lista1vc_2017

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FFCLRP-USP 1a¯ LISTA - Varia´veis Complexas
Professor : Marcelo Rempel Ebert
1. Fac¸a um esboc¸o e identifique os seguintes conjuntos:
a) |z| = |z − 2|; b) |z| = |z − 1|; c) Re(z) = Im(z − 1)
2. Mostre que ||z1| − |z2|| ≤ |z1 − z2|.
3. Mostre que | z1
z2+z3
| ≤ |z1|||z2|−|z3|| .
4. Resolva as equac¸o˜es:
a) z − z = 1; b) z + iz = 2 + i; c) z + 2z = 1− i
5. Mostre que |z1 + z2| < |1 + z1z2| desde que |z1| < 1 e |z2| < 1.
6. Ache as quatro ra´ızes da equac¸a˜o z4 + 4 = 0 e, usando-as, fatore z4 + 4 em fatores
quadra´ticos com coeficientes reais.
Resposta: (z2 + 2z + 2)(z2 − 2z + 2)
7. Ache todos os valores das seguintes ra´ızes:
a) (2i)1/2; b) (−i)1/3; c) 81/6
Respostas: a) ±(1 + i); b) i, (±√3− i)/2;
8. Calcule:
a) lim
z→i
iz3 − 1
z + i
b) lim
z→z0
f(z)− f(z0)
z − z0 , com f(z) = z
2
Respostas: a) 0, b) 2z0.
9. Verifique se valem as condic¸o˜es de Cauchy-Riemann para as func¸o˜es:
a) f(z) = x3 − 3xy2 + i(3x2y − y3)
b) f(z) = e−y(cosx + i sinx)
c) f(z) = e−x(cos y − i sin y)
d) f(z) = ey(cosx + i sinx)
10. Mostre que f
′
(z) na˜o existe em nenhum ponto se f(z) e´:
a) f(z) = z − z
b) f(z) = ex(cos y − i sin y)
11. Seja f(z) uma func¸a˜o inteira. Mostre que a func¸a˜o g(z) = f(z) tambe´m e´ inteira.
Mostre que h(z) = f(z) e´ deriva´vel em 0 se, e somente se, f
′
(0) = 0.