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Sistemas Lineares O´timos
Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Bruno Barbosa Albert
Universidade Federal de Campina Grande
Centro de Engenharia Ele´trica e Informa´tica
Departamento de Engenharia Ele´trica
8 de setembro de 2014
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Fernando Leal
”Na comunicac¸a˜o, o importante na˜o e´ aquilo que a gente diz, e
sim, o que o outro entende.”
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
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Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
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Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
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Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
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Objetivos de Aprendizagem
Sistemas Lineares O´timos
Definic¸a˜o e delimitac¸a˜o do problema
Estimac¸a˜o linear o´tima
Princ´ıpio da ortogonalidade
Filtragem causal
Predic¸a˜o
Suavizac¸a˜o
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Introduc¸a˜o
Vamos desenvolver algumas te´cnicas para o processamento de
sinais aleato´rios.
A teoria esta´ baseada no princ´ıpio da ortogonalidade.
Os sistemas discretos no tempo foram estudado por
Kolmogorov nos anos 1930.
No contexto de PE cont´ınuos no tempo o estudo foi realizado
por Wiener nos anos 1940.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Introduc¸a˜o
Vamos desenvolver algumas te´cnicas para o processamento de
sinais aleato´rios.
A teoria esta´ baseada no princ´ıpio da ortogonalidade.
Os sistemas discretos no tempo foram estudado por
Kolmogorov nos anos 1930.
No contexto de PE cont´ınuos no tempo o estudo foi realizado
por Wiener nos anos 1940.
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Sistemas Lineares O´timos
Introduc¸a˜o
Vamos desenvolver algumas te´cnicas para o processamento de
sinais aleato´rios.
A teoria esta´ baseada no princ´ıpio da ortogonalidade.
Os sistemas discretos no tempo foram estudado por
Kolmogorov nos anos 1930.
No contexto de PE cont´ınuos no tempo o estudo foi realizado
por Wiener nos anos 1940.
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Sistemas Lineares O´timos
Introduc¸a˜o
Vamos desenvolver algumas te´cnicas para o processamento de
sinais aleato´rios.
A teoria esta´ baseada no princ´ıpio da ortogonalidade.
Os sistemas discretos no tempo foram estudado por
Kolmogorov nos anos 1930.
No contexto de PE cont´ınuos no tempo o estudo foi realizado
por Wiener nos anos 1940.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Sistemas Lineares O´timos
Problema Geral
Considere um experimento cujas medic¸o˜es sa˜o func¸o˜es do
tempo.
Seja I o intervalo de tempo no qual as medic¸o˜es sa˜o
realizadas.
Temos enta˜o uma colec¸a˜o de medic¸o˜es {X (s), s ∈I}.
Estamos interessados em estimar os valores de um outro PE
Y (t) para t ∈ I ′, dada as medic¸o˜es do PE X (t).
Em geral X (t) 6= Y (t) e I ′ 6= I .
Estimadores na˜o lineares sa˜o dif´ıceis de tratar, mesmo para o
caso de uma u´nica v.a..
Portanto, o nosso foco sa˜o os estimadores lineares o´timos.
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Sistemas Lineares O´timos
Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Sistemas Lineares O´timos
Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Estimac¸a˜o Linear O´tima
Redefinindo nosso problema para o caso de estimac¸a˜o linear
o´tima de PEs, temos
Problema de estimac¸a˜o linear o´tima
Dado um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I}, derive o melhor
estimador linear de {Y (t), t ∈ I ′}.
Por exemplo, para um processo Xn discreto no tempo e com
me´dia zero
Observamos Xn no intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}
Usamos as a + b + 1 medic¸o˜es {Xn−a, . . . ,Xn, . . . ,Xn+b} para
obter uma estimac¸a˜o de Yn, que representamos por Yˆn.
Do estimador ser linear temos que
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
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Estimac¸a˜o Linear O´tima
Estimativa de Yn
Xn−a T T T
ha ha−1 h0 h−b
Yˆn
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Sistemas Lineares O´timos
Figura de Me´rito
Certamente, devemos especificar o crite´rio para decidir o
melhor estimador.
Considere Yˆ (t) o estimador de Y (t).
Seja
e(t) = Y (t)− Yˆ (t) ∀t ∈ I ′
o erro de estimac¸a˜o.
Baseado nas considerac¸o˜es para estimac¸a˜o de uma v.a.
(Sec¸a˜o 6.5.2) usaremos como crite´rio de otimizac¸a˜o o erro
quadra´tico me´dio,
E [e2(t)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))2].
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Sistemas Lineares O´timos
Figura de Me´rito
Certamente, devemos especificar o crite´rio para decidir o
melhor estimador.
Considere Yˆ (t) o estimador de Y (t).
Seja
e(t) = Y (t)− Yˆ (t) ∀t ∈ I ′
o erro de estimac¸a˜o.
Baseado nas considerac¸o˜es para estimac¸a˜o de uma v.a.
(Sec¸a˜o 6.5.2) usaremos como crite´rio de otimizac¸a˜o o erro
quadra´tico me´dio,
E [e2(t)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))2].
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Figura de Me´rito
Certamente, devemos especificar o crite´rio para decidir o
melhor estimador.
Considere Yˆ (t) o estimador de Y (t).
Seja
e(t) = Y (t)− Yˆ (t) ∀t ∈ I ′
o erro de estimac¸a˜o.
Baseado nas considerac¸o˜es para estimac¸a˜o de uma v.a.
(Sec¸a˜o 6.5.2) usaremos como crite´rio de otimizac¸a˜o o erro
quadra´tico me´dio,
E [e2(t)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))2].
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Figura de Me´rito
Certamente, devemos especificar o crite´rio para decidir o
melhor estimador.
Considere Yˆ (t) o estimador de Y (t).
Seja
e(t) = Y (t)− Yˆ (t) ∀t ∈ I ′
o erro de estimac¸a˜o.
Baseado nas considerac¸o˜es para estimac¸a˜o de uma v.a.
(Sec¸a˜o 6.5.2) usaremos como crite´rio de otimizac¸a˜o o erro
quadra´tico me´dio,
E [e2(t)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))2].
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Estamos supondo aqui que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o
conjuntamente WSS, com me´dias zero e autocorrelac¸o˜es
conhecidas RX (τ) e RY (τ), bem como as correlac¸o˜es cruzadas
RXY (τ) e RYX (τ).
A forma mais geral para um estimador linear para um conjunto
discreto de medic¸o˜es e´ uma soma ponderada de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∑
s∈I
h(t − s)X (s) ∀t ∈ I ′
E para um conjunto cont´ınuo de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∫
I
h(t − s)X (s) ds ∀t ∈ I ′
Certamente essa igualdades sa˜o verdadeiras no sentido da
me´dia quadra´tica.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Estamos supondo aqui que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o
conjuntamente WSS, com me´dias zero e autocorrelac¸o˜es
conhecidas RX (τ) e RY (τ), bem como as correlac¸o˜es cruzadas
RXY (τ) e RYX (τ).
A forma mais geral para um estimador linear para um conjunto
discreto de medic¸o˜es e´ uma soma ponderada de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∑
s∈I
h(t − s)X (s) ∀t ∈ I ′
E para um conjunto cont´ınuo de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∫
I
h(t − s)X (s) ds ∀t ∈ I ′
Certamente essa igualdades sa˜o verdadeiras no sentido da
me´dia quadra´tica.
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Estamos supondo aqui que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o
conjuntamente WSS, com me´dias zero e autocorrelac¸o˜esconhecidas RX (τ) e RY (τ), bem como as correlac¸o˜es cruzadas
RXY (τ) e RYX (τ).
A forma mais geral para um estimador linear para um conjunto
discreto de medic¸o˜es e´ uma soma ponderada de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∑
s∈I
h(t − s)X (s) ∀t ∈ I ′
E para um conjunto cont´ınuo de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∫
I
h(t − s)X (s) ds ∀t ∈ I ′
Certamente essa igualdades sa˜o verdadeiras no sentido da
me´dia quadra´tica.
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Estimador Linear O´timo
Estamos supondo aqui que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o
conjuntamente WSS, com me´dias zero e autocorrelac¸o˜es
conhecidas RX (τ) e RY (τ), bem como as correlac¸o˜es cruzadas
RXY (τ) e RYX (τ).
A forma mais geral para um estimador linear para um conjunto
discreto de medic¸o˜es e´ uma soma ponderada de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∑
s∈I
h(t − s)X (s) ∀t ∈ I ′
E para um conjunto cont´ınuo de medic¸o˜es
Yˆ (t) =
∫
I
h(t − s)X (s) ds ∀t ∈ I ′
Certamente essa igualdades sa˜o verdadeiras no sentido da
me´dia quadra´tica.
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Determinamos o melhor estimador para 3 casos:
Filtragem (causal)
Nesse caso as medic¸o˜es passadas e presente de X (s) sa˜o usadas
para estimar o valor presente de Y (t). Ou seja, I = (−∞, t] ou
I = [a, t] e I ′ = {t}.
Um caso t´ıpico de filtragem e´ temos o sinal observado X (t) e´
o sinal desejado Y (t) mais um na˜o desejado ru´ıdo N(t), ou
seja:
X (t) = Y (t) + N(t)
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Estimador Linear O´timo
Determinamos o melhor estimador para 3 casos:
Filtragem (causal)
Nesse caso as medic¸o˜es passadas e presente de X (s) sa˜o usadas
para estimar o valor presente de Y (t). Ou seja, I = (−∞, t] ou
I = [a, t] e I ′ = {t}.
Um caso t´ıpico de filtragem e´ temos o sinal observado X (t) e´
o sinal desejado Y (t) mais um na˜o desejado ru´ıdo N(t), ou
seja:
X (t) = Y (t) + N(t)
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Estimador Linear O´timo
Determinamos o melhor estimador para 3 casos:
Filtragem (causal)
Nesse caso as medic¸o˜es passadas e presente de X (s) sa˜o usadas
para estimar o valor presente de Y (t). Ou seja, I = (−∞, t] ou
I = [a, t] e I ′ = {t}.
Um caso t´ıpico de filtragem e´ temos o sinal observado X (t) e´
o sinal desejado Y (t) mais um na˜o desejado ru´ıdo N(t), ou
seja:
X (t) = Y (t) + N(t)
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Estimador Linear O´timo
Predic¸a˜o
Nesse caso as medic¸o˜es passadas de X (s) sa˜o usadas para estimar
um valor “futuro” da v.a. Y (t). Assim, I = (−∞, t] e
I ′ = t ′, t ′ > t ou I = {t, t + 1, . . . , t ′ − 1} e I ′ = t ′.
Em geral Y (t) = X (t), ou seja, estamos usando medic¸o˜es
passadas de Y (t) para predizer o pro´prio processo Y (t).
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Estimador Linear O´timo
Predic¸a˜o
Nesse caso as medic¸o˜es passadas de X (s) sa˜o usadas para estimar
um valor “futuro” da v.a. Y (t). Assim, I = (−∞, t] e
I ′ = t ′, t ′ > t ou I = {t, t + 1, . . . , t ′ − 1} e I ′ = t ′.
Em geral Y (t) = X (t), ou seja, estamos usando medic¸o˜es
passadas de Y (t) para predizer o pro´prio processo Y (t).
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Suavizac¸a˜o
Nesse caso as medic¸o˜es passadas, presente e futuras de X (s) sa˜o
usadas para estimar um valor de Y (t). Ou seja, I = (−∞,∞) e
I ′ = {t} ou I = (−∞, t ′] e I ′ = {t}, t ′ > t.
A realizac¸a˜o completa das medic¸o˜es de X (s) foi gravada.
Nesse caso tambe´m temos um sinal do tipo
X (t) = Y (t) + N(t)
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Suavizac¸a˜o
Nesse caso as medic¸o˜es passadas, presente e futuras de X (s) sa˜o
usadas para estimar um valor de Y (t). Ou seja, I = (−∞,∞) e
I ′ = {t} ou I = (−∞, t ′] e I ′ = {t}, t ′ > t.
A realizac¸a˜o completa das medic¸o˜es de X (s) foi gravada.
Nesse caso tambe´m temos um sinal do tipo
X (t) = Y (t) + N(t)
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Sistemas Lineares O´timos
Estimador Linear O´timo
Suavizac¸a˜o
Nesse caso as medic¸o˜es passadas, presente e futuras de X (s) sa˜o
usadas para estimar um valor de Y (t). Ou seja, I = (−∞,∞) e
I ′ = {t} ou I = (−∞, t ′] e I ′ = {t}, t ′ > t.
A realizac¸a˜o completa das medic¸o˜es de X (s) foi gravada.
Nesse caso tambe´m temos um sinal do tipo
X (t) = Y (t) + N(t)
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Sistemas Lineares O´timos
Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro e(t) e cada medic¸a˜o individual sa˜o ortogonais, ou seja,
ReX (t, s) = E [e(t)X (s)] = 0, ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I
Isso pode produzir um nu´mero infinito de equac¸o˜es, uma para
cada par (t, s).
A partir da equac¸a˜o da ortogonalidade
E [e(t)X (s)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))X (s)]
= E [Y (t)X (s)]− E [Yˆ (t)X (s)] = 0.
e portanto,
E [Y (t)X (s)] = E [Yˆ (t)X (s)], ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I .
Essa equac¸a˜o e´ a base para o desenvolvimento dos melhores
estimadores.
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro e(t) e cada medic¸a˜o individual sa˜o ortogonais, ou seja,
ReX (t, s) = E [e(t)X (s)] = 0, ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I
Isso pode produzir um nu´mero infinito de equac¸o˜es, uma para
cada par (t, s).
A partir da equac¸a˜o da ortogonalidade
E [e(t)X (s)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))X (s)]
= E [Y (t)X (s)]− E [Yˆ (t)X (s)] = 0.
e portanto,
E [Y (t)X (s)] = E [Yˆ (t)X (s)], ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I .
Essa equac¸a˜o e´ a base para o desenvolvimento dos melhores
estimadores.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro e(t) e cada medic¸a˜o individual sa˜o ortogonais, ou seja,
ReX (t, s) = E [e(t)X (s)] = 0, ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I
Isso pode produzir um nu´mero infinito de equac¸o˜es, uma para
cada par (t, s).
A partir da equac¸a˜o da ortogonalidade
E [e(t)X (s)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))X (s)]
= E [Y (t)X (s)]− E [Yˆ (t)X (s)] = 0.
e portanto,
E [Y (t)X (s)] = E [Yˆ (t)X (s)], ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I .
Essa equac¸a˜o e´ a base para o desenvolvimento dos melhores
estimadores.
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Sistemas Lineares O´timos
Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro e(t) e cada medic¸a˜o individual sa˜o ortogonais, ou seja,
ReX (t, s) = E [e(t)X (s)] = 0, ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I
Isso pode produzir um nu´mero infinito de equac¸o˜es, uma para
cada par (t, s).
A partir da equac¸a˜o da ortogonalidade
E [e(t)X (s)] = E [(Y (t)− Yˆ (t))X (s)]
= E [Y (t)X (s)]− E [Yˆ (t)X (s)] = 0.
e portanto,
E [Y (t)X (s)] = E [Yˆ (t)X (s)], ∀t ∈ I ′, ∀s ∈ I .
Essa equac¸a˜o e´ a base para o desenvolvimento dos melhores
estimadores.
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Sistemas Lineares O´timos
Princ´ıpio da Ortogonalidade
Considere o processo estoca´stico discreto no tempo Yn
que desejamos estimar a partir da observac¸a˜o de Xn no
intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}.
Se Yˆn for um estimador linear o´timo de Yn enta˜o pelo
princ´ıpio da ortogonalidade temos que
EYnXk = EYˆnXk
assim
EYnXk = E [(
a∑
i=−b
hiXn−i )Xk ]
=
a∑
i=−b
hiEXn−iXk =
a∑
i=−b
hiRX (n − i − k)
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Considere o processo estoca´stico discreto no tempo Yn
que desejamos estimar a partir da observac¸a˜o de Xn no
intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}.
Se Yˆn for um estimador linear o´timo de Yn enta˜o pelo
princ´ıpio da ortogonalidade temos que
EYnXk = EYˆnXk
assim
EYnXk= E [(
a∑
i=−b
hiXn−i )Xk ]
=
a∑
i=−b
hiEXn−iXk =
a∑
i=−b
hiRX (n − i − k)
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Considere o processo estoca´stico discreto no tempo Yn
que desejamos estimar a partir da observac¸a˜o de Xn no
intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}.
Se Yˆn for um estimador linear o´timo de Yn enta˜o pelo
princ´ıpio da ortogonalidade temos que
EYnXk = EYˆnXk
assim
EYnXk = E [(
a∑
i=−b
hiXn−i )Xk ]
=
a∑
i=−b
hiEXn−iXk =
a∑
i=−b
hiRX (n − i − k)
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Considere o processo estoca´stico discreto no tempo Yn
que desejamos estimar a partir da observac¸a˜o de Xn no
intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}.
Se Yˆn for um estimador linear o´timo de Yn enta˜o pelo
princ´ıpio da ortogonalidade temos que
EYnXk = EYˆnXk
assim
EYnXk = E [(
a∑
i=−b
hiXn−i )Xk ]
=
a∑
i=−b
hiEXn−iXk =
a∑
i=−b
hiRX (n − i − k)
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Considere o processo estoca´stico discreto no tempo Yn
que desejamos estimar a partir da observac¸a˜o de Xn no
intervalo de tempo I = {n − a, . . . , n + b}.
Se Yˆn for um estimador linear o´timo de Yn enta˜o pelo
princ´ıpio da ortogonalidade temos que
EYnXk = EYˆnXk
assim
EYnXk = E [(
a∑
i=−b
hiXn−i )Xk ]
=
a∑
i=−b
hiEXn−iXk =
a∑
i=−b
hiRX (n − i − k)
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Ou seja EYnXk = RYX (n, k) = RYX (n − k) e portanto Yn e
Xk sa˜o conjuntamnte estaciona´rios.
Fazendo n − k = m temos
RYX (m) =
a∑
i=−b
hiRX (m − i) a ≤ m ≤ b.
O filtro linear o´timo deve satisfazer o conjunto de a + b + 1
equac¸o˜es lineares acima.
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Ou seja EYnXk = RYX (n, k) = RYX (n − k) e portanto Yn e
Xk sa˜o conjuntamnte estaciona´rios.
Fazendo n − k = m temos
RYX (m) =
a∑
i=−b
hiRX (m − i) a ≤ m ≤ b.
O filtro linear o´timo deve satisfazer o conjunto de a + b + 1
equac¸o˜es lineares acima.
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Ou seja EYnXk = RYX (n, k) = RYX (n − k) e portanto Yn e
Xk sa˜o conjuntamnte estaciona´rios.
Fazendo n − k = m temos
RYX (m) =
a∑
i=−b
hiRX (m − i) a ≤ m ≤ b.
O filtro linear o´timo deve satisfazer o conjunto de a + b + 1
equac¸o˜es lineares acima.
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro quadra´tico me´dio do filtro o´timo pode ser determinado
da seguinte forma
Observe que o erro en e a estimativa Yˆn sa˜o ortogonais, pois
EenYˆn = E [en
n+b∑
i=n−a
hn−iXi ] =
n+b∑
i=n−a
hn−iE [enXi ] = 0
isso vem do fato de que E [enXi ] = 0, portanto o erro
quadra´tico me´dio pode ser escrito como
Ee2n = E [en(Yn − Yˆn)] = EenYn
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro quadra´tico me´dio do filtro o´timo pode ser determinado
da seguinte forma
Observe que o erro en e a estimativa Yˆn sa˜o ortogonais, pois
EenYˆn = E [en
n+b∑
i=n−a
hn−iXi ] =
n+b∑
i=n−a
hn−iE [enXi ] = 0
isso vem do fato de que E [enXi ] = 0, portanto o erro
quadra´tico me´dio pode ser escrito como
Ee2n = E [en(Yn − Yˆn)] = EenYn
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
O erro quadra´tico me´dio do filtro o´timo pode ser determinado
da seguinte forma
Observe que o erro en e a estimativa Yˆn sa˜o ortogonais, pois
EenYˆn = E [en
n+b∑
i=n−a
hn−iXi ] =
n+b∑
i=n−a
hn−iE [enXi ] = 0
isso vem do fato de que E [enXi ] = 0, portanto o erro
quadra´tico me´dio pode ser escrito como
Ee2n = E [en(Yn − Yˆn)] = EenYn
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Substituindo en na equac¸a˜o anterior, temos
Ee2n = E [(Yn − Yˆn)Yn] = EYnYn − EYnYˆn
= RY (0)− E [Yn
a∑
i=−b
hiXn−i ]
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiEYnXn−i
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
Similarmente para o caso cont´ınuo no tempo temos
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(τ)RYX (τ) dτ
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Substituindo en na equac¸a˜o anterior, temos
Ee2n = E [(Yn − Yˆn)Yn] = EYnYn − EYnYˆn
= RY (0)− E [Yn
a∑
i=−b
hiXn−i ]
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiEYnXn−i
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
Similarmente para o caso cont´ınuo no tempo temos
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(τ)RYX (τ) dτ
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Substituindo en na equac¸a˜o anterior, temos
Ee2n = E [(Yn − Yˆn)Yn] = EYnYn − EYnYˆn
= RY (0)− E [Yn
a∑
i=−b
hiXn−i ]
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiEYnXn−i
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
Similarmente para o caso cont´ınuo no tempo temos
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(τ)RYX (τ) dτ
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Substituindo en na equac¸a˜o anterior, temos
Ee2n = E [(Yn − Yˆn)Yn] = EYnYn − EYnYˆn
= RY (0)− E [Yn
a∑
i=−b
hiXn−i ]
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiEYnXn−i
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
Similarmente para o caso cont´ınuo no tempo temos
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(τ)RYX (τ) dτ
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Substituindo en na equac¸a˜o anterior, temos
Ee2n = E [(Yn − Yˆn)Yn] = EYnYn − EYnYˆn
= RY (0)− E [Yn
a∑
i=−b
hiXn−i ]
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiEYnXn−i
= RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
Similarmente para o caso cont´ınuo no tempo temos
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(τ)RYX (τ) dτ
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Teorema: caso discreto
Considere Xn e Yn processos discretos no tempo com esperanc¸a nula e
conjuntamente WSS. Seja Yˆn uma estimativa de Yn da forma
Yˆn =
n+b∑
i=n−a
hn−iXi =
a∑
i=−b
hiXn−i
O filtro hn que minimiza E (Yn − Yˆn)2 satisfaz a equac¸a˜o
RYX (m) =
a∑
i=−b
hiRX (m − i) a ≤ m ≤ b.
e o erro quadra´tico me´dio e´ dado por
Ee2n = RY (0)−
a∑
i=−b
hiRYX (i)
.
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Princ´ıpio da Ortogonalidade
Teorema: caso cont´ınuo
Considere X (t) e Y (t) processos cont´ınuos no tempo com esperanc¸a
nula e conjuntamente WSS. Seja Yˆ (t) uma estimativa de Y (t) da forma
Yˆ (t) =
∫ t+b
t−a
h(t − s)X (s) ds =
∫ a
−b
h(s)X (t − s) ds
O filtro h(s) que minimiza E (Yn − Yˆn)2 satisfaz a equac¸a˜o
RYX (τ) =
∫ a
−b
h(s)RX (τ − s) ds − b ≤ τ ≤ a.
e o erro quadra´tico me´dio e´ dado por
Ee2(t) = RY (0)−
∫ a
−b
h(s)RYX (s) ds
.
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Sistemas Lineares O´timos
Filtragem causal
Problema:
Considere um conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I} em que
I = (−∞, t]. Para qualquer valor de t ∈ < desejamos obter a
melhor estimativa linear da v.a. Y (t), baseada no conjunto de
medic¸o˜es.
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Sistemas Lineares O´timos
Filtragem causal
Teorema: (caso cont´ınuo)
Considere que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o conjuntamente WSS, com
me´dias zero e
Yˆ (t) =
∫ t
−∞
h(t − s)X (s) ds
uma estimativa de Y (t). O melhor filtro linear causal h(s) e´ dado
pela soluc¸a˜oda equac¸a˜o
RXY (τ) =
∫ τ
−∞
h(τ − s)RX (s) ds.
O erro quadra´tico me´dio m´ınimo e´ igual a
emin = RY (0) =
∫ t
−∞
h(t − s)RYX (t − s) ds
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Sistemas Lineares O´timos
Filtragem causal
Teorema no dom´ınio da frequeˆncia: (caso cont´ınuo)
Considere que os PEs X (t) e Y (t) sa˜o conjuntamente WSS, com
me´dias zero. O melhor filtro linear causal H(f ) para estimac¸a˜o de
Y (t) dado o conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I} e´ dado por
H(f ) =
S ′YX (f )
SX (f )
em que
S ′YX (f ) =
∫ ∞
0
RYX (τ)e
−j2pif τ dτ.
Observe que S ′YX (f ) 6= SYX (f ) pois a integral na˜o e´ de −∞ a ∞.
Bruno Barbosa Albert Processos Estoca´sticos
Sistemas Lineares O´timos
Predic¸a˜o
Problema:
Considere um conjunto n de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I} em que
I = {t − n, t − n + 1, . . . , t − 1}. Para qualquer valor de t ∈ <
desejamos obter a melhor estimativa linear da v.a. Y (t), baseada
no conjunto de medic¸o˜es. Ou seja, deseja-se predizer valores
futuros de X (t), portanto Y (t) = X (t).
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Sistemas Lineares O´timos
Predic¸a˜o
Teorema:
Considere que o PE X (t) seja WSS, com me´dia zero e
ˆX (t) =
∑
s∈I
h(t − s)X (s)
um estimador preditor de X (t). O melhor preditor h(s) satisfaz a
equac¸a˜o
RX (τ) =
∑
s∈I
h(s)RX (τ − s), τ ∈ {1, . . . , n} (1)
o erro quadra´tico me´dio m´ınimo e´ igual a
emin = RX (0)−
∑
s∈I
h(s)RX (s).
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Sistemas Lineares O´timos
Predic¸a˜o
A partir da equac¸a˜o (1) do teorema anterior veˆ-se que os
coeficientes do preditor o´timo podem ser obtidos resolvendo
um sistema de n equac¸o˜es e n ico´gnitas h(1), h(2), . . . , h(n).
Reescrevendo a equac¸a˜o (1) na forma matricial
RX (0) RX (1) . . . RX (n − 1)
RX (1) RX (0) . . . RX (n − 2)
...
...
. . .
...
RX (n − 1) RX (n − 2) . . . RX (0)


h(1)
h(2)
...
h(n)
 =

RX (1)
RX (2)
...
RX (n)

obtemos as equac¸o˜es de Yule-Walker.
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Predic¸a˜o
A partir da equac¸a˜o (1) do teorema anterior veˆ-se que os
coeficientes do preditor o´timo podem ser obtidos resolvendo
um sistema de n equac¸o˜es e n ico´gnitas h(1), h(2), . . . , h(n).
Reescrevendo a equac¸a˜o (1) na forma matricial
RX (0) RX (1) . . . RX (n − 1)
RX (1) RX (0) . . . RX (n − 2)
...
...
. . .
...
RX (n − 1) RX (n − 2) . . . RX (0)


h(1)
h(2)
...
h(n)
 =

RX (1)
RX (2)
...
RX (n)

obtemos as equac¸o˜es de Yule-Walker.
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Sistemas Lineares O´timos
Predic¸a˜o
Esse sistema na˜o e´ facilmente resolvido pelos me´todos
tradicionais para n grande.
No entanto, aproveitando a estrutura peculiar da matriz
podemos usar me´todos recursivos como o algoritmo de
Levinson para avaliar os coeficientes do filtro preditor o´timo.
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Sistemas Lineares O´timos
Predic¸a˜o
Esse sistema na˜o e´ facilmente resolvido pelos me´todos
tradicionais para n grande.
No entanto, aproveitando a estrutura peculiar da matriz
podemos usar me´todos recursivos como o algoritmo de
Levinson para avaliar os coeficientes do filtro preditor o´timo.
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Suavizac¸a˜o
Problema:
Considere o conjunto de medic¸o˜es {X (s), s ∈ I} em que
I = (−∞,∞) ou I = (−∞,T ) e T > t. Desejamos obter a
melhor estimativa linear da v.a. Y (t) = X (t) para t ∈ I .
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Sistemas Lineares O´timos
Suavizac¸a˜o
O termo suavizac¸a˜o se origina das aplicac¸o˜es nas quais
medidas “futuras” sa˜o processadas para remover ru´ıdos de alta
frequeˆncia e portanto suavizar m sinal de baixa frequeˆncia.
Eventualmente o termo suavizac¸a˜o “off-line” e´ tambe´m usado
para destacar que as medic¸o˜es sa˜o armazenadas primeiro e
depois processadas “off-line”.
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Suavizac¸a˜o
O termo suavizac¸a˜o se origina das aplicac¸o˜es nas quais
medidas “futuras” sa˜o processadas para remover ru´ıdos de alta
frequeˆncia e portanto suavizar m sinal de baixa frequeˆncia.
Eventualmente o termo suavizac¸a˜o “off-line” e´ tambe´m usado
para destacar que as medic¸o˜es sa˜o armazenadas primeiro e
depois processadas “off-line”.
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Suavizac¸a˜o
Considere o estimador de suavizac¸a˜o para I = (−∞,∞) no caso
de um conjunto discreto de medic¸o˜es
ˆY (t) =
∞∑
s=−∞
h(t − s)X (s)
ou no caso de um conjunto cont´ınuo de medic¸o˜es
ˆY (t) =
∫ ∞
−∞
h(t − s)X (s) ds
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Suavizac¸a˜o
Teorema:
Seja X (t) WSS com me´dia zero. O filtro de suavizac¸a˜o o´timo
H(f ) para a v.a. Y (t) = X (t) dado o conjunto de medic¸o˜es
{X (s), s ∈ I} e´ dado por
H(f ) =
SXY (f )
SX (f )
.
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	Sistemas Lineares Ótimos