Lista Newton e Secante

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136 MÉTODOS ABERTOS
PROBLEMAS
6.1 Use a iteração de ponto fixo simples para localizar a raiz de
f (x) 5 2 sen(√x) 2 x
Use a aproximação inicial x0 5 0,5 e itere até εa ≤ 0,001%. Veri-
fique que o processo é linearmente convergente, como descrito no
Quadro 6.1.
6.2 Determine a maior raiz real de
f (x) = 2x3 − 11,7x2 + 17,7x − 5
(a) Graficamente.
(b) Pelo método da iteração de ponto fixo (três iterações, x0 5 3).
Observação: certifique-se de desenvolver uma solução que
convirja para a raiz.
(c) Pelo método de Newton-Raphson (três iterações, x0 5 3).
(d) Pelo método da secante (três iterações, x21 5 3, x0 5 4).
(e) Pelo método da secante modificado (três iterações, x0 5 3, 
d 5 0,01).
Calcule os erros relativos percentuais aproximados para suas
soluções.
6.3 Use (a) a iteração de ponto fixo e (b) o método de Newton-
Raphson para determinar a raiz de f(x) = −x2 + 1,8x + 2,5
usando x0 = 5. Faça os cálculos até que εa seja menor do que
εs = 0,05%. Faça também uma verificação do erro na sua resposta
final.
6.4 Determine as raízes reais de f (x) 5 21 1 5,5x 2 4x2 1 0,5x3:
(a) graficamente e (b) usando o método de Newton-Raphson até
εs = 0,01%.
6.5 Use o método de Newton-Raphson para determinar uma raiz
real de f (x) 5 21 1 5,5x 2 4x2 1 0,5x3 usando aproximações ini-
ciais (a) 4,52 e (b) 4,54. Discuta e use métodos gráficos e analíticos
para explicar quaisquer peculiaridades nos seus resultados.
6.6 Determine a menor raiz real de f (x) 5 212 2 21x 1 18x2 2
2,4x3: (a) graficamente e (b) usando o método da secante para um
valor de «s correspondente a três algarismos significativos.
6.7 Localize a primeira raiz positiva de 
f (x) = sen x + cos(1 + x2) − 1
onde x está em radianos. Use quatro iterações do método da secante
com aproximações iniciais (a) xi21 5 1,0 e xi 5 3,0; (b) xi21 5 1,5
e xi 5 2,5, e (c) xi21 5 1,5 e xi 5 2,25 para localizar a raiz. (d) Use
o método gráfico para explicar seus resultados.
6.8 Determine a raiz real de x3,5 5 80, com o método da secante
modificado até «s 5 0,1% usando uma aproximação inicial x0 5
3,5 e d 5 0,01.
6.9 Determine a maior raiz real de f (x) 5 0,95x3 2 5,9x2 1 10,9x 2 6:
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações, 
xi 5 3,5).
(c) Usando o método da secante (três iterações, xi21 5 2,5 e 
xi 5 3,5).
(d) Usando o método da secante modificado (três iterações, 
xi 5 3,5 e d 5 0,01).
6.10 Determine a menor raiz real de f (x) 5 8 sen(x)e2x 2 1:
(a) Graficamente.
(b) Usando o método de Newton-Raphson (três iterações, xi 5 0,3).
(c) Usando o método da secante (três iterações, xi21 5 0,5 e xi 5 0,4).
(d) Usando o método da secante modificado (cinco iterações, 
xi 5 0,3 e d 5 0,01).
6.11 A função x3 2 2x2 2 4x 1 8 tem uma raiz dupla em x 5 2.
Use (a) Newton-Raphson padrão [Equação (6.6)], (b) Newton-
Raphson modificado [Equação (6.9a)] e (c) Newton-Raphson mo-
dificado [Equação (6.13)] para determinar a raiz em x 5 2. Com-
pare e discuta a taxa de convergência usando uma aproximação
inicial de x0 5 1,2.
6.12 Determine as raízes das seguintes equações não-lineares si-
multâneas usando (a) iteração de ponto fixo e (b) o método de
Newton-Raphson:
y = −x2 + x + 0,75
y + 5xy = x2
Use aproximações iniciais x 5 y 5 1,2 e discuta os resultados.
6.13 Determine as raízes das equações não-lineares simultâneas
(x − 4)2 + (y − 4)2 = 5
x2 + y2 = 16
Use uma abordagem gráfica para obter suas aproximações ini-
ciais. Determine estimativas refinadas com o método de Newton-
Raphson para duas equações descrito na Seção 6.5.2.
6.14 Repita o Problema 6.13, agora para
y = x2 + 1
y = 2 cos x
6.15 Um balanço de massa para um poluente em um lago bem mis-
turado pode ser escrito como
V
dc
dt
= W − Qc − kV √c
Dados os valores dos parâmetros V 5 1 3 106m3, Q 5 1 3 105 m3/ano,
W 5 1 3 106 g/ano e k 5 0,25 m0,5/g0,5/ano, use o método da secante
modificado para determinar a concentração estacionária. Use uma
aproximação inicial de c 5 4 g/m3 e d 5 0,5. Faça três iterações e de-
termine o erro porcentual relativo depois da terceira iteração.
6.16 Para o Problema 6.15, a raiz pode ser localizada com a ite-
ração de ponto fixo por 
c =
(
W − Qc
kV
)2
ou por
c = W − kV
√
c
Q
Apenas um caso convergirá para aproximações iniciais 2 , c , 6.
Escolha o correto e mostre por que ele sempre funcionará.
6.17 Desenvolva um programa amigável ao usuário para o método
de Newton-Raphson baseado na Figura 6.4 e na Seção 6.2.3. Teste-
o repetindo os cálculos do Exemplo 6.3.
6.18 Desenvolva um programa amigável ao usuário para o método
da secante baseado na Figura 6.4 e na Seção 6.2.3. Teste-o
repetindo os cálculos do Exemplo 6.6.
6.19 Desenvolva um programa amigável ao usuário para o método
da secante modificado baseado na Figura 6.4 e na Seção 6.2.3.
Teste-o repetindo os cálculos do Exemplo 6.8.
A abordagem de Newton-Raphson para duas equações pode ser generalizada para
resolver n equações simultâneas. Já que a forma mais eficiente para fazer isso envolve a
álgebra de matrizes e a resolução de equações lineares simultâneas, vamos adiar nossa
discussão da abordagem geral até a Parte Três.
PROBLEMAS 137
6.20 Desenvolva um programa amigável ao usuário para o método
de Newton-Raphson para duas equações baseado na Seção 6.5.
Teste-o resolvendo o Exemplo 6.10.
6.21 Use o programa que você desenvolveu no Problema 6.20 
para resolver os Problemas 6.12 e 6.13 até uma tolerância de 
«s 5 0,01%.
6.22 O método “divisão e média”, um método antigo para aproxi-
mar a raiz quadrada de qualquer número positivo a, pode ser for-
mulado como
x = x + a/x
2
Demonstre que isso é equivalente ao algoritmo de Newton-Raphson.
6.23 (a) Aplique o método de Newton-Raphson à função f (x) 5
tgh (x2 2 9) para calcular sua raiz real conhecida em x 5 3. Use
uma aproximação inicial x0 5 3,1 e faça um mínimo de quatro ite-
rações. (b) O método convergiu para sua raiz real? Esboce o grá-
fico, com os resultados para cada iteração identificados.
6.24 O polinômio f (x) 5 0,0074x4 2 0,284x3 1 3,355x2 2
12,183x 1 5 tem uma raiz real entre 15 e 20. Aplique o método de
Newton-Raphson a essa função usando uma aproximação inicial x0
5 16,15. Explique seus resultados.
6.25 Use o método da secante na função do círculo (x 1 1)2 1
(y 2 2)2 5 16 para encontrar uma raiz positiva. Tome sua aproxi-
mação inicial como xi 5 3 e xi21 5 0,5. Aproxime-se da solução a
partir do primeiro e quarto quadrantes. Quando calcular f (x) no
quarto quadrante, certifique-se de tomar o valor negativo da raiz
quadrada. Por que a sua solução diverge? 
6.26 Você está projetando um tanque esférico (Figura P6.26) para
armazenar água para uma pequena vila em um país em desenvolvi-
mento. O volume de líquido que ele pode armazenar pode ser cal-
culado por
V = pih2 [3R − h]
3
onde V é o volume [m3], h é a profundidade da água no tanque [m]
e R é o raio do tanque [m].
Figura P6.26
Se R 5 3 m, até qual profundidade o tanque deve ser enchido para
que armazene 30 m3? Use três iterações do método de Newton-
Raphson para determinar sua resposta. Determine o erro relativo
aproximado depois de cada iteração. Observe que uma aproxi-
mação inicial R será sempre convergente.
hV
R