FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA Exercícios aulas 1 ao 5

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
1a aula
		
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	
	e = 3
	 
	e = 2
	
	e = 0
	
	e = 1
	
	e = -2
	
	 
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
		
	 
	Existe elemento neutro e = 0
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	Não existe elemento neutro
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
		
	
	n = k
	
	m = k
	 
	m = n
	
	m < n
	
	m > n
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 4  é um grupo ?
		
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	 
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Seja operação binária *  definida por:  a * b =  resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 16 * 4  é:
		
	
	12
	 
	0
	
	4
	
	13
	
	1
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
		
	
	e = -2
	
	e = 1
	 
	e = 3
	
	e = 6
	
	e = 4
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	5
	 
	1
	
	12
	
	4
	
	3
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y - 2
Verifique a existência de  elementos simétrizáveis.
		
	
	x-1 = 4 + x
	
	x-1 = x + 1 
	 
	x-1 = 4 - x
	
	x-1 = 1 - x
	
	x-1 = 2 - x  
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2a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11.
		
	
	630
	 
	3
	
	14
	
	35
	
	22
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11.
 
		
	 
	{(0,6)}
	
	{(2,3)}
	
	{(-14/13;119/39)}
	
	{(1,4)}
	
	{(-3,7)}
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Calcule o produto (27).(45) considerando Z10.
		
	 
	5
	
	7
	
	10
	
	3
	
	35
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações:
(I) e * x = x = x * e, para todo x.
(II) a * x = a = x * a, para todo x.
(III) x * x = e, para todo x diferente de a.
(IV) b * d = c;
(V) b, c, d são regulares.
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa.
		
	
	a
	
	c
	
	e
	 
	b
	
	d
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - 2¯  em Z3.
		
	
	e = -1¯
	
	e = 2¯
	 
	e = 1¯
	
	e = -2¯
	
	e = 3¯
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
		
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	2, 3 e 5
	 
	1, 2 e 5
	
	2, 3, 4 e 5
	
	1, 3 e 4
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2
		
	
	5
	
	6
	
	4
	 
	3
	
	7
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
		
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
	
	
	
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3a aula
		
	 
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	 1a Questão
	
	
	
	
	Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
		
	
	Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
 
	 
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z.
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x).   Logo, t-1  ∈3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos:
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉ 3Z.
Portanto,  (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *).
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G.
		
	
	C e F
	
	A e D
	 
	A e F
	
	B e C
	
	B, D e E
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
		
	
	x = c
	 
	x = f
	
	x = d
	
	x = a
	
	x = b
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Determine 2-4  em (Z, +).
		
	
	2
	
	-4
	
	8
	
	4
	 
	-8
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2.
		
	
	[2] = {2,4,6,0}
	
	[2] = {2,4,6,8}
	
	[2] = {4,6,8,0}
	
	[2] = {2,4,8,0}
	 
	[2] = {2,4,6,8,0}
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
		
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
	 
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
	
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	Considere o grupo (Z6 ,+)  e  a = 4. Determine a2 .
		
	
	16
	 
	2
	
	4
	
	1
	
	8
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	
		
	 
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	A afirmação III é falsa
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	A afirmação I é verdadeira
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4a aula
		
	 
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	 1a QuestãoSejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que:
		
	
	H∩J é um subgrupo cíclico de G.
	
	H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal.
	
	H∩J é um subgrupo abeliano de G.
	 
	H∩J é um subgrupo normal de G.
	
	H∩J não é um subgrupo de G.
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
		
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	{i, - i}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	 
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3}  subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais.
		
	
	6
	
	4
	
	1
	
	2
	 
	3
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
		
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	 
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
		
	
	H é cíclico
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	 
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
		
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	 
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	 
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	 
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	1 + H
	
	2 + H
	
	H
	 
	3 + H
	
	H + H
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5a aula
		
	 
	Lupa
	 
	 
	
Vídeo
	
PPT
	
MP3
	 
	
	 
	
	 1a Questão
	
	
	
	
	  
		
	
	(12344213)
	
	(12343124)
	
	(12342413)
	 
	(12343241)
	
	(12341432)
	
	
	
	 2a Questão
	
	
	
	
	Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os  grupos S3 e Z6  não são isomorfos.
PORQUE
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano.
		
	 
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
	
	Apenas a segunda afirmativa é verdadeira.
	
	As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira.
	
	Apenas a primeira afirmativa é verdadeira.
	
	As duas afirmativas são falsas.
	
	
	 3a Questão
	
	
	
	
	Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição:
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d).  f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo.
		
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + y = 0}
	 
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x - 5y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + y = 0}
	
	N(f) = {(x,y) ∈ RxR / x + 5y = 0}
	
	
	
	 4a Questão
	
	
	
	
	Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis.
		
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:
f(x + y) = f(x) + f(y).
	
	Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	 
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições:
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y).
	
	Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição:  f(xy) = f(x)f(y).
	
	
	
	 5a Questão
	
	
	
	
	
		
	 
	(12342314)
	
	(12343241)
	
	(12344213)
	
	(12343124)
	
	(12341432)
	
	
	
	 6a Questão
	
	
	
	
	 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta.
 
(I)    Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+)  não são  isomorfos. 
(III)  Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+)   são isomorfos.                    
                  
		
	
	I , apenas
	 
	II , apenas
	
	III , apenas
	
	II e III , apenas
	
	I e II , apenas
	
	
	
	 7a Questão
	
	
	
	
	
		
	
	(12342413)
	 
	(12344213)
	
	(12343124)
	
	(12341432)
	
	(12343241)
	
	
	
	 8a Questão
	
	
	
	
	
		
	 
	N(f) = {1}
	
	N(f) = {0}
	
	N(f) = {4}
	
	N(f) = {3}
	
	N(f) = {2}