Unidade 4 - Integracao e Suas Aplicacoes

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344 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Unidade IV – Integração e Suas Aplicações 
 
4.1- Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
- Diferenciais 
 Quando definimos derivada como o limite da razão ∆ 𝑦/∆ 𝑥, parecia natural conservar o 
simbolismo de quociente para o próprio limite. 
 Assim, a derivada de y em relação a x foi representada como: 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 = lim
∆𝑥→0
 
∆𝑦
∆𝑥
 
embora o símbolo 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 não fosse interpretado como a razão de duas grandezas e sim um operador. 
 
- Definição de Diferencial 
 Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função derivável. 
 A diferencial de x (representada por dx) é qualquer número real diferente de zero. 
 A diferencial de y (representada por dy) é dada por: 𝑑𝑦 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥. 
 
 345 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Como se pode ver na Figura 3.61, a variação em f(x) que corresponde a uma variação de x é dada 
por: 
∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) . 
 
Quanto menor o valor de ∆𝑥, mais o valor de ∆𝑦 se aproxima do valor 
de dy. 
 
Para ∆𝑥 suficientemente pequeno, ∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦. 
 
Essa aproximação da reta tangente constitui a base para a maioria 
das aplicações das diferenciais. 
 
 
 346 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Equações das Diferenciais 
 Podemos usar a definição de diferencial para escrever as regras de derivação na forma diferencial. 
 Assim, por exemplo, se u e v são funções deriváveis de x, então 𝑑𝑢 = (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 e 𝑑𝑣 = (
𝑑𝑣
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 , 
e, portanto, a Regra do Produto pode ser escrita na seguinte forma diferencial: 
 
O quadro abaixo mostra as formas diferenciais das regras de derivação apresentadas na Unidade III. 
 
 347 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 
Determinar o diferencial dy de cada função: 
 
 
 
 
 348 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Antiderivadas 
 Até o momento, estivemos preocupados com o seguinte problema: dada uma função, determinar a 
derivada. Muitas aplicações importantes do cálculo envolvem o problema inverso: dada a derivada de 
uma função, determinar a função. 
 Essa operação de determinar a função original a partir da derivada é a operação inversa da 
derivação, conhecida como antiderivação. 
 
- Definição de Antiderivada 
Uma função F(x) é uma antiderivada de uma função f(x) se, para qualquer x no domínio de f(x), 
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) . 
 
 Se F(x) é uma antiderivada de f(x), então F(x) + C, onde C é uma constante arbitrária, também é 
uma antiderivada de f(x). Assim, por exemplo, 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 , 𝐺(𝑥) = 𝑥3 − 5 , e 𝐻(𝑥) = 𝑥3 − 0,3 
são antiderivadas de 3 𝑥2 por que a derivada dessas três funções é 3 𝑥2. 
 349 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Na verdade, todas as antiderivadas de 3 𝑥2 são da forma 𝑥3 + 𝐶. 
 
 Assim, o processo de antiderivação não determina uma única função, e sim uma família de funções 
cuja diferença é uma constante. 
 
- Notação de Antiderivadas e Integrais Indefinidas 
 O processo de antiderivação também é chamado de integração, e é representado pelo símbolo: 
∫ 𝑆𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 
que recebe o nome de sinal de integral. 
 O símbolo 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 
representa a integral indefinida de f(x), que inclui todas as antiderivadas de f(x). 
 
 
 350 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Assim, se 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para qualquer valor de x, podemos escrever: 
∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
onde f(x) é o integrando e C é a constante de integração. 
 
 A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração. 
 Assim, o símbolo ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 representa a “antiderivada de f(x) em relação à x”; 
da mesma forma que o símbolo " 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦" representa a “derivada de y em relação à x”. 
 
- Determinação de Antiderivadas 
 A relação entre as operações de integração e derivação, como mutuamente inversas, pode ser 
mostrada simbolicamente, da seguinte forma: 
𝑑
𝑑𝑥
[ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥) A derivação é o inverso da integração 
∫𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 A integração é o inverso da derivação 
 351 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Essa relação entre integração e derivação permite obter as expressões de integração a partir das 
expressões de derivação. 
 O quadro abaixo mostra algumas expressões de integração que correspondem a algumas 
expressões de derivação já estudadas. 
 
 Observe que a Regra da Potência inclui a restrição de que n não pode ser igual a -1. 
 
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Exemplo 1 
Determine ∫3 𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 Regra da Multiplicação por uma Constante 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 (
𝑥2
2
) + 𝐶 Regra da Potência com n = 1 
∫3 𝑥 𝑑𝑥 =
3
2
 𝑥2 + 𝐶 Simplificar 
 
 Observe, a partir desse exemplo, que o padrão geral da integração é semelhante ao da derivação. 
 
 
 
 353 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine as integrais indefinidas: 
(a) ∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥 (b) ∫√𝑥 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
 
 354 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 (b) ∫(3 𝑥4 − 5 𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 
Solução 
(a) Reescrevendo com identidades trigonométricas e consultando tabela. 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(
1
cos 𝑥
) (
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
) 𝑑𝑥 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(sec 𝑥)(tan 𝑥) 𝑑𝑥 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥
 𝑑𝑥 = sec 𝑥 + 𝐶 
 
(b) Utilize as várias regras básicas de integração para calcular esta integral. 
∫(3 𝑥4 − 5 𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 = 3 (
𝑥5
5
) − 5 (
𝑥3
3
) + (
𝑥2
2
) + 𝐶 
 
 355 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine a integral indefinida: 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
 𝑑𝑥 
Solução 
∫
𝑥 + 1
√𝑥
 𝑑𝑥 = ∫(
𝑥
√𝑥
+ 
1
√𝑥
) 𝑑𝑥 
 = ∫(𝑥
1
2⁄ + 𝑥− 
1
2⁄ ) 𝑑𝑥 
 = 
𝑥
3
2⁄
3
2⁄
 + 
𝑥
1
2⁄
1
2⁄
+ 𝐶 
 = 
2
3
 𝑥
3
2⁄
 + 2 𝑥
1
2⁄ + 𝐶 
 
 
 356 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Soluções Particulares 
 Uma equação diferencial é aquela que envolve as variáveis x, y e derivadas de y. 
 A equação 𝑦 = ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 é equivalente à equação diferencial 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑥) e possui um número 
infinito de soluções, que diferem apenas por uma constante. 
 Isto significa que as curvas das antiderivadas de f(x) diferem, entre si, 
apenas por uma translação vertical. 
 A Figura 5.1 mostra, por exemplo, as curvas de várias antiderivadas da 
forma: 
𝑦 = 𝐹(𝑥) = ∫(3 𝑥2 − 1) 𝑑𝑥 = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 
 
onde 𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 é chamada de solução geral da equação 
diferencial. 
 
 Em muitas aplicações, dispomos de informações suficientes para obter 
uma solução particular. 
 357 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Para tal, basta conhecermos F(x) para um valor de x (essa informação é conhecida como condição 
inicial). 
 Assim, por exemplo, na Figura 5.1, existe apenas uma curva que passa pelo ponto (2 , 4). Para 
determinar essa curva, basta combinar a solução geral com o valor inicial. 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 + 𝐶 Solução geral 
𝐹(2) = 4 Condição inicial 
 
Substituindo a condiçãoinicial na solução geral, obtemos: 
𝐹(𝑥) = 23 − 2 + 𝐶 = 4 , 
o que nos dá: 
𝐶 = −2 . 
Assim, a solução particular é: 
𝐹(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 − 2 Solução particular 
 
 
 358 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine a solução geral da equação 𝐹′(𝑥) = 2 𝑥 − 2 e a solução particular que satisfaz a condição 
inicial 𝐹(1) = 2. 
Solução 
- Integrando a função dada para encontrar a solução geral. 
𝐹(𝑥) = ∫(2 𝑥 − 2) 𝑑𝑥 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 𝐶 
 
- Determinando a constante de integração por meio das condições iniciais. 
𝐹(1) = (1)2 − 2 (1) + 𝐶 = 2 
𝐶 = 3 
 
- Explicitando a solução particular. 
𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 2 𝑥 + 3 
 
Algumas curvas da solução geral e a solução particular aparecem na Figura 5.2. 
 
 359 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Uma bola é arremessada para cima, com uma velocidade inicial de 64 pés/seg a partir de uma altura de 
80 pés, como mostra a Figura 5.3. 
Determine a função posição [s(t)] da bola. Quanto tempo leva a bola para chegar ao chão? 
Solução 
- Determinando as condições iniciais 
Seja t = 0 o instante inicial. As duas condições iniciais são as seguintes: 
𝑆(0) = 80 Altura inicial 
𝑆′(0) = 64 Velocidade inicial 
 
- Determinando a função velocidade 
Sabendo que a aceleração da gravidade é constante e igual a -32 pés/s2: 
𝑆′′(𝑡) = −32 Aceleração da gravidade 
𝑆′(𝑡) = −∫32 𝑑𝑡 
𝑆′(𝑡) = −32 𝑡 + 𝐶1 Função velocidade 
 360 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Com a condição inicial da velocidade obtemos 𝐶1 = 64 . 
𝑆′(𝑡) = −32 𝑡 + 64 
 
- Determinando a função posição 
𝑆(𝑡) = ∫(−32 𝑡 + 64) 𝑑𝑡 
𝑆(𝑡) = −16 𝑡2 + 64 𝑡 + 𝐶2 Função posição 
Com a condição inicial da posição obtemos 𝐶2 = 80 . 
𝑆(𝑡) = −16 𝑡2 + 64 𝑡 + 80 
 
- Determinando o tempo que a bola leva para chegar ao chão. 
𝑆(𝑡) = −16 𝑡2 + 64 𝑡 + 80 = 0 
𝑡1 = −1 𝑒 𝑡2 = 5 
Logo, a bola leva 5 s para chegar ao chão. 
 
 
 361 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.2- Integração: pela Regra da Potência Generalizada e por Substituição 
- Regra da Potência Generalizada 
 Nem sempre poderemos encontrar antiderivadas com a aplicação direta de formulários. 
 Contudo, algumas vezes é possível encontrarmos uma antiderivada consultando tabelas, depois de 
termos mudado a variável. Por exemplo, suponhamos que queremos encontrar: 
∫2𝑥 (𝑥2 + 1)3 𝑑𝑥 
Se fizermos a substituição 𝑢 = 𝑥2 + 1 , então 𝑑𝑢 = 2 𝑥 𝑑𝑥 e o cálculo da antiderivada será 
∫(𝑥2 + 1)3⏞ 
𝑢3
 2 𝑥 𝑑𝑥⏟ 
𝑑𝑢
= ∫(𝑢)3 𝑑𝑢 = 
𝑢4
4
+ 𝐶 
 
 Este é um exemplo da Regra da Potência Generalizada para integração. 
- Regra da Potência Generalizada para Integração 
Se u é uma função derivável de x, então: 
∫𝑢𝑛 (
𝑑𝑢
𝑑𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 = 
𝑢𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝐶 , 𝑛 ≠ −1 
 362 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫3 (3 𝑥 − 1)4 𝑑𝑥 
 
 
(b) ∫(2 𝑥 + 1) (𝑥2 + 𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
(c) ∫3 𝑥2 √𝑥3 − 2 𝑑𝑥 
 
 
(d) ∫
−4 𝑥
(1−2 𝑥2)2
 𝑑𝑥 
 
 
 363 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine ∫𝑥 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 
Solução 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 3 − 4 𝑥2. 
 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥. 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
−8
−8
. 
- Aplicando a Regra da Potência: 
 
 364 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 (Um caso no qual a Regra da Potência Generalizada não funciona) 
Determine ∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 
Solução 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 3 − 4 𝑥2. 
 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −8 𝑥 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
𝑥
𝑥
. 
Porém, essa estratégia não funciona com variáveis visto que a integral resultante não teria sentido: 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 ≠ 
1
𝑥
 ∫(3 − 4 𝑥2)2 (−8 𝑥) 𝑑𝑥 
A solução é expandir o integrando e aplicar a Regra da Potência. 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 = ∫(−72 + 192 𝑥2 − 128 𝑥4) 𝑑𝑥 
∫−8 (3 − 4 𝑥2)2 𝑑𝑥 = −72 𝑥 + 64 𝑥3 −
128
5
 𝑥5 + 𝐶 
 365 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine ∫7 𝑥2 √𝑥3 + 1 𝑑𝑥 . 
Solução 
- Identificando a variável u: 
Seja 𝑢 = 𝑥3 + 1. 
- Criando, no integrando, um fator igual a 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3 𝑥2 
É preciso multiplicar o integrando com o elemento neutro da multiplicação 
3
3
. 
Porém, o fator 7/3 não é necessário como parte de du/dx e pode ser colocado para fora do integral. 
- Aplicando a Regra da Potência. 
 
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- Substituição 
 A técnica de integração usada nos Exemplos 1 a 4 depende da capacidade de criação de um 
integrando da forma 𝑢𝑛 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ . 
 No caso de integrandos complicados, é difícil identificar os passos necessários para colocar o 
integrando em uma forma conveniente. 
 Quando isso acontece, um método alternativo conhecido como substituição ou mudança de 
variável pode ser empregado. 
 Nesse método, escrevemos a integral inteira em termos de u e du. 
 Se u = f(x), então 𝑑𝑢 = 𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥, e a Regra da Potência Generalizada assume a forma: 
∫𝑢𝑛 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 = ∫𝑢𝑛 𝑑𝑢 
 
 
 367 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫√1 − 3 𝑥 𝑑𝑥. 
Solução 
- Identificando a variável u como: 𝑢 = 1 − 3𝑥. 
 Nesse caso, 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −3 e 𝑑𝑢 = −3 𝑑𝑥. 
 Isso significa que 𝑑𝑥 = −𝑑𝑢 3⁄ , e teremos o cálculo da integral como: 
- Aplicando a Regra da Potência: 
 
 368 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.3- Integrais de Funções Exponenciais e Logarítmicas 
- Usando as Regras da Exponencial 
 Para cada uma das regras de derivação das funções exponenciais existe uma regra de integração 
correspondente. 
 
- Integrais de Funções Exponenciais 
Seja u uma função derivável de x. 
∫𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 
∫𝑒𝑢 
𝑑𝑢
𝑑𝑥
 𝑑𝑥 = ∫𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒𝑢 + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
 
 
 369 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 (b) ∫2 𝑒2 𝑥 𝑑𝑥 (c) ∫(𝑒𝑥 + 𝑥) 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
 370 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine ∫𝑒3 𝑥+1 𝑑𝑥. 
Solução 
- Identificando a variável u. 
Seja 𝑢 = 3 𝑥 + 1 e, portanto 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 3. 
Podemos introduzir o fator 3 no integrando multiplicando e dividindo por 3. 
 
 
 371 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine ∫5 𝑥 𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥. 
Solução 
- Identificando a variável u. 
Seja 𝑢 = −𝑥2 e, portanto 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = −2 𝑥. 
Podemos introduzir o fator (-2 x) no integrando multiplicando e dividindo por (-2). 
 
 
 372 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Usando as Regras do Logaritmo 
 Quando as Regras da Potência para integração foram apresentadas nas Seções 4.1 e 4.2, 
observamos que não eram válidas para n = -1. 
 As Regras do Logaritmo para integração se aplicam justamente às funções que não sãocobertas 
pelas Regras da Potência, ou seja, funções da forma ∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 e ∫𝑢−1 𝑑𝑢 . 
 
- Integrais de Funções Logarítmicas 
Seja u uma função derivável de x. 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 
∫ 
𝑑𝑢/𝑑𝑥
𝑢
 𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢
 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 ; 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝐿𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎 
 
Essas regras são fáceis de demonstrar por derivação. 
Para demonstrar que 
𝑑
𝑑𝑥
[ln|𝑥|] , basta observar que: 
𝑑
𝑑𝑥
[ln 𝑥] = 
1
𝑥
 e 
𝑑
𝑑𝑥
[ln(−𝑥)] = 
−1
−𝑥
= 
1
𝑥
 
 
 373 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine as integrais indefinidas: 
(a) ∫
4
𝑥
 𝑑𝑥 (b) ∫
2 𝑥
𝑥2
 𝑑𝑥 (c) ∫
3
3 𝑥 + 1
 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
 
 374 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫
1
2𝑥 − 1
 𝑑𝑥. 
Solução 
- Identificando a variável u. 
 Seja 𝑢 = 2 𝑥 − 1 e portanto 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 2 . 
 Podemos criar o fator 2 no integrando multiplicando e dividindo por 2. 
 
 
 
 375 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Determine ∫
6𝑥
𝑥2 + 1
 𝑑𝑥 . 
Solução 
- Identificando a variável u. 
 Seja 𝑢 = 𝑥2 + 1 e portanto, 𝑑𝑢 𝑑𝑥⁄ = 2 𝑥 . 
 Podemos criar o fator 2x no integrando dividindo e multiplicando por 3. 
 
 
 376 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
Determine as integrais indefinidas. 
(a) ∫
3 𝑥2+2 𝑥−1
𝑥2
 𝑑𝑥 (b) ∫
1
1 + 𝑒−𝑥
 𝑑𝑥 (c) ∫
𝑥2+𝑥+1
𝑥−1
 𝑑𝑥 
Solução 
 
 377 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
Encontre ∫
2 𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥. 
 
 
 378 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.4- Áreas e o Teorema Fundamental do Cálculo 
- Área e Integrais Definidas 
 A área é um número que define o tamanho de uma região fechada. 
 No caso de regiões simples, como retângulos, triângulos e círculos, as 
áreas podem ser calculadas por meio de equações geométricas. 
 Técnicas do Cálculo podem ser utilizadas para a determinação do 
tamanho de uma região irregular fechada como a que aparece na Figura 5.5. 
 
- Definição de Integral Definida 
Seja f(x) uma função não negativa e contínua no intervalo [a , b]. 
A área da região limitada pela curva de f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b é representada por: 
Á𝑟𝑒𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
A expressão ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 é chamada de integral definida da função f(x) de a a b, 
onde, a é o limite inferior de integração e b é o limite superior de integração. 
 379 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine ∫ 2 𝑥
2
0
 𝑑𝑥 . 
Solução 
Essa integral definida representa a área da região limitada pela curva da 
função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 , o eixo x e a reta x = 2, como mostra a Figura 5.6. 
A região é triangular, com uma altura de quatro unidades e uma base de duas 
unidades. Então teremos a seguinte equivalência: 
∫ 2𝑥
2
0
 𝑑𝑥 = 
1
2
 (𝑏𝑎𝑠𝑒) (𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎) Expressão da área do triângulo 
∫ 2𝑥
2
0
 𝑑𝑥 = 
1
2
 (2) (4) = 4 
 
 
 380 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- O Teorema Fundamental do Cálculo 
Considere a função A(x) representante do tamanho da região (área) mostrada 
na Figura 5.7. 
 
Para determinar a relação entre A(x) e f(x), vamos supor que x sofra um 
acréscimo ∆𝑥. 
 
Isso faz com que a área aumente de ∆ 𝐴. 
 
 
 381 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Como mostra a Figura 5.8, podemos escrever as seguintes desigualdades: 
 Sejam f(m) e f(M) os valores mínimo e máximo de f(x) no intervalo [𝑥 , 𝑥 + ∆ 𝑥]. 
 
Assim, 𝑓(𝑥) = 𝐴′(𝑥) e 
𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶 
 
onde, 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). 
 
Como 𝐴(𝑎) = 0 , 
então 𝐶 = −𝐹(𝑎) . 
Logo, 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎) 
 382 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Portanto, se 𝐴(𝑥) = 𝐹(𝑥) − 𝐹(𝑎), então: 
𝐴(𝑏) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) é igual à área total sob a curva de f(x) ou 
𝐴(𝑏) = ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 De acordo com essa equação, se for possível determinar a antiderivada de f(x), esta pode ser usada 
para calcular a integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 . 
 Esse resultado é conhecido como o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
- Teorema Fundamental do Cálculo 
Se f(x) é uma função não negativa e contínua no intervalo fechado [a , b], então 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
onde F(x) é qualquer função tal que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) para qualquer x no intervalo [a , b]. 
 383 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Podemos definir um procedimento geral para o uso do Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
 Antes de introduzirmos o Teorema Fundamental do Cálculo, supomos que a função f(x) era não 
negativa no intervalo fechado [a , b] e definimos a integral definida como uma área. 
 384 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 O Teorema Fundamental do Cálculo permite ampliar a definição para incluir funções que assumem 
valores negativos no intervalo fechado [a , b]. 
 Mais especificamente, se f(x) é qualquer função contínua no intervalo fechado [a , b], então a 
integral definida de f(x) de a a b é dada por: 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) 
 
onde F é a antiderivada de f. 
 
Obs.: 
1) As integrais definidas não representam, necessariamente, áreas e podem ser positivas, negativas ou 
nulas. 
2) É importante que a diferença entre integral indefinida e integral definida fique bem compreendida. 
A integral indefinida ∫𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 representa uma família de funções, cada uma das quais é uma 
antiderivada de f(x), enquanto a integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 é um número. 
 385 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Consideres as seguintes propriedades algébricas das Integrais Definidas: 
 
 
 
 386 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine a área da região limitada pelo eixo x e pela curva da função: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 , 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 
Solução 
Observe que 𝑓(𝑥) ≥ 0 no intervalo (1 ≤ 𝑥 ≤ 2) , como mostra a Figura 5.9. 
Assim, a área da região pode ser representada por uma integral definida. 
Para determinar a área, usamos o Teorema Fundamental do Cálculo. 
 
Assim, a área da região é 4/3 unidades quadradas. 
 
 387 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine a integral definida: 
∫ (4 𝑡 + 1)2
1
0
 𝑑𝑡 
e desenhe a região cuja área é representada pela integral. 
Solução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 388 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine as integrais definidas: 
(a) ∫ 𝑒2 𝑥
3
0
 𝑑𝑥 (b) ∫
1
𝑥
2
1
 𝑑𝑥 (c) ∫ −3 √𝑥
4
1
 𝑑𝑥 
Solução 
 
 
 389 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫ |2 𝑥 − 1|
2
0
 𝑑𝑥. 
A região representada pela integral definida aparece na Figura 5.11. 
De acordo com a definição de valor absoluto, temos: 
|2 𝑥 − 1| = {
−(2 𝑥 − 1), 𝑥 <
1
2
(2 𝑥 − 1), 𝑥 ≥
1
2
 
Usando a propriedade 3 das integrais definidas, podemos escrever a integral 
como a soma de duas integrais definidas: 
 
 
 390 Cálculo Diferenciale Integral I Prof. Mário Duarte 
- Valor Médio 
 O valor médio de uma função em um intervalo fechado é definido da seguinte forma: 
 
- Definição do Valor Médio de uma Função 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo fechado [a , b], 
então o valor médio de f(x) no intervalo [a , b] é dado por: 
 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓(𝑥) 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑎 , 𝑏] = 
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
 391 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
O custo unitário c(t) para produzir um artigo em um período de dois anos é modelado pela função: 
𝑐(𝑡) = 0,005 𝑡2 + 0,01 𝑡 + 13,15 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 24 
onde t é o tempo em meses. 
Determine o custo médio unitário durante o período de dois anos. 
Solução 
O custo médio pode ser calculado integrando a função c(t) no intervalo [0 , 24]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 392 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Funções Pares e Ímpares 
 Várias funções comuns são simétricas em relação ao eixo y ou à origem. 
 Se uma função f(x) é simétrica em relação ao eixo y, como na Figura 5.13(a), 
então 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) e dizemos que f(x) é uma função par. 
 
 Se uma função f(x) é simétrica em relação à origem, como na Figura 5.13(b), 
então 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥), então dizemos que f é uma função ímpar. 
 
 
 
 
 
 393 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
Determine as integrais definidas: 
(a) ∫ 𝑥2
2
−2
 𝑑𝑥 (b) ∫ 𝑥3
2
−2
 𝑑𝑥 . 
Solução 
 
 
 
 394 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.5- A Área de uma Região Limitada por Duas Curvas 
 Com algumas modificações, o uso de integrais definidas, para determinar o tamanho de uma região 
sob uma curva, pode ser generalizado para incluir a determinação do tamanho de uma região limitada 
por duas curvas. 
 Considere a região limitada pelas curvas de f(x) e g(x), e ainda x = a e x = b, na Figura 5.14. 
 Como as curvas de f(x) e g(x) estão acima do eixo x, o tamanho da região entre as curvas pode ser 
interpretado como a região sob o gráfico de f(x) menos a região sob o gráfico de g(x), como mostra a 
Figura 5.14. 
 
 395 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Embora a Figura 5.14 mostre os gráficos de f(x) e g(x) acima do eixo x, essa condição não é 
necessária, e o mesmo integrando [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] pode ser usado, contando que as duas funções sejam 
contínuas e 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) no intervalo [a , b]. 
 
- Área de uma Região Limitada por Duas Curvas 
Se f(x) e g(x) são funções contínuas no intervalo fechado [a , b] e 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) para qualquer x no 
intervalo, a área da região limitada pelas curvas de f(x) e g(x) e pelas retas x = a e x = b é dada por: 
𝐴 = ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
 𝑑𝑥 
 
 
 396 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑦 = 𝑥2 + 2 e 𝑦 = 𝑥, para 0 ≤ 𝑥 ≤ 1. 
Solução 
- Começamos por traçar as curvas das duas funções, como mostra a Figura 5.15. 
- Podemos ver, na figura, que 𝑥 ≤ 𝑥2 + 2 para qualquer valor de x no 
intervalo [0 , 1]. 
- Logo, podemos fazer 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 na expressão da integral. 
- A área pode ser calculada por: 
 
 
 397 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑦 = 2 − 𝑥2 e 𝑦 = 𝑥 . 
Solução 
- Neste problema, os valores dos limites de integração a e b não são dados e é preciso calculá-los, 
determinando os pontos de interseção das duas curvas. 
- Para isso, basta igualar as duas funções e resolver a equação resultante. 
- Fazendo isso, obtemos x = -2 e x = 1. 
- Como podemos ver, na Figura 5.16, a curva de 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 está acima 
da curva de 𝑔(𝑥) = 𝑥 para qualquer valor de x no intervalo [-2 , 1]. 
 
 398 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 e o eixo x. 
Solução 
- Começamos por determinar os pontos em que a curva intercepta o eixo x. 
- Para isso, igualamos a função a zero e resolvemos a equação resultante. 
𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 
(𝑥 − 4) (𝑥 + 1) = 0 
𝑥 = 4 , 𝑥 = −1 
- Como se pode ver na Figura 5.17, 𝑥2 − 3𝑥 − 4 ≤ 0 para qualquer valor de 
x no intervalo [-1 , 4]. 
- Assim, podemos fazer 𝑓(𝑥) = 0 e 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 4 e calcular a área: 
 
 
 
 
 
 
 399 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine a área da região limitada pelas curvas das funções 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 𝑥2 − 10𝑥 e 
𝑔(𝑥) = − 𝑥2 + 2𝑥 . 
Solução 
- Para determinar os pontos de interseção das duas curvas, igualamos as funções e resolvemos a 
equação resultante. 
 
- Esses três pontos de interseção determinam dois intervalos de integração: [-2 , 0] e [0 , 2]. 
 
 
 400 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Podemos ver na Figura 5.18 que 𝑔(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥) no intervalo [-2 , 0] e que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) no intervalo 
[0 , 2]. 
- Assim, devemos usar duas integrais para determinar a área da região limitada pelas curvas de f e g: 
uma para o intervalo [-2 , 0] e outra para o intervalo [0 , 2]. 
 
 
 
Logo, a região tem uma tamanho de 24 unidades quadradas. 
 401 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.6- A Integral Definida como Limite de uma Soma 
- A Regra do Ponto Central 
 Quando não é possível usar o Teorema Fundamental do Cálculo (desconhecimento da antiderivada 
do integrando), podemos recorrer a técnicas de aproximação para a obtenção do valor da integral. 
 Uma dessas técnicas se baseia na chamada Regra do Ponto Central. 
 
 A Regra do Ponto Central pode ser usada para estimar o valor de qualquer integral definida. 
 
 No entanto, recorreremos a essa Regra apenas quando não for possível encontrar uma antiderivada. 
 
 402 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Use os cinco retângulos da Figura 5.22 para estimar a área da região limitada pela curva da função 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 5 , o eixo x e as retas x = 0 e x = 2. 
Solução 
- Determinando as alturas dos cinco retângulos calculando o valor de f(x) nos pontos centrais dos 
seguintes intervalos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 403 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Roteiro para Usar a Regra do Ponto Central 
Para estimar o valor da integral definida ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 usando a Regra do Ponto Central, devemos: 
1. Dividir o intervalo [a , b] em n intervalos de largura. 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
 
 
2. Determinar o ponto central de cada intervalo. 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 = {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , ⋯ , 𝑥𝑛} 
 
3. Determinar os valores de f(xi) nos pontos centrais de todos os intervalos, somar esses valores e 
multiplicar o resultado por 
𝑏−𝑎
𝑛
 . 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≈ 
𝑏 − 𝑎
𝑛
 [𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] 
 
 
 404 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Use a Regra do Ponto Central com n = 5 para determinar o valor aproximado de ∫
1
𝑥2+1
1
0
𝑑𝑥. 
Solução 
- Determinando a largura dos cinco subintervalos: 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
1 − 0
5
=
1
5
 
- Determinando os pontos centrais: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 = {
1
10
 ,
3
10
 ,
5
10
 ,
7
10
,
9
10
} 
 
- O valor estimado da integral definida é dado por: 
∫
1
𝑥2 + 11
0
𝑑𝑥 ≈
1
5
 (
1
1,01
+
1
1,09
+
1
1,25
+
1
1,49
+
1
1,81
) ≈ 0,786 
A Figura 5.23 mostra a região cuja área é representada pela integral 
definida. 
A área exata da região é 
𝜋
4
≈ 0,785; assim, o erro cometido pela Regra é apenas de 0,001. 
 405 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Use a regra do Ponto Central com n = 10 para estimar o valor de ∫ √𝑥2 + 1
3
1
𝑑𝑥. 
Solução 
- Determinando a largura dos subintervalos: 
∆𝑥 =
𝑏 − 𝑎
𝑛
=
3 − 1
10
=
1
5
 
 
- Determinando os pontos centrais: 
𝑃𝑜𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑖𝑠 = {
11
10
 ,
13
10
 ,
15
10
 ,
17
10
,
19
10
 ,
21
10
 ,
23
10
 ,
25
10
 ,
27
10
,
29
10
} 
 
- O valor estimado da integral definida é dado por: 
∫ √𝑥2 + 1
3
1
𝑑𝑥 ≈
1
5
 (√1,12 + 1 + √1,32 + 1 +⋯+ √2,92 + 1) 
≈ 4,504 
A Figura 5.24 mostra a região cuja área é representada pela integral definida cujo valor é 4,505. 
 406 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Regra do Trapézio 
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a , b] e n o número de subintervalos iguais (veja figura). 
 De acordo com a Regra do Trapézio, o valor ∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 é dado aproximadamente por: 
 
 
 
O uso desta regra segue os mesmos princípios da Regra do Ponto Central, fazendo-se as devidas 
correções no uso das coordenadas xi e valores das funções [f(xi)] na expressão de cálculo. 
 
 407 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- A Integral Definida como Limite de uma Soma 
 Considere o intervalo fechado [a , b] dividido em n subintervalos de largura ∆𝑥 =
(𝑏 − 𝑎)
𝑛⁄ . 
 Vamos chamar xi a coordenada x do ponto central do subintervalo de ordem i. 
 A estimativa do ponto central 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 ≈ 𝑓(𝑥1)∆𝑥 + 𝑓(𝑥2)∆𝑥 + 𝑓(𝑥3)∆𝑥 + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)∆𝑥 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = [𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] ∆𝑥 
se torna mais precisa, à medida que n aumenta. 
 Na verdade, o limite dessa soma quando n tende a infinito é exatamente igual à integral definida. 
 Assim, 
∫ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 = lim
𝑛→∞
[𝑓(𝑥1) + 𝑓(𝑥2) + 𝑓(𝑥3) + ⋯+ 𝑓(𝑥𝑛)] ∆𝑥 
 
 
 408 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
4.7- Volumes de Sólidos de Revolução 
- O Método do Disco 
 Outra importante aplicação da integral definida é o cálculo do volume de sólidos tridimensionais. 
 Um tipo particular de sólido tridimensional é denominado de sólidos de revolução. 
 Esses sólidos, na forma de eixos, funis, pílulas, garrafas e pistões, são muito usados na engenharia 
e em objetos domésticos, como mostrados na Figura 7.12. 
 
 
 
 409 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma figura plana 
em torno de uma reta, que recebe o nome de eixo de revolução. 
 O mais simples dos sólidos de revolução é o cilindro circular reto ou 
disco, o qual é formado pela rotação de um retângulo em torno de um 
eixo adjacente a um lado desse retângulo como mostrado na Figura 7.13. 
 
 O volume de tal disco é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = (á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜) (𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜) 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 = 𝜋 𝑅2 𝑤 
onde R é o raio do disco e w sua largura. 
 
 
 
 410 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Considere uma função contínua f que 
seja não negativa no intervalo [a , b]. 
 Suponha que a área da região seja 
aproximada por n retângulos de largura ∆𝑥, 
como mostra a Figura 7.14. 
 Fazendo girar os retângulos em torno 
do eixo x, obtemos n discos; o volume de 
cada disco é 𝜋 [𝑓(𝑥𝑖)]
2∆𝑥. 
 O volume do sólido formado pela 
rotação da região em torno do eixo x é aproximadamente igual à soma dos volumes dos discos. 
 Tomando o limite quando n tende a infinito, podemos ver que o volume exato é dado por uma 
integral definida. Esse resultado é conhecido como Método do Disco. 
 
- Método do Disco 
O volume do sólido formado pela rotação da região limitada pela curva de f(x), pelo eixo x e pelas retas 
x = a e x = b em torno do eixo x é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 411 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Para se encontrar o volume de um sólido de revolução com o uso do método do disco pode-se girar 
o retângulo de referência tanto em torno do eixo horizontal (x) quanto em torno do eixo vertical(y), 
como mostrado na Figura 7.15. 
 
Rotação em torno do Eixo Horizontal Rotação em torno do Eixo Vertical 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑦)]2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
 
 
 412 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine o volume do sólido formado pela rotação da região limitada pelo gráfico da função 
𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥) e o eixo x , 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, em torno do eixo x. 
Solução 
Começamos por desenhar a região limitada pela curva de f(x) e o eixo x. Como na parte superior da 
Figura 7.16, desenhamos um retângulo representativo cuja altura é R(x) e cuja largura é ∆𝑥. 
De acordo com esse retângulo, o raio do sólido é 𝑅(𝑥) = 𝑓(𝑥) = √𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Usando o método do disco, podemos determinar o volume do sólido de 
revolução. 
 
 
 413 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelo gráfico da função 
𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥2 e 𝑔(𝑥) = 1 e em torno da linha 𝑦 = 1 como mostrado na Figura 7.17. 
Solução 
Analisando o gráfico das funções f(x) e g(x) determinamos os pontos de 
interseção em 𝑥 = ±1. 
 
Para determinarmos o raio do disco subtraímos g(x) de f(x). 
𝑅(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 
𝑅(𝑥) = (2 − 𝑥2) − (1) 
𝑅(𝑥) = 1 − 𝑥2 
 
 
 414 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Usando o método do disco: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑅(𝑥)]2 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (1 − 𝑥2)2 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 ∫ (1 − 2𝑥2 + 𝑥4) 𝑑𝑥
1
−1
 
𝑉 = 𝜋 [
𝑥5
5
−
2 𝑥3
3
+ 𝑥]
−1
1
=
16 𝜋
15
≈ 3,351 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑐ú𝑏𝑖𝑐𝑎𝑠 
 
 
 415 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- O Método do Anel 
 O método do Disco pode ser generalizado para permitir o cálculo de um sólido de revolução com 
um furo substituindo a representação de um disco pela representação de um anel. 
 O anel é formado pela revolução de um retângulo em torno de um eixo, como mostrado na 
Figura 7.18. 
Sejam r e R os raios interno e externo, respectivamente, do anel e seja 
ainda w sua espessura. Assim, o volume desse anel será dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑒𝑙 = 𝜋 (𝑅2 − 𝑟2) 𝑤 
 
 Utilizando este conceito para se encontrar o volume de um sólido de 
revolução, considere uma região limitada por uma função raio externo 
R(x) e outra função raio interno r(x) como mostrado na Figura 7.19. 
 
 
 
 416 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Quando fazemos essa região girar em torno 
de um eixo de revolução, o volume do sólido 
resultante é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝑉 = 𝜋 ∫ {[𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2} 𝑑𝑥
1
−1
 
 
 Podemos ressaltar que a integral envolvendo o raio interno representa o volume do buraco que é 
subtraído do volume representado pela integral do raio externo. 
 
 417 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Método do Anel 
Sejam R(x) e r(x) duas funções contínuas e não negativas no intervalofechado [a , b], como mostra a 
Figura 7.19 (esquerda). 
Se 𝑟(𝑥) ≤ 𝑅(𝑥) para qualquer x no intervalo, então o volume do sólido formado pela rotação da região 
limitada pelas curvas de R(x) e r(x) e pelas retas x = a e x = b em torno do eixo x é dado por: 
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 = 𝜋 ∫ {[𝑅(𝑥)]2 − [𝑟(𝑥)]2} 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
R(x) é o raio externo e r(x) é o raio interno. 
 
Observe, na Figura 7.19 (direita) que o sólido de revolução possui um furo. 
O raio desse furo é r(x), o raio interno. 
 418 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelos gráficos de 𝑦 = √𝑥 e 
𝑦 = 𝑥2 em torno do eixo x, como mostrado na Figura 7.20. 
Solução 
Podemos verificar na figura dada que os raios, interno e externo, 
correspondem a 𝑟(𝑥) = 𝑥2 e 𝑅(𝑥) = √𝑥 respectivamente. 
Integrando, entre os limites 0 e 1, teremos: 
 
 
 419 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Encontre o volume do sólido formado pela revolução da região limitada pelos gráficos de 𝑦 = 𝑥2 + 1 , 
𝑦 = 0 , 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1 em torno do eixo y, como mostrado na Figura 7.21. 
 
Solução 
Para a região plana mostrada na Figura 7.21, o raio externo é R(y) = 1. 
Vemos ainda que quando 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 𝑟(𝑥) = 0. 
Porém, quando 1 ≤ 𝑦 ≤ 2 , r(y) será determinado pela equação 𝑦 = 𝑥2 + 1 , 
o que implica que 𝑟(𝑦) = √𝑦 − 1. 
 
 420 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Logo, 
𝑟(𝑦) = {
0, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1
√𝑦 − 1, 1 ≤ 𝑦 ≤ 2
 
 
Usando a definição de raio interno, podemos utilizar duas integrais para encontrar o volume. 
 
 
 
 421 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Uma broca faz um buraco através do centro de uma esfera metálica de raio 5 polegadas, como mostrado 
na Figura 7.23(a). O buraco tem um raio de 3 polegadas. Qual é o volume do anel metálico resultante? 
Solução 
Podemos imaginar que o anel será gerado pelo segmento do círculo cuja 
equação é 𝑥2 + 𝑦2 = 25, como mostrado na Figura 7.23(b). 
Em função do buraco de 3 polegadas, nós podemos fazer 𝑦 = 3 e resolver a 
equação 𝑥2 + 𝑦2 = 25 para determinar os limites de integração que serão 
𝑥 = ±4. 
Portanto, os raios interno e externo são 𝑟(𝑥) = 3 e 𝑅(𝑥) = √25 − 𝑥2 , 
respectivamente, e o volume será dado por: 
 
 422 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de 
Janeiro – RJ, LTC, 2008. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Belmont - CA - USA, Brooks/Cole, 2010. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.