Fatorial: Uma visão geral e suas aplicações

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Fatorial
UFOPA
2019.1
Matemática Discreta e Lógica Matemática
Docente: 
Professor Dr. Raimundo Rodrigues Junior
Discente:
Jorge Luiz Figueira da Silva Junior
AGENDA
Definição
Operações e Simplificação
O! = 1 ou 0! = 0?
Permutação
Arranjos
Combinação
Exemplos
Programas
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Fatorial:
Dado um número natural n, o produto de todos os naturais de 1 até n é 
chamado de fatorial de n, e é representado em símbolos, por n! (onde se lê 
n-fatorial). Assim, temos: 
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1.
 Além disso, por conven¸cão, definimos 0! = 1
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DEFINIÇÃO
Ideias básicas: 
n! = n · (n − 1) · . . . · 2 · 1.
0! = 1,
 1! = 1,
 2! = 2 · 1 = 2,
 3! = 3 · 2 · 1 = 6,
 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24,
 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120,
 6! = 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720.
Podemos simplificar essas expressões algébricas?
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OPERAÇÕES
1) Simplificação: 
 n! = n · (n − 1)! (1)
Veja que:
 7! = 7 · 6! = 7 · 720 = 5040,
 8! = 8 · 7! = 8 · 5040 = 40320,
9! = 9 · 8! = 362.880.
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OPERAÇÕES
1) Simplificação: 
 n! = n · (n − 1)! (1)
Exemplo
Simplifique as seguintes expressões:
6
OPERAÇÕES
Afinal por que 0! =1? 7
Zero Fatorial
n! 
1, se n=0 ou n=1
O produto de todos os naturais de 1 até n, se n>= 2
5! = 5 . 4 . 3 . 2 .1
4! = 4 . 3 . 2. 1
3! = 3 . 2 . 1
 5! = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!
 5
 4! = 3!
 4
n! = (n+1)!
 n+1
APLICAÇÕES DE 
FATORIAL
Por que estudamos essa representação?
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Permutação
Definição: 
Envolve a noção de formas de reordenar um grupo de objetos.
Exemplo.
 Considere o conjunto N = {1, 2, 3}. Note que existem 6 permutações dos elementos de 
N, a saber: 
(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), e (3, 2,1)
Na qual, a quantidade de permutações de um grupo com n objetos é representado por 
Pn= n! 
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Arranjos
Utilizamos o arranjo simples para obter a quantidade de agrupamentos possíveis de serem realizados 
com os elementos de um conjunto finito. No arranjo os elementos trocam de posição, ou seja, ordem. 
Com isso os agrupamentos tornam-se distintos, por possuírem seus elementos organizados em uma 
ordem diferente.10
Arranjos
Exemplo 2
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Combinações
12 Definição: Envolve contar os grupos formados por p elementos dado um conjunto universo de n elementos.
Exemplo. 
Um trabalho de uma disciplina será feito em dupla. Sabe-se que há 12 alunos nessa 
disciplina. De quantas maneiras as duplas podem ser formadas pelo professor?
Na qual, a quantidade de combinações de p objetos, dado n elementos é 
representado por 
C(n,p)= n!___
 p!(n-p)!
Combinações
13 C(n,p)= n!___ p!(n-p)!
Exemplo 02: 
De quantos modos podemos dividir 8 pessoas em 2 grupos de 4 pessoas cada?
Resumo
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Programa C++
Bônus do seminário: 
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int fatorial(int n)
{
int i;
double f;
f = 1;
for (i = n; i>= 1; i--)
{
f*=i;
}
return f;
}
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INSIDE OF THE 
CODE
void int_fatorial(int f)
{
int d = 0;
double res,aux;
aux = f;
bool cond = true;
while(cond)
{
d+=1;
if(fatorial(d) == f)
{
cond = false;
}
if(fatorial(d) > f){
cond = false;
}
}
if(fatorial(d)==aux)
{
cout <<"O número "<<aux <<" é igual à "<<d<<"!" << endl;
}
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INSIDE OF THE 
CODE
18
Obrigado!
Dúvidas?
@jorgefjr