lista4_cl1var2018-I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAC¸A˜O LATINO-AMERICANA
ENGENHARIA FI´SICA
EFI0004 - CA´LCULO DE FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL
Lista 4 - Aplicac¸o˜es das Derivadas
1. Cada lado de um quadrado esta´ aumentando a uma
taxa de 6 cm/s. Com que taxa a a´rea do quadrado
estara´ aumentando quando a a´rea do quadrado for
16 cm2?.
2. O raio r e a altura h de um cilindro circular
esta˜o relacionados com o volume V do cilindro pela
fo´rmula V = pir2h.
(a) Como dV/dt esta´ relacionada a dh/dt se r e´
constante?.
(b) Como dV/dt esta´ relacionada a dr/dt se h e´
constante?.
(c) Como dV/dt esta´ relacionada a dr/dt e dh/dt
se nem r nem h sa˜o constantes?.
3. Sejam x e y func¸o˜es deriva´veis de t e seja s =√
x2 + y2 a distaˆncia entre os pontos (x, 0) e (0, y)
no plano xy.
(a) Como ds/dt esta´ relacionada a dx/dt se y e´
constante?.
(b) Como ds/dt esta´ relacionada a dx/dt e dy/dt
y se nem x nem y sa˜o constantes e´ constan-
tes?.
(c) Como dx/dt esta´ relacionada a dy/dt se s e´
constante?
4. Se uma bola de neve derrete de forma que a a´rea de
sua superf´ıcie decresce a uma taxa de 1 cm2/min,
encontre a taxa segundo a qual o diaˆmetro decresce
quando o diaˆmetro e´ 10 cm.
5. Quado um prato circular de metal e´ aquecido em
um forno, seu raio aumenta a uma taxa 0, 01
cm/min. A que taxa a a´rea do prato aumenta
quando seu raio for de 50 cm?
6. A altura de um triaˆngulo cresce a uma taxa de 1
cm/min, enquanto a a´rea do triaˆngulo cresce a uma
taxa de 2 cm2/ min. A que taxa varia a base do
triaˆngulo quando a altura e´ 10 cm e a a´rea, 100
cm2 ?
7. Uma escada com 13 pe´s de comprimento esta´ apoi-
ada verticalmente em uma casa quando a base
comec¸a a escorregar, afastando-se da parede. No
momento em que a base esta´ a 12 pe´s da casa, ela
escorrega a uma taxa de 5 pe´s/s.
(a) A que velocidade o topo da escada escorrega
para baixo na parede?.
(b) Qual a taxa de variac¸a˜o da a´rea do triaˆngulo
formado pela escada, parede e solo?
(c) Qual a taxa de variac¸a˜o do aˆngulo θ, formado
pela escada e pelo solo?
8. Suponha que uma gota de orvalho seja uma esfera
perfeita e que, por condensac¸a˜o, capte umidade a
uma taxa proporcional a` a´rea de sua superf´ıcie.
Mostre que, nessas circunstaˆncias, o raio da gota
cresce a uma taxa constante.
9. Cafe´ escoa de um filtro coˆnico para uma cafeteira
cil´ındrica a` taxa de 10 pol3/min.
(a) A que taxa o n´ıvel na cafeteira aumentara´
quando o cafe´ no filtro tiver 5 polegadas de
profundidade?
(b) A que taxa o n´ıvel do filtro diminuira´ nesse
momento?.
10. Esta´ vazando a´gua de um tanque coˆnico invertido
a uma taxa de 10.000cm3/min. Ao mesmo tempo,
esta´ sendo bombeada a´gua para dentro do tanque
a uma taxa constante. O tanque tem 6m de altura
1
e o diaˆmetro no topo e´ de 4m. Se o n´ıvel da a´gua
estiver subindo a uma taxa de 20cm/min quando
a altura da a´gua for 2m, encontre a taxa segundo
a qual a a´gua esta´ sendo bombeada dentro do tan-
que.
11. Um cocho de a´gua tem 10m de comprimento e uma
secc¸a˜o transversal com a forma de um trapezoide
iso´sceles com 30cm de comprimento na base, 80
cm de extensa˜o no topo e 50cm de altura. Se
o cocho for preenchida com a´gua a uma taxa de
0, 2 m3/min, qua˜o ra´pido estara´ subindo o n´ıvel da
a´gua quando ela tiver 30cm de profundidade?.
12. Um velocista corre em uma pista circular de raio
100m a uma velocidade constante de 7m/s. Seu
amigo esta´ parado a uma distaˆncia de 200m do
centro da pista. Qua˜o ra´pido estara´ variando a
distaˆncia entre os amigos quando estiverem a uma
distaˆncia de 200m?.
13. Duas pessoas comec¸am a andar a partir do mesmo
ponto. Uma vai para o leste a 4km/h e a outra,
para o nordeste a 2km/h. Qua˜o ra´pido esta´ vari-
ando a distaˆncia entre as pessoas apo´s 15 minutos?.
14. O ponteiro dos minutos de um relo´gio mede 8mm,
enquanto o das horas tem 4mm de comprimento.
Qua˜o ra´pido esta´ variando a distaˆncia entre a ponta
dos ponteiros a` 1 hora?.
15. Encontre a linearizac¸a˜o L(x) da func¸a˜o em a.
(a) f(x) = cosx, a = pi/2.
(b) f(x) = x3/4, a = 16.
16. Encontre a aproximac¸a˜o linear da func¸a˜o f(x) =√
1− x em a = 0 e use-a para aproximar os
nu´meros
√
0, 9 e
√
0, 99. Ilustre fazendo os gra´ficos
de f(x) e da reta tangente.
17. Mostre que a linearizac¸a˜o de f(x) = (1 + x)k em
x = 0 e´ L(x) = 1 + kx.
18. Encontre a diferencial da func¸a˜o.
(a) f(x) = x2 sen 2x
(b) f(z) =
√
1 + ln z
19. Use uma aproximac¸a˜o linear (ou diferencial) para
estimar o nu´mero (8, 06)2/3.
20. A aresta de um cubo tem 30cm, com um poss´ıvel
erro de medida de 0, 1cm. Use diferenciais para
estimar o erro ma´ximo poss´ıvel no ca´lculo (a) do
volume do cubo e (b) da a´rea da superf´ıcie do cubo.
21. Sabe-se que um lado de um triaˆngulo retaˆngulo
mede 20cm de comprimento e o aˆngulo oposto foi
medido como 30◦, com um poss´ıvel erro de ±1◦.
(a) Use diferenciais para estimar o erro no ca´lculo
da hipotenusa.
(b) Qual e´ o erro percentual?
22. Se uma corrente I passar por um resistor com re-
sisteˆncia R, a Lei de Ohm afirma que a queda de
voltagem e´ V = RI. Se V for constante e R for
medida com um certo erro, use diferenciais para
mostrar que o erro relativo no ca´lculo de I e´ apro-
ximadamente o mesmo (em mo´dulo) que o erro re-
lativo em R.
23. Demonstre a identidade.
(a) cosh(x+ y) = coshx cosh y + senhx senh y
(b) cosh 2x = cosh2 x+ senh 2x
24. Use as definic¸o˜es das func¸o˜es hiperbo´licas para
achar os seguintes limites.
(a) limx→∞ senhx
(b) limx→0− cotghx
25. Encontre a derivada. Simplifique quando poss´ıvel.
(a) y = arctg(tghx)
(b) G(t) = 1−coshx1+coshx
26. Em quais pontos da curva y = coshx a tangente
tem inclinac¸a˜o 1?
27. (a) Mostre que qualquer func¸a˜o da forma
y = A senhmx+B coshmx
satisfaz a equac¸a˜o diferencial y′′ = m2y.
(b) Encontre y = y(x) tal que y = 9y′′, y(0) =
−4, e y′(0) = 6.
Feito em LATEX
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