[OUR] Aula05 Estatistica e Probabilidade Tendencia central

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Medidas Estatísticas de Tendência Central 
Prof. Msc. André Breve 
 
andre.breve@estacio.br 
GST1079 – Estatística e Probabilidade 
Introdução 
• Medidas de Tendência Central 
 
– A análise de variáveis quantitativas costuma sintetizar as informações 
contidas nos dados sob forma de medidas. 
 
– As medidas podem ser apresentadas em diferentes grupos: posição 
central, dispersão, ordenamento e forma. 
 
– Medidas de dispersão central (ou tendência central): caracterização e 
definição do centro dos dados. Podem ser apresentadas sob diferentes 
tipos, como a média, a mediana ou a moda. 
 
– Se as medidas calculadas referem-se aos dados de uma amostra são 
denominadas estatísticas da amostra. Se referem-se a dados de uma 
população, elas são denominadas parâmetros populacionais. 
 
 
 
 
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• Média Aritmética 
 
– Definição: : Valor representativo do centro geométrico de um conjunto 
de dados, apresentando um valor único e utiliza todos os dados 
analisados no seu cálculo. 
 
– Possui sensibilidade aos valores discrepantes. 
 
– É a mais usual medida empregada em estatística. 
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Média 
• Média Aritmética 
 
– Vantagens: 
• Fácil compreensão; 
• Usa todos os dados disponíveis; 
• Pode ser facilmente incluída em equações matemáticas. 
 
– Desvantagens: 
• Afetada por valores extremos da série; 
• Não possui precisão quanto a distribuição em que os valores 
ocorrem; 
• É necessário conhecer todos os valores da distribuição; 
• Pode ser obtida média inexistente na prática. Ex: 3,7 
pessoas/família. 
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Média 
• Média Aritmética Simples: 
 
– Somatório dos dados dividido pela quantidade de números da série. 
– Média populacional: μ (mi) 
– Média amostral: x̅ 
 
– Equação: 
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Média Aritmética Simples 
• Exemplo: 
 
– Calcular a média dos dados amostrais: {1; 5; 6; 8} 
 
 
 
 x̅ = _________ = 1 + 5 + 6 + 8 = 20 = 5 
 4 4 4 
 
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Média Aritmética Simples 
• Média Aritmética Simples 
 
– A soma dos desvios calculados de um conjunto de números em relação 
à média aritmética da distribuição é zero. 
 
– Ao somar e subtrair uma constante a todos ou de todos os valores de 
uma série de dados, a média também será somada ou subtraída dessa 
mesma constante. 
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Média Aritmética Simples 
• Média Aritmética Ponderada para Dados Tabulados 
 
– Quando os dados analisados estiverem tabulados, isto é, contados, 
torna-se preciso ponderar as somas dos dados por suas freqüências. 
 
– Pode-se usar freqüência simples ou relativa 
 
– Equação: 
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Média Aritmética Ponderada 
• Média Aritmética Ponderada para Dados Tabulados 
 
 Exemplo: Dados referentes a idades dos alunos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 567 = 18,9 
 30 
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Média Aritmética Ponderada 
xi Fi xi . Fi 
17 1 17 
18 11 198 
19 8 152 
20 10 200 
Soma 30 567 
• Média Aritmética Ponderada para Dados Agrupados 
 
– Para cálculos com amostras grandes, evitando-se tornar o processo 
demorado, ou quando apenas as freqüências e as classes dos dados 
agrupados estão disponíveis. 
 
– Pode se usar freqüência simples ou relativa 
 
– Equação: 
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Média Aritmética Ponderada para Dados Agrupados 
(Pmi.Fi) 
• Média Aritmética Ponderada para Dados Agrupados 
 Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 5x6 + 4x12 + 6x18 + 5x24 + 4x30 = 17,75 
 24 
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Média Aritmética Ponderada para Dados Agrupados 
Classe Fi Fi% PMi 
3 |- 9 5 20,83 6 
 9 |- 15 4 16,66 12 
15 |- 21 6 25,00 18 
21 |- 27 5 20,83 24 
27 |- 33 4 16,66 30 
Soma 24 100,00 
(Pmi.Fi) 
• Mediana 
 
– Definição: Divide a série ordenada em duas partes iguais. É uma 
medida de tendência central cujo valor localiza-se no centro exato da 
série ordenada. 
 
– Abaixo da mediana deverão estar 50% dos elementos analisados, 
assim como acima da mesma. 
 
 
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Mediana 
• Mediana 
 
– Vantagens: 
 
• Mesmo alterando-se alguns valores da série pode ser que a mediana se 
mantenha inalterada; 
• Valores extremos não interferem no resultado; 
• Mesmo que os valores extremos não sejam apresentados, ela pode ser 
calculada; 
 
– Desvantagem: 
 
• Se for determinada a mediana dos grupos separados, não será encontrada 
a mediana do grupo. 
 
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Mediana Mediana 
• Mediana para Dados não Agrupados 
 
– O valor da mediana depende da quantidade “n” de elementos presentes 
na série analisada: 
 
• Se “n” for ímpar: a mediana será igual ao elemento central 
 
• Se “n” for par: a mediana será igual a média aritmética simples dos dois 
elementos centrais. 
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Mediana para dados não agrupados 
• Mediana para Dados não Agrupados 
 
 Exemplo: 
 
 Notas dos candidatos: {8,3; 7,2; 9,0; 10,0; 6,7; 8,0; 7,0; 8,5; 6,5; 3,0; 
6,9} 
 
 Rol: {3,0; 6,5; 6,7; 6,9; 7,0; 7,2; 8,0; 8,3; 8,5; 9,0; 10,0} 
 
 Nº elementos: 11 
 A mediana deverá ser o 6º elemento da ordem 
 
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Mediana para dados não agrupados 
Mediana = 7,2 
• Mediana para Dados Agrupados 
 
– É aconselhável utilizar a tabela de freqüências acumuladas para 
facilitar o trabalho. 
 
Exemplo: 
 
 Nº Termos: 27 
 Termo Central: 14 
 
 
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Mediana para Dados Agrupados 
xi Fi FAci 
3 5 5 
5 10 15 
6 1 16 
10 4 20 
13 7 27 
Soma 27 
Mediana = 5 
• Mediana para Dados Agrupados em Classe 
 
– É necessário que os valores da variável estejam dispostos numa tabela 
de freqüências. 
 
– A mediana será o valor da variável para a qual 50% da freqüência total 
fique situada acima dela e os outros 50% abaixo. 
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Mediana para Dados Agrupados em Classe 
• Mediana para Dados Agrupados em Classe 
 
– Equação: Md = I + h . EMd – Fant 
 fMd 
 
 
 Onde: I = limite inferior da classe mediana 
 h = amplitude da classe 
 EMd = freqüência total / 2 
 Fant = freqüência acumulada da classe anterior 
 fMd = freqüência da mediana 
 
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Mediana para Dados Agrupados em Classe 
• Mediana para Dados Agrupados em Classe 
 
 Exemplo: 
 
 
 Md = 15 + 6 [(50 – 37,5) / 25] 
 
 Md = 18 
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Mediana para Dados Agrupados em Classe 
Classe Fi% FAci% 
3 |- 9 20,83 20,83 
 9 |- 15 16,67 37,50 
15 |- 21 25,00 62,50 
21 |- 27 20,83 83,33 
27 |- 33 16,67 100,0 
Soma 100,0 
• Definição: É o valor que ocorre com maior freqüência na distribuição 
dos dados, ou seja, é o valor que aparece repetido mais vezes. 
 
– Única medida de tendência central que pode ser aplicada tanto paradados quantitativos quanto para qualitativos. 
 
– Vantagens: 
 
• Caso algum valor da série mude, não necessariamente a moda 
alterará; 
 
• Os valores extremos não interferem no resultado da moda; 
 
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Moda 
• Moda 
 
– Série amodal: Quando a moda não existe, quando não existe um valor 
com maior número de repetições. 
 
– Série multimodal: Quando mais de um dado apresenta-se com o 
mesmo e maior número de repetições. 
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Moda 
Exemplo: 
 Foi feita uma pesquisa com os leitores de três revistas (A, B, e C) 
com o objetico de determinar a qualidade de seus textos. As 
respostas coletadas foram tabuladas com os seguintes códigos: E 
(excelente), O (ótimo), B (bom), R (regular) e P (péssimo). A 
frequência com que essas respostas foram fornecidas pode ser 
vista a seguir. Determine a moda de cada uma das séries. 
 
 Revista A: {P; R; B; B; O; O; O; O; E; E}. Moda: O (ótimo). 
 Revista B: {R; R; B; B; B; B; O; O; O; O}. Moda: B e O (série 
bimodal) 
 Revista C: {P; P; R; R; B; B; O; O; E; E}. Moda: Não existe (série 
amodal). 
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Moda 
• Moda para dados agrupados 
 
– Para dados agrupados, a moda corresponderá à classe de maior 
freqüência. 
Exemplo: 
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Moda 
A moda é 40 |-| 41 anos 
Idade (anos inteiros) Frequência 
35 ou menos 230 
36 |-| 37 427 
38 |-| 39 983 
40 |-| 41 1790 
42 |-| 43 1427 
44 ou mais 143 
Total 5000 
• Fórmula de King para a Moda 
 
– O pesquisador pode desejar calcular um ponto específico para a moda 
obtida através de dados apresentados em tabelas de freqüência. 
 
– Devem ser seguidas duas etapas principais: 
 
• Passo 1: Identificar a classe modal que apresenta maior freqüência. 
 
• Passo 2: Aplica-se a fórmula a seguir 
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Moda 
• Fórmula de King para a Moda: 
 
 Mo = l + ƒpost. . h 
 ƒant. + ƒpost. 
 
 Onde: l = limite inferior da classe modal 
 ƒant. = freqüência da classe imediatamente anterior 
 ƒpost. = freqüência da classe posterior 
 h = amplitude da classe modal 
 
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Moda 
• Fórmula de King para a Moda: 
 
Exemplo: 
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Moda 
Idade (anos inteiros) Frequência 
35 ou menos 230 
36 |-| 37 427 
38 |-| 39 983 
40 |-| 41 1790 
42 |-| 43 1427 
44 ou mais 143 
Total 5000 
Mo = 40 + 1427 . 1 
 983 + 1427 
 
Mo = 40,5921 
Estatística Vantagens Desvantagens 
Moda -Fácil de calcular. 
-Não é afetada por valores extremos 
-Pode estar afastada do centro de 
observações. 
-Difícil de incluir em equações 
matemáticas. 
-Pode ter mais de uma. 
-Não usa todos os dados. 
Mediana -Fácil de determinar. 
-Não afetada por valores extremos. 
-Difícil incluir em equações matemáticas. 
Média -Fácil de compreender e usar. 
-Usa todos os dados disponíveis. 
-Fácil de incluir em equações matemáticas 
-Afetada pelos valores extremos. 
-É necessário conhecer todos os valores 
da distribuição. 
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Resumo