Cálculo Diferencial e Integral

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Cálculo Diferencial e Integral de uma Variável Real 
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Aluno:______________________________________________________________________________ 
 
 
Instituição de Ensino:____________________ Curso:________________________________________ 
 
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INSTRUÇÕES GERAIS 
 
As provas são sempre individuais e sem consulta, sendo proibido o uso de 
calculadoras. Em dia de prova, os celulares devem ser desligados e guardados, o 
uso de aparelhos eletrônicos, materiais impressos e a comunicação entre alunos 
durante a prova, acarretará em nota zero na mesma. As provas SUBSTITUTIVA e 
EXAME, envolvem toda a matéria do semestre. Os horários e datas de provas não 
serão alterados para situações individuais. Além das provas citadas anteriormente, 
não haverá trabalhos nem outras provas para ajudar na nota. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“O cálculo substitui o pensamento, enquanto a geometria o estimula.” (Jacob Steiner) 
 
 
 
 
 
“Entre dois espíritos iguais, postos nas mesmas condições, aquele que sabe CÁLCULO é superior ao outro 
e adquire um vigor especial.” (Pascal) 
 
 
 
 
 
 “Nas ciências naturais (Física, Química e Biologia), é comum, após um certo número finito, de 
experimentos, enunciar leis gerais para o fenômeno em estudo. Essas leis são tidas como verdadeiras até 
que se prove o contrário. Na matemática, não há lugar para afirmações verdadeiras até que se prove o 
contrário. A Prova por Indução Matemática estabelece que determinada sentença aberta é sempre 
verdadeira.” (Abramo Hefez) 
 
 
 
 
 
 
 
Meus sinceros agradecimentos a Matheus de Oliveira Melo e Gabriel André de Melo 
Trevisan, pelo apoio na organização e digitação deste material. 
 
 
 
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Módulo 1: Funções, limites de uma função e derivadas por definição 
 
“Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que uma estabeleceu a outra desfaz. Somente 
na Matemática é que cada geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura.” (Hermann Hankel) 
 
“De que irei me ocupar no céu, durante toda a eternidade, se não me derem uma infinidade de problemas de matemática para 
resolver?” (Augustin Louis Cauchy) 
 
“Arquimedes será lembrado enquanto Ésquilo foi esquecido, porque os idiomas morrem, mas as idéias matemáticas permanecem. 
Imortalidade pode ser uma idéia tola, mas provavelmente um matemático tem a melhor chance que pode existir de obtê-la.” 
(G.H.Hardy) 
 
Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chama-se função de A em B, qualquer relação de A e B que associa 
a cada elemento x do conjunto A, um único elemento y do conjunto B, ou seja, a função de A em B é uma 
relação entre duas grandezas variáveis. 
 
Exemplo 1.A: São dados os conjuntos A = {-1; 7; 17} e B = {-9; -7; 0; 9; 29}. Seja a relação de A em B 
expressa pela fórmula y = 2x – 5 , temos: 
 
A relação acima é uma função, pois todos os elementos de A estão associados a elementos de B e cada 
elemento de A está associado a um único elemento de B. 
Observação: não será função de A em B quando pelo menos um elemento do conjunto A não está associado 
a nenhum elemento de B ou quando um elemento de A está associado a mais de um elemento de B. 
Conclusão – Sendo A e B dois conjuntos não-vazios e uma relação ƒ de A em B, essa relação ƒ é uma 
função de A em B, quando todos os elementos de A, tiverem um e apenas um correspondente em B. 
Importante: y e ƒ(x) são equivalentes na linguagem matemática. 
Gráfico de uma função no plano cartesiano: Um dos aspectos mais importantes do estudo de uma função é 
a construção de seu gráfico, isto é, do “desenho” que a representa. 
 
Como vimos, função é toda regra ou lei que associa cada elemento x pertencente a A, um único elemento y 
pertencente a B (f: A → B). Exemplos de funções reais (f: R → R): 
 
I) f(x) = 2 x → f(5) = 2 . 5 = 10 
 
D(f) = R 
Im(f) = R 
 
 
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II) g(x) = x² + 1 
 
D(g) = R 
Im(g)={y ∈ 𝑅/y ≥ 1} 
 
 
 
III) h(x) = 
3𝑥+1
𝑥−3
 
 
D(h): {x ∈ 𝑅 /x ≠3} ou D(h)=R-{3} 
Im(h) = R 
 
 
Limite de uma função: o conceito de Limite de uma função realiza um papel muito importante em toda 
teoria matemática envolvida com o Cálculo Diferencial e Integral. Há uma cadeia ordenada muito bem 
estabelecida no Cálculo: Funções, Limites, Derivadas e Integrais. 
Para entender os conceitos mais importantes da lista acima, que são os últimos, a Teoria de Limites é 
fundamental. O motivo para isto é que nem tudo o que queremos realizar, ocorre no meio físico e quase 
sempre é necessário introduzir um modelo que procura algo que está fora das coisas comuns e esta procura 
ocorre com os limites nos estudos de sequências, séries, cálculos de raízes de funções, etc. 
Por exemplo, obter uma raiz de uma função polinomial de grau maior que 4 somente é possível através de 
métodos numéricos que utilizam fortemente as idéias de limites. 
Ideia indutiva de Limite: vamos estudar o comportamento de uma função f nas proximidades de um ponto. 
Para fixar idéias, consideremos a função f: R-{1} R definida por: 
𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
 
Para x diferente de 1, f pode ser simplificada e reescrita numa forma mais simples, que gera os mesmos 
resultados: 
f(x) = x + 1 
Ao analisar o comportamento desta função nas vizinhanças do ponto x = 1, ponto este que não pertence ao 
domínio de f, constatamos que esta função se aproxima rapidamente do valor L = 2, quando os valores de x 
se aproximam de x = 1, tanto por valores de x < 1 (à esquerda de 1) como por valores x > 1 (à direita de 1). 
Do ponto de vista numérico, as tabelas abaixo mostram o comportamento da função f, para valores x à 
esquerda e à direita de x = 1. 
Pela esquerda de x = 1 Pela direita de x = 1 
x 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1 X 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1 
f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2 f(x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2 
Neste caso, dizemos que L = 2 é o limite da função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 2 Lê-se: limite de f(x) com x tendendo a 1 é igual a 2. 
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O resultado acima pode ser visto através da análise 
gráfica de f, cujo esboço está na figura ao lado. 
 
 
O Limite Infinito: analisaremos agora o comportamento da função f(x)= 
2
𝑥²
 quando a variável x tender a 
zero, por valores inferiores e por valores superiores. 
Quando x tende a zero por valores inferiores 
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 x→0 
f(x) 2 8 200 20.000 2.000.000 200.000.000 f(x)→+∞ 
Observa-se que, conforme x se aproxima do valor estabelecido (zero) por valores inferiores a ele, o valor da 
função cresce cada vez mais, ou seja, o limite lateral esquerdo, quando x tende a zero, é igual ao infinito. 
Pode-se escrever: 
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥)= +∞ ou lim
𝑥→0−
(
2
𝑥²
)= +∞ 
Lê-se: limite de f(x), quando x tende a zero pelo lado esquerdo é igual mais infinito. 
 
Quando x tende a zero por valores superiores 
Como a variável independente x está elevada ao quadrado, obter-se-á uma tabela bastante parecida com a 
tabela anterior. Observe: 
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 x→0 
f(x) 2 8 200 20.0002.000.000 200.000.000 f(x)→+∞ 
Portanto, o limite lateral direito da função quando x tende a zero, por valores superiores a ele, também é 
igual ao infinito. Dessa maneira, pode-se escrever: 
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) = +∞ ou lim
𝑥→0+
(
2
𝑥2
) = +∞ 
Lê-se: limite de f(x), quando x tende a zero pelo lado direito é igual mais infinito. 
 
Como os limites laterais são iguais, diz-se que existe o limite da função no ponto que se está examinando, ou 
seja, x = 0. Indica-se por: 
lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = +∞ ou lim
𝑥→0
(
2
𝑥2
) = +∞ 
A figura a seguir mostra o comportamento da função nos casos examinados. 
 
Se for feito raciocínio semelhante para a função 𝑓(𝑥) = −
2
𝑥2
, serão obtidos os limites laterais: 
lim
𝑥→0−
(−
2
𝑥2
) = −∞ e lim
𝑥→0+
(−
2
𝑥2
) = −∞ 
Portanto, é possível dizer que existe o limite no ponto x = 0, e esse limite pode ser escrito: 
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lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = −∞ ou lim
𝑥→0
(−
2
𝑥2
) = −∞ 
 
Limite no Infinito: Seja a função 𝑓(𝑥) =
3𝑥+2
𝑥
. Seu comportamento quando x cresce indefinidamente, ou 
seja, quando x tende a um valor extremamente grande, que será denominado de infinito positivo ou mais 
infinito, será: 
x 1 10 100 1.000 10.000 1.000.000 x→+∞ 
f(x) 5 3,2 3,02 3,002 3,0002 3,000002 f(x)→3 
Nota-se que, quanto mais o valor de x cresce, mais o valor da função se aproxima do valor 3. Pode-se indicar 
essa situação por: 
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 3 ou lim
𝑥→+∞
(
3𝑥+2
𝑥
) = 3 
 
Definição de limite: dizemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 se pudermos tornar o valor de f tão próximo de L quanto 
quisermos, desde que tomemos x suficientemente próximo de a. Formalmente, dizemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 se 
e somente se, para todo número real 𝜖 > 0, existe 𝛿 > 0 tal que: 
 
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖 quando 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿. 
 
Introdução a DERIVADA pela definição de limite: O estudo da derivada está relacionado com a 
determinação da reta tangente a uma curva 𝒚 = 𝒇(𝒙) em um determinado ponto dado. Tal estudo foi 
desenvolvido por Isaac Newton e por outros matemáticos do século XVII, possibilitando a resolução de 
problemas que envolvem a determinação da reta tangente a uma curva, a velocidade e a aceleração 
instantânea de um corpo e, ainda, taxas de variação, os quais estão presentes no cotidiano das pessoas, 
através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de 
crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de 
temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros 
exemplos que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em 
um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição 
matemática da derivada de uma função em um ponto: 
 
Dado a função y = f(x) definida no intervalo (a, b) e dois pontos, 𝒙𝟎 e 𝒙𝟎 + ∆𝒙, pertencentes a esse mesmo 
intervalo, sendo ∆𝑥 um acréscimo sofrido na variação da variável independente x, conforme a figura abaixo: 
 
Percebe-se na figura anterior que os valores correspondentes a 𝒙𝟎 e a 𝒙𝟎 + ∆𝒙 são, respectivamente, 
𝒇(𝒙𝟎) = 𝒚𝟎 e 𝒇(𝒙𝟎 + ∆𝒙) = 𝒚𝟎 + ∆𝒚, ou seja, quando o valor da variável independente x passa de 𝒙𝟎 para 
𝒙𝟎 + ∆𝒙, o valor da função 𝒇(𝒙) passa de 𝒚𝟎 para 𝒚𝟎 + ∆𝒚. 
 
O quociente entre ∆𝒚 e ∆𝒙 é denominado de TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO e vale: 
 
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
 
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Essa taxa expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre os pontos 𝒙𝟎 e 𝒙𝟎 + ∆𝒙. Seja a 
função definida no intervalo (a, b) e 𝒙𝟎 um ponto desse intervalo. O limite: 
 
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
 
 
quando existe, é denominado de DERIVADA DA FUNÇÃO 𝒇(𝒙) NO PONTO 𝑥0. 
 
Diz-se, então, que a função 𝒇(𝒙) é derivável no ponto 𝒙𝟎. 
 
A notação utilizada para dizer que a função é derivável no ponto 𝑥0 pode ser: 𝑓′(𝑥0); 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 (𝑥0); 𝑦
′(𝑥0) ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (𝑥0). 
 
Considere os exemplos a seguir: 
1.A) Para a função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, temos: 
a) 𝑓(0) = 02 = 0 b) 𝑓(−1) = (−1)2 = 1 c) 𝑓(1) = (1)2 = 1 
 
d) 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 e) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ)2 − 𝑥2 = 2𝑥ℎ + ℎ2 =
ℎ(2𝑥 + ℎ) f) 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
=
ℎ(2𝑥+ℎ)
ℎ
= 2𝑥 + ℎ 
 
1.B) Para a função 𝑓(𝑥) = 6𝑥, temos: 
a) 𝑓(0) = 6.0 = 0 b) 𝑓(−1) = 6. (−1) = −6 c) 𝑓(1) = 6.1 = 6 
 
d) 𝑓(𝑥 + ℎ) = 6. (𝑥 + ℎ) = 6𝑥 + 6ℎ e) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) = 6𝑥 + 6ℎ − 6𝑥 = 6ℎ 
 
f) 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
=
6ℎ
ℎ
= 6 
 
Calculando 𝒇′(x) a partir da Definição de Derivada 
 
Como vimos anteriormente, a DERIVADA 𝒇′(𝒙) de uma função 𝒇(𝒙) num ponto 𝒙 pode ser calculada a 
partir da fórmula: 
 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙+∆𝒙)−𝒇(𝒙)
∆𝒙
 ou 𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)
𝒉
 
 
Adotando os seguintes passos: 
 
Passo 1: Escreva expressões para: 
 
𝒇(𝒙) e 𝒇(𝒙 + 𝒉) 
 
Passo 2: Desenvolva e simplifique o quociente: 
 
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
 
Passo 3: Usando o quociente simplificado, encontre 𝒇′(𝒙) calculando o limite: 
 
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇(𝒙 + 𝒉) − 𝒇(𝒙)
𝒉
 
 
1.C) Qual é a função derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2? 
 
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1º Passo: 𝑓(𝑥) = 𝟑𝒙² e 𝑓(𝑥 + ℎ) = 3(𝑥 + ℎ)2 = 3(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2) = 𝟑𝒙² + 𝟔𝒙𝒉 + 𝟑𝒉² 
 
2º Passo: 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = 
𝟑𝒙²+𝟔𝒙𝒉+𝟑𝒉²−𝟑𝒙²
ℎ
 = 
𝟔𝒙𝒉+𝟑𝒉²
ℎ
 = 
𝒉(𝟔𝒙+𝟑𝒉)
ℎ
 = 𝟔𝒙 + 𝟑𝒉 
 
3º Passo: 𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
6𝑥 + 3ℎ = 6𝑥 + 3 ∙ 0 = 𝟔𝒙 
 
Portanto, a função derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 é 𝑓′(𝑥) = 𝟔𝒙. 
 
1.D) Determine a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 no ponto 𝑥 = 2. 
 
No exemplo anterior, vimos que, a função derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. 
 
Logo, a derivada dessa função no ponto 𝑥 = 2 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 ↔ 𝑓′(2) = 𝟏𝟐. 
 
(Aula 1 – parte 1) 
Módulo 2: Regras de Derivação 
 
“Há uma razão que explica a elevada reputação da Matemática, é que ela leva para as ciências naturais exatas uma certa 
proporção de segurança que, sem ela, essas ciências não poderiam obter.” (Albert Einstein) 
 
“A matemática é a única atividade humana INFINITA. É concebível que a humanidade possa chegar a conhecer toda a física ou 
toda a biologia, porém é certo que nunca será capaz de descobrir tudo na matemática, porque o tema é INFINITO. Os próprios 
números são INFINITOS.” (Paul Erdos) 
 
“Não há ramo da Matemática, por mais abstrato que seja, que não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo 
real.”(Lobachevsky) 
 
Como vimos, podemos calcular por exemplo, a função derivada de 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐, através da definição, da 
seguinte forma: 
 
1º Passo: 𝑓(𝑥) = 𝒙² e 𝑓(𝑥 + ℎ) = (𝑥 + ℎ)2 = 𝒙² + 𝟐𝒙𝒉 + 𝒉² 
 
2º Passo: 
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = 
𝒙²+𝟐𝒙𝒉+𝒉²−𝒙²
ℎ
 = 
𝟐𝒙𝒉+𝒉²
ℎ
 = 
𝒉(𝟐𝒙+𝒉)
ℎ
 = 𝟐𝒙 + 𝒉 
 
3º Passo: 𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ
 = lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ = 2𝑥 + 0 = 𝟐𝒙 
 
Portanto, a função derivada da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 é 𝑓′(𝑥) = 𝟐𝒙. 
 
No entanto, podemos simplesmente usar a regra de derivação, onde o expoente é transformado em fatore o 
novo expoente possui uma unidade a menos, ou seja: 
 
 
Quando derivamos uma função, abaixamos a ordem dela, por exemplo, ao derivarmos uma função cúbica, 
obtemos uma função quadrática e, ao derivarmos uma função quadrática, obtemos uma função afim. Por 
exemplo, quando derivamos a função cúbica do volume “V” de uma esfera, em função do seu raio “r”, 
𝑽(𝒓) =
𝟒
𝟑
𝝅𝒓𝟑, temos a área “A” da esfera, em função do raio “r”, 𝑨(𝒓) = 𝟒𝝅𝒓𝟐. Outro exemplo, é quando 
derivamos a função quadrática da Área “A” de um círculo, em função do raio “r”, 𝑨(𝒓) = 𝝅𝒓𝟐 e, otemos a 
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função afim do perímetro do círculo 𝑷(𝒓) = 𝟐𝝅𝒓. O perímetro do círculo, também é conhecido como 
comprimento de circunferência, C = 2πr . 
 
As notações mais utilizadas para dizer que uma função é derivável num ponto 𝑥0 são: 𝑓′(𝑥0); 
𝑑𝑓
𝑑𝑥
 (𝑥0); 𝑦
′(𝑥0) ou 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 (𝑥0). 
 
Vimos no módulo anterior que o cálculo da derivada através da sua definição nem sempre é simples, pois 
envolve o cálculo de um limite. Para minimizar este problema, utilizamos algumas propriedades das 
derivadas, que chamaremos de regras de derivação, as quais não serão demonstradas nesta apostila, porém 
suas demonstrações decorrem da definição de derivada e podem ser encontradas na maioria dos livros de 
Cálculo. 
 
Derivada da função constante: Seja uma função constante𝑓(𝑥) = 𝑘, 𝑘 ∈ 𝑅. A sua derivada vai ser 
sempre igual a zero. 
𝒇(𝒙) = 𝒌 (𝒌 ∈ 𝑹) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝟎 
Exemplos resolvidos: 
2.A) 𝑓(𝑥) = 7 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0 
2.B) 𝑔(𝑥) = −
5
7
⇒ 𝑔′(𝑥) = 0 
2.C) 𝑦 = −8 ⇒ 𝑦′ = 0 
2.D) 𝑓(𝑥) = √5 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0 
 
Veja uma explicação mais detalhada do exemplo “2.A” 𝑓(𝑥) = 7 = 7𝑥0 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0 ∙ 7𝑥0−1 = 0 ∙
7𝑥−1 = 0 
 
Derivada da função potência: Seja uma função 𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏. A derivada dessa função será obtida por meio 
da fórmula matemática: 
𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒏. 𝒙𝒏−𝟏 
Exemplos resolvidos: 
2.E) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4 . 𝑥4−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 
2.F) 𝑓(𝑥) = 15𝑥3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 3 . 15𝑥3−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 45𝑥2 
2.G) 𝑓(𝑥) = √𝑥. Esta função não está na forma de uma potência, mas pode ser transformada em uma 
potência, assim: 
𝑓(𝑥) = 𝑥
1
2 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
2
. 𝑥
1
2−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
2
. 𝑥
1−2
2 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
2
. 𝑥
−1
2 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 
1
2𝑥
1
2
⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥
 
2.H) 𝑦 =
1
𝑥3
. Esta função não está na forma de uma potência, mas pode ser transformada em uma potência, 
assim: 
𝑦 = 𝑥−3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −3. 𝑥−3−1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −3. 𝑥−4 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −3.
1
𝑥4
⇒ 𝑓′(𝑥) =
−3
𝑥4
 
Derivada de uma função multiplicada por uma constante: Se uma função está multiplicada por uma 
constante, para encontrar a derivada dessa função, basta multiplicar a derivada da função pela constante, ou 
seja: 
𝒇(𝒙) = 𝒌. 𝒈(𝒙) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒌. 𝒈′(𝒙) 
Exemplos resolvidos: 
2.I) 𝑓(𝑥) = 4. 𝑥3 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4. (3. 𝑥2) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 12𝑥2 
2.J) 𝑓(𝑥) = −
2
3
. 𝑥6 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −
2
3
. (6. 𝑥5) ⇒ 𝑓′(𝑥) = −
12𝑥5
3
⇒ 𝑓′(𝑥) = −4𝑥5 
 
Derivada da soma ou da diferença de funções: Se houver uma soma ou diferença de funções, a derivada 
dessa função será a soma ou diferença das derivadas das funções que compõem a função primitiva, ou seja: 
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𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) + 𝒗(𝒙) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′(𝒙) + 𝒗′(𝒙) e 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) − 𝒗(𝒙) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′(𝒙) − 𝒗′(𝒙) 
 
Essa regra pode ser escrita de uma maneira mais simples e abreviada, que é: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒖 + 𝒗 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′ + 𝒗′ e 𝒇(𝒙) = 𝒖 − 𝒗 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′ − 𝒗′ 
 
Exemplos resolvidos: 
2.K) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 5𝑥 − 7 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 4.2𝑥2−1 + 5.1𝑥1−1 − 0 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 8𝑥 + 5 
2.L) 𝑓(𝑥) = 5𝑥4 − 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 1 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 5.4𝑥4−1 − 3.3𝑥3−1 + 2.2𝑥2−1 − 1.1𝑥1−1 + 0 ⇒ 
⇒ 𝑓′(𝑥) = 20𝑥3 − 9𝑥2 + 4𝑥 − 1 
 
Derivada de funções trigonométricas: para essas funções não existe regra de derivação, tem que ser por 
definição, como visto no módulo anterior (Módulo 1), ou por consulta a tabela de derivadas, ou por 
“decoreba”, ou por dispositivos práticos, como a figura do círculo a seguir. As funções trigonométricas mais 
estudadas no cálculo diferencial e integral são: 
 
Derivada da função seno f(x) = sen x: se f(x) = sen x, então f´(x) = cos x 
 
Derivada da função cosseno: f(x) = cos x: se f(x) = cos x, então f´(x) = - sen x 
 
Exemplos resolvidos: 
2.M) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
2.N) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
Exercícios – Regras de Derivação (constante, potência, soma, diferença e trigonométricas): 
2.1) Qual a derivada da função f(x) = 8 ? 
 
2.2) Qual a derivada da função f(x) = √3 ? 
 
2.3) Qual a derivada da função f(x) = x² ? 
 
2.4) Qual a derivada da função f(x) = 𝑥6 ? 
 
2.5) Qual a derivada da função f(x) = x ? 
 
2.6) Qual a derivada da função f(x) = 10x ? 
 
2.7) Qual a derivada da função f(x) = 2x + 3 ? 
 
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2.8) Qual a derivada da função f(x) = −
1
2
𝑥 + 5 ? 
 
2.9) Qual a derivada da função f(x) = 𝑥4 − 2𝑥³ ? 
a) f ’(x) = 2x + 2 b) f ’(x) = x² + 2x c) f ’(x) = 4x³ - 6x² d) f ’(x) = 
4𝑥3−6𝑥2
2𝑥
 e) f ’(x)=2x² - 3x 
 
2.10) Qual a derivada da função f(x) = x² - 2x ? 
a)f´(x) = 2x + 2 b)f´(x) = x² + 2x c)f´(x) = 2x - 2 d)f´(x) = 
4𝑥³−2𝑥²
2𝑥
 e)f´(x) = 2x² + 3x 
 
2.11) Qual a derivada da função f(x) =
𝑥4−2𝑥³
𝑥²
 ? Dica: separe em duas frações 
𝑥4
𝑥2
−
2𝑥3
𝑥2
 use a propriedade: 
“divisão de potências de mesma base, conserva a base e subtrai os exposentes”, pronto este exercício está 
idêntico ao anterior. 
a)f´(x) = 2x + 2 b)f´(x) = x² + 2x c)f´(x) = 2x - 2 d)f´(x) = 
4𝑥³−2𝑥²
2𝑥
 e)f´(x) = 2x² + 3x 
 
2.12) Qual a derivada da função f(x) = 
128𝑥²−2𝑥³
𝑥2
 ? Use a dica do exercício anterior. 
a) f ’(x) = 2 b) f ’ (x) = x² + 2 c) f ’ (x) = -2 d) f ’(x) = 
4𝑥3−6𝑥2
2𝑥
 e) f ’ (x)= 2x² - 3x 
 
2.13) Qual a derivada da função f(x) = sen(x) ? 
 
2.14) Qual a derivada da função f(x) = cos(x) ? 
 
2.15) Qual a derivada da função f(x) = 2 . sen(x) ? 
 
2.16) Qual a derivada da função f(x) = - 3 . cos(x) ? 
 
2.17) Qual a derivada da função f(x) = 
2
𝑥3
−
8
𝑥
 ? 
 
2.18) Qual a derivada da função f(x) =3√𝑥
4 −
4
√𝑥2
3 ? 
 
2.19) Qual a derivada da função f(x) =
2𝑥
√𝑥
+
4𝑥4
√𝑥3
5 ? 
 
2.20) Qual a derivada da função f(x) =
𝑥4
𝑎+𝑏
? Obs.: Como a função é f(x), somente a incógnita x será derivada. 
 
2.21) Qual a derivada da função f(x) =
2𝑥3
𝑚+𝑛
? Obs.: Como a função é f(x), somente a incógnita x será 
derivada. 
 
2.22) A derivada do Custo de Fabricação é a taxa de variação do custo por unidade produzida, que é 
chamado de Custo Marginal. Se o Custo de Fabricação de um produto é dado pela função C(x) = 0,0123x³ – 
0,415x² + 4,8727x, obtenha a função Custo Marginal. 
 
Gabarito: 2.1)0 2.2)0 2.3)2x 2.4)6x5 2.5)1 2.6)10 2.7)2 2.8)-1/2 2.9)c 2.10)c 2.11)c 2.12)c 
2.13)cos(x) 2.14)-sen(x) 2.15)2cos(x) 2.16)3sen(x) 2.17)-6x-4+8x-2 2.18)
𝟑
𝟒 √𝒙𝟑
𝟒 +
𝟖
𝟑𝒙 √𝒙𝟐
𝟑 
2.19)
𝟏
√𝒙
+
𝟔𝟖𝒙𝟐∙ √𝒙𝟐
𝟓
𝟓
 2.20)
𝟒𝒙𝟑
𝒂+𝒃
 2.21)
𝟔𝒙𝟐
𝒎+𝒏
 2.22) C´(x)=CM(x) = 0,0369x² – 0,83x + 4,8727 
 
 
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(Aula 2 – parte 1) 
Derivadada função exponencial natural: f(x) = ex: no caso de a base da função ser o número de Euler 
(e), base do logaritmo natural, a aplicação dessa regra de derivação será restrita a: 
 
Percebe-se que a função inicial e a função derivada, nesse caso, são iguais, ou seja: 
 
Se f(x) = ex, então 𝒇′ (x) = ex 
Assim a função exponencial f(x) = ex tem a propriedade de ser sua própria derivada. 
Exemplo resolvido: 
2.Q) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
Derivada da função exponencial: se uma função for uma função exponencial (aquela que possui variável 
independente no expoente), a sua derivada será dada pela aplicação da seguinte regra de derivação: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙(𝒂 > 𝟎 e 𝒂 ≠ 𝟏) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒂𝒙. 𝐥𝐧 𝒂 
 
Lembrando que ln, significa logaritimo natural, ln(x) = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥, onde e ≅ 2,12 
 
Exemplos resolvidos: 
2.O) 𝑓(𝑥) = 6𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 6𝑥 . ln 6 
2.P) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 . ln 2 
 
Nos exercícios de cálculo, o ln, não costuma ser resolvido. 
 
Derivada da função logarítmica: se a função inicial for uma função logarítmica, a sua derivada será 
calculada mediante a aplicação da seguinte regra de derivação: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎 𝐞 𝒂 ≠ 𝟏) ⇒ 𝒇
′(𝒙) =
𝟏
𝒙. 𝐥𝐧 𝒂
 
 
Exemplos resolvidos: 
2.R) 𝑓(𝑥) = log2 𝑥 ⇒ 𝑓
′(𝑥) =
1
𝑥 ln 2
 
2.S) 𝑓(𝑥) = log 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
1
𝑥 ln 10
 
 
Observação: quando a base do logaritmo, for omitida, como no exemplo anterior, deve-se lembrar que trata-
se: da base 10. 
 
Caso particular 
Derivada da função logarítmica natural (base e): f(x) = lnx 
Se o logaritmo for um logaritmo natural, aquele de base e (número de Euler), a aplicação da regra de 
derivação ficará: 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 𝒙 ⇒ 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙. 𝐥𝐧 𝒆
⇒ 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙. 𝟏
⇒ 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙
 
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Ou seja, para f(x) = lnx, temos 𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝒙
 
Exemplo resolvido: 
2.T) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝟏
𝒙
 
 
Derivada de um produto de funções: se uma função for composta por um produto de outras funções, a 
derivada dessa função inicial será determinada utilizando-se a seguinte regra de derivação: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒙) ∙ 𝒗(𝒙) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′(𝒙) ∙ 𝒗(𝒙) + 𝒖(𝒙) ∙ 𝒗′(𝒙) 
 
Essa regra pode ser escrita de uma maneira mais simples e abreviada: 
 
𝒇(𝒙) = 𝒖 ∙ 𝒗 ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′ 
 
Ou seja, a derivada do produto de duas funções é igual a derivada da primeira função vezes a segunda mais a 
primeira função vezes a derivada da segunda. 
 
Exemplos resolvidos: 
2.U) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 − 3𝑥 + 5) ∙ (4𝑥 + 7) 
 
Fazendo: 𝑢 = 2𝑥2 − 3𝑥 + 5 ⇒ 𝑢′ = 4𝑥 − 3 
 
𝑣 = 4𝑥 + 7 ⇒ 𝑣′ = 4 
 
Logo: 
 
𝑓′(𝑥) = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ⇒ 
𝑓′(𝑥) = (4𝑥 − 3) ∙ (4𝑥 + 7) + (2𝑥2 − 3𝑥 + 5) ∙ (4) ⇒ 
𝑓′(𝑥) = 16𝑥2 + 28𝑥 − 12𝑥 − 21 + 8𝑥2 − 12𝑥 + 20 ⇒ 
𝑓′(𝑥) = 24𝑥2 + 4𝑥 − 1 
 
2.V) OBS.: Esse exemplo não será resolvido em lousa e nem cobrado em prova, por ser muito trabalhoso. 
 𝑦 = (𝑥3 − 2𝑥2) ∙ (3𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6) 
Fazendo: 𝑢 = 𝑥3 − 2𝑥2 ⇒ 𝑢′ = 3𝑥2 − 4𝑥 
𝑣 = 3𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6 ⇒ 𝑣′ = 12𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 5 
Então: 
𝑦′ = 𝑢′ ∙ 𝑣 + 𝑢 ∙ 𝑣′ ⇒ 
𝑦′ = (3𝑥2 − 4𝑥). (3𝑥4 − 2𝑥3 + 4𝑥2 − 5𝑥 + 6) + (𝑥3 − 2𝑥2) ∙ (12𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 − 5) 
𝑦′ = 21𝑥6 − 48𝑥5 + 40𝑥4 − 52𝑥3 + 48𝑥2 − 24𝑥 
 
Derivada de um quociente de funções: se uma função é o quociente de outras duas funções, a derivada 
dessa função inicial será determinada ao se fazer uso da seguinte regra de derivação: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣′(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2
 
 
De uma maneira mais simplificada, pode-se escrever: 
 
𝑓(𝑥) =
𝑢
𝑣
⇒ 𝑓′(𝑥) =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
 
 
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Ou seja, a derivada do quociente de duas funções é igual a derivada do numerador vezes o denominador, 
menos o numerador vezes a derivada do denominador e, todos divididos pelo quadrado do denominador. 
Exemplos resolvidos: 
2.W) 𝑓(𝑥) =
𝑥+2
𝑥2+5𝑥+2
 
Fazendo: 
𝑢 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑢′ = 1 
𝑣 = 𝑥2 + 5𝑥 + 2 ⇒ 𝑣′ = 2𝑥 + 5 
 
Tem-se, então, que: 
𝑓′(𝑥) =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
⇒ 𝑓′(𝑥) =
1 ∙ (𝑥2 + 5𝑥 + 2) − (𝑥 + 2) ∙ (2𝑥 + 5)
(𝑥2 + 5𝑥 + 2)2
 
𝑓′(𝑥) =
−𝑥2 − 4𝑥 − 8
𝑥2 + 10𝑥3 + 29𝑥2 + 20𝑥 + 4
 
 
 
2.X) 𝑓(𝑥) =
3𝑥3+2𝑥−5
5𝑥−3
 
Fazendo: 
𝑢 = 3𝑥3 + 2𝑥 − 5 ⇒ 𝑢′ = 9𝑥2 + 2 
𝑣 = 5𝑥 − 3 ⇒ 𝑣′ = 5 
 
Tem-se, então, que: 
𝑓′(𝑥) =
𝑢′ ∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′
𝑣2
⇒ 𝑓′(𝑥) =
(9𝑥2 + 2) ∙ (5𝑥 − 3) − (3𝑥3 + 2𝑥 − 5) ∙ (5)
(5𝑥 − 3)2
⇒ 
𝑓′(𝑥) =
30𝑥3 − 27𝑥2 + 19
25𝑥2 − 30𝑥 + 9
 
 
Regra do produto Regra do Quociente 
𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′ 
𝒖′ ∙ 𝒗 − 𝒖 ∙ 𝒗′
𝒗𝟐
 
Exemplos resolvidos: 
2.Y) Considere a função 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥. Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do 
produto: (𝒖 ∙ 𝒗)′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′ 
𝑦′ = 𝑥′ ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥 ∙ (𝑒𝑥)′ 
𝑦′ = 1 ∙ 𝑒𝑥 + 𝑥 ∙ 𝑒𝑥 = 𝑒𝑥(1 + 𝑥) 
 
2.Z) Considere a função 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥. Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a 
regra do produto: (𝒖 ∙ 𝒗)′ = 𝒖′ ∙ 𝒗 + 𝒖 ∙ 𝒗′ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑠𝑒𝑛𝑥)′ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥)′ 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= cos 𝑥 ∙ cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (−𝑠𝑒𝑛𝑥) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑒𝑛²𝑥 
 
2.Z1) Considere a função 𝑦 =
𝑥+3
𝑥−9
. Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do 
quociente: (
𝒖
𝒗
)
′
=
𝒖′∙𝒗−𝒖∙𝒗′
𝒗²
 
𝑦′ =
(𝑥 + 3)′ ∙ (𝑥 − 9) − (𝑥 + 3) ∙ (𝑥 − 9)′
(𝑥 − 9)²
 
 
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𝑦′ =
1 ∙ (𝑥 − 9) − (𝑥 + 3) ∙ 1
(𝑥 − 9)2
=
𝑥 − 9 − 𝑥 − 3
(𝑥 − 9)²
=
−12
(𝑥 − 9)²
 
2.Z2) Considere a função 𝑦 =
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
. Para encontrarmos a derivada desta função devemos utilizar a regra do 
quociente: (
𝒖
𝒗
)
′
=
𝒖′∙𝒗−𝒖∙𝒗′
𝒗²
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
(𝑠𝑒𝑛𝑥)′ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (𝑐𝑜𝑠𝑥)′
(𝑐𝑜𝑠𝑥)²
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐𝑜𝑠𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ (−𝑠𝑒𝑛𝑥)
(𝑐𝑜𝑠𝑥)²
 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑒𝑛²𝑥
(𝑐𝑜𝑠𝑥)²
=
1
(𝑐𝑜𝑠𝑥)²
= 𝑠𝑒𝑐²𝑥 
 
Obs: As funções trigonométricas foram estudadas em Tópicos de Matemática. 
 
T A B E L A D E D E R I V A D A S 
F U N Ç Ã O Derivada da Função 
y = sen(x) y' = cos(x) 
y = cos(x) y' = -sen(x) 
y = -sen(x) y' = -cos(x) 
y = -cos(x) y' = sen(x) 
y = xn, (𝒏 ∈ 𝑹) y'= n . xn-1 
y = ax, (𝒙 ∉ 𝑹) y' = ax ln(a) 
y = ex y' = ex 
y = u . v y' = u’ v + u v’ 
𝑦 =
𝑢
𝑣
 𝒚′ =
𝒖′𝒗 − 𝒖𝒗′
𝒗𝟐
 
y = ln(x) 𝒚′ =
𝟏
𝒙
 
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎
𝑥 𝒚′ =
𝟏
𝒙𝒍𝒏(𝒂)
 
 
Exercícios – Regras de Derivação (exponencial, logarítmica, produto e quociente): 
2.22) Qual a derivada da função f(x) = lnx? Dica: Usar tabela acima. 
 
2.23) Qual a derivada da função f(x) = x ∙ lnx? Dica: usar regra do produto. 
a)f '(x) = lnx b) f '(x) = 1 c)f '(x) = lnx - 1 d)f '(x) = -lnx e) f '(x) = lnx + 1 
 
2.24) Qual a derivada da função f(x) = x2 ∙ cosx ? 
a)f '(x) = -2xsenx b)f '(x) = 2xcosx + x2senx c)f '(x) = 2xcosx - x2senx d)f '(x) = 2xcosx + 2xsenx 
e)f '(x) = 2xcosx 
 
2.25) Qual a derivada da função f(x) = (x² + 3x + 1) (lnx) ? 
 
2.26) Qual a derivada da função f(x) = 
𝑥2
𝑥+1
 ? Dica: usar regra do quociente. 
 
2.27) Qual a derivada da função f(x) = 
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑥²+1
 ? 
a)f´(x)= 
−2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−(𝑥2+1)𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥2+1)²
 b)f´(x)= 
2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥2+1)²c)f´(x)= 
2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+(𝑥2+1)𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥2+1)²
 
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d)f´(x)= 
−2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥2+1)²
 e)f´(x)= 
2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥−(𝑥2+1)𝑠𝑒𝑛𝑥
(𝑥²+1)
 
 
2.28) Qual a derivada da função y = t3et? 
a)y' =t2et(3-t) b)y' =tet(3+t) c)y' =et(3+t) d)y' =3t2et e)y' =t2et(3+t) 
 
2.29) Qual a derivada da função f(x)=(x²+2x)∙ 𝑒𝑥 ? 
a)f´(x)=(2x+2)𝑒𝑥 b)f´(x)= x²𝑒𝑥 c)f´(x)= 𝑒𝑥 (x²+4x+2) d)f´(x)= 2x²𝑒𝑥 +2x e)f´(x)= 𝑒𝑥 (x²+2) 
 
2.30) Qual a derivada da função f(x)=
𝑥+2
𝑥−2
 ? 
a)2x(x-2) b)-4(x-2) c)1 d)
2𝑥
(𝑥−2)²
 e)
−4
(𝑥−2)²
 
 
2.31) Qual a derivada da função y=x³∙senx? 
a)y’=3x²cosx b)y’=3x²senx+x³cosx c) y’=3x²senx-x³cosx d)y’=x³cosx e)y’=3x²senx 
 
2.32) Qual a derivada da função y=(2x+8) ∙cosx? 
a)y'=2cosx b)y'=-2senx c)y'=2.cosx+2x.senx d)y'=2.cosx-(2x+8).senx e)y'=2.cosx+10x.senx 
 
2.33) Qual a derivada da função y=x3∙lnx? 
a)y'=3x b)y'=3x2lnx c)y'=3x2lnx+x2 d)y'=3xlnx+x e)y'=lnx+3x2 
 
2.34) A derivada da função y=(x³+6x)𝑒𝑥 é igual a? 
a)y’= x³+3x²+6x+6 b) y’= (3x²+6)𝑒𝑥 c) y’= (3x²+6)𝑒𝑥+(x³+6x)2𝑒𝑥 d) y’= 𝑒𝑥(x³+3x²+6x+6) e) y’= 
(3x+6)𝑒𝑥+(x³+6x)𝑒𝑥 
 
2.35) Qual a derivada da função y= (2x+4) ∙ lnx? 
a)y'=2/x b)y'=2lnx+2+4/x c)y'=2lnx d)y'=2lnx+4/x e)y'=2lnx+2 
 
2.36) Qual a derivada da função y=(x+4) ∙senx ? 
a)y'=(x+4).cosx b)y'=cosx c)y'=senx+(x+4).cosx d)y'=xsenx+(x+4).cosx e)y'=-(x+4).cosx 
 
2.37) Qual a derivada da função f(x) = 
𝑙𝑛𝑥
𝑥
 ? 
 
Gabarito: 2.22)1/x 2.23)e 2.24)c 2.25)2xlnx + 3lnx + x + 3 + x-1 2.26)x(x+2)/(x+1)² 2.27)a 2.28)e 
2.29)c 2.30)e 2.31)b 2.32)d 2.33)c 2.34)d 2.35)b 2.36)c 2.37)1-lnx/x² 
 
(Aula 3 – parte 1) 
Regra da Cadeia: a derivação de uma função composta é conhecida como Regra da Cadeia. Sejam 𝒖(𝒙) e 
𝒗(𝒙) duas funções deriváveis e 𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒗(𝒙)), para calcular a derivada da função composta, devemos 
decompô-la em funções elementares. Em seguida, analisamos qual é a função principal e analisarmos as 
funções dentro da função principal. Então derivamos a função principal “de fora” e multiplicamos pela 
derivada da função “de dentro”. 
𝒇(𝒙) = 𝒖(𝒗) ⇒ 𝒇′(𝒙) = 𝒖′(𝒗) ∙ 𝒗′ 
 
Exemplos Resolvidos: 
 
2.Z3) Qual a derivada da função y = (x³)2 ? 
 
Nesse exemplo, não precisamos usar a regra da cadeia, pois podemos escrever a função como y = x6 e de 
imediato, escrever a sua derivada y’ = 6x5 
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17 
 
 
Mas, para aplicarmos a regra da cadeia, calculamos primeiro a derivada da função principal “de fora”, 
obtendo 2x³, em seguida calculamos a derivada da função “de dentro”, obtendo 3x² e multiplicamos as duas 
derivadas, obtendo y’ = 2x³ ∙ 3x² = 6x5 
 
2.Z4) Qual a derivada da função y = (2x + 1)2 ? 
 
Nesse exemplo, também não precisamos usar a regra da cadeia, pois podemos desenvolver (2x + 1)2, 
obtendo a função y = 4x² + 4x + 1, de mediato, escrevemos sua derivada y’ = 8x + 4 
Aplicando a regra da cadeia, obtemos a derivada da função principal “de fora” 2(2x + 1), depois a derivada 
da função de dentro 2 e, multiplicamos as duas y’ = 2(2x + 1) . 2 = 4(2x + 1) = 8x + 4 
 
2.Z5) Qual a derivada da função y = (2x + 1)200 ? 
 
Nesse exemplo, é totalmente inviável, desenvolvermos o termo (2x+1)200, dessa forma usamos a regra da 
cadeia, onde a derivada da função principal “de fora” é 200(2x + 1)199 e a derivada “de dentro”, é 2. 
Multiplicando as duas derivadas, temos: y’ = 200(2x + 1)199 . 2 = 400(2x + 1)199 
 
2.Z6) Qual a derivada da função y = (x² + 2)10 ? 
 
Para 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 2)10 a função principal “de fora” é tudo o que está entre parênteses elevado a 10, então 
derivamos primeiro esta função, obtendo 10(𝑥2 + 2)9, em seguida derivamos a função “de dentro” do 
parênteses, obtendo 2𝑥, em seguida basta multiplicar as duas funções, obtendo y’ = 20x(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟗 
 
2.Z7) Qual a derivada da função y = cos(x³+7x4) ? 
 
Temos uma função “x³ + 7x4” dentro da outra “cos” ou seja, temos uma função composta. Usamos então a 
regra da cadeia, onde derivamos primeiro a função principal “de fora”, sem mexer na de dentro, obtendo 
-sen(x³+7x4) e multiplicamos pela derivada da função “de dentro” 3x2 + 28x3, logo: 
y’ = -sen(x³ + 7x4) ∙ (3x2 + 28x3) 
 
2.Z8) Qual a derivada da função y = e7x ? 
 
Temos uma função “7x” dentro de outra função “e7x”ou seja, temos uma função composta. Usamos então a 
regra da cadeia, onde derivamos primeiro a função principal “de fora”, sem mexer na de dentro, obtendo 
e7x e multiplicamos pela derivada da função “de dentro” 7, logo: 
y’ = e7x ∙ 7 → y’ = 7e7x 
 
Regra da Cadeia na notação de Leibniz 
 
Por exemplo, dado a função composta y = (x3 + x - 1)10, podemos decompô-la em funções elementares. 
Simplesmente escrevemos: 
 
y = u10 e u = x3 + x - 1 
Na notação de Leibniz, a regra da cadeia nos diz que: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
No caso, teremos então: 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 
 
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𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10𝑢9 ∙ (3𝑥² + 1) 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 10(𝑥3 + 𝑥 − 1)9 ∙ (3𝑥2 + 1) 
 
A notação de Leibniz, é utilizada na Física e muito útil para resolver exercícios de aplicação prática. 
 
Regra do quociente e da cadeia juntas: por exemplo, para calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) =
𝑥
(𝑥+2)2
 
primeiro usamos a regra do quociente e na hora de calcular v’, usa-se a regra da cadeia, conforme abaixo: 
 
No exemplo acima temos: u = x, u’ = 1, v = (𝑥 + 2)2, v’ = 2x + 4, logo: 
𝑢′∙ 𝑣 − 𝑢 ∙ 𝑣′ 
𝑣2
 = 
1∙(𝑥+2)2−𝑥(2𝑥+4)
(𝑥+2)2∙(𝑥+2)2
 = 
(𝑥+2)2−2𝑥2−4𝑥
(𝑥+2)4
 = 
𝑥2+4𝑥+4−2𝑥2−4𝑥
(𝑥+2)4
 = 
−𝒙𝟐+𝟒
(𝒙+𝟐)𝟒
 
 
Exercícios – Regras de Derivação (Regra da Cadeia): 
 
2.38) Calcule a derivada da função f(x) = (2x + 1)10 ? 
 
2.39) Calcule a derivada da função f(x) = √𝑥2 + 𝑥 ? 
 
2.40) Qual a derivada da função y = √𝑥² + 16 ? 
a)
1
√𝑥²+16
 b)x(x²+16) c)
2𝑥
√𝑥²+16
 d)
𝑥
√𝑥²+16
 e)√2𝑥 
 
2.41) Qual é a derivada da função y = √𝑥² + 3 ? 
a)y’=
2𝑥
√𝑥²+3
 b)y’=
1
√𝑥²+3
 c)y’=2x√𝑥² + 3 d)y’=2x+3 e)y’=
𝑥
√𝑥²+3
 
 
2.42) Qual é a derivada da função y = sen( t3 )? 
a)3cost3 b)3t2cost3 c)3t2sent3 d)3cos3t e)t2cost3 
 
2.43) Qual a derivada da função y = ln(x2+3)? 
a)y’=
1
𝑥²+3
 b)y’=
2𝑥
𝑥²+3
 c)y’=
2
𝑥+3
 d)y’=
𝑥
𝑥²+3
 e)y’=
2𝑥
2𝑥+3
 
 
2.44) Derive a função 𝑓(𝑥) =
𝑥
(𝑥+2)2
. Dica: use a regra do quociente. E, Lembre-se que para derivar (x + 2)², 
usa-se a regra da cadeia. Caso ainda tenha dúvidas, veja o exemplo acima. 
 
2.45) Qual a derivada da função y = x2 . e3x ? Dica: use a regra do produto. 
a)y' =6xe3x b)y' =2xe3x c)y' =xe3x(2+3x) d)y' =xe3x(2+x) e)y' =e3x(2+x) 
 
2.46) Qual é a derivada da função y = e2x ∙ senx? 
a)y'=2e2x.cosx b)y'=2e2x.senx+e2xcosx c)y'=2e2x.senx-e2xcosx d)y'=e2x.senx+e2xcosx 
e)y'=2e2x.senx+e2xsenx 
 
2.47) Qual é a derivada da função y=e2x ∙ cos3x? 
a)y'=2e2xsen3x b)y'=2e2xcos3x-e2xsen3x c)y'=2exsen3x d)y'=2e2xcos3x-3e2xsen3x e)y'=-2e2xsen3x 
 
2.48) Qual a derivada da função y=x2 ∙ e2x? 
a)y'=2xe2x(1+x) b)y'=2xe2x c)y'=4xe2x d)y'=xe2x(2+x) e)y'=xe2x 
 
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19 
 
 
2.49) Qual a derivada de y=x² ∙ ln(2x+4)? 
a)y’=2x ln(2x+4)+
𝑥²
𝑥+2
 b)y’=
2𝑥
2𝑥+4
 c)y’=2xln(2x+4) d)y’=
4𝑥
2𝑥+1
 e)y’=2xlnx+
𝑥²
𝑥+2
 
 
2.50) Qual a derivada da função y=(5x+1) ∙ e5x? 
a)y'=5e5x(5x+2) b)y'=5e5x(x+1) c)y'=5ex(5x+2) d)y'=25e5x e)y'=e5x(5x+2) 
 
2.51) Qual é a derivada da função y=sen(4x)? 
a)y'=cos4x b)y'=2cos4x c)y'=-cos4x d)y'=4cos4x e)y'=4sen4x 
 
 
Gabarito: 2.38)20(2x + 1)9 2.39)
𝟐𝒙+𝟏
𝟐√𝒙𝟐+𝒙
 2.40)d 2.41)e 2.42)b 2.43)b 2.44) 
−𝒙𝟐+𝟒
(𝒙+𝟐)𝟒
 2.45)c 
2.46)b 2.47)d 2.48)a 2.49)a 2.50)a 2.51)d 
 
 
(Aula 4 – parte 1) 
Módulo 3: Interpretação Geometrica da Derivada e Aplicações 
 
“A matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, como também para auxiliar 
as artes e poupar trabalho aos homens.” (Descartes) 
“Sem a matemática, não poderia haver astronomia; sem os recursos maravilhosos da astronomia, seria completamente 
impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade.”(Amoroso Costa) 
“A Matemática é a inabalável base das ciências e a abundante fonte do progresso nos negócios humanos.”(Barrow) 
 
Interpretação geométrica da derivada: neste módulo, vamos apresentar a solução do problema da reta 
tangente a uma curva, utilizando as regras de derivação, obtendo a equação dessa reta, através da taxa de 
variação instantânea da função num ponto de seu domínio. 
Exemplos Resolvidos: 
3.A) Seja f(x) = x2 – 3x, calcule f´(2). 
Primeiro derivamos a função dada: 
 f´(x) = 2x – 3 
Agora calculamos f´(2): 
 f´(2) = 2 . 2 – 3 
 f´(2) = 4 – 3 
 f´(2) = 1 
 
3.B) Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de y = 2x² - 3x no ponto de abscissa 2? 
Inclinação da reta, é o termo “a” (coeficiente angular) da função afim. Abscissa 2, é a coordenada 2 no 
eixo x. 
 
Calculamos o coeficiente angular “a” da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x² - 3x no ponto de 
abscissa igual a 2, derivando a função da curva e usando a coordenada “x” do ponto de tangência. 
 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 
 
𝑓′(𝑥) = 4𝑥 − 3 
 
𝑓′(2) = 4 ∙ 2 − 3 
 
𝑓′(2) = 5 
 
Logo, a = 5. 
 
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20 
 
 
3.C) A equação da reta tangente ao gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto de abscissa igual a 2 é 
encontrada da seguinte maneira: 
 
 
Calculamos o coeficiente angular “a” da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto de abscissa 
igual a 2, derivando a função da curva e usando a coordenada “x” do ponto de tangência. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
 
𝑓′(2) = 2.2 = 𝟒 = 𝒂 
 
Calculamos o coeficiente linear “b” da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto de abscissa 
igual a 2, sabendo que na função 𝑓(𝑥) = 𝑥2, quando “x” vale 2, “y” vale 4, portanto o ponto (2 ; 4) pertence 
a reta tangente. Substituindo na equação 𝒚 = 𝒂. 𝒙 + 𝒃 temos: 
 
4 = 4.2 + 𝑏 ⇒ 𝒃 = −𝟒 
 
Logo a equação da reta tangente ao gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 no ponto de abscissa igual a 2 é: 
 
𝒚 = 𝟒𝒙 − 𝟒 
 
3.D) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico 
da função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 no ponto de abscissa 3. 
 
 
 
Coeficiente angular: 
𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 4 
𝑓′(3) = −2.3 + 4 = −𝟐 = 𝒂 
Coeficiente linear: 
O ponto (3, 3) pertence à reta r. 
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 
3 = −2.3 + 𝑏 ⇒ 𝒃 = 𝟗 
A equação da reta tangente é: 𝒚 = −𝟐𝒙 + 𝟗 
 
3.E) Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² + 2x no ponto de abscissa 1? 
 
Abcissa 1, significa que “x” é igual a 1. Quando “x” é igual a 1, “y” é igual a: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 
𝑓(1) = 12 + 2 ∙ 1 
𝑓(1) = 3 
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21 
 
 
Logo, queremos saber qual é a equação da reta, tangente ao gráfico de f(x) = x² + 2x (o qual é uma 
parábola), no ponto (1 ; 3), pertencente a essa parábola. 
 
Para acharmos o coeficiente angular “a” da reta tangente a parábola da função f(x) = x² + 2x no ponto (1 ; 3), 
derivamos f(x) e calculamos f´(1). 
 
Então, derivando f(x) = x² + 2x, temos: 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2. 
 
E o coeficiente angular “a” quando x = 1 é: 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 + 2 
𝑓′(1) = 2 ∙ 1 + 2 = 4 
 
Agora, achamos o coeficiente linear “b” pela fórmula geral: y = ax +b, sendo a = 4 e “x” e “y”, o ponto (1 ; 
3). 
𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃 
 
3 = 4 ∙ 1 + 𝑏 
 
𝒃 = −𝟏 
Portanto, a equação é y = 4x – 1. 
 
Enfim, para achar o coeficiente angular “a”, no ponto de abscissa 1, basta derivar a função e calcular f´(1), 
depois pela fórmula geral, achamos o coeficiente linear “b” e temos a equação da reta tangente ao gráfico de 
f(x) = x² + 2x no ponto de abscissa 1. 
 
3.F) Dado a função f(x) = √𝑥 , determine: 
 
a) a equação da reta tangente ao gráfico de f , no ponto P(4;2). 
 
b) a reta normal ao gráfico de f, no ponto P (4,2). Observação: A reta normal é a reta perpendicular à reta 
tangente neste ponto e, portanto, seu coeficiente angular satisfaz: an = – 1/ at (o coeficiente angular da reta 
normal é igual ao inverso negativo do coeficiente angular da reta tangente). 
 
Solução: 
a) A equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dado por f ´(4), logo, a = ¼ e b = 1, portanto a 
equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P é dada por y = x/4 + 1. Cujo gráfico está abaixo: 
 
b) O termo “a” da equação da reta normal, por sua vez, é dado por 𝒂𝒏 =
−𝟏
𝒂𝒕
 , onde at é o coeficiente angular 
da reta tangente, dessa forma temos: an = – 1/ at = -4 e y = anx + b → 2 = -4 . 4 + b onde b = 18, logo y 
= – 4x +18. 
 
Quando uma função não tem derivada em um ponto: Nem toda função é derivável. A ilustração abaixo 
mostra algumas situações nas quais uma função não será derivável em um ponto: retas tangentes verticais, 
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22 
 
 
descontinuidades e mudanças bruscas formando "bicos" no gráfico. Assim, cada uma das funções mostradas 
abaixo, é derivável para todos os valores de x, exceto em x = 0. 
 
 
 
Observe no segundo gráfico que se "as bolinhas estivessem ambas abertas" não seria função, já que para x= 
0 não haveria imagem. A menos que fosse feita uma definição da função para x = 0, que não ocorre, pois 
somente o gráfico é fornecido. Nesse caso os limites laterais à esquerda e à direita do zero (x=0) são 
diferentes, logo não existe o limite para x tendendo a zero. Tal função não é contínua no ponto zero. 
 
Uma conseqüência imediata da interpretação geométrica da derivada é que uma função só é derivável (ou 
diferenciável) em um ponto de seu domínio se existir uma reta tangente ao seu gráfico por este ponto, ou 
seja, o gráfico da função neste ponto não apresenta comportamento pontiagudo. Estendendo este raciocínio a 
todos os pontos do domínio da função, notamos que o gráfico de uma função diferenciável é uma curva 
suave, sem nenhum pico “pontudo”. Assim, a função apresentada na figura abaixo, por exemplo, não é 
diferenciável em x0, ou seja, neste ponto não existe a sua derivada, pois por (x0, f(x0) não passa uma única 
reta tangente. 
 
 
Exercícios de Derivadas – Interpretação Geométrica: 
 
3.1) Seja y = x³ + 4x, calcule y´(1). 
 
3.2) Seja a função y = x², ache sua derivada no ponto x = 3, ou seja, f´(3). 
 
3.3) Qual a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = 6x² - 3x no ponto de abscissa 1? 
a)12 b)9 c)3 d)-6 e)-9 
 
3.4) Qual é aequação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x² + 2x no ponto de abscissa 1? 
a) y = 4x - 1 b) y = 2x - 1 c) y = 2x - 1 d) y = -4x + 1 e) y = 2x + 1 
 
3.5) Determine as equações da reta tangente e da reta normal à curva y = x² + 5x + 4, no ponto (-2 ; -2). 
 
3.6) Escreva a equação da tangente e da normal às curvas seguintes nos pontos pedidos: 
a)
xy =
 no ponto cuja abscissa vale x = 4; 
b)
343 2 +−= xxy
 no ponto (1;2). 
 
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23 
 
 
Gabarito: 3.1)7 3.2)6 3.3)b 3.4)a 3.5)y = x e y = - x - 4 3.6)a)x/4 + 1 e y = -4x + 18 b)y = 2x e y = -
x/2 + 5/2 
(Aula 5 – parte 1) 
Derivadas Sucessivas 
 
A derivada 𝑓′ indica a primeira derivada de f, ou derivada de primeira ordem. 
 
A derivada 𝑓′′ (que é derivada de 𝑓′) indica a segunda derivada de f, ou derivada de segunda ordem. 
 
A derivada de 𝑓′′, terceira derivada de f, representa-se por 𝑓′′′. 
 
Continuando este processo, obtemos as derivadas de ordem superior, a derivada 𝑓′. 
 
Exemplo Resolvido: 
3.H) Para a função original f(x) = 2x4 − 3x2, temos: 1ª Derivada 𝑓′ (x) = 8x3 – 6x 2ª Derivada 𝑓′′ (x) = 
24x2 – 6 3ª Derivada 𝑓′′′ (x) = 48x 4ª Derivada 𝑓′′′′ (x) = 48 5ª Derivada 𝑓′′′′′ (x) = 0 6ª Derivada 
em diante é zero. 
 
A enésima derivada pode ser indicada por f(n) ou y(n). 
 
 
 
Velocidade média, velocidade instantânea e aceleração instantânea 
 
Para entender melhor esta diferença vamos analisar um movimento uniformemente variado. Um carro parte 
do repouso (velocidade inicial zero) e percorre 100m em 10s. Qual a velocidade média deste móvel nos 10s 
de movimento? 
 
Sabemos que a variação de espaço do móvel foi de 100m e a variação de tempo do móvel foi de 10s, logo, a 
velocidade média é dada por: 
 
Vm = ∆S/∆t = 100m / 10s = 10m/s 
 
A velocidade média do móvel foi de 10m/s. Isto não significa que ele estava sempre com velocidade 10m/s, 
já que parte do repouso (velocidade inicial zero) e ao longo do percurso aumenta sua velocidade. 
 
Para saber a velocidade instantânea do móvel no instante 6 s, sabendo que a aceleração do mesmo é de 
2m/s2, devemos utilizar a função da velocidade para o movimento uniformemente variado V = Vo + a . t 
 
Substituindo os valores fornecidos, temos: 
 
V = Vo + a . t = 0 + 2 . 6 = 12 m/s 
 
Logo, a velocidade do móvel no instante 6s é igual a 12m/s e esta pode ser chamada de velocidade 
instantânea já que se refere ao instante 6s. 
Mas, se o exercício nos fornecesse apenas a função da posição para o movimento uniformemente variado S 
= So + Vo . t + (a . t²)/2, teríamos que derivar a função da posição, para obter a função da velocidade, pois a 
derivada do espaço pelo tempo, chamamos velocidade e denotamos por: 
V(t) = 𝑆′ (t) 
 
Logo, para a situação acima, a função da posição é S = t² e a função da velocidade é V = 2t. 
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24 
 
 
Ou seja, se S(t) for a função que representa a posição de um objeto que se move numa linha reta, então a 
velocidade V(t) do objeto no instante t é dado por V(t) = 𝑆′ (t). 
OBS.: Um valor negativo da velocidade é interpretado como movimento no sentido oposto. 
 
Dessa forma, a posição de um ponto material que se move sobre uma curva conhecida pode ser determinada 
em cada instante t através da sua abcissa curvilínea S. Ou seja, a velocidade exprime a taxa de variação 
instantânea da abcissa S em relação ao tempo, essa taxa de variação é chamada de derivada. 
 
Exemplos Resolvidos: 
3.I) Quando uma bola é atirada ao ar, a sua posição pode ser medida como a distância vertical em relação ao 
chão. Seja s(t) a altura da bola em metros, depois de t segundos do lançamento, sendo que o movimento 
obedece a função s(t) = -16t² + 128t + 5, conforme o gráfico abaixo, calcule a velocidade da bola no instante 
2 segundos. 
 
Como a velocidade é a derivada do espaço pelo tempo, obtemos v(t) = -32t + 128, substituindo t = 2, 
obtemos 64, ou seja 64 metros por segundo. 
 
3.J) A posição de uma partícula é dada pela equação 𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 4𝑡2 + 12𝑡, onde t é medido em segundos 
e S em metros. Para determinar a posição da partícula no instante em t = 3 segundos, basta substituir t = 3 na 
função 𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 4𝑡2 + 12𝑡, veja a seguir: 
 
𝑆(𝑡) = 33 − 4. 32 + 12.3 = 27 metros. 
 
Mas para determinar a velocidade da partícula no instante t = 3 segundos, devemos primeiramente achar a 
derivada da função 𝑆(𝑡) = 𝑡3 − 4𝑡2 + 12𝑡, pois velocidade é a variação do espaço pelo tempo, ou seja, 𝑉 =
𝑑𝑆
𝑑𝑡
. 
𝑉 =
𝑑𝑆
𝑑𝑡
= 3𝑡2 − 8𝑡 + 12 
𝑉(3) = 3. 32 − 8.3 + 12 = 15 𝑚/𝑠 
 
Aceleração Instantânea 
 
A derivada da velocidade chamamos aceleração e denotamos por a(t) = v’(t), note que a aceleração é a 
segunda derivada de s(t), ou a primeira derivada de v(t), ou seja: 
a(t) = 𝑆′′ (t) = 𝑣′ (t) 
3.K) Quando uma bola é atirada ao ar, a sua posição pode ser medida como a distância vertical em relação 
ao chão. Seja s(t) a altura da bola em metros, depois de t segundos do lançamento, sendo que o movimento 
obedece a função s(t) = t3 + 8t² + 5, calcule a aceleração da bola no instante 2 segundos. 
v(t) = 𝑆′ (t) = 3t² + 16t 
 
a(t) = 𝑣′ (t) = 6t + 16 
 
a(2) = 6 . 2 + 16 = 28 m/s² 
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25 
 
 
3.L) Uma partícula se desloca segundo a equação 𝑠 = 𝑡3 + 7𝑡2 + 8𝑡, onde s é dado em km e t em segundos, 
determine a localização, a velocidade e a aceleração decorridos 3 segundos. 
Localização: s(3) = 114 km Velocidade: v(3) = 77 km/s Aceleração: a(3) = 32 km/s² 
 
3.M) Um móvel se desloca segundo a equação 𝑠 = 2𝑡3 − 3𝑡2 + 20𝑡 − 8, determine sua localização, 
velocidade e tempo necessário para que sua aceleração atinja 18m/min². 
Tempo: a(t) = 𝑆′′ (t) → 18 = 12t – 6 → t = 2 minutos 
 
Localização: s(2) = 36 m Velocidade: v(2) = 32 m/min 
 
Exercícios de Derivadas – Velocidade e Aceleração Instantânea: 
3.8) Uma partícula percorre uma curva obedecendo a equação horária 𝑆 = 3𝑡2 (no SI). Determine a sua 
velocidade no instante t = 5 segundos. 
 
3.9) Um ponto em movimento obedece a equação horária 𝑆 = 𝑡2 + √𝑡 (no SI). Determine a sua velocidade 
no instante t = 1 segundo. 
 
3.10) Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão 𝑉 = √𝑡
3
 (no SI). Encontre a 
sua aceleração no instante t = 8 segundos. 
 
3.11) Um ponto em movimento tem velocidade variável segundo a expressão 𝑆 = 𝑡4 (no SI). Determine a 
sua aceleração no instante t = 2 segundos. 
 
3.12) Uma bola é jogada para cima, a partir do solo, e sua altura em um instante t é dada por s(t) = -5t² + 15t, 
onde s é dado em metros e t em segundos. Qual a velocidade no instante t = 1s? 
a) 3 m/s b) 10 m/s c) 5 m/s d) 14 m/s e) 20 m/s 
 
3.13) Uma bola é jogada para cima, a partir do solo, e sua altura em um instante t é dada por s(t) = 2t2 + t, 
onde s é dado em metros e t em segundos. Qual a velocidade no instante t = 5s? 
a)3 m/s b)10 m/s c)5 m/s d)12 m/s e)21 m/s 
 
3.14) Uma pedra é atira para cima, sua altura (em metros) após t segundos é dada por s(t) = 12t - 1,5t². 
Considere as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta: 
I. A altura da pedra no instante t = 2 segundos é igual a 18 metros. 
II. A velocidade da pedra no instante t = 2 segundos é igual a 6 m/s. 
III. A pedra retorna ao solo no instante t = 8 segundos. 
 
a)Todas as afirmações estão corretas. b)Todas as afirmações estão incorretas. c)Apenas a afirmação I 
está correta.d)Apenas as afirmações II e III estão corretas. e)Apenas as afirmações I e II estão corretas. 
 
3.15) Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição s (em metros) no instante t (em 
segundos) é dada pela função s(t) = t³ -4t² + 8t + 10. Qual é a velocidade do corpo no instante t = 2 
segundos? 
a)2m/s b)4m/s c)18m/s d)5m/s e)6m/s 
 
3.16) Um corpo se move em linha reta de tal maneira que sua posição (em metros) no instante t (em 
segundos) é dada por s(t) = t3 - 10t2 + 8t + 3. Qual é a aceleração do corpo no instante t? 
a)a(t)=10t-12 (m/s2) b)a(t)=3t2-20t+8 (m/s2) c)a(t)=6t-20 (m/s2) d)a(t)=3t2+2t(m/s2) e)a(t)=t4/4-10t3 
 
3.17) Determine a derivada de 4ª ordem das funções abaixo: 
a) f(x) = 2x4 − 3x2 b) f(x) = 2x5 − 3x3 c) f(x) = x7 − 2x4 d) f(x) = x3 − 2x5 
 
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26 
 
 
Gabarito: 3.8)30 m/s 3.9)2,5 m/s 3.10)1/12 m/s² 3.11)48 m/s² 3.12)c 3.13)e 3.14)a 3.15)b 3.16)c 
3.17)a)48 b)240x c)840x3 – 48 d)-240x 
 
(Aula 6 – parte 1) 
Derivada: Taxa de variação 
 
Os conceitos de velocidade e aceleração vistos acima, aplicam-se apenas as funções cuja variável 
independente seja o tempo. Para funções quaisquer, o conceito análogo é de taxa de variação. 
 
Exemplos Resolvidos: 
 
3.N) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume de água no reservatório, em 
litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por 𝑉(𝑡) = 10𝑡2 − 500𝑡 + 10.000. Calcule: 
 
a)O volume de água no reservatório no instante t = 2 horas. 
𝑽(𝒕) = 𝟏𝟎 ∙ 𝟐𝟐 − 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝟐 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎 = 𝟗𝟎𝟒𝟎 Litros. 
 
b)A taxa de variação do volume de água no reservatório após 2 horas do escoamento. 
A derivada do volume em litros, é a vazão ou taxa de variação em L/h. Quanto menor a quantidade de 
líquido no tanque, menor a vazão, devido a pressão. 
𝑽′(𝒕) = 𝟐𝟎𝒕 − 𝟓𝟎𝟎 
𝑽′(𝟐) = 𝟐𝟎 ∙ 𝟐 − 𝟓𝟎𝟎 = −𝟒𝟔𝟎 𝑳/𝒉 (ou seja vazão), o valor é negativo, pois o tanque está sendo 
esvaziado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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27 
 
 
3.O) O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 4 m/s. Com que taxa estará 
variando o volume da esfera no instante em que o raio é igual a 1 metro? 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
1º Passo: Figura (desenho esquemático). 
 
2º Passo: Definição das variáveis. 
t → tempo (em seg.) com que a esfera esta aumentando. 
r → raio (em m) com que a esfera esta crescendo. 
V → volume (em m³) da esfera que esta se formando. 
 
3º Passo: Definição das derivadas. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 → derivada do volume no tempo. 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → derivada do raio no tempo. 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 → derivada do volume em relação ao raio. 
 
4º Passo: Fatos numéricos conhecidos. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 = ? 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 = 4 m/s (a derivada do raio no tempo, foi dado no enunciado do exercício). 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 = 
4
3
𝜋𝑟3 = 3 ∙
4
3
𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑟2 (a derivada do volume em relação ao raio, é obtida, derivando-se a fórmula do 
volume da esfera). Perceba que foi dado o volume da esfera em função do raio 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 → 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 e a derivada 
do volume é a área, logo, a área da esfera é: A = 4𝜋𝑟2 
 
5º Passo: Usar a regra da cadeia, com a notação de Leibniz. 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2 ∙ 4 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 16𝜋𝑟2 
 
Logo, no instante em que o raio é 1 m, temos: 16 . π . 1² = 16π m³/s 
 
 
 
 
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28 
 
 
3.P) Uma bola de neve está se formando de tal modo que seu volume cresça a uma taxa de 8cm³/min. Ache a 
taxa segundo a qual o raio esta crescendo quando a bola de neve tiver 4cm de diâmetro. 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
1º Passo: Figura (desenho esquemático). 
 
 
2º Passo: Definição das variáveis. 
t → tempo (em seg.) com que a esfera esta aumentando. 
r → raio (em m) com que a esfera esta crescendo. 
V → volume (em m³) da esfera que esta se formando. 
 
3º Passo: Definição das derivadas. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 → derivada do volume no tempo. 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → derivada do raio no tempo. 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 → derivada do volume em relação ao raio. 
 
4º Passo: Fatos numéricos conhecidos. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 = 8 cm³/min. 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 = ? 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 = 
4
3
𝜋𝑟3 = 3 ∙
4
3
𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑟2 
 
5º Passo: Usar a regra da cadeia, com a notação de Leibniz. 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 8 = 4𝜋𝑟2 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 
 
Logo, no instante em que a bola de neve tiver 4 cm de diâmetro, temos r = 2 cm, substituindo: 
 
8 = 4𝜋22 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 8 = 16𝜋 ∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 
8
16𝜋
=
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
=
1
2𝜋
𝑐𝑚/𝑚𝑖𝑛. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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29 
 
 
3.Q) Está sendo inflado um balão esférico. Seu raio cresce a uma taxa de 0,02 m/s. Qual é a taxa de variação 
do seu volume, em m³/s, no instante em que seu raio vale 3 metros? 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
1º Passo: Figura (desenho esquemático). 
 
2º Passo: Definição das variáveis. 
t → tempo (em seg.) com que o balão esta sendo inflado. 
r → raio (em m) com que o balão esta crescendo. 
V → volume (em m³) do balão que esta se formando. 
 
3º Passo: Definição das derivadas. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 → derivada do volume no tempo. 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → derivada do raio no tempo. 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 → derivada do volume em relação ao raio. 
 
4º Passo: Fatos numéricos conhecidos. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 = ? 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 = 0,02 m/s (a derivada do raio no tempo, foi dado no enunciado do exercício). 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑟
 = 
4
3
𝜋𝑟3 = 3 ∙
4
3
𝜋𝑟2 = 4𝜋𝑟2 (a derivada do volume em relação ao raio, é obtida, derivando-se a fórmula do 
volume da esfera). 
 
5º Passo: Usar a regra da cadeia, com a notação de Leibniz. 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 4𝜋𝑟2 ∙ 0,02 → 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= 0,08𝜋𝑟2 
 
Logo, no instante em que o raio é 3 m, temos: 0,08 . π . 3² = 0,08 . π . 9 = 0,72π m³/s 
 
Também poderíamos terminar esse exercício, da seguinte forma: 0,08 . π . 9 = 
8
100
 . π . 9 = 
72𝜋
100
=
𝟏𝟖𝝅
𝟐𝟓
𝒎𝟑/𝒔 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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30 
 
 
3.R) Um balão esférico está sendo inflado de tal forma que seu volume aumente a uma taxa de 5m³/min. 
Qual a taxa de crescimento do diâmetro quando ele mede 12m? 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
1º Passo: Figura (desenho esquemático). 
 
2º Passo: Definição das variáveis. 
t → tempo (em min.) com que o balão esta sendo inflado. 
d → diâmetro (em m) do balão esférico. 
V → volume (em m³) do balão esférico. 
 
3º Passo: Definição das derivadas. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 → derivada do volume no tempo. 
 
 
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 → derivada do diâmetro no tempo. 
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑑
 → derivada do volume em relação ao diâmetro. 
 
 
 
4º Passo: Fatos numéricos conhecidos. 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
 = 5 m³/min. 
 
 
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 = ? 
 
Ajustando a fórmula do volume em função do diâmetro, temos: 
 
4
3
𝜋𝑟3 = 
4
3
𝜋 (
𝑑
2
)
3
= 
4
3
𝜋𝑑3
8
 = 
1
3
𝜋
𝑑3
2
 = 
𝒅𝟑𝝅
𝟔
 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑑
 = 3
𝑑2𝜋
6
 = 
𝑑2𝜋
2
 
 
5º Passo: Usar a regra da cadeia, com a notação de Leibniz. 
 
𝑑𝑉
𝑑𝑡
=
𝑑𝑉
𝑑𝑑
∙
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 → 5 =
𝑑2𝜋
2
∙
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 
 
Logo, no instante em que o balão tiver 12 m de diâmetro, substituindo: 
 
5 =
122𝜋
2
∙
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 → 5 = 72𝜋 ∙
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 → 
5
72𝜋
=
𝑑𝑑
𝑑𝑡
 → 
𝑑𝑑
𝑑𝑡
=
5
72𝜋
𝑚/𝑚𝑖𝑛. 
 
 
 
 
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31 
 
 
3.S) O raio de uma circunferência cresce à razão de 15 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da 
circunferência (c = 2πr) em relação ao tempo? 
 
1º Passo: Figura (desenho esquemático). 
 
 
2º Passo: Definição das variáveis. 
t → tempo (em seg.) com que a circunferência aumenta. 
r → raio (em cm) da circunferência. 
C → Comprimento “contorno” (em m) da circunferência. 
 
3º Passo: Definição das derivadas. 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
 → derivada do comprimento no tempo. 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → derivada do raio no tempo. 
 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑟
 → derivada do comprimento em relação ao raio. 
 
4º Passo: Fatos numéricos conhecidos. 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
 = ? 
 
 
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 = 15 cm/s (a derivada do raio no tempo, foi dado no enunciado do exercício). 
 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑟
 = 2πr = 2π (a derivada do comprimento em relação ao raio, é obtida, derivando-se a fórmula do 
comprimento da circunferência). 
 
5º Passo: Usar a regra da cadeia, com a notação de Leibniz. 
 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
=
𝑑𝐶
𝑑𝑟
∙
𝑑𝑟
𝑑𝑡
 → 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 2𝜋 ∙ 15 → 
𝑑𝐶
𝑑𝑡
= 30𝜋 𝑐𝑚/𝑠 
 
 
E X E M P L O S C O M P L E M E N T A R E S 
 
3.T) No decorrer de uma experiência, derrama-se um líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o 
líquido vertido recobre uma região circular e o raio desta região aumenta uniformemente, qual será a taxa de 
crescimento da área ocupada pelo líquido, em relação à variação do raio, quando o raio for igual a 5 cm ? 
 
A taxa de crescimento da área é a sua taxa de variação. Como a área varia com o raio, seja A(r) = πr² a área 
de um círculo de raio r. A sua taxa de crescimento será portanto, dada por A’(r). Considerando um raio r 
qualquer, teremos: 
 
𝐴′ (r) = 2 πr 
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32 
 
 
Quando r = 5, então A’(5) = 10π, ou seja, a área aumenta 10π cm² para cada cm de aumento do raio, quando 
o raio mede 5 cm. Em outras palavras, a taxa de crescimento da área é de 10π cm²/r. 
 
Perceba que a função quadrática A(r) = πr², foi transformada numa função afim A’(r) = 2 πr, pois o 
perímetro é uma medida linear. 
 
Exercícios de Derivadas – Taxa de Variação: 
3.18) Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, é dado por V(t) = 
3t³ + 5t litros, t sendo dado em minutos. Qual é a derivada do volume em função do tempo no instante t = 
2min? 
a) 50 L/min b) 34 L/min c) 12 L/min d) 41 L/min e) 10 L/min 
 
3.19) Suponha que a quantidade de carga elétrica Q (em Coloumb) que passa através de um fio até o instante 
t (em segundos) é dada por Q(t) = t3 -3t2 + 4t + 1. Qual é a intensidade de corrente elétrica quando t=1s? 
(corrente elétrica é derivada da carga elétrica pelo tempo: i = 
𝑑𝑄
𝑑𝑡
 ) 
a)2A. b)3A. c)1A d)12A. e)25A. 
 
3.20) Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no isntante t, é dado por v(t) = 
4t² + 3t litros, t sendo dado em minutos. Qual a taxa de variação do volume de água no instante t = 3 
minutos? 
a)45 L/min b)21 L/min c)4 L/min d)27 L/min e)17 L/min 
 
3.21) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O volume de água no reservatório, em 
litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por V(t) = 20t2 - 1200t + 18000. Qual é a taxa de 
variação do volume de água no reservatório no instante t = 2 horas? 
a)11200 L/h b)-1120 L/h c)15680 L/h d)80 L/h e)-15680 L/h 
 
3.22) Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza. O Volume de água no reservatório, em 
litros, t horas após o escoamento ter começado é dado por 𝑉(𝑡) = 15𝑡2 − 750𝑡 + 9375. Calcule: 
 
a)o volume de água no reservatório no instante t = 2 horas; 
b)a taxa de variação do volume de água no reservatório após 2 horas do escoamento. 
 
3.23) Uma torneira lança água em um tanque. O volume de água no tanque, no instante t, é dado por V(t) = 
2t3 + t litros, t sendo dado em minutos. Qual a vazão da água no instante t = 3min? 
a)55 L/min b)34 L/min c)12 L/min d)41 L/min e)10 L/min 
 
3.24) Está sendo inflado um balão esférico. Seu raio cresce a uma taxa de 1/4 m/s. Qual é a taxa de variação 
do seu volume, em m³/s, no instante em que seu raio vale 5 metros? 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
a)0,72π b)0,36π c)0,18π d)0,45π e)25π 
 
3.25) O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante de 2 m/s. Com que taxa estará 
variando o volume da esfera no instante em que o raio é igual a 3 metros? 𝐷𝑎𝑑𝑜: 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 
a)6π m³/s b) 16π m³/s c)8 π m³/s d)
8
3
 π m³/s e) 72π m³/s 
 
3.26) O raio de uma circunferência cresce à razão de 8 cm/s. Qual a taxa de crescimento do comprimento da 
circunferência (C = 2πr) em relação ao tempo? 
a)
𝑑𝐶
𝑑𝑇
=15 cm/s b) 
𝑑𝐶
𝑑𝑇
=20π cm/s c) 
𝑑𝐶
𝑑𝑇
=16 π cm/s d) 
𝑑𝐶
𝑑𝑇
= 30 cm/s e) 
𝑑𝐶
𝑑𝑇
=30π cm/s 
 
Gabarito: 3.18)d 3.19)c 3.20)d 3.21)b 3.22)a)7935L b)-690L/h 3.23)a 3.24)e 3.25)e 3.26)c 
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33 
 
 
(Aula 7 – parte 1) 
Máximos e Mínimos de uma função 
 
Um ponto x, tal que 𝑓′(x) = 0 é chamado de ponto crítico de f. 
 
Se 𝑓′′ (x) > 0, então x é ponto de mínimo local de f. 
 
 
Se 𝑓′′ (x) < 0, então x é ponto de máximo local de f. 
 
 
Os pontos de mínimo local e máximo local, encontram-se no eixo “x”, substituindo esses pontos em f(x), 
determinamos os máximos locais e mínimos locais, os quais encontram-se no eixo “y”. 
 
Exemplos Resolvidos: 
3.U) Na função 𝑓(𝑥) = −4,5𝑥2 + 18𝑥. Usando os conhecimentos aprendidos em derivadas, determine o 
ponto crítico de f e diga se esse ponto é de máximo ou de mínimo. 
 
Se ao invés de usarmos os conhecimentos algébricos 
de derivadas, fizermos um esboço do gráfico, ao 
lado, percebemos que o ponto crítico é 2 e esse é o 
ponto máximo da função. Também poderámos achar 
a raíz da equação -4,5𝑥2 + 18𝑥 = 0, que é 2 e, 
como o termo “a” da função é negativo, a parábola 
tem a concavidade voltada para baixo, portanto o 2 é 
ponto de máximo. Mas, a ideia é descobrir essas 
informações, sem fazer o gráfico e, usando 
derivadas, para facilitar futuras resoluções, como no 
exemplo 2. 
 
 
Para acharmos o ponto crítico de 𝑓(𝑥) = −4,5𝑥2 + 18𝑥, calculamos 𝑓´(𝑥) = 0: 
𝑓´(𝑥) = −9𝑥 + 18 
−9𝑥 + 18 = 0 
𝒙 = 𝟐 
 
Para descobrir se o 2 é ponto de mínimo ou de máximo, calculamos 𝑓′′(2): 
𝑓′′(2) = −9 
Como 𝑓′′(2) < 0, então x = 2 é ponto de máximo. 
 
 
3.V) Na função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1, representada no gráfico abaixo: 
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34 
 
 
 
Vamos calcular algebricamente, os pontos críticos, os pontos de máximo e de mínimo local (eixo x) e os 
máximos e mínimos locais (eixo y), para que futuramente não seja necessário a construção de um gráfico,para obter esses valores. 
 
Os pontos críticos de f, são calculados, através de 𝑓′ (x) = 0. Como 𝑓′ (x) = 3x² - 12x + 9, temos: x’ = 1 e x’’ 
= 3. Veja no gráfico acima, que realmente, o maior e o menor valor do gráfico, estão em x = 1 e x = 3. 
 
Agora, vamos determinar se os pontos encontrados anteriormente são pontos de máximo ou de mínimo local 
(eixo x). 
 
Os pontos de máximo e de mínimo local (eixo x), são calculados, através de 𝑓′′ (x) para os pontos críticos 
encontrados acima, ou seja, 𝑓′′ (1) e 𝑓′′ (3). Como 𝑓′′ (x) = 6x - 12, temos: 𝑓′′ (1) = -6 (negativo é 
máximo), como -6 < 0, 1 é ponto de máximo local e f´’(3) = 6 (positivo é mínimo), como 6 > 0, 3 é ponto 
de mínimo local. Veja no gráfico acima, que realmente, para x =1 temos o maior ponto do gráfico e para x = 
3, temos o menor ponto do gráfico, no eixo y. 
 
Agora, vamos determinar os máximos e mínimos locais (eixo y). 
 
Os máximos e mínimos locais (eixo y), são calculados, através de f(x) dos pontos críticos. Como f(x) = x³ - 
6x² + 9x + 1, temos f(1) = 5 e f(3) = 1. Veja no gráfico acima, que realmente, para x =1 temos y = 5 e para x 
= 3 temos y = 1. Isso já foi visto no início de funções (dado x, calcule f(x)). 
 
3.W) Para a função f(x) = x³ - 
15
2
x² + 18x, determine: 
a) os pontos críticos de f; 
 
Os pontos críticos de f, são calculados, através de f´(x) = 0. Logo, para 3x² - 15x + 18 = 0, temos: x’ = 2 e 
x’’ = 3. 
 
b) os pontos de máximo local e mínimo local; 
 
Os pontos de máximo e de mínimo local (eixo x), são calculados, através de 𝑓′′ (x) para os pontos críticos 
encontrados acima, ou seja, 𝑓′′ (2) e f´’(3). Como 𝑓′′ (x) = 6x - 15, temos: 𝑓′′ (2) = -3, como -3 < 0, 2 é 
ponto de máximo local e 𝑓′′ (3) = 3, como 3 > 0, 3 é ponto de mínimo local. 
 
c) os máximos locais e os mínimos locais. 
 
Os máximos e mínimos locais (eixo y), são calculados, através de f(x) dos pontos críticos. Como f(x) = x³ - 
15
2
x² + 18x, temos f(2) = 14 e f(3) = 
𝟐𝟕
𝟐
. 
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35 
 
 
Aplicações de Máximos e Mínimos 
 
3.X) A equação da velocidade “v” (em m/s) de um ponto material em função do tempo “t” (em segundos) é 
dado por 𝑣(𝑡) = −3𝑡² + 12𝑡. Usando os conhecimentos aprendidos em derivadas, determine o instante no 
qual a velocidade do ponto material é máxima e a velocidade máxima. 
Temos velocidade máxima, quando: 𝒗′(𝒕) = 𝟎 
−𝟔𝒕 + 𝟏𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒕 = 𝟐 segundos 
Assim temos que a velocidade máxima ocorre no instante 𝑡 = 2 segundos e a velocidade máxima é igual a: 
𝒗(𝟐) = −𝟑. 𝟐𝟐 + 𝟏𝟐. 𝟐 = 𝟏𝟐 m/s 
 
Exercícios de Derivadas – Máximos e Mínimos de uma função: 
 
3.27) Suponha que a equação da velocidade v(em m/s) de um ponto material em função do tempo t (em 
segundos) seja dada por v(t) = -4t² + 16t. Em qual instante a velocidade do ponto material é máxima? Qual é 
essa velocidade máxima? 
a)t=4 s e V=16 m/s b)t=6 s e V=10 m/s c)t=2 s e V=16 m/s d)t=2 s e V=12 m/s e)t=2 s e V=0 m/s 
 
3.28) Suponha que a equação da velocidade v (em m/s) de um ponto material em função do tempo t (em 
segundos) seja dada por v(t) = -5t² + 25t. Qual é o instante no qual a velocidade do ponto material é 
máxima? Qual é essa velocidade máxima? 
a)t=2,5 s. vmáxima=6 m/s b)t=2 s. vmáxima=6 m/s c)t=2,5 s. vmáxima=31,25 m/s 
d)t=3 s. vmáxima=30 m/s e)t=5 s. vmáxima=50 m/s 
 
3.29) Suponha que a equação da velocidade v(em m/s) de um ponto material em função do tempo t (em s) 
seja dada por v(t) = -2t² + 32t. Em qual instante a velocidade do ponto material é máxima? Qual é essa 
velocidade máxima? 
a)t=8 s e V(máxima) =200 m/s. b)t=4 s e V(máxima) =160 m/s. c)t=8 s e V(máxima) =128 m/s. 
d)t=8 s e V(máxima) =300 m/s. e)t=4 s e V(máxima) =120 m/s. 
 
3.30) Em uma partida de futebol, um jogador lança a bola em uma trajetória tal que sua altura h(em metros) 
varia em função do tempo t(em segundos) segundo a equação h(t)= -2,5t² + 5t. Qual é o instante no qual a 
altura da bola é máxima? Qual é essa altura máxima? 
a)2 s. hmáxima= 10 m. b)1 s. hmáxima= 5 m. c)1 s. hmáxima= 2,5 m. 
d)1,5 s. hmáxima= 1,875 m. e)2,5 s. hmáxima= 3,125 m. 
 
3.31) O custo para produzir x unidades de certo produto é dado por C = x² - 80x + 3000. Nessas condições 
calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo; 
b) o valor mínimo do custo. 
 
 
 
Gabarito: 3.27)C 3.28)C 3.29)C 3.30)C 3.31)a)40 b)1400 
 
 
E X E M P L O S C O M P L E M E N T A R E S 
 
3.Y) Deseja-se cercar de muro uma área retangular de 49 m², gastando-se o menor valor possível. Dentre 
todos os retângulos de área 49 m², qual o que tem menor perímetro? 
 
Sendo x e y os lados de um retângulo de área 49 m², temos: xy = 49, ou seja, y = 49/x. 
 
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36 
 
 
O perímetro desse retângulo é: p = 2x + 2y, substituindo y por 49/x, temos: p = 2x + 2 . 49/x, ou seja, p = 2x 
+ 98/x. 
 
Considerando o perímetro p, como uma função de x, temos p(x) = 2x + 98/x e procuramos o seu mínimo. 
 
A derivada de p(x) = 2x + 98/x, é p’(x) = 2 – 98 / x². 
 
Calculando p’(x) = 0, temos: 2 – 98 / x² = 0, onde x² = 49, resulta x = 7. Como a área é dada por xy=49, 
então, y também vale 7 e, concluímos que o retângulo de perímetro mínimo é o quadrado de lado 7 m, 
lembrando que todo quadrado é um retângulo (o quadrado é um caso especial de retângulo). 
 
3.Z) Um fazendeiro tem 20 metros de arame para cercar um terreno retangular. Quais são as dimensões para 
que a área do terreno seja a maior possível? Qual é essa área máxima? 
 
Sejam x e y as medidas do retângulo. Então: 2x + 2y = 20 ou x + y = 10, logo y = 10 - x 
 
A área é: S(x) = xy = x(10 - x) = 10x – x² 
 
A derivada é: S’(x) = – 2x + 10 
 
Logo, para – 2x + 10 = 0, temos x = 5 
 
Como x + y = 10, temos y = 5 
 
Então a área xy é 5m ∙ 5m = 25m². Ou seja, as dimensões são 5m x 5m e a área máxima é 25m² 
 
Exercício Complementar: 
3.32) Um terreno retangular é cercado por 1500 m de cerca. Quais as dimensões desse terreno para que a 
sua área seja a maior possível? E qual a área máxima? 
Resposta: 375 m por 375 m; 140.625 m2 
 
(Aula 8 – parte 1) 
Módulo 4: Integrais Indefinidas e Definidas 
 
“Sem entusiasmo não há matemática.” Novalis 
“OS SINAIS + E - MODIFICAM A QUANTIDADE DIANTE DA QUAL SÃO COLOCADOS COMO O ADJETIVO MODIFICA O 
SUBSTANTIVO.” (CAUCHY) 
“Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base.” (Auguste Conte) 
 
As integrais definidas, apresentam como solução, um único valor mumérico, enquanto que as integrais 
indefinidas, apresentam infinitas soluções referentes a uma família de funções matemáticas, as quais se 
diferem apenas por uma constante ( C ). 
 
Foi analisado, no capitulo anterior, como calcular a derivada de uma função. Agora, será visto como se 
desenvolve o processo inverso, ou seja, como se determina a função matemática original a partir de sua 
derivada. A esse processo dá-se o nome de PRIMITIVAS ou INTEGRAÇÃO INDEFINIDA. 
 
Uma função F(x) é uma primitiva ou integral indefinida de f(x) em um determinado intervalo (a, b), se, e 
somente se, 𝑭′(𝒙) = 𝒇(𝒙) para todo x pertencente ao domínio de f(x). Ou seja, a Integral é o inverso da 
derivada. 
 
Exemplos Resolvidos 
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Cálculo Diferencial e Integral de uma Variável Real 
37 
 
 
4.A) Seja 𝐹(𝑥) = 2𝑥³ − 4𝑥 e 𝑓(𝑥) = 6𝑥² − 4. Verifique se F(x) é uma primitiva de f(x)? 
Para verificar se F(x) é uma primitiva