COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES E FUNÇÕES INVERSAS - PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO - PDF

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INTRODUÇÃO AO CÁLCULO – NOTAS DE AULA 
CAPÍTULO 08 – FUNÇÕES COMPOSTAS E INVERSAS 
PROFESSOR FLAVIO RIBEIRO 
EXERCICÍOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 01 (UFRN): Seja uma função real de variável real. Se ( ) , então ( ) é 
igual a: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Sabe-se que é uma função que não se apresenta segundo a sentença ( ) . Um rearranjo 
matemático será necessário para que a função se apresente através se da sentença: ( ). 
Seja , assim a expressão ( ), será representada por ( ). De acordo com a equação 
 , determina-se o valor de em função de , que é . 
Retomando a equação apresentada pelo enunciado da questão ( ) , tem-se: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Com a sentença definida ( ) , pode-se enfim, calcular o que é proposto no 
enunciado da questão: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Resposta: Alternativa B. 
QUESTÃO 02 (UFPA - 1985): Dadas as funções: ( ) √ e ( ) , o valor de ( ) 
é: 
a) . 
b) . 
c) √ . 
d) √ . 
e) . 
Resolução: 
De acordo com o enunciado, para o cálculo de ( ), tem-se: 
( )( ) , ( )- 
O cálculo de ( ) é ( ) √ ( ) √ . 
Retomando o cálculo de ( )( ): 
( )( ) , ( )- ( )( ) [√ ] ( )( ) (√ )
 
 ( )( ) 
( )( ) 
Resposta: Alternativa E. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 03 (UFMG): Seja , com e * +, a função sobrejetora tal que 
 ( ) √ . Então é igual a: 
a) { √ √ }. 
b) { √ }. 
c) * +. 
d) * +. 
e) * +. 
Resolução: 
O enunciado da questão deixa explícito a sobrejetividade da função, isto significa que, nenhum 
elemento do contradomínio que é poderá ficar sem receber uma correspondência, de acordo com 
a lei de formação ( ) √ . Diante disto: 
√ 
√ 
√ 
√ 
Os valores obtidos, são exatamente o conjunto , que de fato, é o domínio da função . 
Portanto: * +. 
Resposta: Alternativa D. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 04 (MACKENZIE – SP): Uma função é definida em e tem imagem em . Sabe-se 
que o conjunto tem ( ) elementos e o conjunto tem ( ) elementos. Se é injetora, 
então: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
Resolução: 
Inicialmente, tem-se que é o domínio da função, disto conclui-se que não poderá ser vazio, logo: 
 
Na sequência, o enunciado fornece uma informação preciosa, que é a condição ser injetora, isto 
leva a conclusão, que o domínio (conjunto ) tem que ter no mínimo o mesmo número de elementos 
do contradomínio (conjunto ). Disto: 
 
Considerando a e a , tem-se: . 
Resposta: Alternativa A. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 05 (UFF – RJ): Considere as funções , e , todas definidas em , - com imagens 
em , - representadas através dos gráficos a seguir: 
 
Pode-se afirmar que: 
a) é bijetiva, é sobrejetiva e não é injetiva. 
b) é sobrejetiva, é injetiva e não é sobrejetiva. 
c) não é inbijetiva, é bijetiva e é injetiva. 
d) é injetiva, não é sobrejetiva e é bijetiva. 
e) é sobrejetiva, não é injetiva e é sobrejetiva. 
Resolução: 
Inicialmente, estuda-se a função : 
A função é sobrejetora, pois no contradomínio , -, não há nenhum elemento que não receba 
uma correspondência pela função . Portanto o contradomínio , -, também é o conjunto imagem. 
A função é injetora, pois no domínio , -, não há dois elementos com mesma imagem. 
Como a função é sobrejetora e injetora, conclui-se que a função é bijetora. 
Na sequência, estuda-se a função : 
A função é sobrejetora, pois no contradomínio , -, não há nenhum elemento que não receba 
uma correspondência pela função . Portanto o contradomínio , -, também é o conjunto imagem. 
A função não é injetora, pois no domínio , -, há dois elementos (na parte contínua do gráfico 
da função) com mesma imagem. 
Como a função é sobrejetora e não é injetora, conclui-se que a função não é bijetora. 
Finalmente, estuda-se a função : 
A função não é sobrejetora, pois no contradomínio , - , há elementos que não recebem 
correspondência pela função . Portanto o contradomínio , - não é o conjunto imagem. 
A função não é injetora, pois no domínio , -, há dois elementos (na parte contínua do gráfico 
da função) com mesma imagem. 
Como a função é não sobrejetora e não é injetora, conclui-se que a função não é bijetora. 
Torna-se evidente, portanto, que a função é bijetora (bijetiva), que a função é sobrejetora 
(sobrejetiva) e que a função não é injetora (injetiva). 
Resposta: Alternativa A. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 06 (UNIRIO – 1997): A função inversa da função bijetora * + * + definida 
por ( ) 
 
 
 é: 
a) ( ) 
 
 
 
b) ( ) 
 
 
 
c) ( ) 
 
 
 
d) ( ) 
 
 
 
e) ( ) 
 
 
 
 
Resolução: 
Inicialmente, troca-se por na representação da função dada ( ) 
 
 
 
 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, isola-se em função de , para a obtenção da lei de formação da função inversa: 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
( )( )
( )( )
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
Resposta: Alternativa C. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
QUESTÃO 07 (UFES – 1996): A função cujo gráfico está representado na figura 1 a seguir tem 
inversa. 
 
O gráfico de sua inversa é: 
 
Resolução: 
Sabe-se que os gráficos de uma função e de sua função inversa são simétricos em relação a 
bissetriz do primeiro e do terceiro quadrante. 
Portanto, os gráficos dos itens a), b) e e) estão descartados. 
Como o gráfico do item c) não é simétrico em relação ao primeiro e terceiro quadrante em relação a 
função da, conclui-se que o item que melhor representa a inversa da função dada é o gráfico do item 
d). 
Resultados similares são os das funções reais ( ) e sua inversa ( ) √ 
 
. 
Seus, respectivos gráficos são: 
 
Resposta: Alternativa D. 
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM – TESTES DE VESTIBULARES – FUNÇÕES 
COMPOSTAS 
QUESTÃO 01 (UEPG – PR): Sobre o gráfico abaixo, que representa uma função ( ) definida 
em , assinale o que for correto. 
 
a) A função é contínua, . 
b) A função é crescente para . 
c) O domínio da função é dado por ( ) * +. 
d) ( ) . 
e) ( ( )) . 
QUESTÃO 02 (FGV): A figura indica o gráfico da função , de domínio , -, no plano cartesiano 
ortogonal. 
 
O número de soluções da equação ( ( )) é: 
a) 2. 
b) 4. 
c) 5. 
d) 6. 
e) 7. 
QUESTÃO 03 (MACKENZIE – SP – 1998): Dadas as funções reais definidas por ( ) e 
 ( ( )) , então o valor de tal que ( ( )) é: 
a) ⁄ . 
b) ⁄ . 
c) . 
d) . 
e) ⁄ . 
QUESTÃO 04 (UNIFOR – CE – 2000): Sejam e funções de em tais que ( ) e 
 ( ( )) 
 
 
. Nessas condições, é verdade que. 
a) ( ) . 
b) ( ) . 
c) ( ) 
 
 
. 
d) ( ) . 
e) ( ) 
 
 
. 
QUESTÃO 05 (UFES): Sejam ( ) , ( ) e ( ) então ( ) vale: 
a) . 
b) . 
c) 
d) ( ) . 
e) ( ) . 
QUESTÃO 06 (PUC – PR): Considere ( ) 
 
 
 e ( ) . Calcule ( ( )) para .a) 6. 
b) 8. 
c) 2. 
d) 1. 
e) 4. 
QUESTÃO 07 (UEPB): Sejam as funções de em , dadas por ( ) e ( ( )) . 
Calculando o valor de ( ), teremos: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 08 (UEM – PR): Seja uma função que tem como domínio o conjunto 
 * + e como contradomínio o conjunto * +. A função 
 associa a cada elemento em o número de letras distintas desse elemento . Com base nessas 
informações, assinale a alternativa correta. 
a) é injetora. 
b) é sobrejetora. 
c) não é uma função. 
d) ( ) . 
e) ( ) ( ). 
QUESTÃO 09 (UNIFOR – CE): Seja uma função que ( ) ( ) ( ), para todo 
real. Se ( ) e ( ) , o valor de ( ) é: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 10 (UEL – PR – 01): Com respeito à função , cujo gráfico está representado 
abaixo, é correto afirmar: 
 
a) ( )( ) . 
b) ( )( ) . 
c) ( )( ) . 
d) ( )( ) . 
e) ( ) . 
VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM – TESTES DE VESTIBULARES – FUNÇÕES 
INVERSAS 
QUESTÃO 01 (UEPB): Dada a função ( ) , a função inversa ( ) é dada por: 
a) ( ) √ 
 
 . 
b) ( ) √ 
 
. 
c) ( ) √ 
 
 . 
d) ( ) √ 
 
. 
e) ( ) √ 
 
. 
QUESTÃO 02 (UFVIÇOSA – MG): Seja * +, conjunto das 
letras do alfabeto brasileiro (incluindo ). Considere um subconjunto de e a 
função definida por ( ) , ( ) , ( ) , ( ) e assim por diante. Suponha, 
ainda, que é bijetora e que é a sua inversa. Calculando ( ) ( ) ( ) ( ) e 
mantendo esta ordem, obtém-se a palavra: 
a) ANEL. 
b) ALGO. 
c) ALEM. 
d) AMEI. 
e) ANIL. 
QUESTÃO 03 (UFSE): Seja a função { ⁄ } , definida por ( ) 
 
 
. Se admite 
inversa ( ), o domínio de é: 
a) * +. 
b) { ⁄ }. 
c) . 
d) . 
e) * +. 
QUESTÃO 04 (FURG – RS): O domínio da função inversa ( ) de ( ) 
 
 
 é: 
a) * +. 
b) { ⁄ }. 
c) { ⁄ }. 
d) * +. 
e) { ⁄ }. 
QUESTÃO 05 (UFPB): Considere a função invertível definida por ( ) , onde é 
uma constante. Sendo a sua inversa, qual o valor de , sabendo-se que o gráfico de passa 
pelo ponto ( )? 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 06 (MACKENZIE – SP): Dada a função ( ) , , se ( ) , ( ) 
 , ( ) e assim por diante, então o valor de ( )( ) é: 
a) 103. 
b) 205. 
c) 307. 
d) 199. 
e) 249. 
QUESTÃO 07 (UEPI): Sejam e funções reais de variável real tal que ( ) e ( 
 )( ) . Se indica a inversa da função , então ( ) é igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
QUESTÃO 08 (UFU – MG - 1998): Sejam e funções reais de variável real definidas por ( ) 
 
 
 e ( ) 
 
 
, com . Assim ( ( ( ))) é igual a: 
a) 
 
 
. 
b) 
 
 
 . 
c) . 
d) 
 
 
. 
e) 
 
 
. 
QUESTÃO 09 (UFMA – 1998): A função real é tal que ( ) . Sendo a inversa de , 
 ( ) é igual a: 
a) . 
b) . 
c) . 
d) 
 
 
. 
e) 
 
 
. 
QUESTÃO 10 (UNIFOR – CE): Sejam e funções de em , tais que ( ) e 
 ( ( )) . Nessas condições, a função inversa de é dada por: 
a) ( ) 
 
 
. 
b) ( ) 
 
 
. 
c) ( ) 
 
 
. 
d) ( ) 
 
 
. 
e) ( ) 
 
 
. 
 
 
GABARITO – FUNÇÕES COMPOSTAS 
QUESTÃO 01: Alternativa D e E. 
QUESTÃO 02: Alternativa D. 
QUESTÃO 03: Alternativa E. 
QUESTÃO 04: Alternativa C. 
QUESTÃO 05: Alternativa E. 
QUESTÃO 06: Alternativa B. 
QUESTÃO 07: Alternativa C. 
QUESTÃO 08: Alternativa E. 
QUESTÃO 09: Alternativa D. 
QUESTÃO 10: Alternativa B. 
 
GABARITO – FUNÇÕES INVERSAS 
QUESTÃO 01: Alternativa C. 
QUESTÃO 02: Alternativa C. 
QUESTÃO 03: Alternativa E. 
QUESTÃO 04: Alternativa D. 
QUESTÃO 05: Alternativa E. 
QUESTÃO 06: Alternativa B. 
QUESTÃO 07: Alternativa A. 
QUESTÃO 08: Alternativa C. 
QUESTÃO 09: Alternativa C. 
QUESTÃO 10: Alternativa B.