Geometria Vetorial

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Aula 2
	
 
		
	
		1.
		Qual o ângulo aproximado formado entre os vetores v = (-3,4,0) e s = (-1,2,5) ?
	
	
	
	87,88º
	
	
	66,32º
	
	
	55,68º
	
	
	76,77º
	
	
	45º
	
Explicação:
Módulo do vetor v ⇒ 5
Módulo do vetor s ⇒ √3030
v . s = (-3,4,0) . (-1,2,5) = 11
cos x = 115√3011530
x ≈ 66,32º
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Determine o valor de x para que os vetores sejam paralelos u(x,2) e v(9,6)
	
	
	
	x=7x=7
	
	
	x=8x=8
	
	
	x=3x=3
	
	
	x=5x=5
	
	
	x=1x=1
	
Explicação:
x9=26x9=26
6x=186x=18
x=186x=186
x=3x=3
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Qual o valor da soma de dois vetores perpendiculares entre si cujos módulos são 12 e 5 unidade? 
	
	
	
	s=10us=10u
	
	
	s=11us=11u
	
	
	s=12us=12u
	
	
	s=13us=13u
	
	
	s=9us=9u
	
Explicação:
122+52=|s|2122+52=|s|2
s=√164s=164
s=13us=13u
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Dados os vetores v = (2,2) e u = (0,2), calcule o ângulo entre eles
	
	
	
	45°
	
	
	49°
	
	
	47°
	
	
	46°
	
	
	48°
	
Explicação:
cosx=(2,2).(0,2)2√8=42√8cosx=(2,2).(0,2)28=428
cosx=2√8cosx=28
x=π4=45°x=π4=45°
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Calcule o ângulo entre os vetores v = (2,2) e u = (0,2).
	
	
	
	α=47°α=47°
	
	
	α=48°α=48°
	
	
	α=46°α=46°
	
	
	α=45°α=45°
	
	
	α=44°α=44°
	
Explicação:
I)|v|=√22+22=√8=2√2|u|=√02+22=√4=2II)|u|.|v|=2.2√2=4√2I)|v|=22+22=8=22|u|=02+22=4=2II)|u|.|v|=2.22=42
III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cosα=44√2cosα=1√2cosα=√22α=45°III)|v,u|=(2.0)+(2.2)|v,u|=0+4|v,u|=4IV)cos⁡α=442cos⁡α=12cos⁡α=22α=45°
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Calculando a área do paralelogramo definido pelos vetores 2u e -3v sendo u=(-2,0,3) e v=(1,-1,0) encontramos:
	
	
	
	2V23
	
	
	6V22
	
	
	5V21
	
	
	9V17
	
	
	7V19
	
Explicação:
Chamando de A  a área do paralelogramo, temos que:  A= !!(2u)x(-3v)!!
2u=(-4,0,6)
-3v=(-3,3,0)
                        i          j         k
(2u)x(-3v) =    -4        0        6    =     -18i -18j - 12k  =  (-18 , -18 , -12)
                       -3       3         0
 
Daí:  A  =  !!(-18 , -18 , -12)!! =  V324+324+144  =  V792  =  6V22
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere uma colisão de dois veículos. Num sistema de coordenadas cartesianas, as posições finais destes veículos após a colisão são dadas nos pontos A = (2,2) e B = (4, 1). Para compreender como ocorreu a colisão é importante determinar a trajetória retilínea que passa pelos pontos A e B.
	
	
	
	x + y = 3 
	
	
	x + 3y - 6 = 0
	
	
	x + 2y - 6 = 0
	
	
	x - y = 0
	
	
	x + y - 3 = 0
	
Explicação:
	 
Primeiro, devemos calcular o determinante entre os pontos P(x,y), A(2,2), B(4,1).
| x y 1 | x y
| 2 2 1 | 2 2
| 4 1 1 | 4 1
Depois, devemos fazer o cálculo do produto das diagonais principais, menos o produto das diagonais secundárias.
2x+4y+2-8-x-2y=0
x+2y-6=0
Gabarito letra b
 
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Os ângulos (em graus)  diretores do vetor v = (0,-3,5) em relação aos eixos x, y e z respectivamente são:
	
	
	
	31 ; 90 ; 121
	
	
	90 ; 90 ; 0
	
	
	90 ; 121 ; 31
	
	
	121 ; 31 ; 90
	
	
	90 ; 31 ; 121
	
Explicação:
Os ângulos diretores são dados por:
cos x = x|v|x|v| ⇒ cos x = 0√34034 ⇒ x = 90º
cos y = y|v|y|v| ⇒ cos y = −3√34−334 ⇒ y = 120,96°
cos z = z|v|z|v| ⇒ cos z = 5√34534 ⇒ z = 30,96º