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Ca´lculo Nume´rico
Prof. Vicente Helano
Per´ıodo 2019.1
Lista de Exerc´ıcios 5
Questa˜o 1. Verifique se as sequeˆncias abaixo, definidas para n ≥ 1 natural, possuem
ordem de convergeˆncia linear ou quadra´tica.
(a) xn = (1/n)
1/2
(b) xn = (1/n)
n
(c) xn = n
√
n
(d) xn = (1 + 1/n)
1/2
Questa˜o 2. Determine se cada func¸a˜o a seguir induz iterac¸o˜es de ponto fixo con-
vergentes para a raiz ξ dada.
(a) g(x) =
√
2 + x, ξ = 2
(b) g(x) = e2x − 1, ξ = 0
(c) g(x) = (2x− 1)/x2, ξ = 1
(d) g(x) = cos x+ pi + 1, ξ = pi
Questa˜o 3. As ra´ızes da equac¸a˜o f(x) := x2 − 3x + 2 = 0 sa˜o 1 e 2. Considere a
func¸a˜o de iterac¸a˜o de ponto fixo:
g(x) =
1
ω
(
x2 − (3− ω)x+ 2) , ω 6= 0.
(a) Determine para quais valores de ω o me´todo do ponto fixo convergira´ para 1,
supondo como valor inicial x0 6= 1.
(b) Realize uma ana´lise ana´loga a` do item (a), mas agora para a raiz 2.
Questa˜o 4. Considere a func¸a˜o g(x) = 1
2
(senx + cos x). Determine um intervalo
[a, b] que contenha um ponto fixo de g, no qual o me´todo do ponto fixo convergira´.
Questa˜o 5. Seja g :R→ R uma func¸a˜o diferencia´vel. Mostre que se g′(x) 6= 1 para
todo x em R, enta˜o g possui no ma´ximo um ponto fixo.
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