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AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 1/2018 ORIENTAC¸O˜ES PARA PROVA COM CORREC¸A˜O ONLINE Orientac¸o˜es gerais: I 1. Voceˆ esta´ recebendo do aplicador o Caderno com os enunciados das Questo˜es e uma Folha de Resposta, para desenvolver suas resoluc¸o˜es. 2. Confira se o Caderno de Questo˜es corresponde a` disciplina em que devera´ realizar a prova. Caso contra´rio verifique com o aplicador a soluc¸a˜o cab´ıvel. 3. Apo´s a confereˆncia e se estiver tudo certo, assine o Caderno de Questo˜es no local indicado para este fim. 4. Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado no cabec¸alho da pro´xima folha) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM 5. Confira e assine cada Folha de Respostas solicitada. 6. Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! 7. E´ expressamente proibido o uso de aparelho celular e qualquer outro aparelho com conexa˜o a` Internet durante a aplicac¸a˜o da prova. Qualquer irregularidade sera´ reportada pelo aplicador a` Direc¸a˜o do Polo e a` Coordenac¸a˜o para aplicac¸a˜o das sanc¸o˜es devidas. 8. Ao te´rmino da prova, entregue ao aplicador todas as Folhas de Respostas utilizadas, devidamente assinadas, o Caderno de Questo˜es e rascunhos. Orientac¸o˜es para o preenchimento da(s) Folha(s) de Respostas: I 1. Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta, para registro das resoluc¸o˜es das questo˜es nas Folhas de Respostas. 2. Apresente as resoluc¸o˜es de forma clara, leg´ıvel e organizada. Na˜o se esquec¸a de numera´-las de acordo com as questo˜es. 3. As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Por- tanto, quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. 4. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. 5. NA˜O AMASSE, DOBRE OU RASURE as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. Orientac¸a˜o espec´ıfica: I1. E´ expressamente proibido o uso de qualquer instrumento que sirva para ca´lculo comotambe´m qualquer material que sirva de consulta. ATENC¸A˜O: O descumprimento de quaisquer das orientac¸o˜es podera´ implicar em preju´ızo na sua avaliac¸a˜o, o que sera´ de sua inteira responsabilidade. Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP3 – Me´todos Determin´ısticos I – 17/06/2018 Co´digo da disciplina EAD 06075 Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Para cada folha de respostas que utilizar, antes de comec¸ar a resolver as questo˜es, preencha (pintando os respectivos espac¸os na parte superior da folha) o nu´mero do CPF, o co´digo da disciplina (indicado acima em negrito) e o nu´mero da folha. PADRA˜O DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS DOIS TRÊS QUATRO CINCO SEIS SETE OITO NOVE ZEROUM • Preencha o nu´mero total de folhas somente quando for entregar a prova! • Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula e Polo. • E´ expressamente proibido o uso de qualquer instru- mento que sirva para ca´lculo como tambe´m qualquer material que sirva de consulta. • Devolver esta prova e as Folhas de Respostas ao apli- cador. • Somente utilize caneta esferogra´fica com tinta azul ou preta para registro das resoluc¸o˜es nas Folhas de Respostas. • As Folhas de Respostas sera˜o o u´nico material considerado para correc¸a˜o. Quaisquer anotac¸o˜es feitas fora deste espac¸o, mesmo que em folha de rascunho, sera˜o ignoradas. • Na˜o amasse, dobre ou rasure as Folhas de Respostas, pois isto pode inviabilizar a digitalizac¸a˜o e a correc¸a˜o. (Este texto e´ comum a`s questo˜es 1 a 3 e a seguir.) Um distribuidor de produtos adquire um item por R$200,00, e o distribui para ser vendido por outra pessoa, que recebera´, a t´ıtulo de comissa˜o, 20% do valor da venda. Questa˜o 1 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o da comissa˜o recebida pelo vendedor em func¸a˜o do prec¸o V de venda. Soluc¸a˜o: A comissa˜o C do vendedor corresponde a 20% do prec¸o de venda, logo C = 20% · V = 20100 · V = V 5 . Questa˜o 2 (1.0 pt) Deˆ a expressa˜o do lucro L obtido pelo fornecedor com a venda de uma unidade do produto, apo´s descontar o custo de aquisic¸a˜o e a comissa˜o do vendedor. Soluc¸a˜o: O lucro L do fornecedor e´ o prec¸o da venda menos a comissa˜o do vendedor e o custo de aquisic¸a˜o (os 200 reais). Assim, L = V − 200− V5 = 4V 5 − 200. Questa˜o 3 (1.0 pt) Se o comerciante desejar obter um lucro de no m´ınimo 30% sobre o valor de aquisic¸a˜o do produto, qual devera´ ser o prec¸o de venda V ? Me´todos Determin´ısticos I AP3 3 Soluc¸a˜o: Se o valor de aquisic¸a˜o do produto e´ de 200 reais, 30% deste valor e´ 30% · 200 = 30 100 · 200 = 60 reais. Para que o lucro seja enta˜o maior que este valor, temos L = 4V5 − 200 > 60⇔ 4V 5 − 200 > 60⇔ 4V 5 > 260⇔ V > 5 4 · 260 = 325. Assim, o prec¸o de venda V deve ser maior que 325 reais. Questa˜o 4 (1.5 pt) Determine todos os valores de a ∈ R tais que |a− 17| < 8. Soluc¸a˜o: A desigualdade |a− 17| < 8 e´ equivalente a −8 < a− 17 < 8, ou ainda −8 + 17 < a− 17 + 17 < 8 + 17, que equivale a 9 < a < 25. Assim, a desigualdade vale para a ∈ (9, 25). Questa˜o 5 (1.5 pt) Dado r > 0, sabemos que o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a desigualdade (x−x0)2 +(y− y0)2 < r2 e´ formado pelos pontos interiores a` circunfereˆncia de centro (x0, y0) e raio r, como mostra a Figura 1 abaixo. De forma semelhante, o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem (x − x0)2 + (y − y0)2 > r2 e´ o conjunto de pontos exteriores ao c´ırculo, como na Figura 2. Figura 1 Figura 2 Esboce o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equac¸a˜o∣∣∣(x− 1)2 + (y − 2)2 − 17∣∣∣ < 8 Dica: Fac¸a (x− 1)2 + (y − 2)2 = r2 e use a questa˜o anterior. Soluc¸a˜o: Fazendo (x− 1)2 + (y − 2)2 = r2, a desigualdade se transforma em∣∣∣r2 − 17∣∣∣ < 8, que, pela questa˜o 4, e´ satisfeita para 9 < r2 < 25. Assim, temos 9 < (x− 1)2 + (y − 2)2 < 25, Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 4 ou seja, { (x− 1)2 + (y − 2)2 > 9 (x− 1)2 + (y − 2)2 < 25, ou ainda { (x− 1)2 + (y − 2)2 > 32 (x− 1)2 + (y − 2)2 < 52. Pelo que foi dito no enunciado, a primeira desigualdade representa o conjunto dos pontos exteriores ao c´ırculo de centro (1, 2) e raio 3, e o segundo representa os pontos interiores ao c´ırculo de centro (1, 2) e raio 5. Assim, a intersec¸a˜o destes conjuntos e´ dada abaixo: (Este texto e´ comum a`s questo˜es 6 a 9 a seguir.) Considere que as func¸o˜es de demanda e de oferta de um determinado produto sa˜o dadas, respecti- vamente, por D(P ) = −16P 2 − 16P + 221 e Q(P ) = 16P + 12, 1 6 P < 3, 25 onde P e´ o prec¸o do produto em reais e D e Q sa˜o a demanda e a oferta, respectivamente, em milho˜es de unidades. Questa˜o 6 (0.5 pt) Qual a demanda pelo produto quando seu prec¸o for R$2,00? Soluc¸a˜o: Quando P = 2, temos D(2) = −16 · 22 − 16 · 2 + 221 = −64− 32 + 221 = 125. Assim, quando P = 2 reais, a demanda e´ de 125 milho˜es de unidades. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I AP3 5 Questa˜o 7 (1.0 pt) Qual o prec¸o do produto quando sua demanda e´ de 29 milho˜es de unidades? Soluc¸a˜o: Temos D(P ) = 29⇔ −16P 2 − 16P + 221 = 29⇔ −16P 2 − 16P + 192 = 0⇔ −P 2 − P + 12 = 0⇔ ⇔ P = −(−1)± √ (−1)2 − 4(−1)12 2(−1) ⇔ P = 1± 7 −2 ⇔ P = 8 −2 = −4 ou P = −6 −2 = 3. Questa˜o 8 (1.0 pt) Qual e´ o prec¸o de equil´ıbrio para este produto? Soluc¸a˜o: O ponto de equil´ıbrio ocorre quando D(P ) = Q(P ), ou equivalentemente D(P ) = Q(P )⇔ −16P 2 − 16P + 221 = 16P + 12⇔ −16P 2 − 16P + 221− 16P− 12⇔ ⇔ −16P 2−32P+209 = 0⇔ P = 32± √ 322 − 4(−16)(209) −32 ⇔ P = 32±√32 · 2 · 16 + 64 · 209 −32 ⇔ ⇔ P = 32± √ 64 · (16 + 209) −32 ⇔ P = 32±√64 · 225 −32 = 32± 8 · 15 −32 = 32± 120 −32 ⇔ ⇔ P = −88−32 ou P = 152 −32 ⇔ P = 11 4 ou P = − 19 4 . Como o prec¸o deve ser positivo, temos P = 114 . Questa˜o 9 (1.5 pt) Determine o prec¸o para o qual a demanda e´ ma´xima e calcule esta demanda. Soluc¸a˜o: Desprezando a restric¸a˜o P > 1, a demanda e´ uma func¸a˜o quadra´tica de expressa˜o D(P ) = −16P 2 − 16P + 221. Seu ve´rtice esta´ no ponto em que o valor de P e´ dado por P = − b2a = − −16 2 · (−16) = − 1 2 = −0, 5. Este valor de P , pore´m, e´ negativo. Esboc¸ando o gra´fico de D com a restric¸a˜o 1 6 P < 3, 25 temos algo como abaixo: Com isso, o maior valor de D acontece para P = 1. O valor da demanda sera´ D(1) = −16 · 12 − 16 · 1 + 221 = −31 + 221 = 189. Assim, a demanda ma´xima sera´ de 189 milho˜es de unidades, com o prec¸o de R$1,00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ RASCUNHO Nome: Matr´ıcula: Polo: Atenc¸a˜o! • Resoluc¸o˜es feitas nesta folha na˜o sera˜o corrigidas. • Devolver esta folha ao aplicador.
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