Tópicos de Cálculo Numérico - Slides

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NOÇÕES DE CÁLCULO NUMÉRICO 
 
 
 
Prof. Emilio Celso 
Introdução 
 O objetivo é retomar os exercícios de maneira a contribuir 
para a aprendizagem. 
 Vamos retomar os seguintes conteúdos: 
 conversão de números entre bases; 
 métodos intervalares; 
 interpolação linear; 
 interpolação quadrática; 
 interpolação polinomial; 
 coeficiente de variação; 
 regressão linear. 
 
 
Erro relativo percentual 
 Aproximar π truncando na quarta casa decimal, sendo que 
π = 3,1415926535.... 
 Truncar na quarta casa decimal significa desconsiderar as 
casas decimais a partir da quinta casa. 
 Assim, π = 3,1415 (observe que não houve arredondamento). 
 O erro percentual será: 
 Ɛ = valor verdadeiro – valor aproximado .100% 
 valor verdadeiro 
 Ɛ = 3,1415926535 – 3,1415 .100% 
 3,1415926535 
 Ɛ = 0,0029% 
 
Representação de números no sistema decimal e na 
linguagem computacional 
 
1. Converter o número (234,234) para base binária, com 6 casas decimais. 
Inicialmente, vamos converter a parte inteira: 
Procedimento: dividir sucessivamente os quocientes por 2, até o quociente 
ficar menor que 2. 
234 | 2 
 0 117 | 2 A partir do último quociente, 
 1 58 | 2 escrever os restos em ordem, 
 0 29 | 2 como indicado a seguir: 
 1 14 | 2 (234) = (11101010) . 
 0 7 | 2 
 1 3 | 2 
 1 1 
 
2 10 
10 
Representação de números no sistema decimal e na 
linguagem computacional 
A parte decimal se converte da seguinte maneira: 
 Passo 1: r1 = 0,234; 2.r1 = 2.0,234 = 0,468 < 1 → d1 = 0 
 Passo 2: r2 = 0,468; 2.r2 = 2.0,468 = 0,936 < 1 → d2 = 0 
 Passo 3: r3 = 0,936; 2.r3 = 2.0,936 = 1,872 ≥ 1 → d3 = 1 
 Passo 4: r4 = 1,872-1=0,872; 2.r4 = 2.0,872 = 1,744 >1 → d4 = 1 
 Passo 5: r5 = 1,744-1=0,744; 2.r5 = 2. 0,744 = 1,488>1 → d5 = 1 
 Passo 6: r6 = 1,744-1=0,488; 2.r6 = 2. 0,448 = 0,896<1 → d6 = 0 
Portanto, (234,234)10 = (11101010,001110)2. 
Observe que a conversão de (0,234)10 pode conter um grande 
número de casas decimais. 
 
Representação decimal de um número no sistema 
binário (r)2 situado entre 0 e 1 
2. Qual a representação decimal de (101,101)2?
 
Temos: 
Usando a representação binária em potências de 2: 
(101,101)2 = 1 . 2
2 + 0 . 21 + 1. 20 + 1.2-1 + 0.2-2 + 1.2-3 = 
1.4 + 0.2 + 1.1 + ½ + 0.1/4 + 1.1/8 = 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = (5,625)10. 
Portanto, 
 (101,101)2 = (5,625)10 
 
Zeros reais de funções reais 
 Um número real x0 é um zero da função f(x) ou uma raiz da 
equação f(x) = 0 se f(x0) = 0. 
 
 
 
 
Lembremos que os pontos de 
intersecção de um gráfico com o 
eixo horizontal (eixo x) do sistema 
cartesiano são as raízes ou zeros, 
de forma que f (x0) = 0. 
 
 Métodos intervalares 
 
 Encontrados os intervalos que possuem raízes, por meio de 
múltiplas iterações, busca-se diminuir a amplitude do 
intervalo e aproximar-se da raiz. 
 
 Por esse gráfico, vemos que as 
 raízes dessa função estão nos 
 intervalos [-2,1], [0,1] e [1,2]. 
 
 Método da falsa posição 
 
 Um método alternativo que explora a percepção gráfica da raiz 
é denominado de “método da falsa posição” ou “método de 
interpolação linear”. Ele consiste em ligar os valores de f(xi) 
e f(xu) por uma reta. A intersecção dessa reta com o eixo das 
abscissas representa uma estimativa melhorada da raiz. 
Método da falsa posição (cont.) 
 Reorganizando as informações... 
 ... neste método, as 
 aproximações das raízes 
 são dadas por: 
 
Método da falsa posição 
 Considere a função f(x) = x + ex. Encontre uma aproximação 
da raiz da função no intervalo [-1,0], com erro inferior a 1%. 
 Fazendo xi = -1 e xu = 0. 
 
 
Método da falsa posição: exemplo de aplicação 
 Novo xi = -0,6127 
 
Método da falsa posição: exemplo de aplicação 
 Novo xi = -0,5722 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, temos xr = -0,5671, com erro inferior a 1%. 
Interatividade 
O número e pode ser representado e calculado por meio da 
utilização da série de Taylor para ex quando x = 1, como a soma 
da seguinte série infinita. 
 
 
Uma aproximação, truncando a expressão em n = 3, é: 
a) 2,33 
b) 2,67 
c) 2,78 
d) 2,83 
e) 2,97 
 
Resposta 
Alternativa b) 
Comentário: 
Expandindo a expressão, truncando em n = 3, temos: 
 
 
 
 
 = 1,00 + 1,00 + 0,50 + 1,17 = 2,67 
 
 
 
 Método de Newton-Raphson 
 
 Fórmula mais amplamente usada para localizar uma raiz, é a 
equação de Newton-Raphson. Considerando como 
aproximação inicial da raiz for xi, pode-se estender uma reta 
tangente a partir do ponto [xi, f(xi)]. O ponto onde essa 
 tangente cruza o eixo das abscissas 
 usualmente representa uma 
 estimativa melhorada da raiz. Esse 
 método pode ser deduzido com 
 base em sua interpretação 
 geométrica. 
 
Método de Newton-Raphson 
 Determinar, pelo Método de Newton-Raphson, a menor raiz 
positiva de f(x) = 2cosx – ex, com erro (Ɛa) inferior a 10
-2 = 1%. 
 Solução A menor raiz positiva de f(x) está no intervalo [0,1]. 
 Usando a relação , temos: 
 
Método da secante 
 Há funções cujos cálculos de suas derivadas podem não ser 
simples. Nesses casos, podemos utilizar o Método da Secante, 
em que uma estimativa da raiz é prevista extrapolando-se uma 
tangente da função até o eixo das abscissas. 
 Neste método, empregamos 
 a expressão: 
Método da secante: exemplo de aplicação 
 Cálculo das raízes de y = x² - senx 
 Conforme o gráfico, 
Uma raiz é 0, pois: 
F(0) = 0² - sen0 = 0 
 
 Vamos calcular uma aproximação para a outra raiz que está 
no intervalo [0,1]. 
 Vamos usar como critério de parada o erro para um algarismo 
significativo, que é dado por: 
 Ɛs = (0,5.10
2-n)% → Ɛs = (0,5.10
2-1)% = (0,5.101)% = 5% 
Método da secante: exemplo de aplicação 
 Vamos tomar valores xo e x1 iniciais, tal que f(xo).f(x1)<0. 
 Podemos considerar xo = 0,5 e x1 = 1, pois: 
f(0,5) = (0,5)² – sen(0,5) = 0,22943 e f(1) = 1² – sen 1 = 0,158529 
 Usando a expressão do Método da Secante: 
xo = 0,5 e x1 = 1 
 
Método da secante: exemplo de aplicação 
 Prosseguindo o procedimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ɛa > 5%, o procedimento continua. 
Método da secante: exemplo de aplicação 
 Prosseguindo o procedimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ɛa <5%, temos xi = 0,878061 é o valor procurado. 
Método de iteração linear a um ponto fixo 
 Trata-se de método intervalar, denominado também de 
“iteração de um ponto”, “método de substituições 
sucessivas” ou “método de aproximações sucessivas”. 
 O objetivo é obter uma função contínua f(x) em um intervalo 
[a,b] que contém necessariamente uma raiz da equação, de 
tal forma que f(x) = 0. Assim, é possível reescrever a equação 
de modo que a variável x seja isolada em um dos lados da 
equação, na forma: 
 x = g(x) 
 ou: 
 f(x) + x = x 
Exemplo de aplicação: método de iteração linear a um 
ponto fixo 
A função f(x) = 4x – ex contém raízes nos intervalos [0,1] e [2,3]. 
Vamos encontrar uma aproximação para raiz do intervalo [0,1], 
como precisão de 0,05 = 5%. 
Solução: observe que podemos escrever: 4x – ex = 0 → 
A função 
 
Comecemos por xo = 0. 
 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação: método de iteração linear a um 
ponto fixo 
 Continuando um pouco mais os cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, como Ɛ< Ɛa < 5%, x4 é uma estimativa 
da raiz procurada. 
Interatividade 
Um aluno pesquisava as raízes de f(x) = x² – 2x – 5. Usava o 
método de interação por um ponto fixo. Caso ele utilize a 
relação , pode tomar um valor inicial (xo) no intervalo: 
a) ]-∞,0] 
b) [-3,+∞[ 
c) [-3,5] 
d) [-2,+∞[ 
e) [-5,1] 
 
Resposta 
Resposta: alternativa d) 
 Comentário: empregando o critério de convergência: 
Interpolação e ajuste de curvas 
 O conteúdo desse tópico trata de técnicas para: 
 ajustar curvas a um conjunto de dados, com o objetivo de 
obter estimativas intermediárias; 
 desenvolver ou avaliar funções que representem dados 
experimentais, determinando parâmetros da curva que mais 
se aproxime da representação gráfica desses dados. 
 Ambos os procedimentos são conhecidos como 
ajuste de curvas. 
Exemplo de interpolação linear 
 Seja a função y = f(x) definida pelos pontos (0,00; 1,45) e 
(1,00; 2,75). Determinar, aproximadamente, o valor de f(0,68). 
Expresse a resposta com três algarismos significativos. 
 Solução: f(x) = P1(x) = a1x + a0 é o polinômio interpolador de 
1o grau que passa pelos pontos dados. Então, teremos: 
a) Pontos utilizados: 
(0,00;1,45) e (1,00; 2,75) 
 b) Cálculo dos coeficientes: 
P1(0) = a1 · 0 + a0 = 1,45 → a0 = 1,45 
P1(1) = a1 · 1 + ao = 2,75 → a1 +1,45 = 2,75 → a1 = 1,30 
 
Exemplo de interpolação linear 
c) Polinômio interpolador: 
P1(x) = 1,30x + 1,45 (equação da reta que passa pelos 
pontos dados) 
d) Para encontrar P(0,68), temos: 
f(0,68) = P1(0,68) = 1,30 · 0,68 + 1,45 
f(0,68) = 2,334 
 Portanto, o valor de f(0,68) = 2,33, com três 
algarismos significativos. 
 
Interpolação quadrática 
 Se estiverem disponíveis três pontos, a alternativa é um 
polinômio de segundo grau (cujo gráfico é uma parábola). 
 Considere a expressão: 
 F(x) = bo + b1(x−x0)+ b2(x−x0)(x−x1) 
 
Interpolação quadrática: exemplo de aplicação 
 Determinar o valor de f(0,20), por meio de interpolação 
quadrática, usando os valores tabelados da função f(x). 
 Expressar o resultado com duas casas decimais. 
 
 
 
 Solução: precisamos determinar f(x) = P2(x) = b2x
2 + b1x + b0 
a) Pontos utilizados: 
P0 = (0,10; 0,81); P1 = (0,30; 0,49); P2 = (0,50; 0,25) 
x 0,10 0,30 0,50 
f(x) 0,81 0,49 0,25 
Interpolação quadrática: exemplo de aplicação 
b) Cálculo dos coeficientes: 
f(x) = P2(x) = b2x
2 + b1x + b0 
c) Vamos empregar as expressões: 
 
Interpolação quadrática: exemplo de aplicação 
d) Determinação de P2(x): 
P2(x) = b0 + b1 (x – x0) + b2 (x – x0).(x – x1) 
P2(x) = 0,81 – 1,60.(x – 0,10) + 1.(x – 0,10).(x – 0,30) 
P2(x) = 0,81 – 1,60x + 0,16 + x² – 0,30x – 0,10x + 0,03 
P2(x) = x² – 2,00x + 1,00 
e) Cálculo de f(0,20) 
f(0,20) = P2(x) = (0,20)² – 2,00.0,20 – 1 = 0,04 – 0,40 – 1 = – 1,36 
 Portanto, f(0,20) = – 1,36 
Interpolação polinomial 
 Neste caso, deduz-se esta expressão para estimativa 
de valores: 
 
Interpolação polinomial: exemplo de aplicação 
 Considere a seguinte tabela que representa a deflexão em cm 
de uma prancha de saltos, em salto de um atleta olímpico, em 
vários instantes de tempo de preparação: 
 
 
 
a) Encontre o valor f(3), fazendo a interpolação por um 
polinômio do 3o grau. 
 
t 0.5 1.5 2 4 
f(t) 1.75 -1.25 -2 0 
Interpolação polinomial: exemplo de aplicação 
 Usando as expressões, temos: 
N = (x – x0).(x – x1).(x – x2).(x – x3) 
N = (3 – 0,5).(3 – 1,5).(3 – 2).(3 – 4) = 2,5.1,5.1.(– 1) = – 3,75 
 
D0 = (x0 – x1).(x0 – x2).(x0 – x3).(x – x0) 
D0 = (0,5 – 1,5).(0,5 – 2).(0,5 – 4).(3 – 0,5) = (– 1).(– 1,5).(– 3,5).2,5 
D0 = 13,125 
 
D1 = (x1 – x0).(x1 – x2).(x1 – x3).(x – x1) 
D1 = (1,5 – 0,5). (1,5 – 2). (1,5 – 4). (3 – 1,5) = 1.(– 0,5).(– 2,5).1,5 
D1 = 1,875 
Interpolação polinomial: exemplo de aplicação 
 Continuando os cálculos para os demais determinantes: 
D2 = (x2 – x0).(x2 – x1).(x2 – x3).(x – x2) 
D2 = (2 – 0,5). (2 – 1,5). (2 – 4). (3 – 2) = 1,5.0,5.(– 2).1 = – 1,5 
D2 = – 1,5 
 
D3 = (x3 – x0).(x3 – x1).(x3 – x2).(x – x3) 
D3 = (4 – 0,5). (4 – 1,5). (4 – 2). (3 – 4) = 3,5.2,5.2.(– 1) = – 17,5 
D3 = – 17,5 
 
Interpolação polinomial: exemplo de aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Portanto, uma aproximação para f(3) = – 2,71, que 
corresponde à deflexão da prancha em t = 3. 
 
Interatividade 
Um aluno fez a seguinte interpolação em uma prova: ele sabia 
que sen o° = 0 e sen 45° = 0,7071. Como 22,5° = (0°+ 45°)/2, logo 
ele deduziu que: sen 22,5° = 0,3535 = (0 + 0,7071)/2 = 0,3535. 
Depois da prova, resolveu checar seu erro relativo percentual, 
com o auxílio de uma calculadora científica, em que encontrou 
o verdadeiro valor de sen 22,5° = 0,3827. O erro relativo 
percentual foi: 
a) 5,99% 
b) 6,10% 
c) 6,15% 
d) 6,21% 
e) 7,61% 
 
Resposta 
Alternativa e) 
Comentário: 
O erro percentual foi: 
E = xverdadeiro – xaproximado . 100% 
 xverdadeiro 
E = 0,38268 – 0,35355 . 100% = 7,61% 
 0,38268 
Portanto, o erro foi de 7,61%. 
 
 
 
 Regressão polinomial 
 
 Alguns conjuntos de dados não têm seu ajuste satisfatório 
por uma reta. Nesses casos, uma curva seria mais adequada 
para ajuste dos dados, isto é, a regressão polinomial. 
 A análise para o caso unidimensional pode ser facilmente 
estendida para um caso mais geral e é possível determinar os 
coeficientes de um polinômio de grau n de forma equivalente. 
y = a0 + a1x + a²x² + ... + anxn + e 
 Fazendo a mesma manipulação algébrica dos dois casos 
anteriores, é possível chegar a um sistema de n equações, 
em que a enésima equação será da forma: 
 
Diagrama de dispersão 
 Os diagramas de dispersão evidenciam o comportamento 
da relação entre variáveis, no caso em que não haja 
correlação linear. 
 
 
Regressão não linear 
 A fórmula da regressão para o caso geral pode 
ser assim entendida: 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 A seguinte tabela informa o número de carros que passam 
por um pedágio em um determinado dia: 
 
 
 
 
 Exercícios como este é adequado o uso de uma planilha 
eletrônica para facilitar os cálculos. 
 Usamos o Excel do pacote Microsoft Office para elaborar um 
diagrama de dispersão, como objetivo de verificar qual o tipo 
de tendência dos dados e para calcular determinantes 
necessários para determinar os coeficientes. 
Horário 10:00 10:30 11:00 11:30 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 
Número 
(em mil) 
2,69 1,64 1,09 1,04 1,49 2,44 1,89 1,50 1,32 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 Usando o Excel, a tendência é de ajuste de equação cúbica. 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 A equação genérica é: y = a0 + a1x + a2x
2 + a3x
3 
 As expressões para o cálculo dos coeficientes são: 
 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 A equação genérica é: y = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 
 Fazendo uma tabela para cálculo dos coeficientes: 
xi yi xi² xi³ xi4 xi5 xi6 xi.yi xi².yi xi³.yi 
10 2,69 100,00 1.000,00 10.000,00 100.000,00 1.000.000,00 26,90 269,00 2.690,00 
10,5 1,64 110,25 1.157,63 12.155,06 127.628,16 1.340.095,64 17,22 180,81 1.898,51 
11 1,09 121,00 1.331,00 14.641,00 161.051,00 1.771.561,00 11,99 131,89 1.450,79 
11,5 1,04 132,25 1.520,88 17.490,06 201.135,72 2.313.060,77 11,96 137,54 1.581,71 
12 1,49 144,00 1.728,00 20.736,00 248.832,00 2.985.984,00 17,88 214,56 2.574,72 
12,5 2,44 156,25 1.953,13 24.414,06 305.175,78 3.814.697,27 30,50 381,25 4.765,63 
13 1,89 169,00 2.197,00 28.561,00 371.293,00 4.826.809,00 24,57 319,41 4.152,33 
13,5 1,5 182,25 2.460,38 33.215,06 448.403,34 6.053.445,14 20,25 273,38 3.690,56 
14 1,32 196,00 2.744,00 38.416,00 537.824,00 7.529.536,00 18,48 258,72 3.622,08 
108 15,1 1311 16092 199628,25 2501343 31635188,81 179,75 2166,56 26426,32 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 Teremos o sistema de equação: 
15,1 = 9 ao + 108 a1 + 1311 a2 + 16092 a3 
179,75 = 108 ao + 1311 a1 + 16092 a2 + 199628,25 a3 
2166,56 = 1311 ao + 16092 a1 + 199628,25 a2 + 2501343 a3 
26426,32=16092 ao + 199628,25 a1 + 2501343 a2 + 316335188,81 a3 
 Resolvendo o sistema pela Regra de Cramer: 
 9 108 1311 16092 
D = 108 1311 16092 199628,25 = 
 1311 16092 199628,25 2501343 
 16092 199628,25 2501343 316335188,81 
D = 739864182882,22 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 15,1 108 1311 16092 
Da0 = 179,75 1311 16092 199628,25 = 
 2166,56 16092 199628,25 2501343 
 26426,32 199628,25 2501343 316335188,81 
Da0 = 11910047720614,20 
 
 9 15,1 1311 16092 
Da1 = 108 179,75 16092 199628,25 = 
 1311 2166,56 199628,25 2501343 
 16092 26426,32 2501343 316335188,81 
Da1 = -1725748307904,24 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 9 108 15,1 16092 
Da2 = 108 1311 179,75 199628,25 = 
 1311 16092 2166,56 2501343 
 16092 199628,25 26426,32 316335188,81 
Da2 = 68926470635,84 
 
 9 108 1311 15,1 
Da3 = 108 1311 16092 179,75 = 
 1311 16092 199628,25 2166,56 
 16092 199628,25 2501343 26426,32 
Da3 = -16534,55 
Regressão polinomial: exemplo de aplicação 
 Cálculos dos coeficientes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A equação é 16,10 – 2,33x + 0,09x² + (2,23.10-8)x³ 
Interatividade 
Uma pessoa iniciou uma dieta e exercícios físicos em agosto 
de 2011 (t = 0), anotando os pesos a cada 6 meses, conforme 
a tabela: 
 
 
Ela quer saber se há correlação linear entre as variáveis. 
Calculando o coeficiente de correlação linear, obtém-se: 
a) r = – 75,32% 
b) r = – 80,51% 
c) r = – 85,99% 
d) r = – 95,99% 
e) r = – 99,27% 
Tempo 0 6 12 18 
Peso 98 92 89 84 
Resposta 
Resposta: alternativa e) 
Comentário: 
 
 
 
Elaborando uma tabela para facilitar os cálculos: 
 
 
 
 
r = coeficiente de correlação 
x = variável independente 
y = variável dependente 
n = número de possíveis correlações 
 entre as variáveis 
Resposta (cont.) 
 Fazendo os cálculos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Há uma correlação negativa e forte entre as variáveis. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA!