Cálculo Diferencial E Integral (67)

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TAXAS EQUIVALENTES - Conceito
São aquelas que mesmo com períodos de capitalização diferentes, transformam um mesmo capital P (PV) em um mesmo montante S (FV) em um mesmo prazo (n).
Ex: Uma taxa de juros simples de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros simples de 48% a.a?
Suponha n = 2 anos e P = R$ 100,00
FV = PV * (1 + i * n)
FV = 100 * (1 + 0,04 * 24)
FV = 100 * 1,96 = 196
FV = PV * (1 + i * n)
FV = 100 * (1 + 0,48 * 2)
FV = 100 * 1,96 = 196
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TAXAS EQUIVALENTES - Exemplos
Ex 2: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a.?
Suponha n = 2 anos e PV = R$ 100,00
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,04)24
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,48)2
FV = 100 * 2,1904
FV = 219,04
Logo, uma taxa de juros compostos de 4% a.m. não é equivalente a uma taxa de juros compostos de 48% a.a. , pois não transforma um mesmo capital PV (R$ 100,00) em um mesmo montante FV em um mesmo prazo (2 anos).
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TAXAS EQUIVALENTES - Exemplos
Ex 3: Uma taxa de juros compostos de 4% a.m. é equivalente a uma taxa de juros compostos de 60,103222% a.a. Vamos verificar!
Suponha n = 2 anos e P = 100,00
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,04)24
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
FV = PV * (1 + i )n
FV = 100 * (1 + 0,60103222)2
FV = 100 * 2,5633
FV = 256,33
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TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
Como descobrir qual taxa é equivalente a uma determinada taxa composta?
Ex: Qual taxa de juros compostos anual equivale a uma taxa de juros compostos de 5% ao mês?
Em um ano quanto rende um capital PV capitalizado mensalmente?
	FV = PV * (1 + 0,05 )12  FV = PV * 1,7959
E capitalizado anualmente?
	FV = PV * (1 + ianual)1  FV = PV * (1 + ianual)
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Para que as taxas sejam equivalentes, os montantes devem ser iguais:
PV * (1 + ianual) = PV * 1,7959
(1 + ianual) = 1,7959
ianual = 1,7959 - 1
ianual = 0,7959
ianual  79,59%
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
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TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
Observe que da fórmula FV = PV (1 + i)n, para converter taxas não precisamos de FV ou PV, apenas nos interessa a potência (prazo n).
1 ano = 12 meses = 6 bimestres = 4 trimestres = 2 semestres = 360 dias
(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)4 = (1+ isemestral)2 = (1+ ibimestral)6 = (1+ idiária)360
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	Ex: Converter uma taxa de juros compostos de 5% ao trimestre para taxa mensal.
	(1 + imensal)12 = (1 + itrimestral)4
	(1 + imensal)12 = (1 + 0,05)4
	(1 + imensal)12 = 1,054
	(1 + imensal)12 = 1,2155
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
(1+ ianual) = (1+ imensal)12 = (1+ itrimestral)4 = (1+ isemestral)2 = = (1+ ibimestral)6 = (1+ idiária)360
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	(1 + imensal)12 = 1,2155
	1 + imensal = 1,21551/12 
	1 + imensal = 1,0164
	imensal = 1,0164 – 1
	imensal = 0,0164
	imensal = 1,64%
	Resposta: A taxa composta de 5% ao trimestre é equivalente à taxa composta de 1,64% ao mês.
TAXAS EQUIVALENTES - Conversão de taxas
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	Qual taxa de juros anual equivalente à taxa de 0,99% ao mês?
	(1 + ianual) = (1 + imensal)12
	(1 + ianual) = (1 + 0,0099)12
	(1 + ianual) = 1,12548
	ianual = 1,1255 - 1 = 0,1255 = 12,55% a.a.
	Assim, a taxa anual de inflação será de 12,55%, se for mantida a média do primeiro trimestre. 
	3,01% a.t. = 0,99% a.m. = 12,55% a.a.
TAXAS EQUIVALENTES - Inflação
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 i(eq) = Taxa Equivalente
 ic = Taxa Conhecida
 QQ = Quanto eu Quero
 QT = Quanto eu Tenho
TAXAS EQUIVALENTES - Fórmula
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Calcular a equivalência entre as taxas.
TAXAS EQUIVALENTES - Exercícios
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Calcular a equivalência entre as taxas.
TAXAS EQUIVALENTES - Exercícios
ieq = 5% ao mês
ieq = 65,35 ao semestre
ieq = 9,03 ao período
ieq = 502,26% ao ano
ieq = 25,39% ao ano
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TAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula
 A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente utilizada em situações de correções de contratos como, por exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa própria e contratos em geral.
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TAXA ACUMULADA DE JUROS - Fórmula
 Com base na tabela de variação do IGPM Calcular a taxa acumulada durante os meses de jan. a mai/2009.
iac = 3,31% ao período
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TAXA MÉDIA DE JUROS - Fórmula
n = número de taxas analisadas
Calcular a taxa média.
i(média) = 0,65% ao mês
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TAXA REAL DE JUROS - Fórmula
 A taxa real de juros é a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo de oportunidade. Na verdade significa dizer que taxa real de juros é o verdadeiro ganho financeiro.
i = taxa de juros
iinf = taxa de inflação ou custo de oportunidade
ir = taxa realde juros
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TAXA REAL DE JUROS - Fórmula
 Uma aplicação durante o ano de 2008 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao ano, determine a taxa real de juros.
ir = 3,5% ao ano
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