Lista 2 Derivadas parciais e aplicações

Prévia do material em texto

Cálculo II – Lista de exercícios 2 
Derivadas parciais e aplicações 
 
 
1) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦2 
a) Usando a definição de derivadas parciais, calcule 𝑓𝑥(3,1) 𝑒 𝑓𝑦(3,1). 
b) A partir do cálculo de limites que você fez no item anterior, estime o 
valor de 𝑓(3,5 ; 1). Justifique sua resposta relacionando-a com um dos 
limites calculados. 
c) A partir do cálculo de limites que você fez no item a, estime o valor de 𝑓(3; 1,5). 
Justifique sua resposta relacionando-a com um dos limites calculados. 
2) Considere uma função 𝑔(𝑥,𝑦) tal que 𝑔(10,15) = 8, 
𝜕𝑔
 𝜕𝑥
 (10,15) = 3 e 
𝜕𝑔 
𝜕𝑦
 (10,15) = −0,5. Com base nesses dados, estime o valor de: 
 a) 𝑔(11, 15) b) 𝑔(10, 16) c) 𝑔(9, 15) d) 𝑔(10, 14) 
e) 𝑔(10, 5; 15) f) 𝑔(10; 14, 5) 
 
3) Calcule as derivadas parciais das funções abaixo. Se houver um ponto indicado, 
calcule-as nesse ponto: 
a) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥
𝑦
 
b) 𝜔 = 𝑠𝑒𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽 
c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛𝑦 
d) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
1
√𝑥2+𝑦2
 
e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (ln(𝑥𝑦𝑧2)) 
f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑦
) , 𝑃 = (
𝜋
2
, 1) 
 
4) Considere a função de produção de Cobb-Douglas, 𝑃 (𝐾, 𝐿) = 𝐴. 𝐾 𝛼𝐿1−𝛼 , 
sendo 𝛼 uma constante 0 < 𝛼 < 1, em função do capital 𝐾 investido e do valor 𝐿 
da mão-de-obra de uma determinada empresa ou país. Calcule as derivadas 
parciais dessa função. 
 
5) Seja 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥. ln(𝑥2 + 𝑦2) cujo gráfico está representado abaixo em duas 
vistas diferentes. 
 Cálculo II – Lista de exercícios 2 
Derivadas parciais e aplicações 
 
 
Nesse gráfico ainda estão representados o plano de equação 𝑥 = 1 e uma reta 
desse plano tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto (1, 1, 𝑓(1,1)). Obtenha o 
coeficiente angular da reta representada. 
 
6) Considere a superfície 𝑧 = 2𝑥2 + 𝑦2. 
(a) O plano 𝑦 = 3 intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação 
da reta tangente a essa curva em 𝑥 = 2. 
(b) O plano 𝑥 = 2 intercepta essa superfície numa curva. Determine a equação 
da reta tangente a essa curva em 𝑦 = 3. 
 
7) A figura abaixo exibe algumas circunferências concêntricas, cada uma delas 
representando um nível da função 𝑓(𝑥, 𝑦). Estime os valores de 
∂𝑓
∂𝑥
 (1,0) e 
∂𝑓
∂𝑦
 (0,1) . Justifique como chegou à sua resposta. 
 
 
 Cálculo II – Lista de exercícios 2 
Derivadas parciais e aplicações 
 
 
GABARITO 
1) a) 𝑓𝑥(3,1) = 2 𝑒 𝑓𝑦(3,1) = 12 
b) Como para valores pequenos de ℎ, temos que 𝑓(3 + ℎ, 1) − 𝑓(3,1) é 
aproximadamente igual a 𝑓𝑥(3,1). ℎ, então 𝑓(3 + 0,5; 1) − 𝑓(3,1) ≅ 2 × (0,5). 
Logo 𝑓(3,5; 1) = 2. (0,5) + 𝑓(3,1) = 1 + 6 = 7. 
c) Como para valores pequenos de ℎ, temos que 𝑓(3,1 + ℎ) − 𝑓(3,1) é 
aproximadamente igual a 𝑓𝑦(3,1). ℎ, então 𝑓(3; 1 + 0,5) − 𝑓(3,1) ≅ 12 ×
(0,5). Logo 𝑓(3; 1,5) = 6 + 6 = 12. 
2) a) 11 b) 7,5 c) 5 d) 8,5 e) 9,5 f) 8,25 
3) a) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 
1 
𝑦
 e 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = − 
𝑥
𝑦2
 
b) 𝜔𝛼 (𝛼, 𝛽) = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑒 𝜔𝛽 (𝛼, 𝛽) = −𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽 
c) 𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = 𝑒
 𝑥𝑦𝑦. 𝑠𝑒𝑛𝑦 e 𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = 𝑒
 𝑥𝑦𝑥 . 𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦. 𝑒𝑥𝑦 
d) 𝑓𝑥 = − 
𝑥
(𝑥2+𝑦2)
3
2
 e 𝑓𝑦 = − 
𝑦 
(𝑥2+𝑦2)
3
2
 
e) 𝑓𝑥 = − 
𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥𝑦𝑧2))
𝑥
, 𝑓𝑦 = − 
𝑠𝑒𝑛(ln(𝑥𝑦𝑧2))
𝑦
 e 𝑓𝑧 = − 
2𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛(𝑥𝑦𝑧2))
𝑧
 
f) 𝑓𝑥 ( 
𝜋
2
 , 1) = 1 𝑒 𝑓𝑦( 
𝜋
2
 , 1) = 
𝜋
2
 
 
4) 
𝜕𝑃 
𝜕𝐾
 = 𝛼𝐴 ( 
𝐿 
𝐾
 )
1−𝛼
 𝑒 
𝜕𝑃
𝜕𝐿
 = (1 − 𝛼)𝐴 (
𝐾
𝐿
 )
𝛼
 
5) 𝑓𝑦(1,1) = 1 
6) a) 𝑧 = 8𝑥 + 1 b) 𝑧 = 6𝑦 − 1 
7) 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
(1,0) é aproximadamente -2 por que quando a abscissa aumenta uma 
unidade a partir de (1,0), 𝑓 diminui duas unidades. 
𝜕𝑓
𝜕𝑦 
(0,1) é aproximadamente -2 por que quando a ordenada aumenta uma 
unidade a partir de (0,1) 𝑓 diminui duas unidades.