Aula 9 - Prof Aldo Garay

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Variáveis Aleatórias Bidimensionais Probabilidade Condicional Independência Exercícios
Estatística I – ET101
UNIDADE I - Aula 09
Departamento de Estatística
Universidade Federal de Pernambuco -Brasil
Semestre I – 2019
Profs. Aldo M. Garay e Francyelle L. Medina
Sala 322 - CCEN - DE
Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
Variáveis Aleatórias Bidimensionais Probabilidade Condicional Independência Exercícios
Sumário
1 Variáveis Aleatórias Bidimensionais
2 Probabilidade Condicional
3 Independência
4 Exercícios
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais Probabilidade Condicional Independência Exercícios
Introdução
• Em muitas situações é comum estarmos interessados em avaliar eventos
conjuntamente.
• Por exemplo, relacionar o uso ou não do cinto de segurança a morte e
sobrevivência em acidentes de trânsito.
• Relacionar o grau de escolaridade e sexo em uma população de indivíduos.
• Em um exercício (Lista 04), analisamos o tipo de bebida e o tipo de carne
que preferem os clientes de um restaurante:
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Introdução
Exemplo 01: Considere o exercício 05 da Lista 04:
Noções de Probabilidade e Estatística - Exerc. 09 - Seção 3.4
Num certo restaurante, paga-se pelo almoço uma quantia fixa dependendo da
escolha feita de prato e bebida. A carne de peixe tem 10% de preferência,
enquanto frango tem 40% e carne bovina 50%. As três escolhas de bebida
estão condicionadas à opção de prato, segundo as tabelas:
Opção: Peixe Cerveja Água Vinho
P(Beb.|Peixe) 0,4 0,3 0,3
Opção: Frango Cerveja Água Vinho
P(Beb.|Frango) 0,3 0,5 0,2
Opção: Bovina Cerveja Água Vinho
P(Beb.|Bovina) 0,6 0,3 0,1
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Introdução
Noções de Probabilidade e Estatística - Exerc. 09 - Seção 3.4
Como poderíamos obter a distribuição conjunta do tipo de bebida e prato?
Carne | Bebida Cerveja Água Vinho P(Carne)
Peixe 0,04 0,03 0,03 0,1
Frango 0,12 0,2 0,08 0,4
Bovina 0,3 0,15 0,05 0,5
P(Bebida) 0,46 0,38 0,16 1
• Essas são as probabilidades conjuntas do tipo de bebida e do prato.
• Por meio das probabiliades conjuntas, podemos obter as probabilidades
marginais do tipo de bebida.
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Introdução
E se estivermos interessados em avaliar variáveis aleatórias conjuntamente,
como deveríamos proceder?
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Sejam X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω, com
distribuições de probabilidades dadas por
x x1 · · · xn
P(X = x) P(X = x1) = p(x1) · · · P(X = xn) = p(xn)
y y1 · · · ym
P(Y = y) P(Y = y1) = p(y1) · · · P(Y = ym) = p(ym)
A função ~X : Ω→ R2, definida por ~X (w) = (X (w),Y (w)), é chamada de
variável aleatória bidimensional discreta (vetor aleatório) .
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Função de Probabilidade Conjunta
Como X , Y são v.a. discretas, podemos definir a função de probabilidade
conjunta ou sua distribuição de probabilidade conjunta p,
P(X = xi ,Y = yj ) = p(xi , yj ).
Note que se X e Y fossem v.a. independentes teriamos
P(X = xi ,Y = yj ) = p(xi )p(yj ).
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Probabilidades Marginais
Seja X e Y duas v.a. discretas definidas no mesmo espaço amostral Ω, e o
vetor aleatório bidimensional ~X (w) = (X (w),Y (w)).
A função de probabilidade de massa marginal ou a distribuição de
probabilidade marginal de X é
pX (xi ) =
m∑
j=1
p(xi , yj ).
A função de probabilidade de massa marginal ou a distribuição de
probabilidade marginal de Y é
pY (yj ) =
m∑
i=1
p(xi , yj ).
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 02: Um experimento consiste em lançar uma moeda honesta uma
vez. Se o resultado for cara, um dado honesto é lançado uma vez. Se for coroa,
o dado é lançado duas vezes. Defina as variáveis aleatórias X : número de
vezes que aparece cara e Y : número de vezes que aparece a face 6.
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y .
(b) Obtenha a função de probabilidade Y .
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 02: Continuação
(a) A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
y / x 0 1 P (Y = y)
0 25/72 30/72 55/72
1 10/72 6/72 16/72
2 1/72 0 1/72
P (X = x) 1/2 1/2 1
(b) A função de probabilidade marginal de Y é dada por:
y 0 1 2
P (Y = y) 55/72 16/72 1/72
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 03: Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente e
define-se as variáveis:
X : número de caras nos dois lançamentos.
Y =

1, se as faces são iguais,
0, c.c.
Apresente a tabela da distribuição conjunta de (X ,Y ).
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 03: Continuação
y / x 0 1 2 P (Y = y)
0 (Difer.) 0 2/4 0 1/2
1 (Iguais) 1/4 0 1/4 1/2
P (X = x) 1/4 1/2 1/4 1
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
• Muitas vezes além de analizar a função de probabilidade conjunta entre
duas variáveis aleatórias, deseja-se analisar como essas variáveis são
associadas.
• Ou seja, objetiva-se analisar como uma variável se comporta em relação
ao comportamento de outra.
• Assim como em eventos, define-se Probabilidade Condicional e
Independência para variáveis aleatórias com o intuito de obter
metodologias estatísticas que auxiliam na interpretação do estudo sobre
associação entre variáveis.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Probabilidade Condicional para Variáveis Aleatórias Discretas
Dadas duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço de
probabilidade, a probabilidade condicional de X = x , dado que Y = y ocorreu,
é dada por
P (X = x |Y = y) = P (X = x ,Y = y)
P (Y = y)
,
se P (Y = y) > 0.
Se P (Y = y) = 0, a probabilidade condicional pode ser definida como
P (X = x |Y = y) = P (X = x) .
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 04: Um experimento consiste em lançar uma moeda honesta uma
vez. Se o resultado for cara, um dado honesto é lançado uma vez. Se for coroa,
o dado é lançado duas vezes. Defina as variáveis aleatórias X : número de
vezes que aparece cara e Y : número de vezes que aparece a face 6.
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta de X e Y .
(b) Obtenha a função de probabilidade condicional X = x |Y = 2.
(c) Obtenha a função de probabilidade condicional X = x |Y = 1.Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 04: Continuação
(a) A função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
y / x 0 1 P (Y = y)
0 25/72 30/72 55/72
1 10/72 6/72 16/72
2 1/72 0 1/72
P (X = x) 1/2 1/2 1
A função de probabilidade marginal de Y é dada por:
y 0 1 2
P (Y = y) 55/72 16/72 1/72
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 04: Continuação
(b) A função de probabilidade condicional de X = x dado Y = 2 é dada por:
P (X = 0|Y = 2) = P (X = 0,Y = 2)
P (Y = 2)
=
1/72
1/72
= 1.
P (X = 1|Y = 2) = P (X = 1,Y = 2)
P (Y = 2)
=
0
1/72
= 0.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 04: Continuação
(c) A função de probabilidade condicional de X = x dado Y = 1 é dada por:
P (X = 0|Y = 1) = P (X = 0,Y = 1)
P (Y = 1)
=
10/72
16/72
= 10/16.
P (X = 1|Y = 1) = P (X = 1,Y = 1)
P (Y = 1)
=
6/72
16/72
= 6/16.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Independência de Variáveis Aleatórias Discretas
Duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço de probabilidade
são independentes, se a ocorrência de qualquer valor de uma delas não altera a
probabilidade de ocorrência de valores da outra. Ou seja
P (X = x |Y = y) = P (X = x) ,
para todos os valores (x , y) das variáveis aleatórias (X ,Y ).
De forma equivalente, tem-se que
P (X = x ,Y = y) = P (X = x)P (Y = y) .
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
• A definição de independência exige que a igualdade
P (X = x ,Y = y) = P (X = x)P (Y = y) .
seja válida para todos os pares (x , y).
• Basta que para um par não seja válida a igualdade para que as variáveis
não sejam independentes.
Independência de Variáveis Aleatórias
X e Y independentes ⇔ P (X = x ,Y = y) = P (X = x)P (Y = y) , ∀(x , y).
Se existe pelo menos um par (x0, y0), tal que
P (X = x0,Y = y0) 6= P (X = x0)P (Y = y0) ,
então X e Y não são independentes.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 05: Um experimento consiste em lançar uma moeda honesta uma
vez. Se o resultado for cara, um dado honesto é lançado uma vez. Se for coroa,
o dado é lançado duas vezes. Defina as variáveis aleatórias X : número de
vezes que aparece cara e Y : número de vezes que aparece a face 6.
(a) Calcule as probabilidades marginais das variáveis aleatórias X e Y .
(b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes?
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 05: Continuação
(a) Calcule as probabilidades marginais das variáveis aleatórias X e Y .
y / x 0 1 P (Y = y)
0 25/72 30/72 55/72
1 10/72 6/72 16/72
2 1/72 0 1/72
P (X = x) 1/2 1/2 1
A função de probabilidade marginal de Y é dada por:
y 0 1 2
P (Y = y) 55/72 16/72 1/72
A função de probabilidade marginal de X é dada por:
x 0 1
P (X = x) 1/2 1/2
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 05: Continuação
(b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes?
P (X = 1,Y = 1) = 6/72 6= 1/9 = 1/2× 16/72 = P (X = 1)P (Y = 1) .
Como existe o par (1, 1), tal que
P (X = 1,Y = 1) 6= P (X = 1)P (Y = 1) ,
então X e Y não são independentes.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 06: Lançam-se, simultaneamente, uma moeda e um dado.
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta e marginais, considerando Y o
número de caras no lançamento da moeda e X o número da face do dado.
(b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes?
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 06: Continuação
(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta e marginais, considerando Y o
número de caras no lançamento da moeda e X o número da face do dado.
y / x 1 2 3 4 5 6 P (Y = y)
0 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2
1 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/2
P (X = x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 06: Continuação
(b) As variáveis aleatórias X e Y são independentes?
Pela função de probabilidade conjunta, pode-se ver que
∀ (x , y) , P (X = x ,Y = y) = P (X = x)P (Y = y) ,
logo, X e Y são independentes.
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Variáveis Aleatórias Bidimensionais
Exemplo 07: Certa empresa vende um produto formado pelo encaixe de duas
peças, cada uma proveniente de uma indústria. Uma peça fabricada na
indústria A tem 93% de chance de não apresentar defeito, 5% de ter um
defeito recuperável de 2% de chance de ter um defeito grave. As peças da
insdústria B podem ser perfeitas ou apresentar um defeito recuperável. Uma
peça fabricada na indústria B tem 95% de chance de não apresentar defeito.
Um produto tem 88.35% de chance de não apresentar defeito em ambas peças
e 0.25% de chance de apresentar defeito recuperável em ambas peças. Seja X
a variável aletória que assume os valores 0(perfeitas), 1(defeito recuperável) ou
2(defeito grave), na indústria A. Seja Y a variável aletória que assume os
valores 0(perfeitas), 1(defeito recuperável), na indústria B.
• Apresente a tabela da distribuição conjunta de (X ,Y ).
• As variáveis aleatórias são independentes?
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Exercícios Propostos
Pergunta 04 - 1ro Exercício - 2018 -I
Dois times de vôlei feminino: Osasco e SESI disputam a final da Superliga de
Vôlei Feminino 2017/2018, em uma série de até 7 jogos (Será campeão o time
que ganhar 4 jogos). Se a probabilidade de vitória é a mesma para as duas
equipes, determine a probabilidade de:
(a) O campeão sair em até seis jogos.
(b) O campeão sair em seis jogos, se o time Osasco venceu os dois primeiros
jogos.
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Exercícios Propostos
Proposta 01.
Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a
porta.
(a) Qual a probabilidade de que ele abra a porta na quarta tentativa.
(b) Qual a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa, com
k = 1, 2, . . . , n?
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Exercícios Propostos
Proposta 02.
Na verificação de máquinas, observam-se as partes elétrica, mecânica e
estrutural.A probabilidade de aparecer uma falha em cada uma das partes é
0,01; independente das demais. Ocorrendo falha, o tempo de conserto é 10, 20
ou 50 minutos para falha elétrica, mecânica ou estrutural, respectivamente. Se
a falha elétrica aparece junto com a falha mecânica, teremos ainda um
acréscimo de 20 minutos. Para uma máquina escolhida ao acaso, qual a
probabilidade do tempo de interrupção ( se não há falha, esse tempo é zero):
(a) Durar menos de 25 minutos?
(b) Ultrapassar 40 minutos?
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Exercícios Propostos
Proposta 03.
Determine para que valores da constante c ∈ R a função apresentada à seguir
representa uma função de denidade de probabilidade:
f (x) =

c(1− x)2, se 0 ≤ x < 1/2
1/(c + 1), se 1/2 ≤ x < 1
0, caso contrário
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Exercícios Propostos
Proposta 04.
O desempenho diário, de um certo conjunto de ações, pode ser medido como a
porcentagem de crescimento do preço de venda em relação ao dia anterior.
Suponha que esse desempenho é uma variável aleatória contínua X com função
de densidade dada por:
f (x) =

0, se x < −3 ou x ≥ 4;
1
12x +
1
4 , se − 3 ≤ x < 0
1
4x , se 0 ≤ x < 2
1
16 , se 2 ≤ x < 4
O desempenho negativo indica que as ações perderam valor de um dia para o
outro. Qual seria a probabilidade de um dia com desempenho excepcional, isto
é, superior a 3%, dado que o desempenho foi positivo?
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