DP Calculo 3

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Aula 1 – Equações variáveis separáveis 
 
Classificar as equações em ordem e grau. 
EDO - Equações diferenciais ordinárias 
EDP - Equações diferenciais parciais 
 
Ordem - Quantidade de derivadas.(y', y'', y''') 
> Grau - Derivada de maior ordem e maior expoente. 
 
EDO sem encontra uma solução geral. 
 
Derivar pela derivada de mais alta ordem da equação. E substituir no na equação os y pelas 
respostas. 
Se for igual a zero, é a solução, se não for, não é. 
 
 
 
Equação Geral 
 
Problema de Valor Inicial 
 
Problema de valor inicial encontra o valor das constantes C1, C2, ... 
 
 
 
 
 
 
Equações Variáveis Separáveis 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 2 – Equações diferenciais homogêneas 
 
Toda EDO homogênea gera uma EDO variáveis separáveis. 
 
1. Verificar se a EDO é homogênea. 
2. Identificar o grau de homogeneidade. 
3. Identificar uma EDO homogênea. 
4. Resolver a EDO homogênea. 
 
 
 
 
Condição para verificar se é homogênea. 
 
Exemplo1: 
 
 
Exemplo2: 
 
Se o enunciado disser que a função é homogênea, não é necessário verificar. 
Resolução da equação homogênea: 
 
 
*Faz-se uma mudança de variável para chegar a uma equação de variáveis separadas. 
Deriva-se y, no exemplo era uma derivada do produto. 
 
 
 
 
 
Solução sem isolar o y. 
 
 
Solução isolando o y. Como k é uma constante, ela colocou ln(k) para ajudar. 
 
 
Atividade: 
 
Aula 3 – Equações diferenciais exatas e não exatas 
 
Identificar e resolver. Caso não exata, transformar em exatas através do fator integrante. 
 
 
Exemplo: 
U é dado na questão 
1. Calcular a derivada parcial de U em relação e x e y. 
 
Reescrever a equação da seguinte forma.
 
O teorema dá a condição necessária e suficiente para EDO ser exata. 
Verificar sempre essa condição. Caso não seja exata, necessário transformar em exata. 
 
Resolução da EDO exata. 
 
 
Exemplo1: 
- Derivar M em relação à y e N em relação à x. 
 
 
Integrar. 
 
 
Integra M e deriva P(x,y) em relação à y. 
 
 
 
 
 
EDO não exata. Exemplo2: 
 
 
 
Multiplicar por um fator integrante, no caso, lambda. 
O fator integrante pode ser na variável x ou y, testar os 2. 
 
Ao substituir cria uma nova EDO e será necessário verificar se é exata, derivando por partes. 
 
 
 
Atividade1: 
 
 
 
 
 
 
Substituir. 
 
 
 
Aula 4 – Equações diferenciais lineares de primeira ordem 
 
Pode aparecer de 2 formas. A função P(x)y sempre acompanhará uma variável y. 
 
 
 
Isolar o Y e identificar o P(x) e o Q(x). 
Exemplo1: 
 
Resolver P(x)dx e substituir P(x)dx e Q(x). 
 
 
Resposta. 
 
Exemplo2: Descobrir P(x) e Q(x). 
 
 
Atividade1: 
 
 
Resolução: 
 
 
Aula 5: PVI – Problema de valor inicial e PVC – Problema de valor de contorno 
- Verificar se uma solução é solução para problemas de valor inicial e de contorno. 
- Resolver situações/problemas por intermédio das equações diferenciais. 
 
 
Calcular a derivada de mais alta ordem e substituir. 
 
 
Caso confirmado, é solução e é única. 
 
 
 
 
PVC – Problema de valor de contorno 
Exemplo1: 
 
Seguir o mesmo critério do PVI. 
 
Modelo de Thomas Malthus 
 
Exemplo1: 
 
 
Separar as variáveis e integrar o lado esquerdo e direito. Aplicar propriedades logarítmicas. 
Descobrir quem é C e K. 
Solução. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade1: 
 
 
 
 
 
EDO ordem superior 
 
Aula 6: Equação diferencial linear homogênea de segunda ordem 
- Identificar a EDO de 2ª ordem, identificar a EDO com coeficientes constantes, verificar a única 
solução do problema de valor inicial, determinar o Wronskiano de duas funções, determinar o 
conjunto fundamental de soluções. 
 
Formas de uma EDO de segunda ordem: 
 
 
 
 
 
Exemplo1: PVI de segunda ordem com 2 condições iniciais. 
EDO homogênea de 2ª ordem, quando g(x)=0. 
 
Exemplo de EDO linear homogênea de segunda ordem: 
 
 
Primeira condição: 
 
Segunda condição: 
 
 
Determinar a segunda derivada e substituir: 
 
 
Substituir e verificar se satisfaz ao PVI dado. 
 
 
 
Princípio da superposição: 
 
 
Conjunto fundamental de soluções: 
 
 
Se diferente de zero é solução, se for igual a zero, não é solução. 
 
 
 
 
 
Exemplo1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o Wronskiano for diferente de zero, são linearmente indepentendes (LI), se o Wronskiano 
for igual a zero, são linearmente dependentes (LD). 
 
 
Exemplo: 
 
 
Encontrar o Wronskiano para saber se são LI ou LD: 
 
 
Atividade: 
 
Verificar o Wronskiano, se diferente de zero é LI e forma o conjunto fundamental de soluções: 
 
Cálculo: 
 
- Caso de 3 funções: Se diferente de zero, são LI e formam um conjunto fundamental de 
soluções, se igual a zero, são LD e não formam um conjunto fundamental de soluções. 
 
Aula 7: Equação homogênea com coeficientes constantes. 
- Determinar a solução geral da EDO homogênea com coeficientes constantes utilizando as 
raízes da equação característica. 
Modelo equação: 
 
Identificar os coeficientes, exemplo: 
 
 
Equação característica, é uma equação auxiliar do segundo grau: 
 
Descobrindo a equação característica: 
 
Delta > zero: equação admite 2 raízes reais e distintas. 
Delta < zero: equação admite raízes múltiplas, 2 reais e iguais. 
Delta = 0: não admite raízes reais, apresenta raízes complexas. 
 
 
Exemplo: Soma = -b, produto = c. 
 
Delta menor que zero. Raízes complexas. 
 
 
Exemplo: 
 
 
Delta igual a zero. Caso 3: 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
Atividade: 
 
 
Aula 8: EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. 
 
 
 
 
 
 
Representação: 
 
 
Quem é f(x)? 
 
 
 
 
Yh(x) é solução da EDO homogênea, Yp(x) é solução particular à determinar. Y(x) solução geral. 
 
Como encontrar a solução geral: 
 
Como encontrar a solução homogênea Yh(x)? 
 
Resolver a equação característica:
 
 
 
 
Exponencial: 
 
 
 
 
 
 
 
Função polinomial: 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade: 
 
 
 
 
 
Aula 9 – Transformada de Laplace, tabela de Laplace, transformada inversa, PVI 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Primeiro resolve a integral depois o limite.