2015.1 - ESTÁCIO - MAT DISCRETA

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APOSTILA DE 
MATEMÁTICA DISCRETA
ESTÁCIO DE SÁ
CURSOS: SIATEMAS DE INFORMAÇÃO
	
PROF.: MÁRIO S. TARANTO 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1 CONJUNTOS
1.1 CONJUNTO E ELEMENTO 
1.1.1 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
1.2 CONJUNTO UNIVERSO
1.3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
1.4 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
1.5 DIAGRAMA DE VENN E O CONJUNTO DOS REAIS
1.6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 UNIÃO
1.6.2 INTERSECÇÃO
1.6.3 DIFERENÇA
	1.6.4 COMPLEMENTAR
1.7 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1.8 INTERVALOS
1.8.1 INTERVALO ABERTO
1.8.2 INTERVALO FECHADO
1.8.3 INTERVALOS SEMI-ABERTOS
1.8.4 INTERVALOS INFINITOS
2 RELAÇÕES E FUNÇÕES
2.1 PRODUTO CARTESIANO
2.2 PLANO CARTESIANO
2.3 RELAÇÃO
2.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
2.4 FUNÇÃO
2.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
2.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
2.6 RAIZ DE UMA FUNÇÃO
2.7 VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO
2.8 FUNÇÃO INVERSA
2.9 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
3 FUNÇÕES ELEMENTARES 
3.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
3.1.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
3.2 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
3.2.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
3.2.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
3.2.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
3.3.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
3.3.2 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
1 CONJUNTOS 
1.1 CONJUNTO E ELEMENTO 
Conjunto e elemento são considerados conceitos primitivos, portanto não aceitam definição.
1.1.1 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
Se um elemento x faz parte de um conjunto A, dizemos que x pertence ao conjunto A e escrevemos x ( A. 
Se um elemento y não faz parte de um conjunto A, dizemos que y não pertence ao conjunto A e escrevemos y ( A. 
1.2 CONJUNTO UNIVERSO
Para descrever, por exemplo, os elementos do conjunto 
�, devemos retirar seus elementos do conjunto que os contenha. Esse conjunto recebe o nome de conjunto universo e é representado pela letra U. 
1.3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO
	
Dizemos que um conjunto A está contido num conjunto B, se e somente se, todos os elementos de A também for elemento de B e representamos por A ( B. 
1.4 CONJUNTO DAS PARTES DE UM CONJUNTO
Chamamos de conjunto das partes de A o conjunto formado por todos os subconjuntos de A e que é representado por P(A). Se k for o número de elementos de A, o número de elementos de P(A) será 2k.
1.5 DIAGRAMA DE VENN E O CONJUNTO DOS REAIS
O Diagrama de Venn representa os conjuntos da seguinte maneira:
 R
 Q 
 I
 e 
1.6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
1.6.1 UNIÃO
	Chamamos de A ( B o conjunto formado por todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B: 
�
1.6.2 INTERSECÇÃO
Chamamos de A ( B o conjunto formado por todos os elementos comuns ao conjunto A e ao conjunto B: 
�
1.6.3 DIFERENÇA
	Chamamos de A - B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertence ao conjunto B:
�
1.6.4 COMPLEMENTAR
	Dados os conjuntos A e B, em que A ( B, chamamos de complementar de A em B o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A:
�
EXERCÍCIOS
1 – Sendo P = {0, 2, 4, 6} assinale a alternativa correta: 
( a ) {2, 4} ( P		( b ) 0 ( P		( c ) {2, 6} ( P		( d ) {4, 6} ( P
2 – Dados o conjunto A = {2, {2}} e as proposições: 
p: 2 ( A,
q: {2} ( A,
r: {2} ( A,
então:
( a ) a proposição p é falsa. ( b ) a proposição q é falsa.
( c ) a proposição r é falsa. ( d ) todas as proposições são verdadeiras. 
3 – Dados os conjuntos 
, 
 e 
. Ao determinar o conjunto M, tal que A ( M = {1, 2, 3, 4}, B( M = {3, 4, 5}, C ( M = A( B. Logo, M é um conjunto: 
( a ) vazio ( b ) unitário ( c ) com dois elementos ( d ) com três elementos 
4 – Se A = {x ( Z / (2x – 5).(x – 2).(3x + 4).(x + 1) = 0}, logo: 
( a ) A = {–2, –4/3, 1, 5/2} ( b ) A = {–1, 2} ( c ) A = {–4/3, 5/2} ( d ) A = {–2, 1}
5 – Sendo A = {x ( R / x2 – 3x + 2 = 0} e B = {x ( R / x2 – 7x + 10 = 0}, é correto afirmar que: 
( a ) { 2, 5} é solução de A			( b ) {2, 3, 5} é solução de A ( B
( c ) {2} é solução de A ( B			( d ) ( é solução de A - B
6 – Se A = {x ( Z* / –1 
 x < 3} e B = {x ( Z / x2 – 1 = 0}, então 
 será:
( a ) {–1, 0, 2}		( b ) {–1, 2}		( c ) {2} 		( d ) {0, 2}
7 – Dados os conjuntos: A = { x ( Z / –2 < x < 3} e B = { x ( Q / –2 < x < 3} . Podemos afirmar que: 
( a ) A = B 	 ( b ) A ( B = A	 ( c ) A ( B = B	 ( d ) A ( B
8 – São dados os conjuntos:
A = {divisores positivos de 24},
B = {múltiplos positivos de 3},
M = A ( B,
n = número de subconjuntos de M.
portanto, n é igual a :
( a ) 16 ( b ) 8 ( c ) 64 ( d ) 32
9 – Se E = {Múltiplos de 2} e F = {Divisores de 4}, podemos afirmar que: 
( a ) 0 ( F	 ( b ) ( E ( F ) ( F	 ( c ) E ( F = E	 ( d ) { 1, 2 } ( F
10 – Sendo A = {x ( R / x2 + 2x – 3 = 0} e B = {x ( R / x2 + 4x – 5 = 0}, não é correto afirmar: 
( a ) {–5, –3, 1} é solução de A ( B	 ( b ) {–3, 1} é solução de A
( c ) ( é solução de A – B		 ( d ) {1} é solução de A ( B
1.7 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A e n(B) o número de elementos do conjunto B, temos: 
�
Sendo n(A) o número de elementos do conjunto A, n(B) o número de elementos do conjunto B e n(C) o número de elementos do conjunto C, temos: 
�
EXERCÍCIOS
11 – Num congresso existem 184 pessoas das quais 99 falam inglês,104 falam espanhol e 23 não falam qualquer desses idiomas. Qual o número de pessoas presentes a esse congresso que falam inglês e espanhol? 
 
12 – Durante a Segunda Guerra Mundial, os aliados tomaram um campo de concentração nazista e de lá resgataram 979 prisioneiros. Desses, 527 estavam com sarampo, 251 com tuberculose e 321 não tinham nenhuma das duas doenças. Qual o número de prisioneiros com as duas doenças?
13 – De um total de 650 moças, 495 gostam de ir à praia, 214 de ir ao cinema e 123 gostam de fazer as duas coisas. Quantas moças não gostam nem de ir à praia nem de ir ao cinema? 
14 – Numa pesquisa realizada pelos nossos políticos foi constatado, entre outras, as seguintes 
necessidades para nossa região: melhores transportes, maior segurança e mais oportunidades de emprego. Das pessoas ouvidas verificou-se o seguinte:
131 pessoas optaram por melhores transportes;
123, maior segurança;
115, mais oportunidades de emprego;
81, melhores transportes e maior segurança;
78, melhores transportes e mais oportunidades de emprego;
70, maior segurança e mais oportunidades de emprego;
53, as três necessidades; e
21, outras necessidades.
 Calcule quantas pessoas foram ouvidas, representando os conjuntos no Diagrama de Venn.
15 – Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis. Quantas, das pessoas pesquisadas, praticam apenas uma modalidade de esporte? Represente no diagrama de Venn a solução do problema. 
1.8 INTERVALOS
Em R podemos estabelecer outros subconjuntos denominados intervalos.
1.8.1 INTERVALO ABERTO
	Chamamosde intervalo aberto o conjunto de números reais entre a e b, excluindo estes dois extremos:
�
1.8.2 INTERVALO FECHADO
Chamamos de intervalo fechado o conjunto de números reais entre a e b, incluindo estes dois extremos:
�
1.8.3 INTERVALOS SEMI-ABERTOS
Chamamos de intervalo aberto à direita e fechado à esquerda o conjunto de números reais entre a e b, incluindo a e excluindo b:
�
Chamamos de intervalo fechado à direita e aberto à esquerda o conjunto de números reais entre a e b, excluindo a e incluindo b:
�
1.8.4 INTERVALOS INFINITOS
Os seguintes intervalos chamados intervalos infinitos: 
�
�
�
�
	O conjunto dos números reais pode ser representado como um intervalo aberto:
�
EXERCÍCIOS
16 – Determine todos os intervalos que satisfazem as desigualdades abaixo:
a) 3 + 7x < 8x + 9
b) 7 < 5x + 3 ( 9
c) 2 > – 3 – 3x ( – 7 
d) 
e) 
f) (x + 5) (x – 3) > 0
 17 – Sendo L = {x ( R / x < –1 ou x ( 2} e M = ]–3, 3[, determine:
a) L ( M
b) L ( M
c) L – M
d) M – L
e) 
2 RELAÇÕES E FUNÇÕES
2.1 PRODUTO CARTESIANO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto formado por todos os pares ordenados (x, y) tais que x ( A e y ( B. 
�
2.2 PLANO CARTESIANO
O produto cartesiano entre dois conjuntos não-vazios pode ser representado no plano cartesiano associando-se cada par ordenado a um ponto desse plano.
Na representação do produto A x B, o conjunto A é disposto no eixo das abscissas e o B, no das ordenadas.
2.3 RELAÇÃO
Se A e B são dois conjuntos não-vazios, denominamos relação de A em B todo subconjunto de A x B.
�
	Esses subconjuntos de A x B são relações de A em B, que podem ser expressas por leis de formação de pares ordenados.
	
2.3.1 DOMÍNIO E IMAGEM DE UMA RELAÇÃO
Em uma relação 
�, o domínio é o conjunto formado pelos primeiros elementos dos seus pares ordenados e a imagem o conjunto formado pelos segundos elementos desses pares. 
Assim como o produto cartesiano, uma relação 
� pode ser representada no plano cartesiano.
2.4 FUNÇÃO
Se A e B são dois conjuntos com x ( A e y ( B, chamamos de função de A em B toda relação 
� na qual, para todo x ( A, existe em correspondência um único y ( B.
2.4.1 DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
O conjunto A é chamado de domínio (D) e o B, de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em B é a imagem (Im).
	Para determinar o domínio de uma função de variável real devemos considerar a condição de existência da função.
2.5 FUNÇÕES SOBREJETORAS, INJETORAS E BIJETORAS
	
Uma função 
� é sobrejetora quando todo elemento de B for imagem de pelo menos um elemento de A, ou seja, a imagem é o próprio contradomínio.
	Uma função 
� é injetora quando quaisquer dois valores distintos do domínio corresponderem duas imagens distintas no contradomínio.
	Se uma função f for sobrejetora e injetora ao mesmo tempo, então esta função será chamada de bijetora.
2.6 RAIZ DE UMA FUNÇÃO
	Denomina-se raiz ou zero de uma função todo valor de x ( D tal que f(x) = 0.
2.7 VALOR NUMÉRICO DE UMA FUNÇÃO
	Chama-se valor numérico de uma função o valor que a variável y = f(x) assume quando atribuí-se a variável x, determinado valor. 
2.8 FUNÇÃO INVERSA
	Em uma função bijetora 
�, a obtenção de uma função de B em A através da inversão dos elementos de seus pares ordenados é chamada função inversa e indicada por f -1. 
2.9 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
	Para construir o gráfico de uma função no plano cartesiano, deve-se atribuir valores a variável x, determinando suas respectivas imagens. 
EXERCÍCIOS
18 – Seja A = {0, 1, 2, 3} e B = {–2, –1, 0, 1} e a relação R: A ( B definida por R(x) = x – 1. Portanto não é correto afirmar que:
 
( a ) D(R) = {0, 1, 2} ( b ) Im(R) = {–1, 0, 1} ( c ) (2, 1) ( R(x) ( d ) R(x) é uma função	 
19 – Se A = {x ( Z / –1/3 < x < 4} e n (A x B) = 20, é correto afirmar que o número de elementos do conjunto B é: 
( a ) ( ( b ) 4 ( c ) 5 ( d ) 16
20 – Sendo A e B dois conjuntos quaisquer, se n(A) = x + 1, n(B) = 3 – x e n(AxB) = 3, x vale: 
 
( a ) {0, 2}	 ( b ) {1, 3}	 ( c ) {-1, 2}	 ( d ) {1, 0}
21 – Se Z é o conjunto dos números inteiros,
P = {x ( Z / x ( 0},
L = {x ( Z / x2 – x – 12 < 0} e
M = {x ( P / 3 – x > 0}, então o número de elementos do conjunto L x M é: 
( a ) 10 ( b ) 12 ( c ) 15 ( d ) 18
22 – Se um ponto do plano cartesiano possui abscissa negativa e ordenada diferente de zero, este ponto está obrigatoriamente localizado no: 
( a ) 2º quadrante ( b ) 3º quadrante ( c ) 3º ou 4º quadrante ( d ) 2º ou 3º quadrante 
23 – Seja f a função de R em R definida por f(x) = 3x2 – 10x + 3, calculando f(-1), temos: 
( a ) 16			( b ) 14			( c ) 12			( d ) 10
24 – Se f (x) = 
, calcule f -1(x).
25 – Seja a função f: R ( R definida por y = 
. Qual elemento do domínio tem imagem – 21?
26 – Os esquemas abaixo representam funções de A em B. Identifique se a função é sobrejetora, injetora ou bijetora e justifique sua resposta.
 A B 
 A B 
 
 2. .7 6. . 5
 5. .8 3. .4
 8. .9 1. . 3
 
 11. . 2
 
 A B A B
 0. .0 1. .1
 
 1. .1 2. 
 2. .4 4.
 
27 – Dada a função f: R( R, definida por f(x) = 
, determine sua imagem. 
28 – Determine o domínio da função real definida por y = 
.
29 – Determine o domínio da função real definida por y = 
. 
3 FUNÇÕES ELEMENTARES 
3.1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
Uma função f de R em R é dita função do 1º grau quando é do tipo f(x) = ax + b, com a ( 0.
Se b ( 0, f é dita função afim e se b = 0, f é dita função linear.
	
Nas funções afim, a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano e b coeficiente linear.
O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta crescente ou decrescente.
 
Nota: Quando uma função do 1º grau for linear, seu gráfico será uma reta que passa pela origem.
3.1.1 RAIZ DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para determinar a raiz da função do 1º grau, basta resolver a equação do 1º grau determinada por f(x) = 0 (ax + b = 0). 
EXERCÍCIOS
30 – Construa o gráfico das funções y = 3x – 5 e f(x) = –2x + 1.
31 – Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de R$ 800,00 por mês e custos variáveis de R$ 0,04 por folha que reproduz. Expresse a função custo total em função do número x de páginas copiadas por mês. Seos consumidores pagam R$ 0,09 por folha, quantas folhas a firma tem que reproduzir para não ter prejuízo?
32 – Um fabricante de fogões produz 400 unidades por mês quando o preço de venda é de R$ 500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é de R$ 450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual sua equação?
33 – Uma fábrica de nossa região tem um custo fixo mensal de R$ 1.500,00. Cada peça produzida nesta fábrica tem um custo de R$ R$ 16,00 e o preço de venda é de R$ 20,00. Qual o ponto de nivelamento? Quantas precisam ser produzidas para que se tenha um lucro de R$ 4.500,00?
3.2 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função f de R em R é dita função quadrática ou função do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 +bx + c, com a ( R*, b ( R e c ( R.
3.2.1 RAÍZES DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	Para determinar as raízes da função quadrática, basta resolver a equação do 2º grau determinada por f(x) = 0 (ax2 + bx + c = 0). 
Os valores de x’ e x” são as abscissas nas quais a parábola intercepta o eixo de x.
3.2.2 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO QUADRÁTICA
	O gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c de R ( R é uma curva denominada parábola. 
Sua concavidade será voltada para cima quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0.
 
3.2.3 COORDENADAS DO VÉRTICE
	Para calcular os valores das coordenadas do vértice de uma parábola V(xv, yv), usamos:
EXERCÍCIOS
34 – Construa o gráfico da função f: R ( R definida por f(x) = x2 + 2x – 3 e determine sua imagem. 
35 – Construa o gráfico da função f: R ( R definida por f(x) = –x2 + 6x – 5 e determine sua imagem. 
36 – O custo para se produzir x unidades de um produto é dado por c(x) = 3x2 – 100x + 2.000. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação.
37 – Para uma fábrica produzir x unidades por semana de certo produto, seu custo é dado por c(x) = 4x2 – 80x + 500. Calcule o valor do custo mínimo. Esboce o gráfico da situação. 
3.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL
Denominamos função exponencial toda função f de R em R
 definida por f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1.
3.3.1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA
	De modo geral, representamos graficamente uma função exponencial f(x) = ax nos 1º e 2º quadrantes do plano cartesiano.
	Uma função exponencial é crescente quando a > 1 e é decrescente quando 0 < a < 1.
 
3.3.2 DOMÍNIO E IMAGEM DA FUNÇÃO EXPONENCIAL
	Observando os gráficos acima, verificamos que, de modo geral:
D(f) = R e Im(f) = R
EXERCÍCIOS
38 – Classifique as funções a seguir em crescentes ou decrescentes:
a) 
	 b) 
 	 c) 
 	 d) 
39 – Construa o gráfico, determinando o conjunto imagem de cada função real:
a) 
 	 b) 
			 c) 
40 – O número de bactérias em um meio de cultura cresce aproximadamente segundo a função 
 , sendo t o número de dias após o início do experimento. Calcule:
a) o número n de bactérias no início do experimento; e 
b) em quantos dias o número inicial de bactérias irá triplicar.
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