Aula 4 - Equações Homogêneas - Teoria

Prévia do material em texto

Equações Diferenciais e Séries 
Professor Hans 
Aula 4: Equações Diferenciais Homogêneas e Equações Diferenciais Exatas- Teoria 
 
Equação Diferencial Homogênea 
Uma equação diferencial da forma 
 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 
 
 
É chamada homogênea se ambos os coeficientes 
M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Ou 
seja, se 
 
( , ) ( , )nM tx ty t M x y
 e 
( , ) ( , )nN tx ty t N x y
 
 
Uma equação diferencial homogênea 
( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy 
 pode ser resolvida por 
meio de uma substituição algébrica. Especificamente, 
a substituição y = ux ou x = vy, em que ‘u’ e ‘v’ são 
novas variáveis independentes, transformará a 
equação em uma equação diferencial de primeira 
ordem separável . Para ver isso, seja y = ux; então, 
sua diferencial dy = u dx + x du. Substituindo na eq. 
Homogênea, temos 
 
0])[,(),(  xduudxuxxNdxuxxM
 
 
Agora, pela propriedade de homogeneidade 
podemos escrever: 
 
(1, ) (1, )[ ] 0n nx M u dx x N u udx xdu  
 
 
Que equivale a 
 
(1, )
0
(1, ) (1, )
dx N u du
x M u uN u
 

 
 
Essa fórmula não deve ser memorizada. O 
melhor é repetir o processo sempre que necessário. 
 
Equação Diferencial Exata 
Uma expressão diferencial do tipo 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 
 
é uma diferencial exata em uma região R do plano 
xy se ela corresponde à diferencial total de alguma 
função f (x, y). 
 
 
 
Uma equação diferencial da forma 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 
 
é chamada de uma equação exata se a expressão do 
lado esquerdo é uma diferencial exata. 
 
Critério para uma Diferencial Exata 
Sejam M (x, y) e N (x, y) funções contínuas 
com derivadas parciais contínuas em uma região 
retangular R definida por a < x < b, c < y < d. Então, 
uma condição necessária e suficiente para que 
 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 
 
seja uma diferencial exata é 
 
x
N
y
M





 
 
Método de Solução 
Dada a equação 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 
 
Mostre primeiro que 
x
N
y
M





 e suponha 
que 
),( yxM
x
f



 
 
daí podemos encontrar f integrando M(x, y) com 
relação a x, considerando y constante. 
Escrevemos, 
  )(),(),( ygdxyxMyxf
 
em que a função arbitrária g (y) é a constante de 
integração. Agora, derivando f(x,y) com relação a y e 
supondo 
:),( yxNyf 
 
 




),()´(),( yxNygdxyxM
yy
f
 
Assim, 


 .),(),()´( dxyxM
y
yxNyg
 
Finalmente, integre g’(y) com relação a y e 
substitua o resultado em f(x,y). A solução para a 
equação é f (x, y) = c.