v1, v2〉 = 0⇐⇒
〈
(a, b),
(
b, 1√
2
)〉
= ab+ b 1√
2
= 0⇐⇒ b
(
a+ 1√
2
)
= 0
〈v1, v1〉 = ‖v1‖2 = a2 + b2 = 1
〈v2, v2〉 = ‖v2‖2 = b2 + 12 = 1⇐⇒ b2 = 12 ⇐⇒ b = 1√2 ou b = −
1√
2
.
Portanto,
a = − 1√
2
, com b = − 1√
2
, ou a = − 1√
2
, com b = 1√
2
.
3
(a.2) As poss´ıveis matrizes que representam T na base canoˆnica sa˜o
A1 =
[
− 1√
2
− 1√
2
− 1√
2
1√
2
]
ou A2 =
[
− 1√
2
1√
2
1√
2
1√
2
]
.
Ha´ dois operadores ortogonais, pois para cada matriz existe um u´nico operador ortogonal.
b) (b.1) A projec¸a˜o ortogonal S sobre uma reta ℓ tem as seguintes propriedades:
Se u ∈ ℓ, enta˜o S(u) = u. Logo, u ∈ ℓ e u 6= (0, 0) e´ autovetor de S associado ao autovalor 1.
Se u ⊥ ℓ, enta˜o T (u) = (0, 0) = 0u. Logo, u ⊥ ℓ e u 6= (0, 0) e´ autovetor de S associado ao
autovalor 0.
Como a equac¸a˜o de ℓ e´ 2x− y = 0, temos que
v1 = (1, 2) ∈ ℓ (fazendo x = 1 e obtendo y = 2) e v2 = (2,−1) ⊥ ℓ.
Normalizando esses vetores, obtemos que
β =
{
u1 =
v1
‖v1‖ =
(
1√
5
,
2√
5
)
, u2 =
v2
‖v2‖ =
(
2√
5
,− 1√
5
)}
e´ uma base ortonormal do R2 formada por autovetores de S associados, respectivamente, aos autova-
lores λ1 = 1 e λ2 = 0.
(b.2) Usamos a base β obtida no item (b.1). Seja v = (x, y)
Temos que v = 〈v, u1〉u1 + 〈v, u2〉u2 e
S(v) = 〈v, u1〉S(u1) + 〈v, u2〉S(u2) = 〈v, u1〉u1, pois S(u1) = u1 e S(u2) = (0, 0).
Logo,
S(x, y) = S(v) = 〈v, u1〉u1
=
〈
(x, y),
(
1√
5
, 2√
5
)〉(
1√
5
, 2√
5
)
= x+2y√
5
(
1√
5
, 2√
5
)
=
(
x+2y
5 ,
2x+4y
5
)
.
Logo, S(x, y) =
(
x+2y
5,
2x+4y
5
)
.
Questa˜o 4 (1,2 pontos) Deˆ exemplo de um operador ortogonal L : R2 → R2 tal que L(1, 0) seja
mu´ltiplo de (1, 1).
Soluc¸a˜o:
Considere a base canoˆnica α = {(1, 0), (0, 1)} do R2, que e´ uma base ortonormal.
Escolha L(1, 0) = (1,1)||(1,1)|| =
(
1√
2
, 1√
2
)
, vetor unita´rio na direc¸a˜o de (1, 1).
Como L e´ um operador ortogonal, L(0, 1) deve ser um vetor unita´rio ortogonal a L(1, 0).
Seja v = (x, y) ortogonal a L(1, 0).
Assim, 〈(x, y), (1, 1)〉 = 0⇐⇒ x+ y = 0⇐⇒ x = −y
Escolha v = (−1, 1) (fazendo y = 1 e obtendo x = −1) e tome L(0, 1) = v||v|| =
(
− 1√
2
, 1√
2
)
Assim,
L(x, y) = xL(1, 0) + yL(0, 1) = x
(
1√
2
, 1√
2
)
+ y
(
− 1√
2
, 1√
2
)
=
(
x−y√
2
, x+y√
2
)
ou, equivalentemente, a
matriz de L na base canoˆnica e´
[
L(v1) L(v2)
]
=
[ √
2
2 −
√
2
2√
2
2
√
2
2
]
.
4