Pré-cálculo - Trigonometria

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➢ Introdução 
 
A trigonometria originou-se com parte do estudo dos triângulos. O nome trigonometria significa, de 
certa forma, medida de figuras com três ângulos [lados] e as primeiras definições de funções 
trigonométricas foram em ternos de triângulos. No entanto, as funções trigonométricas podem ser 
definidas usando-se o círculo unitário [trigonométrico], uma definição que as faz periódicas. Muitos 
processos que ocorrem naturalmente são periódicos também. O nível da água em uma bacia 
sujeita às mares, a pressão sanguínea em um coração, uma corrente alternada e a posição de 
moléculas de ar transmitindo uma nota musical variam regularmente. Tais fenômenos, entre 
outros, são representados por funções trigonométricas, também conhecidas como funções 
circulares. 
 
Baseado no texto da p. 24 do livro: HUGHES-HALLETT, Deborah et al. Cálculo de uma Variável. 
3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004. 
 
➢ Relações Trigonométricas 
 
 
 
 H= Hipotenusa 
C.A= Cateto Adjacente 
C.O= Cateto Oposto 
α= Ângulo de análise 
 
Quadro 1: Relações trigonométricas 
𝑠𝑒𝑛(α) =
𝐶. 𝑂
ℎ
 𝑠𝑒𝑐(α) =
1
𝑐𝑜𝑠(α)
 
𝑐𝑜𝑠(α) =
𝐶. 𝐴
ℎ
 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(α) =
1
𝑠𝑒𝑛(α)
 
𝑡𝑔(α) =
𝐶. 𝑂
𝐶. 𝐴
 𝑐𝑜𝑡𝑔(α) =
1
𝑡𝑔(α)
 
Pré-cálculo – Trigonometria 
Monitoras: Anna Clara Marques e Elisânia Gonçalves 
• Relações Trigonométricas 
• Círculo Trigonométricos 
• Unidades Angulares 
• Seno e Cosseno da soma e subtração de Arcos 
• Funções trigonométricas 
 
✓ Relações fundamentais da trigonometria: 
 
𝑠𝑒𝑛2(α) + 𝑐𝑜𝑠2(α) = 1 
 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2(α) = 𝑠𝑒𝑐2(α) 
 1 + 𝑡𝑔2(α) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(α) 
 
✓ Senos, cossenos e tangentes notáveis: 
O seno, cosseno e a tangente não possuem uma relação linear. Isso significa que por exemplo: 
𝑠𝑒𝑛(60°) = 𝑠𝑒𝑛(2 . 30°) ≠ 2. 𝑠𝑒𝑛(30°) 
Para encontrar o valor do seno, cosseno e tangente você pode recorrer a boa e velha calculadora. 
E quando não puder usá-la? 
Relaxa, você pode recorrer a tabelinha de seno, cosseno e tangente de ângulos comuns! 
 
Quadro 2: Relações trigonométricas de ângulos notáveis 
 0 
(0°) 
π
6⁄ 
(30°) 
π
4⁄ 
 (45°) 
π
4⁄ 
(60°) 
π
2⁄ 
 (90°) 
π 
 (180°) 
3π
2⁄ 
(270°) 
2π 
(360°) 
 
𝑠𝑒𝑛 (𝛼) 
 
0 
1
2
 
 
√ 2
2
 
 
√ 3
2
 
 
 
1 
 
 
0 
 
-1 
 
0 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛼) 
 
 
1 
√ 3
2
 
 
√ 2
2
 
 
1
2
 
 
 
0 
 
 
-1 
 
0 
 
1 
 
𝑡𝑔 (𝛼) 
 
 
0 
√ 3
3
 
 
 
1 
 
√ 3 
 
Não se 
define 
 
0 
 
Não se 
define 
 
0 
 
𝑐𝑜𝑡𝑔 (𝛼) 
 
 
 
Não se 
define 
 
√ 3 
 
1 
√ 3
3
 
 
 
0 
 
Não se 
define 
 
0 
 
Não se 
define 
 
𝑠𝑒𝑐 (𝛼) 
 
 
1 
2√ 3
3
 
 
 
√ 2 
 
2 
 
Não se 
define 
 
-1 
 
Não se 
define 
 
1 
 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 (𝛼) 
 
 
 
Não se 
define 
 
2 
 
√ 2 
2√ 3
3
 
 
 
1 
 
Não se 
define 
 
-1 
 
Não se 
define 
 
 
➢ Círculo Trigonométrico 
A ideia do círculo trigonométrico é representar as relações do o seno e cosseno através de um 
círculo de raio 1. Vamos lá! 
Primeiramente vamos representar uma circunferência centrada em (0,0) de raio 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dentro do círculo, consideramos o ângulo de análise partindo da parte positiva do eixo x e 
crescendo no sentido anti-horário: 
 
Se partíssemos da parte positiva do eixo x, mas percorrendo a circunferência no sentido horário, 
teríamos valores negativos de ângulo, como -30° , -60°, etc. 
É importante saber que o círculo trigonométrico é dividido em quadrantes e seus números crescem 
no sentido anti-horário, como mostra a figura: 
 
 
 
 
 
 
➢ Unidades Angulares 
As unidades para ângulo são: o grau (º), o radiano (rad) e o grado (gr). Vale observar que, no 
SI (Sistema Internacional de Unidades), a unidade para ângulo plano é o radiano. Das unidades 
em questão, o radiano é a única que dispensa a utilização de seu símbolo, neste caso “rad”. Assim, 
no ciclo trigonométrico abaixo, temos as extremidades dos quadrantes indicadas com as 3 
unidades angulares mencionadas: 
 
Como o círculo trigonométrico é uma circunferência de raio 1, podemos representar um ângulo 
pelo comprimento da sua circunferência, uma vez que o comprimento 𝑐, em radianos, de uma 
circunferência é: 
𝑐 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 
 
 
 
 
Arco 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
grau 
 
90° 
 
180° 
 
270° 
 
360° 
 
radiano 
 
π
2⁄ 
 
 
π 
 
3π
2⁄ 
 
 
2π 
 
grado 
 
100 gr 
 
200 gr 
 
300 gr 
 
400 gr 
 
✓ Arcos (ou ângulos) complementares 
São aqueles cuja soma resulta em 90°. Para esses ângulos, o valor do seno de um é igual o 
valor do cosseno outro e vice-versa. Exemplo: 
Considere os ângulos 30°𝑒 60°: 
𝑠𝑒𝑛(30°) = 𝑐𝑜𝑠( 60°) =
 1
2
 
𝑐𝑜𝑠(30°) = 𝑠𝑒𝑛( 60°) = 
√ 3
3
 
 
✓ Arcos (ou ângulos) congruentes 
São arcos [ou ângulos] de mesma origem e de mesma extremidade, que diferem um do outro 
apenas pelo número de voltas no ciclo trigonométrico, independente do sentido da orientação. 
Veja: 
10° = 370° = 730° = 1090° = −350° = −710° = ⋯ 
 Note que: 
−350° = 10° − 360° − 360° → 10° + 360°. (−2) 
−710° = 10° − 360° → 10° + 360°. (−1) 
370° = 10° + 360° → 10° + 360°. (1) 
730° = 10° + 360° + 360° → 10° + 360°. (2) 
1090° = 10° + 360° + 360° + 360° → 10° + 360°. (3) 
 
Assim, todo ângulo  tem uma expressão geral do tipo: 
 = ′+ k . 360° , com 𝑘   
Sendo 𝑘 o número de voltas e ’ a “1ª determinação positiva”. 
Para o caso acima, temos: 
 = 10°+ k . 360° , com k   . 
 
➢ Seno, Cosseno e Tangente da soma e subtração de Arcos 
e transformações trigonométricas para Arcos 
 
✓ Seno 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) . cos(𝑏) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑏). cos (𝑎) 
𝑠𝑒𝑛(𝑎 − 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) . cos(𝑏) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑏). cos (𝑎) 
𝑠𝑒𝑛(2𝑎) = 2 . 𝑠𝑒𝑛 (𝑎) . cos (𝑎) 
𝑠𝑒𝑛(𝑎) + 𝑠𝑒𝑛(𝑏) = 2 . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑎 + 𝑏
2
) . 𝑐𝑜𝑠 (
𝑎 − 𝑏
2
) 
𝑠𝑒𝑛(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛(𝑏) = 2 . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑎 − 𝑏
2
) . 𝑐𝑜𝑠 (
𝑎 + 𝑏
2
) 
𝑠𝑒𝑛 (
𝑎
2
) = ±√
1 − cos (𝑎)
2
 
✓ Cosseno 
𝑐𝑜𝑠(𝑎 + 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎) . cos(𝑏) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑎). sen (𝑏) 
𝑐𝑜𝑠(𝑎 − 𝑏) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎) . cos(𝑏) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑎). sen (𝑏) 
cos(2𝑎) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) 
𝑐𝑜𝑠(𝑎) + 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = 2 . 𝑐𝑜𝑠 (
𝑎 + 𝑏
2
) . 𝑐𝑜𝑠 (
𝑎 − 𝑏
2
) 
𝑐𝑜𝑠(𝑎) − 𝑐𝑜𝑠(𝑏) = −2 . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑎 + 𝑏
2
) . 𝑠𝑒𝑛 (
𝑎 − 𝑏
2
) 
𝑐𝑜𝑠 (
𝑎
2
) = ±√
1 + cos (𝑎)
2
 
✓ Tangente 
𝑡𝑔 (𝑎 + 𝑏) =
𝑡𝑔(𝑎)+𝑡𝑔(𝑏)
1 − 𝑡𝑔 (𝑎) . 𝑡𝑔(𝑏)
 
 
𝑡𝑔 (𝑎 − 𝑏) =
𝑡𝑔(𝑎)−𝑡𝑔(𝑏)
1− 𝑡𝑔 (𝑎) . 𝑡𝑔(𝑏)
 
 
𝑡𝑔 (2𝑎) =
2 . 𝑡𝑔(𝑎)
1− 𝑡𝑔2(𝑎) 
 
 
𝑡𝑔 (
𝑎
2
) = ±√
1 − cos (𝑎)
1 + cos (𝑎)
 
 
 
 
➢ Funções trigonométricas 
Funções Trigonométricas (ou circulares) são funções que possuem pelo menos uma das relações 
trigonométricas estudas anteriormente. Nosso estudo ficará concentrado em modelos específicos 
de funções que envolvem somente o seno ou o cosseno de um ângulo. 
Alguns Conceitos Associados: 
o Amplitude (A) é a metade da distância entre o valor máximo e mínimo da função (se 
existirem). 
o Período (p) é o espaço [ou menor tempo] necessário para que a função execute um 
ciclo completo. 
o Funções que possuem período (e que por isso formam ciclos repetidos) são chamadas 
de funções periódicas✓ Função seno 
Definição: É uma função do tipo f ∶ D → , tal que: f (x) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Domínio: 𝐷 =  
 Conjunto Imagem: Im = −1,1  =  y| −1 y  1 
Na função f (x) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) temos que: A =1 e p = 2. 
Representação Gráfica: 
✓ Função cosseno 
Definição: É uma função do tipo f ∶ D → , tal que: f (x) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥). 
Domínio: 𝐷 =  
 Conjunto Imagem: Im = −1,1  =  y| −1 y  1 
Na função f (x) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) temos que: A =1 e p = 2. 
 
Representação Gráfica: 
Note que, se “deslocarmos horizontalmente” o gráfico da função y = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) em π 2⁄ rad , esse 
novo gráfico ficará idêntico ao gráfico da função y = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). Por esse motivo, gráficos que têm 
a forma de uma curva seno ou cosseno são chamados de senoidais. Podemos ainda dizer que a 
diferença de fase entre y = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) e y = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) é π 2⁄ . 
 
✓ Função tangente 
Definição: É uma função do tipo f ∶ D → , tal que: f (x) = 𝑡𝑔(𝑥). 
Domínio: 𝐷 = {x x  + k , com k Z} 
Conjunto Imagem: Im =  
Na função f (x) = 𝑡𝑔(𝑥) temos que: A = não tem e p = . 
A função f (x) = 𝑡𝑔(𝑥) tem assíntotas verticais em {𝑥 = π 2⁄ + k , com k Z } 
Representação gráfica: