19_Edescritiva_probabilidade

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UNIVERSIDADE DE UBERABA 
PRÓ-REITORIA DE ENSINO SUPERIOR 
 
 
ROTEIRO DE ESTUDOS 
 
CÁLCULO DA PROBABILIDADE 
 
 
ELABORADO POR: FABÍOLA EUGÊNIO ARRABAÇA MORAES 1 
 
1ª EDIÇÃO/2013 
 
Curso(s): Engenharias Período: 2º Ano: 2019 Semestre: 01 
Componente curricular: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Código: 90486 
Professor (a): Fabíola Eugênio Arrabaça Moraes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Mestre em Estatística pela Universidade Federal de São Carlos (UFSCar), Graduada em Matemática 
pela Faculdade de Educação São Luís (FESL). É docente nos cursos de graduação da Universidade de 
Uberaba (UNIUBE) nas modalidades presencial e a distância (Programa de Ensino a Distância). Atua nas 
áreas afins de Matemática, Probabilidade e Estatística e Bioestatística. 
 
 
2 
 
 CÁLCULO DA PROBABILIDADE 
 
 
 FABÍOLA EUGÊNIO ARRABAÇA MORAES 
 
 
Introdução 
Hoje em dia, os meios de comunicação de massa ou mídias, entre eles os jornais, as revistas, o rádio, a televisão 
e, mais recentemente a Internet, popularizaram os conceitos e noções da teoria das probabilidades. Este fato 
contribuiu para a interação estimulante e flexível entre a teoria e o dia a dia das pessoas, desmistificando a 
associação inicial de probabilidade com os “jogos de azar”. 
 
Historicamente, o propósito dos estudiosos da teoria das probabilidades limitava-se aos estudos dos jogos de 
azar, cujo interesse estava voltado em planejar estratégias de apostas. A limitação no estudo da teoria das 
probabilidades retardou por muito tempo o seu desenvolvimento como disciplina no campo da Matemática. Até 
que Pierre-Simon de Laplace publica, em 1812, o livro Theorie Analytique des Probabilités, no qual aborda a 
definição clássica de probabilidade. A partir daí o progresso desta teoria não parou, novos estudos foram 
realizados ao longo do tempo, proporcionando aos estudiosos a aplicação da probabilidade na solução de 
diversos problemas presentes no cotidiano das pessoas. 
 
Hoje, podemos encontrar diversos exemplos que ilustram a utilização e a aplicação das probabilidades. Por 
exemplo, a previsão de produção de milho para o próximo ano, a constatação de falha mecânica em um sistema 
de prevenção contra vazamento em uma usina nuclear, o preparo de um orçamento – municipal, hospitalar, etc., 
a avaliação do impacto de uma redução no número de funcionários de determinado setor de uma empresa, o 
cálculo dos custos da produção – cafeeira, de gado de corte, etc., a avaliação de associação entre implantes 
mamários e doença de tecido conjuntivo. 
 
Perceba, portanto, que a probabilidade está muito mais presente na sua vida do que você, até então, poderia 
imaginar! 
 
Neste roteiro, apresentaremos os conceitos básicos de probabilidades, algumas definições e regras importantes e 
necessárias ao seu entendimento e aplicação. O objetivo deste estudo é oferecer a você, inicialmente, o 
entendimento intuitivo da teoria das probabilidades. Você entenderá, por exemplo, porque as chances de um 
indivíduo conseguir conquistar o cargo almejado são de uma em três. 
 
 
Objetivos 
 
Espera-se que a partir dos conteúdos trabalhados neste roteiro de estudo você seja capaz de: 
 
• definir probabilidade; 
• identificar situações práticas às quais se aplica a probabilidade; 
• definir experimento, espaço amostral e evento; 
• distinguir as três definições de probabilidade: clássica, frequentista e subjetiva; 
• identificar situações práticas em que cada uma das definições de probabilidade é aplicada; 
• calcular probabilidades; 
• aplicar o princípio básico da regra de Bayes na resolução de situações-problema. 
 
 
3 
 
Esquema 
. 
Noções de Probabilidade – Espaço Amostral. Eventos. Definição de Probabilidade 
 
Introdução de Alguns Conceitos Básicos 
 
O conceito de aleatoriedade é considerado como primitivo e, saiba que algumas condições necessariamente 
devem ser satisfeitas, entre elas: 
• Fixadas certas condições, sempre deve ser possível repetir a experiência indefinidamente; 
• Sempre deve ser impossível a influência do resultado de uma particular repetição da experiência, mesmo 
mantendo as condições iniciais. 
 
Espaço Amostral 
( )
 
 
O conjunto de todos os possíveis resultados; sejam estes de natureza quantitativa ou qualitativa, de uma 
experiência aleatória denota-se espaço amostral. Geralmente representado por 
S
 ou 

 (Lê-se Ômega). 
Exemplo: lançar uma moeda equilibrada e observar o resultado da face voltada para cima. Assim, 
 ,cara coroa =
. 
 
Evento 
( )E
 
Representa qualquer subconjunto, isto é, qualquer resultado ou conjunto de resultados, do espaço amostral de 
um experimento. 
Exemplo. Considerando o lançamento de um dado honesto, 
 1,2,3,4,5,6 =
. Podem ser definidos como 
eventos: 
• face menor do que 4: 
 1 1,2,3E =
 
• face par: 
 2 2,4,6E =
 
• face 7: 
 3 7E =
 
 
Neste exemplo, suponhamos que no lançamento do dado tenha ocorrido a face 1. Quais eventos ocorreram e 
quais não ocorreram? 
Concluímos que não ocorreu o evento 
2E
 nem o 
3E
. E ocorreu o evento 
1E
 e 

. 
 
 
 
 
 
 
Operações com Eventos 
 
A união de dois eventos 
1E
 e 
2E
, denotada por 
1 2E E
, representa a ocorrência de, pelo menos um dos 
eventos 
1E
 ou 
2E
. 
A intersecção do evento 
1E
 com 
2E
, denotada por 
1 2E E
, é a ocorrência simultânea de 
1E
 e 
2E
. 
Atenção: 
3E
→
denominado evento impossível
→
 evento vazio ou nulo. 
 

→
 todo conjunto é subconjunto de si próprio
→
denominado 
evento certo 
 
 
4 
 
Dois eventos 
1E
 e 
2E
 são disjuntos ou mutuamente exclusivos quando não têm elementos em comum, isto é, 
1 2E E =
. 
Os eventos 
1E
 e 
2E
 são denominados complementares se sua união é o espaço amostral e sua intersecção é 
vazia. O complementar de 
1E
 será denotado por 
1
cE
 assim temos, 
1 1
cE E =
 e 
1 1
cE E =
. 
 
Exemplo. Seja 
1E
 e 
2E
 definidos em 
 1,2,3,4,5,6 =
. Em que, 
 1 1,3,5E face ímpar= =
 
 2 5= 1,2,3,4E face menor do que=
 
 3 2,3,5E face número primo= =
 
 4 4 5,6E face maior do que= =
 
 
Logo, 
 1 2 1 2 e 1,3E E E E = =
→
 Intersecção dos eventos 
1 2 e E E
 
 
Probabilidade 
 
Denota a possibilidade ou chance de ocorrência, ou mensuração de ocorrência, de um evento definido sobre um 
espaço amostral, que por sua vez está relacionado a algum fenômeno aleatório. Traduz-se por um número real 
compreendido entre 0 e 1, ou, o equivalente a dizer, entre 0 e 100%. 
 
Probabilidade a Priori ou Clássica 
 
Esta abordagem baseia-se no conhecimento prévio do processo envolvido, entre outras palavras, é o valor 
calculado com base em considerações teóricas, dispensando uma experimentação sobre o objeto estudado. É de 
grande importância como referencial ou termo de comparação. Supondo um espaço amostral 

, a 
probabilidade de um evento 
E
 é denotada por: 
 
( )
( )
( )
n E
P E
n
=

 
 
Exemplo. Qual a chance de se retirar uma carta de ouros de um baralho comum? 
 
Logo, 
 
E
: retirar uma carta de ouros de um baralho comum 
X
: número de resultados favoráveis à ocorrência do evento 
E
 
T
: número total de resultados igualmente possíveis do espaço amostral 

 
Portanto, 
( )
( )
( )
( )
13 10,25 ou 25%
52 4
n E
P E P carta de ouro
n
=  = = =

 (13 cartas de ouro em 52 cartas). Isto é, temos 
25% de chance de retirar uma carta de ouros de um baralho comum. 
Probabilidade a Posteriori ou Frequentista 
 
 
5 
 
A abordagem frequentista depende da amostra considerada, trata-se da probabilidade avaliada empiricamente. 
Ela tem por objetivo estabelecer um modelo adequado à interpretação de certas classes de fenômenos 
observados (observe que nem todos); assim, quanto maior a amostra melhor a qualidade, mais confiável é o valor 
da probabilidade a posteriori. Através da “ideia” de frequência relativa, a probabilidade a posteriori para dado 
evento 
E
 é expressa por: 
 
( )
 
 
número de ocorrências do evento E
P E
némero total de ocorrências
=
 
 
Exemplo. Levantamento de dados próximo às eleições, em relação à proporção de eleitores que preferem certo 
candidato político a outro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Axiomas da Probabilidade 
• Axioma1: 
( )0 1P E 
 
• Axioma 2: 
( ) 1P  =
 
• Axioma 3: Se 
1 2 e E E
 são eventos mutuamente exclusivos, então 
 
( ) ( ) ( )1 2 1 2 ou P E E P E P E= +
 
 
Alguns dos Principais Teoremas sobre Probabilidade 
 
• O evento impossível possui probabilidade zero, isto é, 
( ) 0P  =
. 
• Se cE representa o evento complementar de E , então 
( ) ( )1cP E P E= −
. 
• Para quaisquer eventos, supor 
 e A B
, temos que 
( ) ( ) ( )cP A P A B P A B=  + 
. 
• Se 
( ) ( )A B P A P B  
. 
• Se associados a um espaço amostral 

 estiver dois eventos quaisquer, 
 e A B
, temos que: 
 
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + − 
 
Supor que um químico que produz um novo perfume para mulheres pode 
atribuir uma probabilidade de aceitação de seu perfume junto às mulheres 
bastante diferente da atribuída pelo dono do estabelecimento que estiver 
considerando a hipótese de negociar esse perfume. Isto se dá a atribuição de 
probabilidades subjetivas, ou seja, experiência passada; opinião passada; 
opinião pessoal, enfim poder de análise de uma situação específica; a esta 
abordagem denotamos de Probabilidade Subjetiva. 
A probabilidade subjetiva é especialmente útil para se tomar decisões 
quando não puder ser determinada empiricamente. 
 
 
6 
 
Caso os eventos 
 e A B
 forem mutuamente exclusivos, isto é, 
A B =
, temos que do teorema 
anterior: 
 
( ) ( ) ( )P A B P A P B = +
 
 
Probabilidade Condicional 
 
Considerando dois eventos 
 e A B
 associados a um espaço amostral 

. A probabilidade de 
A
 ocorrer dado 
que o evento 
B
 ocorreu é denotada pela expressão: 
 
( )
( )
( )
( )/ , em que 0
P A B
P A B P B
P B

= 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do Produto 
 
Do conceito de probabilidade condicional 
( )
( )
( )
( )/ , em que 0
P A B
P A B P B
P B

= 
, obtém-se o teorema do 
produto, ou também conhecido como teorema da multiplicação. Ou seja, 
 
( ) ( ) ( )/P A B P A P B A =
 
 
E que generalizando para 
n
 eventos temos: 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )... / . / ... / ...P A B C N P A P B A P C A B P N A B C  =   
 
 
 
Independência Estatística 
 
Dois eventos 
 e A B
 são independentes, se a informação da ocorrência ou não de 
B
 não altera a probabilidade 
de ocorrência de 
A
, isto é, 
 
( ) ( ) ( )/ , 0P A B P A P B= 
 
O que equivale à expressão: 
 
( ) ( ) ( ).P A B P A P B =
 
 
Importante! Não é difícil verificar que se 
A
 é independente de 
B
, então 
B
 é independente de 
A
. Além 
de, o uso da expressão acima nos permitir verificar que o evento vazio 
( )
 é independente de qualquer 
Desta forma, quando calculamos 
( )/P A B
, basta termos a “ideia” 
de que evento 
B
 fosse um novo espaço amostral reduzido dentro 
do qual queremos calcular a probabilidade do evento 
A
. 
 
 
7 
 
evento. 
 
Exemplo. O MF-EA26 é o mais recente avião teleguiado produzido por uma empresa americana. Testes são 
realizados e o índice de falha do sistema de controle deste avião teleguiado é de 1 em 15.000. Supondo-se que 
em cada avião produzido a partir de 2013 seja instalado um segundo sistema de controle, idêntico e 
independente do primeiro, para atuar quando esse último falhar. Sabendo-se que a confiabilidade de um sistema 
de controle é a probabilidade de o mesmo não falhar, qual a confiabilidade do avião produzido a partir deste ano 
de 2013? 
Informação! Considere 

 a confiabilidade do sistema de controle. 
 
Resolução: 
Primeiro denominamos o evento, depois com muita atenção definimos a probabilidade de interesse: 
iA
: avião falha ao decolar, em que 
1, 2i =
. 
( ) 1/15.000 0,00007iP A = =
 
 
Assim, a probabilidade de os dois sistemas de controle falhar é expressa por: 
( ) ( ) ( ) 21 2 1 2. 0,00007 0,000000004P A A P A P A = = =
 
 
Portanto, a confiabilidade do avião produzido a partir deste ano de 2013 é expressa por: 
1 0,000000004 0,999999996 99,99999960% = − =  
 
 
Teorema da Probabilidade Total 
 
Sejam 
1 2 3, , , , nE E E E
 eventos que constituem uma partição do espaço amostral 

, isto é, 
 
• 
1 2 3 nE E E E    =
 
• 
( ) 0, para todo 1,2, ,iP E i n =
 
• 
 para i jE E i j = 
 
 
Assim, se 
B
 representa um evento, temos o seguinte teorema, conhecido como teorema da Probabilidade 
Total: 
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
/
n n
i i i
i i
P B P E B P E P B E
= =
=  = 
 
 
Teorema de Bayes 
 
Considere 
1 2 3, , , , nA A A A
 eventos mutuamente excludentes cuja união representa o espaço amostral 

, isto 
é, um dos eventos necessariamente deve ocorrer. Observe o diagrama seguinte: 
 
 
 
8 
 
 
 
Assim, se 
B
 é um evento qualquer, temos o seguinte teorema, conhecido como teorema de Bayes, 
 
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
/
/
/
i i
i n
i i
i
P A P B A
P A B
P A P B A
=
=

 
Axiomas de 
 
 
 
 
 
Exemplo. Após um levantamento de dados, ambientalistas de uma ONG (Organização Não Governamental), 
constataram, em uma cidade próxima ao Rio Canoas, no estado de Santa Catarina, a existência de três 
indústrias: I, II, III. Cada indústria participa com 44%, 33% e 23%, respectivamente, da produção industrial da 
cidade. A proporção de gases poluentes lançados na atmosfera é de 3% pela indústria I, 1% pela indústria II e 2% 
pela indústria III. Uma análise da emissão de gases poluentes ou de partículas sólidas na atmosfera é realizada 
ao acaso nesta cidade, o que permitiu aos ambientalistas verificar a existência de poluição atmosférica. 
INFORMAÇÃO! Antes de iniciar os cálculos, FIXE a calculadora em 4 casas decimais. 
 
Com base nas informações descritas responda: 
 
A) Qual a probabilidade dos gases considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria I? 
B) Descreva por extenso a conclusão para o resultado encontrado na letra A. 
Resolução: 
A) Primeiro denominamos cada um dos eventos, depois com muita atenção definimos a probabilidade 
condicionada ao evento de interesse. 
I: representa o evento “lançado pela indústria I” 
G: representa o evento “gases poluentes lançados na atmosfera” 
Pergunta: Qual probabilidade dos gases considerados poluentes terem sidos lançados pela indústria I? Logo, 
queremos a probabilidade condicional de: 
( )/ ?P I G =
 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
/
/
PI G P I P G I
P I G
P G P G

= =
 
IMPORTANTE! Não se esqueça de que os gases poluentes podem provir de qualquer uma das três indústrias (e 
só de uma). Portanto, confira a seguir como realizar os cálculos de 
( )P G
, que representa a probabilidade dos 
gases considerados poluentes lançados na atmosfera. 
 
Como calcular 
( )P G
? 
Saiba que o teorema apresentado permite determinar as 
probabilidades dos vários eventos 
1 2 3, , , , nA A A A
 que podem ser a 
causa da ocorrência do evento 
B
. Devido a isto, o teorema de Bayes 
é também conhecido como teorema da probabilidade das causas. 
 
 
9 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ / /P G P I P G I P II P G II P III P G III= + +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,44 . 0,03 0,33 . 0,01 0,23 . 0,02 0,0211P G = + + =
 
Assim, 
( )
( ) ( )
( )
/
/
P I P G I
P I G
P G
=
 
( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
0,44 0,03
/
0,44 0,03 0,33 0,01 0,23 0,02
P I G =
+ +
 
( )
0,0132
/ 0,6256 ou 62,56%
0,0211
P I G = 
 
 
B) Portanto, conclui-se que a probabilidade dos gases, considerados poluentes, terem sido lançados pela 
indústria I é de 62,56%, aproximadamente. 
 
 
 
Resumo 
 
Iniciamos este roteiro apresentando os conceitos básicos atribuídos às probabilidades, e determinamos situações 
práticas às quais ela se aplica. Abordamos algumas definições e regras importantes e necessárias ao 
entendimento e aplicação do cálculo de probabilidades. Dentre elas, a Definição Clássica, a Definição 
Frequentista e a Definição Subjetiva, com a inserção de exemplos práticos e desenvolvidos passo a passo. 
 
Estudamos alguns axiomas e teoremas de probabilidade. Indicamos a leitura do texto Probabilidade (MORETTIN, 
2009), dentro do qual você conhecerá os Teoremas de Probabilidade, a probabilidade condicional e a aplicação 
do teorema de Bayes para o cálculo de probabilidades a posteriori, utilizando as probabilidades a priori. 
Aprimorando desta forma os conceitos aqui abordados. 
 
 
 
Leitura(s) 
 
 
CRESPO, Antonio Arnot, Estatística Fácil, 19. ed. – São Paulo: Saraiva, 2010. 
DOUGLAS, C. Montgomery, George C. Runger; tradução: Verônica Calado. Estatística aplicada e 
probabilidade para engenheiros. 2ª edição. Rio de Janeiro, Editora LTC, 2003. 
DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada. 2 ed. São Paulo, Saraiva, 2005. 
FONSECA, Jairo S. e Martins, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística: 6.ª edição. São Paulo, Editora 
Atlas, 2010. 
MOORE, D. A Estatística Básica e Sua Prática. 3. ed. Rio de Janeiro, LTC, 2005. 
MORAES, Fabíola E. A. Estatística descritiva. 1.ed. São Paulo, Ed. Pearson Prentice Hall, 2010. 
TOLEDO, Geraldo Luciano e OLVALLE, Ivo Izidoro, Estatística Básica. São Paulo: Atlas, 2008. 
 
 
 
 
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Atividades 
 
ATIVIDADES DE APRENDIZAGEM: 
 
ATIVIDADE 01 
 
Para FARIAS, A. A.; SOARES, J. F; CÉSAR C. C. (2008) é conveniente dispormos de uma medida que exprima a 
_____________ presente em afirmações tais como “É possível que chova amanhã” ou “Não há chance de 
vitória”, em termos de uma escala numérica que varie do impossível ao certo. Essa _____________ é a 
probabilidade. O conceito de _____________ é fundamental para o estudo de situações em que os 
_____________ são variáveis, mesmo quando mantidas inalteradas as condições de sua realização. Por 
exemplo, jogando-se um dado, temos seis resultados possíveis de cada vez. Embora não sejamos capazes de 
afirmar de antemão que resultado particular ocorrerá, temos condições de descrever o _____________ de todos 
os resultados possíveis do experimento. 
Entre outras palavras um _____________ de probabilidade é uma ação, ou tentativa, pelo quais resultados 
específicos (contagem, medições ou repostas) são obtidos. O resultado de uma única tentativa em um 
experimento de probabilidade é um resultado. O grupo de todos os resultados possíveis de um experimento de 
probabilidade é o _____________. Quando o espaço amostral consiste em um número finito ou infinito 
enumerável de _____________ é chamado espaço amostral discreto; se consiste em todos os números reais de 
determinado intervalo, é um espaço amostral contínuo. Um evento é um _____________ do espaço amostral. 
Quando constituído de apenas um elemento, chama-se evento simples. 
 
A alternativa que preenche CORRETAMENTE as lacunas acima é: 
 
A) incerteza; medida; probabilidade, resultados; conjunto; experimento; espaço amostral, eventos; subconjunto 
B) probabilidade; incerteza; experimento; eventos; espaço amostral; subconjunto; conjunto; medida; resultados 
C) probabilidade; incerteza; espaço amostral; eventos; experimento; subconjunto; conjunto; medida; resultados 
D) incerteza; medida; experimento; eventos; espaço amostral; resultados; conjunto; probabilidade; subconjunto 
E) probabilidade; incerteza; experimento; eventos; espaço amostral; resultados; medida; subconjunto; conjunto 
 
 
ATIVIDADE 02 
Defina o espaço amostral 

 para cada um dos experimentos aleatórios: 
 
A) Um dado é lançado duas vezes e anota-se a sequência dos números obtidos. 
B) Conta-se o número de peças defeituosas, durante uma hora, produzidas por uma linha de produção. 
C) Famílias com 4 crianças são pesquisadas e anota-se a configuração segundo o sexo obtida. 
D) De um fichário com quatro nomes, sendo dois mulheres e dois homens, seleciona-se ficha após ficha até o 
último nome de mulher seja selecionado. 
E) Uma moeda é lançada três vezes e anota-se a sequência obtida. 
 
 
ATIVIDADE 03 
Analise as afirmações a seguir, a respeito de distribuições de probabilidade. 
I. O termo espaço amostral, geralmente representado por 
S
 ou 

 (lê-se Ômega), é o conjunto de todos os 
possíveis resultados, de natureza quantitativa ou qualitativa, de um experimento aleatório. 
II. No lançamento de uma moeda honesta, o espaço amostral do experimento é 
 ,coroa coroa =
. 
 
 
11 
 
III. Considerando a expressão 
( ) ( ) , em que 1,2, ,i iP X x p x p i n= = = =
. E 
( )P X
 representa a função 
discreta de probabilidade ou função probabilidade, isto é, a função que associa a cada valor assumido pela 
variável aleatória 
X
 a probabilidade do evento correspondente. 
IV. Considerando o lançamento de uma moeda honesta, temos que a probabilidade 
( ) ( )1 2, 1 2P X cara P X coroa= = = =
, ou seja, cada ponto tem a mesma probabilidade de ocorrência. 
V. Uma função de probabilidade satisfaz o intervalo: 
0 1ip 
, em que 
1, 2, ,i n=
. Ou seja, a probabilidade 
ip
 assume valores maiores que zero ou menores que um. 
São corretas APENAS as afirmações: 
A) I, II e III 
B) I, III e IV 
C) II, III e V 
D) I, III, IV e V 
E) II, III, IV e V 
 
ATIVIDADE 04 
Analise as afirmações a seguir. Com base nessas afirmações faça a associação entre as colunas I e II. 
 
Coluna I Coluna II 
1. O gerente de uma indústria pretende conhecer 
 o número de peças defeituosas produzidas 
 durante um dia de trabalho. 
 
2. A probabilidade de qualquer evento 
E
 é repre- 
 sentada por um número entre 0 e 1. 
 
 
( )
 É exemplo de eventos mutuamente 
 excludentes 
 
( )
 O espaço amostral do experimento 
 é o conjunto de todos os números 
 reais positivos 
 
3. Uma pessoa tem um irmão, tem dois irmãos, tem 
 três irmãos, tem quatro irmãos. 
 
( )
 Logo, 
( )0 1P E 
 
 
 
4. O complemento do evento 
E
 = { todos os inteiros 
positivos menores ou iguais a vinte} 
 
( )
 O espaço amostral do experimento 
 é 
 / 0x x = 
 
 
5. Um técnicode segurança do trabalho quer estimar 
o nível de ruído, em decibéis, emitido por um 
prédio em construção na vizinhança. 
 
( )
 É representado por CE ={ todos 
 os inteiros positivos maiores que 
 vinte} 
 
 
Feita a associação, os números da coluna II, lidos de cima para baixo, são respectivamente. 
A) 2, 4, 1, 5, 3 
 
 
12 
 
B) 3, 5, 1, 4, 2 
C) 3, 5, 2, 1, 4 
D) 4, 2, 1, 3, 5 
E) 2, 4, 1, 3, 5 
 
ATIVIDADE 05 
Leia as afirmações referentes aos conceitos básicos de probabilidade e de algumas terminologias empregadas 
nesta ferramenta de auxílio e desenvolvimento de estratégias presentes no dia a dia. Com base nas afirmações 
assinale V para as verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) No cálculo da probabilidade, o resultado será um número real maior que 0 e menor que 1, ou o equivalente 
a dizer maior que 0% e menor que 100%. 
( ) Um espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados, de natureza quantitativa ou qualitativa, de 
um experimento aleatório. 
( ) No lançamento de uma moeda honesta, o espaço amostral é 
( , )cara coroa =
. 
( ) O complemento de um evento 
E
 consiste de todos os outros resultados no espaço amostral 

. 
 
A sequência CORRETA está contida em: 
 
A) V, V, V, V 
B) V, F, F, V 
C) F, V, V, V 
D) F, F, V, F 
E) V, V, V, F 
 
ATIVIDADE 06 
Nos estudos dos conceitos básicos de probabilidade e de algumas terminologias empregadas, observamos o 
quanto esta ferramenta de auxílio e desenvolvimento de estratégias está presente em nosso dia a dia. Com base 
nestes estudos, responda os itens seguintes: 
A) Considerando a probabilidade de um evento 
E
 expresso por 
( )P E
 é um número real compreendido entre 
0 e 1, inclusive, que indica a chance de ocorrência deste evento. Justifique as chances de ocorrência do 
evento 
E
 quando o valor da probabilidade está mais próxima de 1 e caso contrário quando está mais 
próximo de 0. 
B) Defina o espaço amostral 

 para o experimento aleatório em que um engenheiro, responsável pelo controle 
de qualidade no processo de produção, deseja escolher uma bateria para celulares e medir o seu tempo de 
vida útil. 
C) Considere o experimento que consiste no lançamento de três moedas honestas. Considere 
C
a ocorrência 
do evento cara, e 
K
 a ocorrência do evento coroa. 
D) Um estagiário responsável pela produção de uma fábrica pretende conhecer o número de peças para a 
fabricação de motores para máquina de lavar roupas defeituosas produzidas durante 1 hora. 
 
ATIVIDADE 07 
Um técnico de segurança do trabalho quer estimar o nível de ruído, em decibéis, emitido por um prédio em 
 
 
13 
 
construção na vizinhança. O espaço amostral desse experimento aleatório realizado pelo técnico de segurança 
do trabalho é: 
 
A) o conjunto de todos os números reais positivos, e com isto assume valor contínuo. 
B) igual a zero, e com isto assume valor discreto. 
C) o conjunto de todos os números reais positivos e negativos, e com isto assume valor discreto. 
D) o conjunto de todos os números reais negativos, e com isto assume valor contínuo. 
E) igual ou inferior a zero, e com isto assume valor discreto. 
 
ATIVIDADE 08 
Sejam 
 e A B
 dois eventos associados a um espaço de probabilidades. Suponha que 
( ) 0,2P A =
, 
( ) 0,6P A B =
 e 
( )P B p=
. Se 
 e A B
 forem mutuamente exclusivos, e se 
 e A B
 forem eventos 
independentes o valor de 
p
, respectivamente, é: 
A) 0,2 e 0,5 
B) 0,4 e 0,6 
C) 0,4 e 0,3 
D) 0,7 e 0,5 
E) 0,4 e 0,5 
 
 
ATIVIDADE 09 
Uma empresa contratou recentemente um grupo de operários para a linha de produção. Após certo tempo a 
empresa analisou a relação entre o desempenho dos operários no cumprimento da quota de produção e o fato de 
ter realizado um curso prévio de treinamento. As proporções de operários que cumpriram a quota de produção 
estão representadas no Quadro 1. 
 
Quadro 1 - Dados das proporções entre o desempenho dos operários no cumprimento da quota de 
produção e o fato de ter realizado um curso prévio de treinamento 
 Cumprir sua quota de produção 
Realizou um curso prévio de treinamento Sim Não Em partes Total 
Sim 0,10 0,08 0,02 0,20 
Não 0,15 0,45 0,20 0,80 
Total 0,25 0,53 0,22 1,00 
Fonte: dados simulados 
Após a leitura das informações apresentadas no Quadro 1, utilize as fórmulas para determinar os itens seguintes. 
A) Calcule a probabilidade de um operário escolhido ao acaso nesse grupo ter feito um curso prévio de 
treinamento. 
B) Caso seja verificado que o operário escolhido cumpriu sua quota de produção, calcule a probabilidade deste 
operário também ter realizado o curso prévio de treinamento. 
 
 
 
14 
 
ATIVIDADE 10 
Sejam 
 e A B
 dois eventos associados a um espaço de probabilidades. Suponha que 
( ) 0,4P A =
, 
( ) 0,7P A B =
 e 
( )P B p=
. 
A) Determine o valor de 
p
. Se 
 e A B
 forem mutuamente exclusivos. 
B) Determine o valor de 
p
. Se 
 e A B
 forem eventos independentes. 
 
ATIVIDADE 11 
Sabe-se que uma indústria de enlatados apresenta um processo de inspeção para controle de qualidade em três 
linhas de produção, I, II e III. A probabilidade de uma lata passar em qualquer dessas linhas de produção sem ser 
detectada é de aproximadamente 78%. Com base nestas informações, encontre a probabilidade de uma lata 
passar pelas três linhas de produção sem ser detectada. Apresente uma conclusão para o resultado obtido. 
 
ATIVIDADE 12 
As indústrias Alfa e Beta são responsáveis por 70% e 30%, respectivamente, da produção de peças para 
celulares de uma região. Os índices de peças defeituosas produzidas por estas indústrias equivalem a 4% e 6%, 
respectivamente. Se uma peça defeituosa foi selecionada ao acaso da produção destas indústrias, qual a 
probabilidade de que tenha sido produzida pela indústria Beta? Descreva por extenso a conclusão para o 
resultado encontrado. 
INFORMAÇÃO! Antes de iniciar os cálculos fixe a calculadora em 4 casas decimais. 
 
 
 
AVALIAÇÃO DA APRENDIZAGEM: 
O conteúdo deste roteiro é parte integrante da terceira avaliação prevista para o aluno concluir no semestre letivo. 
Essa avaliação será previamente marcada pela professora. Este roteiro de estudos deverá ser estudado e 
desenvolvido pelo aluno até antes da data desta terceira avaliação. O aluno será avaliado considerando a 
aplicação da metodologia empregada nas resoluções das questões da avaliação de forma adequada conforme o 
conteúdo apresentado neste roteiro e nas orientações do professor em sala de aula, além das referências 
indicadas. Não será atribuída pontuação para as atividades deste roteiro, pois se trata de atividades de 
verificação de aprendizagem. 
 
Componente: 90486 – ESTATÍSTICA DESCRITIVA - GABARITO 
 
ATIVIDADE RESPOSTA 
01 A 
02 ABERTA 
03 B 
04 C 
05 C 
06 
ABERTA (VER 
RESOLUÇÃO ABAIXO) 
 
 
15 
 
07 A 
8 E 
09 
ABERTA (VER 
RESOLUÇÃO ABAIXO) 
10 
A) 0,3 
 
B) 0,5 
11 
ABERTA (VER 
RESOLUÇÃO ABAIXO) 
12 
ABERTA (VER 
RESOLUÇÃO ABAIXO) 
 
 
 
06) 
Resposta: 
Informação! Apresentamos um modelo de resposta para a questão proposta e ressaltamos 
que o aluno poderá organizar a apresentação de suas respostas de forma levemente 
modificada. O importante é identificar o conteúdo e a coerência da resposta apresentada. Levar 
em conta que a aplicação dos conceitos é necessária, assim como a adequabilidade no seu 
desenvolvimento. 
 
A) A probabilidadede um evento A, denotada por P(A), é um número de 0 a 1 que indica a 
chance de ocorrência do evento A. Quanto mais próxima de 1 é P(A), maior é a chance de 
ocorrência do evento A, e quanto mais próxima de zero, menor é a chance de ocorrência do 
evento A. A um evento impossível atribui-se probabilidade zero, enquanto que um evento certo 
tem probabilidade 1,0. 
 As probabilidades podem ser expressas de diversas maneiras, inclusive decimais, frações e 
percentagens. Por exemplo, a chance de ocorrência de um determinado evento pode ser 
expressa como 20%; 2 em 10; 0,20 ou 1/5. 
B) 
 / 0t t = 
, em que 
t
 representa o tempo de vida útil. E podemos notar que 
0t =
 
inclui a possibilidade da bateria não apresentar carga logo no início do teste. 
 
C) Portanto, o espaço amostral do experimento é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , ; , , ; , , ; , , ; , , ; , , ; , , ; , ,C C C C C K C K C C K K K C C K C K K K C K K K= 
D) 
 / 0X X = 
, em que 
X
 representa o número de peças defeituosas. E podemos 
concluir que 
0X =
 inclui a possibilidade de não se produzir nenhuma peça defeituosa em 
uma hora. Ou 
1X =
, logo 
 0,1,2,... =
. 
09) 
Resposta: 
 
 
 
16 
 
A) Sabe-se que o operário é escolhido ao acaso em um grupo, e neste grupo 20% fez o curso 
prévio de treinamento. Considerando 
A
 o evento “fez o curso prévio de treinamento”, a 
probabilidade de um operário escolhido ao acaso nesse grupo ter feito um curso prévio de 
treinamento é 
( ) 0,20P A =
. 
 
B) Considerando 
B
 o evento “realizou um treinamento”, 
( ) 0,25P B =
. E como podemos 
verificar através do enunciado as informações que nos interessa no Quadro 1 se encontram 
na primeira coluna, isto é, no grupo de operários escolhido que cumpriu sua quota de 
produção, e que também realizou o curso prévio de treinamento. Portanto, 
0,10
0,4
0,25
=
. 
Assim, através da probabilidade condicional vamos estabelecer a probabilidade de 
A
 dado 
B
: 
 
 
( )
( )
( )
0,10
/ 0,40
0,25
P A B
P A B
P B

= = =
 
 
11) 
Resposta: 
A situação apresentada na questão sugere a aplicação da definição de eventos independentes, 
entre as três linhas de produção, em que podemos escrever: 
 
( ) ( ) ( ) ( )P I II III P I P II P III  =
 
( ) 30.78 47,45%P I II III  =  
Portanto, com base nas informações obtidas, a probabilidade de uma lata passar pelas três 
etapas de inspeção sem ser detectado é de 47,45%. 
12) 
Resposta: 
Primeiro denominamos cada um dos eventos, depois com muita atenção definimos a 
probabilidade condicionada ao evento de interesse. 
A: representa o evento “produzido pela indústria Alfa” 
B: representa o evento “produzido pela indústria Beta” 
d: representa o evento “peça defeituosa” 
De acordo com o enunciado sabe-se que: 
( ) 70% 0,70P A = =
 
( ) 30% 0,30P B = =
 
( )/ 4% 0,04P d A = =
 
 
 
17 
 
( )/ 6% 0,06P d B = =
 
 
Pergunta! Se uma peça defeituosa foi selecionada ao acaso da produção destas indústrias, 
qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela indústria Beta? 
Entre outras palavras qual a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser produzida 
pela indústria Beta dado que ela é defeituosa? Isto é: 
( )/ ?P B d = 
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
/
/
P B d P B P d B
P B d
P d P d

= =
 
 
IMPORTANTE! Não se esqueça de que as peças defeituosas podem provir de qualquer uma 
das duas indústrias (e só de uma). Portanto, confira a seguir como realizar os cálculos de 
( )P d
, que representa a probabilidade das peças defeituosas produzidas pelas indústrias 
Alfa e Beta. 
 
Como calcular 
( )P d
? 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )/ /P d P A P d A P B P d B= +
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,70 . 0,04 0,30 . 0,06 0,0460P d = + =
 
 
Assim, 
 
( )
( ) ( )
( )
/
/
P B P d B
P B d
P d
=
 
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
0,30 0,06
/
0,70 0,04 0,30 0,06
P B d =
+
 
( )
0,0180
/ 0,3913 ou 39,1304%
0,0460
P B d = 
 
 
Portanto, conclui-se que se uma peça defeituosa foi selecionada ao acaso da produção 
destas indústrias, a probabilidade de que tenha sido produzida pela indústria Beta é de 
39,1304% aproximadamente.