Lista1 - EDO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Disciplina: Equac¸o˜es Diferenciais Ordina´rias Turma: T01
Prof.: Adriano Veiga de Oliveira Data: 20/11/18
PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS
1. Sejam a, b, c ∈ R. Mostre que:
(a) y(x) = erx, com r satisfazendo ar + b = 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o ay′ + by = 0
(b) y(t) = tr, com r satisfazendo r2+(b−1)r+c = 0, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o t2y′′ + bty′ + cy = 0.
2. Resolva as seguintes equac¸o˜es diferenciais ordina´rias:
(a) y′ − 4
x
y = x5ex (b) y′ =
y − x
y + x
(c)
dy
dx
= y(xy3 − 1) (d) xdy
dx
+ y =
1
y2
(e)
dy
dx
= (x+ y + 1)2 (f) y′ =
xy + 3x− y − 3
xy − 2x+ 4y − 8 (g) y ln(x)
dy
dx
=
(y + 1√
x
)2
(h)
(
x2y3 − 1
1 + 9x2
)
dx+ x3y2dy = 0 (i) 2xy − sen(x) + (x2 + ey)dy
dx
= 0
3. Resolva o problema de valor inicial dado.
(a)

y′ + (1− 2x)y = xe−x
y(0) = 2
(b)
 y
′ − (cos(t))y = tet2+sen(t)
y(0) = 2
(c)
 (x+ ye
y
x )dx− xe yxdy = 0
y(1) = 0
(d)

xy2
dy
dx
= y3 − x3
y(1) = 2
(e)

dy
dx
= cos(x+ y)
y(0) =
pi
4
(f)

dy
dx
= y(100− y)
y(0) = 1
(g)

dy
dx
=
2x− y
x− 2y
y(1) = 3
(h)

(x2 + y2 − 5)dx = (y + xy)dy
y(0) = 1
4. Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria
(10− 6y + e−3x)dx− 2dy = 0.
(a) Encontre um fator integrante para essa equac¸a˜o.
(b) Verifique que a func¸a˜o encontrada no ı´tem anterior e´ realmente um fator integrante.
(c) Encontre a soluc¸a˜o geral da equac¸a˜o dada.
5. Determine os pontos (x0, y0) ∈ R2 para os quais podemos garantir que o problema de
valor inicial {
dy
dx
= f(x, y)
y(x0) = y0
possui uma u´nica soluc¸a˜o.
(a) f(x, y) =
√
y2 − 4 (b) f(x, y) = √xy (c) f(x, y) = y
2
x2 + y2
(d) f(x, y) = x
√
1− y2 (e) f(x, y) = 2x− y
x− 2y (f) f(x, y) =
2xy
y − x2
6. Determine o maior intervalo em que os problemas de valor inicial abaixo teˆm soluc¸a˜o,
sem resolveˆ-los:
(a)
{
(x2 − 1)dy
dx
+ (x− 2)y = x
y(0) = y0
(b)
{
(x2 − 1)dy
dx
+ xy = x2
y(2) = y0
(c)
{
(x2 − x)dy
dx
+ (x+ 1)y = ex
y(−1) = y0
(d)
{
(x2 − x)dy
dx
+ (x+ 3)y = cosx
y(2) = y0
7. Considere a equac¸a˜o diferencial ordina´ria autoˆnoma
dy
dx
= y − y2.
(a) Determine os pontos de equil´ıbrio da EDO.
(b) Determine como varia o crescimento das soluc¸o˜es com relac¸a˜o a y.
(c) Determine para quais valores de y as soluc¸o˜es teˆm pontos de inflexa˜o.
8. A populac¸a˜o de uma cidade cresce a uma taxa proporcional a` populac¸a˜o presente em
um instante t. A populac¸a˜o inicial de 500 indiv´ıduos cresce 15% em 10 anos. Qual
sera´ a populac¸a˜o em 30 anos? Qual e´ o crescimento populacional em t = 30?
9. A populac¸a˜o de uma cidade e´ de 1.000.000 de habitantes. Houve uma epidemia e 10%
da populac¸a˜o contraiu o v´ırus. Em sete dias esta porcentagem cresceu para 20%. O
v´ırus se propaga por contato direto entre os indiv´ıduos enfermos e sa˜os (logo, a uma
taxa de disseminac¸a˜o proporcional ao nu´mero de contatos). A partir destes dados e
supondo que o modelo seja fechado, isto e´, a populac¸a˜o mantendo-se constante, sem
nascimentos, mortes ou migrac¸a˜o, e os indiv´ıduos tendo toda liberdade de interagir,
calcule:
(a) A proporc¸a˜o de indiv´ıduos enfermos e sa˜os como func¸a˜o do tempo.
(b) O tempo necessa´rio para que a porcentagem de indiv´ıduos enfermos seja de 50%.
10. Segundo a lei de resfriamento de Newton, a velocidade de resfriamento de um corpo e´
proporcional a` diferenc¸a entre as temperaturas do corpo e a do meio ambiente. Se a
temperatura ambiente e´ 20◦C e a temperatura de um corpo passa de 100◦C para 60◦C
em vinte minutos, qual e´ o tempo necessa´rio para que a temperatura do corpo seja
igual a 30◦C?
11. (Misturas) Vamos supor que um tanque conte´m uma mistura de a´gua e sal com um
volume inicial de V0 litros e Q0 gramas de sal e que uma soluc¸a˜o salina seja bombeada
para dentro do tanque a uma taxa de Te litros por minuto possuindo uma concentrac¸a˜o
de Ce gramas de sal por litro. Suponha tambe´m que a soluc¸a˜o do tanque seja mantida
uniformemente misturada e que ela escoa a uma taxa de Ts litros por minuto. Sabendo
que a taxa de variac¸a˜o da quantidade de sal no tanque e´ igual a taxa com que entra
sal no tanque menos a taxa com que sai sal do tanque, encontre um modelo (problema
de valor inicial) que descreve a quantidade de sal no tanque em func¸a˜o do tempo.
12. Um composto C e´ formado pela combinac¸a˜o de duas substaˆncias A e B, de tal forma
que para cada dois gramas de A treˆs gramas de B sa˜o usados. E´ observado que 30
gramas do composto C sa˜o formadas em 10 minutos. Sabendo que inicialmente havia
40 gramas de A e 30 gramas de B, determinar a quantidade de C em qualquer instante
t. Quanto do composto C se tera´ formado em 15 minutos? Interprete a soluc¸a˜o quando
t→∞?
13. (Decaimento Radioativo e Datac¸a˜o por Carbono) Resultados experimentais
mostram que elementos radioativos desintegram a uma taxa proporcional a` quanti-
dade presente do elemento. Se Q = Q(t) e´ a quantidade presente de certo elemento
radioativo no instante t, enta˜o a taxa de variac¸a˜o de Q(t) com respeito ao tempo t e´
dada por
dQ
dt
= −kQ
onde k e´ uma constante que depende do elemento. Por exemplo, para o carbono-14 o
valor aproximado k = 1, 244×10−4, para o ra´dio o valor aproximado k = 1, 4×10−11.
O valor da constante k de um elemento radioativo pode ser determinado atrave´s do
tempo de “meia-vida”do elemento. A “meia-vida”e´ o tempo necessa´rio para desinte-
grar metade da quantidade do elemento. Portanto, se a meia-vida do elemento for
conhecida, a constante k pode ser obtida e vice-versa. As “meias-vidas”de va´rios ele-
mentos radioativos podem ser encontradas nos livros de Qu´ımica. Por exemplo, a
meia-vida do carbono-14 e´ de aproximadamente 5600 anos.
Por volta de 1950, o qu´ımico Willard Libby inventou um me´todo de usar o carbono
radioativo como um meio para determinar a idade aproximada dos fo´sseis. A teoria
da datac¸a˜o por carbono baseia-se no fato de que o iso´topo carbono 14 e´ produzido na
atmosfera pela ac¸a˜o da radiac¸a˜o co´smica sobre o nitrogeˆnio. A raza˜o da quantidade de
C-14 em relac¸a˜o ao carbono comum na atmosfera parece ser uma constante e, conse-
quentemente, a quantidade proporcional de iso´topo presente em todos os organismos
vivos e´ a mesma na atmosfera. Quando um organismo morre, a absorc¸a˜o de C-14,
por meio da respirac¸a˜o ou alimentac¸a˜o, cessa. Assim, comparando a quantidade pro-
porcional de C-14 presente, digamos em um fo´ssil, com a raza˜o constante encontrada
na atmosfera, e´ poss´ıvel obter uma estimativa razoa´vel da idade do fo´ssil. Por seu
trabalho Libby ganhou o Preˆmio Nobel de qu´ımica em 1960.
Baseado nas informac¸o˜es acima, responda as seguintes perguntas:
(a) O iso´topo radioativo do chumbo, Pb-209, decai a uma taxa proporcional a` quanti-
dade presente no instante t e tem uma meia-vida de 3, 3 horas. Se houver 1 grama de
chumbo inicialmente, quanto tempo levara´ para que 90% do chumbo decaia?
(b) O suda´rio de Turim mostra a imagem, em negativo, do corpo de um homem que
aparentemente foi crucificado, e que muitos acreditam ser de Jesus de Nazare´. Em
1988, o Vaticano deu a permissa˜o para datar por Carbono o suda´rio. Treˆs laborato´rios
analisaram o tecido e conclu´ıram que o suda´rio tinha aproximadamente 660 anos,
idade consistente com seu aparecimento histo´rico. Usando essa idade, determine a
porcentagem de quantidade original de C-14 remanescente no tecido em 1988.
PRIMEIRA LISTA - GABARITO
1. -
2. (a) y = x5ex − x4ex + Cx4
(b) ln(x2 + y2) + 2arctg
(y
x
)
= C
(c) y−3 = x+
1
3
+ Ce3x
(d) y3 =
C
x3
+ 1
(e) y = tg(x+ c)− x− 1
(f) (x+ 4)5ey = Cex(y + 3)5
(g) ln |y + 1|+ 1
y + 1
= ln | ln(x)|+ C
(h) x3y3 − arctg(3x)= C
(i) x2y + cos(x) + ey = C
3. (a) y = −1
2
e−x +
5
2
ex
2−x
(b) y =
1
2
e(t
2+sen(t)) +
3
2
esen(t)
(c) ln |x| = e yx − 1
(d) y3 + 3x3 ln |x| = 8x3
(e) cossec(x+ y)− cotg(x+ y) = x+
√
2− 1
(f) ln
∣∣∣ y
100− y
∣∣∣ = 100x− ln 99
(g) x2 + y2 − xy = 7
(h)
4− y2
2(1 + x)2
+
2
1 + x
+ ln |1 + x| = 7
2
4. (a) I(x) = e3x
(b) -
(c) −2e3xy + 10
3
e3x + x = C
5. (a) R = {(x, y) ∈ R2 / y < −2 ou y > 2}
(b) R = {(x, y) ∈ R2 / xy 6= 0}
(c) R = R2 − {(0, 0)}
(d) R = {(x, y) ∈ R2 / − 1 < y < 1}
(e) R = {(x, y) ∈ R2 / x 6= 2y}
(f) R = {(x, y) ∈ R2 / y 6= x2}
6. (a) I = (−1, 1)
(b) I = (1, 2)
(c) I = (−∞, 0)
(d) I = (1, 2)
7. (a) y = 0 e y = 1
(b) Crescente: 0 < y < 1 Decrescente: y < 0 ou y > 1
(c) y = 0, y =
1
2
, y = 1
8. P (t) = 500(1, 15)
t
10 , P (30) ∼= 760 e P ′(30) ∼= 10, 628, onde P (t) e´ a populac¸a˜o no ins-
tante t.
9. (a) E(t) =
1.000.000
1 + 9(4
9
)
t
7
, onde E(t) e´ o nu´mero de indiv´ıduos enfermos no instante t.
(b) t = 18, 97
10. T (t) = 20 + 80
(1
2
) t
20
e t = 60, onde T (t) e´ a temperatura do corpo no instante t.
11.

dQ
dt
= TeCe − Ts Q
V0 + (Te − Ts)t
Q(0) = Q0,
onde Q = Q(t) e´ a quantidade de sal no tanque no instante t.
12. X(t) =
100− 100
(
7
4
) t
10
1− 2(7
4
)
t
10
e X(15) ∼= 36, 23, onde X(t) e´ a quantidade do composto
C no instante t. Ale´m disso, lim
t→+∞
X(t) = 50.
13. (a) Q(t) =
(1
2
) 10t
33
e t ∼= 10, 96, onde Q(t) e´ a quantidade de chumbo no instante t.
(b) 92, 12%