[8099] EP8 Tutores MD 2005 1

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Matema´tica Discreta
EP8 e Comenta´rios sobre a AP2
1o semestre/2005
Coordenador Jorge Petru´cio Viana
1. Sejam Ω = {a1, a2, . . . , a25} o espac¸o amostral de um experimento.
(a) Quantos eventos este experimento possui?
(b) Quantos eventos ocorrem se ocorrer o evento {a1, a2}?
Soluc¸a˜o: (a) Como cada evento do experimento e´ um subconjunto de Ω e Ω
possui 25 elementos, temos que o experimento possui 225 eventos.
(b) A cada evento aonde ocorrem os eventos a1 e a2 corresponde um subcon-
junto de Ω − {a1, a2}. Como Ω − {a1, a2} possui 23 elementos, temos que o
nu´mero de tais eventos e´ 223.
2. Sejam Ω um espac¸o amostral e A,B,C eventos de Ω com P (A) > 0. Mostre
que:
(a) P (∅|A) = 0.
(b) P (Ω|A) = 1.
(c) 0 ≤ P (B|A) ≤ 1.
(d) Se B ∩ C = ∅, enta˜o P ((B ∪ C)|A) = P (B|A) + P (C|A).
Soluc¸a˜o: E´ so´ aplicar a definic¸a˜o de probabilidade condicional.
(a) P (∅|A) = P (∅ ∩ A)
P (A)
=
P (∅)
P (A)
=
0
P (A)
= 0.
(b) P (Ω|A) = P (Ω ∩ A)
P (A)
=
P (A)
P (A)
= 1.
(c) Como 0 ≤ P (A ∩ B) ≤ P (A), temos: 0 ≤ P (A ∩B)
P (A)
≤ 1. Isto e´, 0 ≤
P (A|B) ≤ 1.
(d) Observe que como B ∩ C = ∅, temos que (B ∩ A) ∩ (C ∩ A) = ∅. As-
sim, temos: P ((B ∪ C)|A) = P ((B ∪ C) ∩ A)
P (A)
=
P ((B ∩ A) ∪ (C ∩ A)
P (A)
=
P (B ∩ A
P (A)
+
P (C ∩ A)
P (A)
= P (B|A) + P (C|A).
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3. Sabe-se que 80% dos peˆnaltis marcados pela Selec¸a˜o Brasileira de Futebol
sa˜o cobrados por jogadores do Flamengo. A probabilidade de um peˆnalti ser
convertido e´ de 40% se o cobrador for do Flamengo e de 70% em caso contra´rio.
Um peˆnalti a favor do Brasil acabou de ser marcado.
(a) Qual a probabilidade do peˆnalti ser cobrado por um jogador do Flamengo
e ser convertido?
(b) Qual e´ a probabilidade do peˆnalti ser convertido?
Soluc¸a˜o: Sejam:
Ω = {x : x e´ peˆnalti a favor do Brasil},
F = {x ∈ Ω : x e´ cobrado por jogador do Flamengo}
e
C = {x ∈ Ω : x e´ convertido}.
(a) A probabilidade em questa˜o e´ P (F ∩C). Pelo Teorema do Produto, temos
P (F ∩ C) = P (F )P (C|F ). Assim, pelos dados do problema, temos: P (F ∩
C) = 0, 8× 0, 4 = 0, 32.
(b) A probabilidade em questa˜o e´ P (C). Observe que C pode ser particionado
em peˆnaltis cobrados por jogadores do Flamengo e peˆnaltis cobrados por jo-
gadores que na˜o sa˜o do Flamengo, do seguinte modo: C = (F ∩C)∪ (F c∪C).
Logo, pelo Teorema da Adic¸a˜o, temos que P (C) = P (F ∩C) +P (F c ∩C). Ja´
determinamos P (F ∩C) no item (a). Vamos agora determinar P (F c∩C). Pelo
Teorema do Produto, temos P (F c ∩C) = P (F c)P (C|F c). Como P (F ) = 0, 8,
temos que P (F c) = 0, 2. Assim, pelos dados do problema, temos: P (F c∩C) =
0, 2× 0, 7 = 0, 14.
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