coef de encruamento

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
PR
 
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
CAMPUS DE CURITIBA 
DEPARTAMENTO DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA 
E DE MATERIAIS - PPGEM 
 
GUSTAVO LUIZ CIPRIANO 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE 
ENCRUAMENTO DE METAIS ATRAVÉS DA 
MORFOLOGIA DAS IMPRESSÕES DE DUREZA NA 
ESCALA MACROSCÓPICA 
VOLUME 1 
 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
NOVEMBRO - 2008
 
 
 
 
 
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GUSTAVO LUIZ CIPRIANO 
 
 
 
 
 
 
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE 
ENCRUAMENTO DE METAIS ATRAVÉS DA 
MORFOLOGIA DAS IMPRESSÕES DE DUREZA NA 
ESCALA MACROSCÓPICA 
 
Dissertação apresentada como requisito parcial 
à obtenção do título de Mestre em Engenharia, 
do Programa de Pós-Graduação em 
Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de 
Concentração em Engenharia de Materiais, do 
Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, 
do Campus de Curitiba, da UTFPR. 
 
Orientador: Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. 
 
 
 
 
 
CURITIBA 
NOVEMBRO - 2008 
TERMO DE APROVAÇÃO 
 
GUSTAVO LUIZ CIPRIANO 
 
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE 
ENCRUAMENTO DE METAIS ATRAVÉS DA 
MORFOLOGIA DAS IMPRESSÕES DE DUREZA NA 
ESCALA MACROSCÓPICA 
 
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, 
área de concentração em engenharia de materiais, e aprovada em sua forma final 
pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais. 
 
_________________________________ 
Prof. Giuseppe Pintaúde, Dr. 
Coordenador de Curso 
 
Banca Examinadora 
 
______________________________ ______________________________ 
Prof. Eduardo Mauro do Nascimento, Dr. Prof. Roberto Martins de Souza, Dr. 
(UFTPR) (USP) 
 
_____________________________________ 
Prof. Cláudio Roberto Ávila da Silva Jr., Dr. 
 (UTFPR) 
 
 
Curitiba, 26 de novembro de 2008
iii 
AGRADECIMENTOS 
 Aos meus colegas do curso, pelo grande apoio e incentivo para vencer as 
adversidades, além do companheirismo e amizade em todas as situações. 
 Ao meu orientador, Prof. Dr. Giuseppe Pintaúde pelos ensinamentos, apoio 
amizade durante todo o projeto e a perseverança em acreditar neste trabalho e no 
meu potencial. 
 Ao Prof. MSc. César Lúcio Allenstein pela ajuda nos ensaios, ensinamentos, 
apoio e amizade desde a minha graduação. 
 Ao Prof. Dr. Júlio César Klein pela ajuda nos ensaios de dureza e nas 
microscopias. 
 À instituição de ensino UTFPR através do seu corpo docente que transmitiram 
a mim vários ensinamentos técnicos e forneceu o apoio necessário para o 
desenvolvimento deste projeto. 
 A minha amada esposa, Geruska, que me incentivou a continuar e me deu 
apoio e forças nos momentos mais difíceis. Seu sorriso, o olhar carinhoso e a 
compreensão nas minhas ausências me fazem amá-la cada vez mais. 
 Aos meus pais, Luiz e Vanete, que me deram à vida e a me ensinaram a nunca 
desistir dos meus sonhos, sempre com humildade e perseverança. 
 A Deus, criador de tudo. Obrigado pela vida, a inteligência e a sabedoria em 
utilizar meus dons para a criação de algum bem para as pessoas e a ciência. 
 
 
 
 
 
 
 
iv 
CIPRIANO, G. L. Determinação do coeficiente de encruamento de metais 
através da morfologia de impressões de dureza na escala macroscópica, 2008, 
Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 
Curitiba, PR. 
 
RESUMO 
 
 O ensaio de tração é uma importante ferramenta para a determinação das 
propriedades mecânicas. Ele utiliza corpos-de-prova usinados, com dimensões 
padronizadas e que demandam um volume de material considerável. Todos esses 
aspectos elevam os seus custos. Atualmente, é um dos métodos mais conhecidos e 
completos, utilizado para a determinação de várias propriedades mecânicas dos 
materiais, incluindo o coeficiente de encruamento. Essa propriedade é de extrema 
importância em vários segmentos da indústria. Outra forma conhecida de obter esta 
propriedade é realizando um ensaio de dureza, no qual a impressão fornece dados 
para a aplicação da Lei de Meyer. O objetivo da dissertação é avaliar a utilização de 
quatro modelos matemáticos propostos na literatura para determinar o coeficiente de 
encruamento de corpos-de-prova de Alumínio 6063-T5, Aço AISI 1020 e Aço 
Inoxidável AISI 316L através da medição do perfil da calota esférica obtida a partir 
de ensaios de dureza Brinell com penetradores de 2,5, 5,0 e 10,0mm de diâmetro. 
Para validar os resultados dos modelos foi realizado ensaio de tração, bem como a 
aplicação da Lei de Meyer para os valores do ensaio de dureza Brinell e valores 
obtidos na literatura. Pelo menos um dos quatro modelos matemáticos foi capaz de 
fornecer resultados válidos em comparação com os valores de referência, ou seja, 
pelo menos um dos modelos pode ser utilizado como ferramenta para a 
determinação do coeficiente de encruamento de metais, desde que sejam 
observadas certas recomendações experimentais. 
 
 
 
Palavras-chave: Coeficiente de encruamento, Dureza Brinell, Perfil de impressão. 
v 
CIPRIANO, G. L. Strain hardening exponent determination of metals through 
the indentation morphology of hardness test under macroscopic scale, 2008, 
Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em 
Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, 
Curitiba, PR. 
 
ABSTRACT 
 Tensile tests are an important tool to determine mechanical properties. Tensile 
tests samples have standardized dimensions and they demand a considerable 
volume of material. All of these aspects raise its costs. Currently, it is one of the most 
known and complete materials tests to determine a large variety of materials 
mechanical properties, including the strain hardening exponent. This property is of 
extreme importance in several industries segments. Another way to obtain this 
property is conducting hardness tests, which gives us data’s of indentation 
measurements to determine the strain hardening exponent through the Meyer´s Law. 
The objective of this the dissertation is the evaluation of four different mathematical 
models proposed in the literature to determine the strain hardening exponent of 
6063-T5 aluminum alloy, AISI 1020 low-carbon steel and AISI 316L stainless steel, 
by measuring the spherical indentation profile obtained from Brinell hardness with 
indenters diameter of 2.5, 5.0 and 10 mm. Tensile tests were made in the same 
samples, Meyer´s Law was applied at the Brinell hardness samples and values from 
the literature for the strain hardening exponent were considered to validate the 
results of the models. At least one of the four mathematical models was able to 
provide valid results compared with the reference values for each of the samples 
tested. This means that at least one of the models can be used as a tool for 
determining metals strain hardening exponent, but with some experimental 
recommendations. 
 
 
Keywords: Strain hardening exponent, Brinell hardness, Indentation profile. 
vi 
SUMÁRIO 
VOLUME 1 
RESUMO.................................................................................................................... iv 
ABSTRACT .................................................................................................................v 
LISTA DE FIGURAS .................................................................................................. ix 
LISTA DE TABELAS .................................................................................................xiiiLISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ................................................................... xiv 
LISTA DE SÍMBOLOS.............................................................................................. xvi 
 
1 INTRODUÇÃO......................................................................................................1 
1.1 Justificativas .............................................................................................................................1 
1.1.1 Importância do coeficiente de encruamento no setor automotivo .......................................1 
1.1.2 Custos de Ensaios Mecânicos .............................................................................................3 
1.2 Projetos relacionados com a dissertação. ...............................................................................6 
1.3 Objetivo da Dissertação. ..........................................................................................................8 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ...............................................................................11 
2.1 Ensaio de Tração. ..................................................................................................................11 
2.1.1 Módulo de elasticidade.......................................................................................................14 
2.1.2 Escoamento........................................................................................................................15 
2.1.3 Encruamento ......................................................................................................................19 
2.2 Ensaio de Dureza ...................................................................................................................23 
2.2.1 Dureza Brinell .....................................................................................................................24 
2.2.2 Determinação do coeficiente de encruamento pela Lei de Meyer .....................................26 
2.3 Modelo de Hertz para o contato esfera contra plano. ............................................................31 
2.4 Ensaio de Dureza Instrumentada (EDI) .................................................................................34 
2.5 Histórico do EDI......................................................................................................................40 
2.6 A importância do “Pile-up” e “Sink-in” ....................................................................................41 
2.7 Determinação do coeficiente de encruamento pelo perfil da impressão ...............................45 
2.7.1 Modelo de MATTHEWS [38] ..............................................................................................45 
2.7.2 Modelo de HILL el at [42] ...................................................................................................48 
2.7.3 Modelo de TALJAT et al [44]..............................................................................................50 
2.7.4 Modelo de ALCALÁ et al [35] .............................................................................................53 
3 MATERIAIS E MÉTODOS..................................................................................57 
3.1 Metodologia da dissertação. ..................................................................................................57 
3.2 Materiais ensaiados................................................................................................................59 
3.3 Equipamentos utilizados ........................................................................................................66 
3.4 Procedimento experimental dos ensaios ...............................................................................67 
3.4.1 Ensaio de Tração ...............................................................................................................67 
vii 
3.4.1.1. Medição do corpo-de-prova .......................................................................................68 
3.4.1.2. Determinação da área de seção transversal inicial ...................................................68 
3.4.1.3. Determinação do módulo de elasticidade..................................................................68 
3.4.1.4. Determinação da Tensão de Escoamento ................................................................69 
3.4.1.5. Determinação da Tensão Limite de Resistência .......................................................70 
3.4.1.6. Determinação do coeficiente de encruamento pelo Ensaio de Tração .....................70 
3.4.2 Ensaio de Dureza Brinell ....................................................................................................71 
3.4.2.1. Medição do corpo-de-prova .......................................................................................71 
3.4.2.2. Determinação da força aplicada no ensaio ...............................................................71 
3.4.2.3. Ensaio de dureza Brinell ............................................................................................71 
3.4.2.4. Determinação da dureza Brinell.................................................................................72 
3.4.2.5. Determinação do coeficiente de encruamento pela Lei de Meyer ............................72 
3.4.3 Ensaio de Determinação do Perfil da Impressão...............................................................72 
3.4.3.1. Determinação do perfil da impressão. .......................................................................73 
3.4.3.2. Determinação da altura das bordas e da altura da impressão. .................................73 
3.4.3.3. Determinação do coeficiente de encruamento pela equação de MATTHEWS [38]..74 
3.4.3.4. Determinação do coeficiente de encruamento pela equação de HILL et al [42].......74 
3.4.3.5. Determinação do coeficiente de encruamento pela equação de TALJAT et al [44] .75 
3.4.3.6. Determinação do coeficiente de encruamento pela equação de ALCALÁ et al [35].75 
3.5 Avaliação dos resultados .......................................................................................................75 
4 RESULTADOS ...................................................................................................77 
4.1 Ensaio de Tração ...................................................................................................................77 
4.2 Ensaio de Dureza ...................................................................................................................78 
4.3 Ensaio para a determinação do perfil da impressão..............................................................81 
4.4 Resumo dos resultados obtidos. ............................................................................................84 
5 DISCUSSÃO.......................................................................................................87 
5.1 Relação s/h.............................................................................................................................87 
5.2 Parâmetro c²...........................................................................................................................91 
5.3 Vantagens em determinar o coeficiente de encruamento através do perfil da impressão. ...96 
6 CONCLUSÃO .....................................................................................................98 
7 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS................................................101 
REFERÊNCIAS.......................................................................................................102 
 
VOLUME 2 
RESUMO.................................................................................................................... iv 
ABSTRACT .................................................................................................................vLISTA DE TABELAS .................................................................................................. ix 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ..................................................................... xi 
LISTA DE SÍMBOLOS............................................................................................... xii 
 
viii 
APÊNDICE A – RESULTADO DA MEDIÇÃO DOS CORPOS-DE-PROVA ................1 
APÊNDICE B – RESULTADO DO ENSAIO DE TRAÇÃO.......................................... 5 
APÊNDICE C – RESULTADO DO ENSAIO DE DUREZA ........................................19 
APÊNDICE D - RESULTADO DO ENSAIO DE DETERMINAÇÃO DO PERFIL DA 
IMPRESSÃO..............................................................................................................29 
ANEXO A – DESENHO DO CORPO DE PROVA (ENSAIO DE TRAÇÃO).............. 35 
ANEXO B – DESENHO DO CORPO DE PROVA (ENSAIO DE DUREZA).............. 36 
ANEXO C – FORMULÁRIO DE MEDIÇÃO DO CORPO DE PROVA PARA ENSAIO 
DE TRAÇÃO .............................................................................................................37 
ANEXO D – FORMULÁRIO DE MEDIÇÃO DO CORPO DE PROVA PARA ENSAIO 
DE DUREZA BRINELL..............................................................................................38 
ANEXO E – TABELAS DE VALORES DA DUREZA BRINELL PARA MATERIAIS 
METÁLICOS (NBR 6442)..........................................................................................39 
ANEXO F – GRÁFICOS FORÇA VERSUS DESLOCAMENTO DO ENSAIO DE 
TRAÇÃO PARA DETERMINAÇÃO DO MÓDULO DE ELASTICIDADE ...................42 
ANEXO G – GRÁFICOS FORÇA VERSUS DESLOCAMENTO DO ENSAIO DE 
TRAÇÃO ...................................................................................................................50 
ANEXO H – PERFIL DA IMPRESSÃO DOS CORPOS DE PROVA DO ENSAIO DE 
DUREZA....................................................................................................................96 
 
ix 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1.1 – Modelo do corpo-de-prova cilíndrico padronizado de um ensaio de 
tração [11, 12]. .....................................................................................................5 
Figura 2.1 – (a) Representação esquemática de um ensaio de tração (b) Ilustração 
esquemática de como uma força de tração produz um alongamento e uma 
deformação linear em um corpo-de-prova cilíndrico qualquer [10]. ...................12 
Figura 2.2 – Gráfico Tensão versus Deformação de um Metal submetido ao Ensaio 
de Tração até a ruptura [7, 8].............................................................................12 
Figura 2.3 – Curva Típica de Ensaio de Tração de um Aço Baixo Carbono [7]. .......14 
Figura 2.4 – Diagrama esquemático tensão-deformação mostrando a região elástica 
linear para uma força aplicada a um determinado corpo-de-prova [5]. ..............15 
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação mostrando o alongamento no 
escoamento, o limite superior e inferior de escoamento [12]. ............................16 
Figura 2.6 – Comportamento tensão-deformação típico para um metal representando 
o limite de proporcionalidade através do ponto P [10]. ......................................17 
Figura 2.7 – Diagrama tensão-deformação para determinar a tensão de escoamento 
pelo método offset [8].........................................................................................19 
Figura 2.8 – Uma comparação entre os comportamentos típicos de tensão-
deformação da curva de engenharia e da curva verdadeira em ensaio de tração 
[10]. ....................................................................................................................21 
Figura 2.9 – Exemplo mostrando a curva força-deformação para um material com 
escoamento [6]...................................................................................................22 
Figura 2.10 – Princípio do ensaio (a) no momento de aplicação da força (b) no 
término do ensaio com a impressão no corpo-de-prova [21]. ............................24 
Figura 2.11 – Dureza Brinell e Meyer para Cobre recozido e encruado em função do 
aumento do tamanho da impressão [23]. ...........................................................27 
Figura 2.12 – Gráfico logarítmico obtido através da equação 2.21 aplicado a uma liga 
de cobre recozido e uma de cobre encruado [7]. ...............................................28 
x 
Figura 2.13 – Gráfico logarítmico da força versus diâmetro da impressão para vários 
materiais, mostrando que o coeficiente de Meyer aumenta consideravelmente 
para pequenas forças e impressões. Gráfico I: aço W, D=10mm. Gráfico II: aço 
A, D=10mm. Gráfico III: ferro fundido, D=20mm [23]. ........................................30 
Figura 2.14 – Modelo de Hertz do contato esfera contra plano rígido [25]. ...............31 
Figura 2.15 – (a) Distribuição da pressão média no contato elástico entre uma esfera 
deformando uma superfície plana (b) Deformação elástica de uma superfície 
plana pela ação de uma esfera, mostrando a máxima tensão de cisalhamento 
abaixo da superfície [23]. ...................................................................................33 
Figura 2.16 – Curva esquemática da variação da pressão média em função da força 
aplicada para um penetrador esférico num ensaio de dureza de um metal 
plástico ideal [23]. ..............................................................................................34 
Figura 2.17 – Representação esquemática da máquina de ensaio de dureza 
instrumentada [28]. ............................................................................................35 
Figura 2.18 – Representação esquemática do gráfico força versus profundidade de 
penetração para o ensaio de dureza instrumentada [35]. ..................................36 
Figura 2.19 – Gráfico de comparação de resultados entre o ensaio de tração e o 
ensaio EDI para o Aço 100C6 [28]. ....................................................................36 
Figura 2.20 – Representação esquemática da penetração, com penetrador esférico, 
evidenciando as grandezas utilizadas para obtenção das propriedades 
mecânicas [18]. ..................................................................................................37 
Figura 2.21 – (a) Topografia da superfície mostrando as bordas provocadas por 
penetrador esférico (b) Topografia da superfície mostrando a retração 
provocada por penetrador esférico [35]..............................................................42 
Figura 2.22 – Representação esquemática das bordas (a) e da retração (b) em uma 
indentação esférica [36]. ....................................................................................44 
Figura 2.23 – Contato da esfera contra plano mostrando os parâmetros das bordas 
[38]. ....................................................................................................................46 
xi 
Figura 2.24 – Curva obtida através da regressão não-linear de MATTHEWS [38] com 
os dados experimentais de NORBURY et al [39] e a relação linear proposta por 
MCCLINTOCK et al (apud MATTHEWS, 1980). ................................................47 
Figura 2.25 – Representação esquemática do gráfico obtido pela equação 2.41 para 
a determinação do coeficiente de Meyer (m) a partir de resultados de ensaio de 
dureza com penetrador esférico.........................................................................49 
Figura 2.26 – Representação esquemática da malha para a formulação em 
elementos finitos de TALJAT et al [44, 46].........................................................50 
Figura 2.27 – Comparação entre o modelo de elementos finitos e os resultados 
experimentais [44]. .............................................................................................51 
Figura 2.28 – Curvas de“c²“ versus “n“ obtidas por elementos finitos e 
experimentalmente por TALJAT et at [44] e os resultados experimentais obtidos 
por NORBURY et al [39]. ...................................................................................52 
Figura 2.29 – Representação esquemática da mudança gradual de bordas (a) para 
retração (d) [35]..................................................................................................54 
Figura 2.30 – Gráfico do parâmetro “c²-1” versus “n” mostrando os resultados 
experimentais de ALCALÁ et al [35], a curva que representa a regressão 
polinomial da equação 2.45 e os resultados experimentais de HILL et al [42], 
MATTHEWS [38] e NORBURY et al [39]. .........................................................55 
Figura 3.1 – Fluxograma dos ensaios e cálculos da dissertação. .............................59 
Figura 3.2 – (a) Aço carbono AISI 1020 (lente de aumento 20X; ataque químico com 
Nital 2%) (b)Aço inoxidável AISI 316L (lente de aumento 20X; ataque eletrolítico 
com ácido oxálico 10%) (c)Alumínio 6063-T5 (lente de aumente 100X; ataque 
químico com ácido fluorídrico 1%) .....................................................................61 
Figura 3.3 – Pontos da análise dimensional dos corpos-de-prova de tração. ...........63 
Figura 3.4 – Desenho do corpo-de-prova para o ensaio de dureza. .........................63 
Figura 3.5 – Gráfico com a variação dos diâmetros da região útil do corpo-de-prova 
do ensaio de tração............................................................................................64 
xii 
Figura 3.6 – (a) Gráfico com a variação da espessura ao longo do comprimento dos 
corpos-de-prova do ensaio de dureza (b) Gráfico com a variação da rugosidade 
média dos corpos-de-prova do ensaio de dureza. .............................................65 
Figura 3.7 – Detalhe da fixação do corpo-de-prova na máquina de ensaio de tração 
para determinação do módulo de elasticidade...................................................68 
Figura 3.8 – Detalhe da posição da ponta do rugosímetro alinhada com o eixo de 
centro do diâmetro da impressão. ......................................................................73 
Figura 3.9 – Detalhe do perfil da impressão e a altura da borda correspondente. ....74 
Figura 4.1 – Gráfico que representa a Lei de Meyer (lnF versus lnd) para o alumínio 
6063-T5, aço AISI 1020 e aço inoxidável AISI 316L. .........................................81 
Figura 5.1 – Gráfico da relação “s/h” versus “n” com os resultados obtidos para o 
alumínio 6063-T5, aço AISI 1020 e aço inoxidável AISI 316L e as curvas obtidas 
por MATTHEWS [38], HILL et al [42], TALJAT et al [44] e ALCALÁ et al [35]. ..88 
Figura 5.2 – Gráfico da relação “s/h” versus “n” mostrando a área hachurada que 
representa a região de validade das equações aplicadas..................................90 
Figura 5.3 – Gráfico da relação “s/h” versus dureza Brinell para os penetradores 
esféricos de diâmetros 2,5, 5,0 e 10,0mm. ........................................................91 
Figura 5.4 – Gráfico do parâmetro “c²” versus “n” com os resultados obtidos para o 
alumínio 6063-T5, aço AISI 1020 e aço inoxidável AISI 316L e as curvas obtidas 
por MATTHEWS [38], HILL et al [42], TALJAT et al [44] e ALCALÁ et al [35]. ..93 
Figura 5.5 – Gráfico do parâmetro “c²” versus “n” mostrando a área hachurada que 
representa a região de validade das equações aplicadas..................................94 
Figura 5.6 – Gráfico do parâmetro “c²” versus dureza Brinell para os penetradores 
esféricos de diâmetros 2,5, 5,0 e 10,0mm. ........................................................95 
Figura 6.1 – Medição da microdureza Vickers realizada em oitos pontos no topo e na 
seção transversal de uma impressão realizada com penetrador esférico de 
5,0mm no aço inoxidável AISI 316L. ................................................................100 
 
xiii 
LISTA DE TABELAS 
Tabela 1.1 – Custo da usinagem dos corpos-de-prova para o ensaio de tração e 
dureza em três empresas diferentes. ...................................................................5 
Tabela 1.2 – Comparativo de custo/corpo-de-prova do ensaio de tração com o 
ensaio de dureza em três empresas diferentes. ..................................................6 
Tabela 2.1 – Grau de força para diversos materiais [9].............................................25 
Tabela 3.1 – Composição química média percentual dos materiais ensaiados. .......62 
Tabela 4.1 – Resultados médios do ensaio de tração...............................................77 
Tabela 4.2 – Resultados médios do ensaio de dureza..............................................79 
Tabela 4.3 – Resultados médios do ensaio de determinação do perfil da impressão.
...........................................................................................................................82 
Tabela 4.4 – Resultados médios do coeficiente de encruamento para todos os 
ensaios realizados. ............................................................................................84 
Tabela 4.5 – Quantidade mínima de corpos-de-prova de acordo com modelo 
estatítico.............................................................................................................86 
 
 
 
xiv 
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 
UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná. 
IF - Intersticial Free (livre de instersticiais) 
RECOPE - Rede Cooperativa de Pesquisas 
FINEP - Financiadora de Estudos e Projetos 
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico 
CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior 
PROCAD - Programa Nacional de Cooperação Acadêmica 
R$ - Reais (moeda brasileira) 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. 
NBR - Norma Brasileira 
ASTM - American Standardization of Testing and Methods (Normalização Americana de Testes e Métodos). 
SAE - Society of Automotive Engineers (Sociedade dos Engenheiros Automotivos) 
ISO - International Organization for Standardization (Organização Internacional para Normalização). 
SI - Sistema Internacional de Unidades 
GPa - Gigapascal 
MPa - Megapascal 
N - Newtons 
kgf - Kilograma-força 
mm - Milímetro 
HB - Brinell Hardness (Dureza Brinell). 
EDI - Ensaio de Dureza Instrumentado. 
TC - Technical comission (Comissão técnica). 
SC - Special comission (Comissão especial). 
TR - Technical report (Relatório técnico). 
DIN - Deutsches Institut für Normung (Instituto Alemão para Normalização). 
FDIS - Final Draft International Standard (Relatório Final Internacional de Normalização). 
HM - Meyer Hardness (Dureza Meyer). 
AISI - American Iron and Steel Institute (Instituto Americano de Ferro e Aço) 
USP - Universidade de São Paulo 
xv 
LASC - Laboratório de Superfícies e Contatos 
PUC - Pontifícia Universidade Católica 
PR - Paraná (estado brasileiro) 
min - Minuto 
µm - Micrometros 
CP - Corpo-de-prova 
xvi 
LISTA DE SÍMBOLOS 
F - força aplicada ao corpo-de-prova. 
l - comprimento final do corpo-de-prova após ensaio de tração. 
l0 - comprimento inicial do corpo-de-prova após ensaio de tração. 
σ - tensão aplicada ao corpo-de-prova no ensaio de tração 
A0 - área da seção transversal inicial do corpo-de-prova. 
ε - deformação longitudinal do corpo-de-prova após ensaio de tração. 
σle - tensão limite de elasticidade do corpo-de-prova. 
E - módulo de elasticidade do corpo-de-prova. 
σe - tensão de escoamento do corpo-de-prova. 
Fe - força no ponto onde é determinada a tensão de escoamento. 
σes - tensão de escoamento superior. 
Fes - força no ponto onde é determinada a tensão de escoamento superior. 
σei - tensão de escoamento inferior. 
Fei - força no ponto onde é determinada a tensão de escoamento inferior. 
σlp - tensão limite de proporcionalidade.Flp - força no ponto onde é determinada a tensão limite de proporcionalidade. 
σ0 - tensão teórica de limite de cisalhamento. 
K’ - constante que mede a extensão de empilhamento de deslocamento junto à fronteira entre os grãos. 
Dg - diâmetro médio do grão. 
σv - tensão verdadeira aplicada ao corpo-de-prova. 
K - coeficiente de resistência do corpo-de-prova. 
δ - deformação verdadeira do corpo-de-prova. 
n - coeficiente de encruamento. 
Fi - força instantânea no ponto onde é determinada a tensão verdadeira. 
Ai - área da seção tranversal instantânea do corpo-de-prova. 
Ac - área de calota esférica 
D - diâmetro do penetrador. 
d - diâmetro da impressão obtida. 
G - grau de carga da dureza Brinell. 
a - raio da impressão. 
xvii 
r - raio do penetrador (metade do diâmetro do penetrador). 
ER - módulo de elasticidade reduzido. 
υI - coeficiente de Poisson do penetrador. 
υIT - coeficiente de Poisson do corpo-de-prova. 
EI - módulo de elasticidade do penetrador. 
EIT - módulo de elasticidade do corpo-de-prova. 
Pm - pressão média no contato elástico esfera contra plano. 
k - coeficiente de resistência à penetração. 
m - coeficiente de Meyer. 
h - profundidade máxima de impressão. 
Fmax - força máxima correspondente à profundidade máxima. 
hf - profundidade final da impressão. 
hc - altura do contato. 
Wp - trabalho na região plástica. 
We - trabalho na região elástica. 
Wt - trabalho total. 
S - rigidez do contato elástico. 
B - constante do corpo-de-prova obtida pelo gráfico P-h. 
m' - constante do corpo-de-prova obtida pelo gráfico P-h. 
ε’ - constante do penetrador esférico. 
α - constante universal. 
β - constante universal. 
Ap - área projetada da calota esférica. 
Fh=0,48.a - força aplicada ao corpo-de-prova na profundidade de 0,48.a 
τmax - tensão máxima de cisalhamento no contato esfera contra plano. 
c² - grau de bordas e/ou retrações. 
s - altura das bordas e/ou retrações. 
δel - deformação durante a fase elástica 
Fel - força durante a fase elástica. 
σel - tensão durante a fase elástica. 
Fesc - força de escoamento do ensaio de tração. 
σesc - tensão de escoamento do ensaio de tração. 
xviii 
Flr - força limite de resistência. 
σlr - tensão limite de resistência. 
Fn - força durante a fase plástica. 
σn - tensão durante a fase plástica. 
nºCP - quantidade mínima de corpos-de-prova 
λ - desvio padrão 
∆E - diferença entre o valor médio e o valor da literatura 
Capítulo 1 - Introdução 1 
 
1 INTRODUÇÃO 
Neste capítulo estão apresentadas algumas informações sobre o panorama do 
mercado brasileiro na utilização de materiais metálicos, bem como justificativas 
técnicas e econômicas para o desenvolvimento deste trabalho. 
 
1.1 Justificativas 
 
As justificativas se baseiam em dois tópicos principais: a importância do 
coeficiente de encruamento em alguns segmentos industriais e o custo dos ensaios 
relacionados para a determinação desta propriedade mecânica. 
 
1.1.1 Importância do coeficiente de encruamento no setor automotivo 
 
 Na reportagem da revista VEJA de setembro de 2008, notícias sobre a crise 
dos alimentos ganharam destaque. Entre 2007 e 2008 o preço dos alimentos subiu 
em média 57% devido a fatores, como: alta do preço do petróleo, crescimento 
econômico elevado dos países emergentes, queda do dólar, a recessão americana e 
o aumento das áreas produtivas destinadas aos biocombustíveis [1]. 
 Em 2008, o ramo automotivo irá comprar cerca de 60 bilhões de reais em 
materiais para suprir a demanda crescente das montadoras brasileiras. Os setores 
mais críticos da cadeia automotiva estão nos fornecedores de materiais forjados, 
plástico, aço e borrachas, mais especificamente pneus. O aço, em especial, é ainda 
mais crítico, pois 70% de um automóvel é constituído deste material [2]. 
 Luc de Ferran, consultor da Ford e grande conhecedor da cadeia automotiva 
nacional, afirmou no 1º Simpósio de Novos Materiais Automotivos e Nanotecnologia 
que: “...A crise de alimentos que estamos presenciando atualmente irá refletir 
também nas matérias-primas que as montadoras estão comprando...Com isso, 
teremos elevação de custos devido a demanda cada vez maior e conseqüente 
diminuição da oferta de matéria-prima...” 
 Pedro Manuchakian, vice-presidente de Engenharia de produtos da América 
Latina, África e Oriente Médio da General Motors apresentou a visão da empresa 
Capítulo 1 - Introdução 2 
 
sobre o automóvel de baixo custo [3]. Segundo Pedro, o projeto do carro de baixo 
custo deve apresentar: 
 
1. Otimização de massa através de programas computacionais e materiais 
adequados; 
2. Utilização de metodologias de desenvolvimento que buscam atender os 
requisitos dos clientes, maximizando o desempenho funcional dos 
componentes; 
3. Projeto baseado em custos menores possíveis e/ou pré-estabelecidos; 
4. Desenvolvimento e validação virtual; 
5. Desenvolvimento desacoplado dos componentes, utilizando peças 
semelhantes para uma plataforma que atenda uma gama variada de 
automóveis. 
 
 Ainda segundo Manuchakian, o objetivo das montadoras é conseguir o mesmo 
nível de desenvolvimento de produtos de empresas como a Embraer, que vendem 
seus protótipos após o término dos testes de validação devido ao nível de 
confiabilidade obtido pelo alto grau de refinamento dos modelos matemáticos 
utilizados no desenvolvimento dos produtos. Pedro disse: “.... Atualmente utilizamos 
cerca de 50 carros protótipos para os testes de validação de um novo modelo.... A 
tendência atual é a utilização de modelos matemáticos cada vez mais refinados para 
diminuir essa quantidade de protótipos..... Para isso é necessário um grande 
conhecimento das propriedades dos materiais para alimentar os modelos 
matemáticos com a maior fidelidade possível...”[3]. 
 Com a necessidade de atender um mercado cada vez mais competitivo, a 
indústria automobilística vem buscando o conhecimento e o desenvolvimento de 
materiais que supram as novas exigências de segurança, qualidade e design. Para a 
indústria de chaparia, essa busca pela excelência dos materiais implica no 
desenvolvimento de aços com alto grau de conformabilidade, melhorando o 
acabamento e permitindo a conformação de formatos cada vez mais complexos. 
Para muitas aplicações a conformação do material é de extrema importância, pois 
este deve resistir a todo e qualquer defeito, como trincas, fissuras e rugas [10]. 
Capítulo 1 - Introdução 3 
 
 Melhores propriedades de conformação são cada vez mais exigidas para 
utilização de chapas de aço em condições excepcionais, especialmente em partes 
de automóveis em que são empregados perfis complexos e há necessidade de 
redução de estágios de conformação. Nesta área os aços denominados livres de 
intersticiais (IF) foram desenvolvidos como uma excelente alternativa [5]. 
 A idéia de criar aços laminados a frio com IF teve sua origem no Japão em 
1960 durante testes efetuados para o desenvolvimento de chapas grossas. 
Observou-se que ligas com baixo teor de carbono apresentavam valores de tensão 
de escoamento inferiores ao esperado, melhorando sua conformabilidade. A 
denominação IF provém do fato do aço apresentar teores reduzidos de átomos de 
carbono e nitrogênio em sua estrutura. 
 O rápido crescimento da produção de aços IF no Japão foi puxado pela 
indústria automobilística devido às vantagens de sua maior conformação em relação 
aos aços comuns acalmados ao alumínio. Essa melhoria na conformação pode ser 
verificada pelo estudo de duas propriedades que são os parâmetros “r” (coeficiente 
de anisotropia) e “n” (coeficiente de encruamento), que podem ser obtidos através 
de ensaio mecânico de tração e de dureza. 
 O coeficiente de encruamento “n” de um material é obtido durante a fase 
plástica, identificada pelo fenômeno do encruamento, no qual ocorre um aumento 
contínuo da tensão. Com isso, é necessárioum aumento de tensão maior para 
podermos promover a deformação no material. O valor de “n” é uma constante do 
material, sempre inferior a um [6]. Quanto maior esse valor, mais encruado encontra-
se o material [7]. 
 Além disso, “n” indica se o aço é bom ou ruim para ser utilizado para processos 
de conformação. Quanto maior o seu valor, melhor a capacidade do material de 
sofrer conformação sem ocorrer uma diminuição excessiva da espessura na peça 
resultante. Isto quer dizer que o material apresenta uma resposta melhor em 
processos em que há deformação biaxial, como é observado em processos de 
estampagem profunda [8]. 
 
1.1.2 Custos de Ensaios Mecânicos 
 
Capítulo 1 - Introdução 4 
 
 Em qualquer projeto de componentes mecânicos existem características que 
devem ser consideradas para resistirem às forças impostas sobre esses 
componentes. Assim, o eixo de uma máquina deve ter uma dimensão adequada 
para o torque que será aplicado; a asa de um avião deve suportar com segurança as 
forças aerodinâmicas que aparecem durante o vôo ou a decolagem. 
 O comportamento de um componente mecânico submetido a forças quaisquer 
depende não apenas das leis fundamentais da mecânica newtoniana que governa o 
equilíbrio das forças, mas também, das características mecânicas dos materiais [9]. 
A informação necessária provém do laboratório nos quais os materiais são sujeitos à 
ação de forças conhecidas e testados até a ruptura. Esses laboratórios realizam os 
testes, denominados de ensaios mecânicos, que reproduzem com maior fidelidade 
as condições de carregamento às quais determinado componente mecânico estará 
submetido [10]. 
 Geralmente esses ensaios são destrutivos, pois promovem a ruptura ou a 
inutilização do corpo-de-prova. Nesta categoria temos os ensaios de tração, 
dobramento, flexão, torção, fadiga, impacto, compressão e outros. 
 A escolha do ensaio mecânico mais adequado depende da finalidade do 
material, dos tipos de esforços que esse material vai sofrer e das propriedades 
mecânicas que se deseja medir. Em geral, existem especificações para vários tipos 
de produto, e nelas constam os ensaios mecânicos que devem ser realizados para 
se saber se determinado produto está em conformidade com a finalidade proposta. 
Dois fatores determinantes para a realização de um ensaio mecânico são: a 
quantidade e o tamanho dos corpos-de-prova a serem ensaiados [7]. 
 Todo ensaio mecânico de tração deve ter um corpo-de-prova com algum tipo 
de padronização dimensional. A figura 1.1 apresenta um modelo deste tipo de corpo-
de-prova no formato cilíndrico. [11, 12]. 
Capítulo 1 - Introdução 5 
 
 
Figura 1.1 – Modelo do corpo-de-prova cilíndrico padronizado de um ensaio de 
tração [11, 12]. 
 
 Já os ensaios de dureza não têm um corpo-de-prova padronizado, mas faz-se 
necessário que a espessura do mesmo seja no mínimo 17 vezes maior que a 
profundidade da impressão. O mais importante é que a superfície dever ter um 
acabamento polido e totalmente plano para que o contato entre o penetrador e o 
corpo-de-prova seja maior possível, evitando qualquer deslocamento lateral relativo. 
Existe a possibilidade também de realizar ensaios em corpos-de-prova não planos. 
Nesses casos, a norma ABNT NBR 6394 [13] recomenda a utilização de um suporte 
que evite qualquer deslocamento lateral do corpo-de-prova em relação ao 
penetrador [13]. 
 A diferença entre o corpo-de-prova do ensaio de tração e de um ensaio de 
dureza é a complexidade e, por conseqüência, o custo para obter tais corpos-de-
prova. A tabela 1.1 abaixo mostra a diferença de custo de preparação do corpo-de-
prova de tração (que geralmente é usinado) e dureza em três empresas diferentes. 
 
Tabela 1.1 – Custo da usinagem dos corpos-de-prova para o ensaio de tração e 
dureza em três empresas diferentes. 
 Ensaio de Tração Ensaio de Dureza 
Empresa A R$ 20,00 R$ 3,00 
Empresa B R$ 22,00 R$ 4,50 
Empresa C R$ 24,00 R$ 6,50 
Valor médio R$ 22,00 R$ 4,67 
 
Capítulo 1 - Introdução 6 
 
 De acordo com a tabela, o custo de preparação dos corpos-de-prova para o 
ensaio de tração é aproximadamente cinco vezes maior do que o custo dos corpos-
de-prova do ensaio de dureza. Fatores, como: quantidade maior de dimensões 
padronizadas, utilização de maior quantidade de matéria-prima, necessidade de 
máquinas mais precisas e complexas para a usinagem dos corpos-de-prova e tempo 
de usinagem mais elevado tornam o custo do corpo-de-prova do ensaio de tração 
mais oneroso. 
 Em relação ao ensaio propriamente dito, as máquinas mais modernas de 
ensaio de tração têm o custo elevadíssimo, se comparadas com as máquinas de 
dureza. Isso se deve ao alto nível de sofisticação e refinamento dos vários sensores 
e células de carga utilizada nos equipamentos de tração e da versatilidade de 
realizar outros tipos de ensaio com carregamentos diversos (flexão, fadiga, etc.). Por 
sua vez, as máquinas de dureza são menores, menos robustas e tem apenas como 
utilidade a medição da dureza. 
 Além disso, o tempo médio do ensaio de dureza é de 30 segundos [13]. 
Enquanto que em um ensaio de tração, o tempo médio é de 15 minutos para ensaio 
com velocidade de 5mm/min em corpo-de-prova com diâmetro de 10mm. A tabela 
1.2 abaixo mostra um comparativo entre o custo do ensaio de tração e do ensaio de 
dureza em três empresas diferentes (nesses custos não foram considerados os 
valores de usinagem dos corpos-de-prova). 
 
Tabela 1.2 – Comparativo de custo/corpo-de-prova do ensaio de tração com o 
ensaio de dureza em três empresas diferentes. 
 Ensaio de Tração Ensaio de Dureza 
Empresa A R$ 30,00 R$ 10,00 
Empresa B R$ 32,00 R$ 12,00 
Empresa C R$ 33,00 R$ 15,00 
Valor médio R$ 31,67 R$ 12,34 
 
1.2 Projetos relacionados com a dissertação 
 
 A área tribológica no Brasil mostra sinais de consolidação, com a formação de 
grupos de pesquisa na Universidade Federal de Uberlândia e na Universidade de 
São Paulo. Estes grupos respondem pela grande maioria das publicações em 
Capítulo 1 - Introdução 7 
 
seminários e congressos brasileiros da área, além da coordenação da sub-rede 
“Melhoria das Propriedades de Superfície”, dentro da Rede Metal-Mecânica do 
projeto RECOPE/FINEP. 
 Atualmente o projeto PROCAD/CAPES desenvolvido na UTFPR visa 
desenvolver trabalhos com linhas de pesquisa que apresentam relação com a 
tribologia, em parceria com os departamentos de física e de engenharia mecânica. 
Nesse contexto foi criado o LASC (laboratório de superfícies e contatos) para o 
estudo de fenômenos tribológicos em materiais metálicos. O LASC se dedica desde 
2003 ao estudo de três tópicos principais: 
 
1. Fadiga de contato: fenômeno predominante em componentes industriais de 
grande importância para a engenharia mecânica, em especial rolamentos e 
engrenagens; 
2. Deformação elasto-plástica de superfícies: há uma supervalorização da 
dureza dos materiais como propriedade que determina a resistência ao 
desgaste, embora a dureza envolva fenômenos complexos como 
encruamento e recuperação elástica. Estes fenômenos podem ser 
estudados em conjunto, de forma a se obter propriedades fundamentais 
que expressem de forma mais completa as características mecânicas dos 
materiais. 
3. Mecânica da fratura de revestimentos: é crescente a demanda por 
proteção de superfícies utilizando revestimentos. A elevada dureza destes 
revestimentos faz com que o controle da tenacidade à fratura seja 
relevante e determinante no desempenho dos mesmos nas aplicações 
tribológicas [14]. 
 
Essa dissertação estará mais concentrada no item 2, ou seja, na deformação 
elasto-plástica de superfícies como forma de determinar propriedades mecânicas. 
Alguns trabalhos já foram desenvolvidos no LASC com o objetivo de alcançar bons 
resultados na medição de propriedades mecânicas de materiais metálicos, 
principalmente do módulode elasticidade através de ensaios de dureza 
instrumentado. Na maioria dos trabalhos, a avaliação das propriedades foi realizada 
com o gráfico força aplicada versus profundidade de penetração. Os resultados nem 
Capítulo 1 - Introdução 8 
 
sempre eram satisfatórios devido à restrição do equipamento e dos sensores em 
fornecer uma quantidade de pontos necessária para que as rotinas de cálculo 
pudessem ser aplicadas corretamente, além da falta de um padrão que fornecesse 
dados precisos para ser utilizado como calibrador do equipamento. 
Técnicas que utilizem equipamentos conhecidos na indústria (rugosímetros, 
máquinas de ensaio de tração e dureza, etc.) podem fornecer resultados mais 
precisos considerando a morfologia de impressões de dureza, em que ocorre um 
processo de deformação elasto-plástica, principalmente sem a obrigatoriedade de ter 
o gráfico força versus profundidade de penetração [15]. 
 
1.3 Objetivo da Dissertação. 
 
Para o controle de qualidade dos materiais, ou para fornecer dados para a 
análise de segurança de componentes estruturais, os métodos de ensaios não 
destrutivos são largamente utilizados. A determinação de propriedades mecânicas, 
como módulo de elasticidade, tensão de escoamento e coeficiente de encruamento 
é díficil de ser obter por ensaios não destrutivos [16]. 
O ensaio de tração é considerado um ensaio completo porque é possível 
determinar com exatidão a maioria das propriedades mecânicas dos materiais. 
Como ocorre ruptura do corpo-de-prova ao final do ensaio, o ensaio de tração é 
caracterizado como ensaio destrutivo, dando um único destino aos corpos-de-prova 
após os ensaios: a caçamba de sucata. Os corpos-de-prova deste ensaio são 
padronizados com dimensões grandes, se comparados com os corpos-de-prova do 
ensaio de dureza. Além disso, é necessário usiná-los, encarecendo o custo do 
ensaio. [7]. 
No ensaio de dureza os valores são apenas relativos, e deve-se tomar cuidado 
ao se comparar valores determinados segundo técnicas diferentes [10], ou seja, a 
dureza não é uma propriedade absoluta. Só tem sentido falar em dureza quando se 
comparam materiais, isto é, só existe um material duro se houver outro com dureza 
menor [7]. 
 Os ensaios de dureza são realizados com alta freqüência por diversas razões: 
 
Capítulo 1 - Introdução 9 
 
1. Eles são simples e baratos – normalmente nenhum corpo-de-prova 
especial precisa ser preparado e os equipamentos de ensaio são 
relativamente baratos; 
2. O ensaio muitas vezes não é destrutivo – o corpo-de-prova não é 
testado até a ruptura; tampouco é excessivamente deformado. Uma 
pequena impressão é a única deformação, o que torna esse ensaio 
não destrutivo em algumas situações [10]. 
3. Outras propriedades mecânicas podem ser estimadas, tal como o limite 
de resistência à tração. 
 
 Atualmente o desenvolvimento de ensaios “quase-não-destrutivos” consegue 
reunir as duas melhores características dos ensaios de tração e dureza em uma só: 
medir as mesmas propriedades mecânicas do ensaio de tração sem destruir os 
corpos-de-prova. Um ensaio utilizado com esta proposta é o ensaio de dureza 
instrumentada, que abre possibilidades para obter informações sobre o 
comportamento elástico-plástico dos materiais. 
 As vantagens deste ensaio são: 
 
1. O procedimento pode ser aplicado não só a corpos-de-prova 
padronizados, mas também a componentes mecânicos em operação, 
pois o ensaio não é destrutivo (dependendo da aplicação); 
2. A quantidade de informação gerada é muito maior do que um simples 
ensaio de dureza; 
3. O volume de material necessário é bem menor; 
4. Pode ser aplicado sem exceção a qualquer material metálico [16]. 
 
 O objetivo da dissertação é avaliar a validação de modelos matemáticos 
propostos na literatura para determinação do coeficiente de encruamento de metais, 
através da medição do perfil da impressão obtida a partir de um ensaio de dureza 
Brinell. Com isso, pode-se obter uma propriedade mecânica utilizando-se um ensaio 
no qual a deformação é minimizada. Esta é uma característica importante em um 
ensaio considerado quase-não-destrutivo, pois não provoca a falta de funcionalidade 
de qualquer componente mecânico submetido a esta técnica. Atualmente vários 
Capítulo 1 - Introdução 10 
 
organismos internacionais de pesquisa estão estudando esse assunto e realizando 
propostas de padronização, tais como a ASTM e ISO [17, 18]. 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 11 
 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
 Neste capítulo foi realizada uma revisão bibliográfica buscando informações na 
literatura relacionadas com o objetivo da dissertação. O foco principal foi direcionado 
para os quatro modelos de cálculo para a determinação do coeficiente de 
encruamento. 
 
2.1 Ensaio de Tração. 
 
 Um dos ensaios mecânicos mais comuns é executado sob tração. A facilidade 
de execução e a reprodutibilidade dos resultados tornam esse ensaio um dos mais 
importantes. Podem-se avaliar diversas propriedades dos materiais que são 
importantes em qualquer projeto mecânico [10]. 
 A aplicação de uma força “F” num corpo-de-prova sólido promove uma 
deformação na direção do esforço e o ensaio de tração consiste em submeter um 
material a um esforço que tende a alongá-lo de um comprimento inicial “l0” para um 
comprimento final “l” (a linha pontilhada da figura 2.1 representa a configuração 
inicial do corpo-de-prova). O ensaio é realizado num corpo-de-prova de formas e 
dimensões padronizadas, para que os resultados possam ser comparados ou 
reproduzidos. Este corpo-de-prova é fixado numa máquina de ensaio que aplica 
esforços crescentes na direção axial, sendo medidas as deformações 
correspondentes por intermédio de um aparelho especial (extensômetro). As forças 
são medidas na própria máquina e o corpo-de-prova pode ou não ser levado até a 
sua ruptura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1 – (a) Representação esquemática de um ensaio de tração (b) Ilustração 
esquemática de como uma força de tração produz um alongamento e uma 
deformação linear em um corpo-de-prova cilíndrico qualquer [10]. 
 
As deformações promovidas no material são uniformemente distribuídas, pelo 
menos até ser atingida uma força máxima próxima do final do ensaio. A 
uniformidade da deformação permite ainda obter medições precisas da variação 
dessa em função da tensão aplicada. Essa variação é determinada pelo traçado da 
curva tensão versus deformação, conforme a figura 2.2, a qual pode ser obtida 
diretamente pela máquina ou por pontos [7]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Gráfico Tensão versus Deformação de um Metal submetido ao Ensaio 
de Tração até a ruptura [7, 8]. 
 
 Tensão 
Deformação 
 
 
(b) 
 
(a) 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 13 
 
 
 Tensão é definida como a resistência interna de um corpo a uma força externa 
aplicada sobre ele, em uma determinada área de secção transversal. A tensão é 
calculada por: 
0A
F
=σ
 
2.1 
 Sendo “F” a força aplicada sobre o corpo-de-prova e “A0” corresponde à área 
da secção transversal inicial do corpo-de-prova [10, 11, 12]. 
 Deformação é a variação de uma dimensão qualquer quando o corpo-de-prova 
é submetido a um esforço que modifica a sua geometria plasticamente. 
Matematicamente a deformação é a razão entre a variação da dimensão 
considerada pela dimensão inicial que o corpo apresentava. A equação é: 
0
0
l
ll −
=ε
 
2.2 
 Sendo “l0” o comprimento inicial do corpo-de-prova, e “l” o comprimento do final 
corpo-de-prova. A tensão tem a dimensão de força por unidade de área (N/mm2 no 
SI) e a deformação é uma grandeza adimensional [10, 11, 12]. 
 A uniformidade de deformações terminano momento em que é atingida a força 
máxima suportada pelo material, quando começa a aparecer o fenômeno da 
estricção e, a consequente diminuição da secção do corpo-de-prova. A ruptura 
sempre se dá na região estreita do material onde temos uma concentração de 
tensão maior. 
 A curva tensão versus deformação pode ser dividida em várias regiões nas 
quais são analisadas as propriedades mecânicas. A região linear logo no início do 
gráfico representa a região elástica onde o corpo-de-prova sofre deformações 
elásticas, ou seja, deformações que não modificam a geometria do mesmo. Com o 
aumento da força do ensaio, a tensão e a deformação continuam aumentando até 
que o gráfico não seja mais linear. Neste momento inicia-se a região plástica onde o 
corpo-de-prova sofre deformação plástica que modifica permanentemente a 
geometria do corpo-de-prova, mesmo com a interrupção do ensaio. Nesta região 
temos os fenômenos do escoamento, encruamento e estricção. A ocorrência desses 
fenômenos depende da natureza do material do corpo-de-prova, pois alguns não 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 14 
 
 
apresentam escoamento ou estricção [7]. A figura 2.3 abaixo mostra uma curva 
típica de ensaio de tração de aço baixo carbono com as divisões das regiões 
elástica, escoamento, encruamento e estricção. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.3 – Curva Típica de Ensaio de Tração de um Aço Baixo Carbono [7]. 
 
2.1.1 Módulo de elasticidade 
 
 A parcela inicial do gráfico tensão versus deformação de um ensaio de tração 
típico representa a região elástica. A tensão é proporcional a deformação de acordo 
com a equação: 
εσ ⋅= Ele 2.3 
 Essa equação corresponde à lei de Hooke. A constante de proporcionalidade 
“E” é o módulo de elasticidade ou módulo de Young, “σle” é a tensão limite de 
elasticidade e “ε” é a deformação longitudinal do corpo-de-prova [10,7]. A inclinação 
da reta, representada pelo coeficiente angular, corresponde ao módulo de 
elasticidade que no SI é medido em GPa [19]. A figura 2.4 mostra um diagrama 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 15 
 
 
esquemático tensão versus deformação no qual é observada a parcela línear 
correspondente à região elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.4 – Diagrama esquemático tensão-deformação mostrando a região elástica 
linear para uma força aplicada a um determinado corpo-de-prova [5]. 
 
 A deformação na região elástica é obtida através de um equipamento acoplado 
a maquina de tração denominado extensômetro que registra com mais precisão a 
deformação. A velocidade do ensaio é muito importante nesta etapa para que o 
extensômetro seja capaz de registrar a deformação com exatidão. Para isso é 
aconselhável que a velocidade seja a menor possível [11, 12]. 
 O módulo de elasticidade é a medida da rigidez do material, ou seja, quanto 
maior o módulo, menor será a deformação elástica resultante da aplicação de uma 
tensão e mais rígido será o metal. O módulo de elasticidade é determinado pelas 
forças de ligação entre os átomos de um metal. Como essas forças são constantes 
para cada estrutura, o módulo de elasticidade é uma das propriedades mais 
constantes dos metais [19]. 
 
2.1.2 Escoamento 
 
 
Força 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 16 
 
 
 O escoamento compreende a região onde se inicia uma transição heterogênea 
e localizada entre a região elástica e plástica. Neste estágio o corpo-de-prova 
começa a ter as suas dimensões modificadas. Inicialmente, tem-se um limite de 
tensão superior de escoamento onde as discordâncias começam a se movimentar 
no interior da matriz metálica. Após o início da movimentação, a tensão decai até o 
limite inferior de escoamento e as discordâncias continuam se propagando por todo 
extensão do comprimento submetido à força. O fim da região do escoamento 
caracteriza-se pelo começo do encruamento [7]. A figura 2.5 mostra os limites 
superior e inferior de escoamento num gráfico tensão verus deformação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação mostrando o alongamento no 
escoamento, o limite superior e inferior de escoamento [12]. 
 
 Para materiais que experimentam essa transição elastoplástica gradual, o 
ponto de escoamento pode ser determinado como sendo o ponto onde ocorre o 
afastamento inicial da linearidade na curva tensão versus deformação; este ponto é 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 17 
 
 
chamado de limite de proporcionalidade representado pelo ponto P na figura 2.6. 
Esse ponto corresponde à tensão limite de proporcionalidade onde termina a 
deformação elástica e inicia-se a deformação plástica. Essa é a tensão utilizada 
como parâmetro para vários projetos que não podem deformar durante a vida útil 
para a aplicação para a qual foi projetada [10]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Comportamento tensão-deformação típico para um metal representando 
o limite de proporcionalidade através do ponto P [10]. 
 
 Matematicamente, a tensão de escoamento é calculada utilizando o conceito 
de tensão aplicado ao escoamento, ou seja, a tensão pode ser calculada pela razão 
entre a força aplicada no escoamento “Fe” e a área da seção inicial do corpo-de-
prova “A0”. 
0A
Fe
e =σ
 
2.4 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 18 
 
 
 De forma análoga, as tensões limite superior (σes) e inferior (σei) de 
escoamento e a tensão limite de proporcionalidade (σlp) também são obtidas pela 
razão das respectivas forças superior (Fes) e inferior (Fei) de escoamento e de 
proporcionalidade (Flp) pela área da seção inicial do corpo-de-prova (A0). 
0A
Fes
es =σ 2.5 
0A
Fei
ei =σ 2.6 
0A
Flp
lp =σ 2.7 
 O método offset é utilizado para determinar a tensão de escoamento em 
materiais onde à região do escoamento não esta bem definida no gráfico tensão 
versus deformação. De acordo com a Figura 2.7, traça-se uma reta paralela à 
parcela linear inicial do gráfico obtido no ensaio de tração a uma distância “Om”, 
equivalente a 0,2% de alongamento do corpo-de-prova, obtendo o segmento “mn”. 
Esse segmento irá interceptar no ponto “r”, onde se traça um novo segmento “Rr”, 
paralelo ao eixo da deformação. Com isso obtém-se o ponto “R” que representa a 
tensão de escoamento [8]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 19 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.7 – Diagrama tensão-deformação para determinar a tensão de escoamento 
pelo método offset [8]. 
 Existe uma relação entre a tensão de escoamento e o tamanho de grão de 
materiais policristalinos. Essa foi desenvolvida por Hall, e posteriormente explorada 
por Petch, sendo conhecida como relação de Hall-Petch e expressa pela equação: 
g
e D
K
+= 0σσ . 2.8 
 Nessa equação “σe” e “σ0” representam, respectivamente, a tensão limite de 
escoamento e a tensão teórica de limite ao cisalhamento entre os grãos, “K” é uma 
constante medidora da extensão de empilhamento de discordâncias junto à fronteira 
do grão e “Dg” refere-se ao diâmetro médio do grão. Pela equação é possível 
observar que σe e Dg tem uma relação inversamente proporcional, ou seja, quanto 
menor o diâmetro médio do grão, maior a tensão limite de escoamento [9, 10, 7]. 
 
2.1.3 Encruamento 
 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 20 
 
 
 O encruamento do material é o endurecimento por deformação a frio, ou seja, 
quanto mais a força vai agindo sobre o corpo-de-prova, mais resistente ele vai se 
tornando. Este fato pode ser observado pelo aumento contínuo da tensão, à medida 
que o ensaio se processa após o escoamento. Isto ocorre devidoàs interações entre 
as discordâncias que impedem o escorregamento dos planos cristalográficos, 
formando barreiras para a deformação [7]. 
 Podemos medir o encruamento através do coeficiente de encruamento, 
representado por “n”. O valor de "n" é determinado por uma relação matemática 
empírica, considerando que a parcela da curva tensão-deformação real ou 
verdadeira entre o escoamento e a estricção é representada por uma equação 
exponencial: 
n
v K δσ ⋅= 2.9 
 Sendo “K” o coeficiente de resistência, “σv” a tensão verdadeira aplicada ao 
corpo-de-prova e “δ” a deformação verdadeira sofrida pelo corpo-de-prova. Os 
valores de “K” e “n” são constantes do material, sendo que n é adimensional com 
valor sempre inferior a um [6]. Quanto maior o valor de “n”, mais encruado encontra-
se o material e maior é o aumento das tensões no início da região de encruamento 
de um gráfico tensão versus deformação, considerando ensaios de carregamento e 
descarregamento sucessivos [7]. 
 O conceito de tensão apresentado anteriormente relaciona a tensão como 
sendo a razão da força aplicada ao corpo-de-prova "F" pela sua área da seção 
transversal inicial "A0". Este conceito também é válido durante o escoamento. Para o 
encruamento o conceito de tensão anteriormente aplicado precisa ser reavaliado, 
pois a mesma aumenta muito em comparação a uma deformação reduzida, 
conforme pode-se observar na figura 2.3. Nesse caso utiliza-se a relação 
apresentada pela equação 2.9 que representa melhor o formato da curva tensão-
deformação no encruamento. 
 Após atingir o ponto de máximo carregamento “M”, observa-se pela figura 2.8 
que a tensão de engenharia diminui em função do aumento da deformação, o que 
caracteriza a estricção. Durante o encruamento ocorre um endurecimento do corpo-
de-prova e ele continua até a ruptura do ensaio, mas a tensão diminui durante a 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 21 
 
 
estricção porque a área da seção transversal diminui. Aplicando-se o conceito de 
tensão na região da estricção, considerando a razão da força "F" pela área da seção 
transversal instantânea "Ai", obtém-se uma curva tensão-deformação diferente 
chamada de curva tensão-deformação verdadeira. Nesta curva, a tensão verdadeira 
aumenta com o início da estricção e permanece aumentando até a ruptura. A curva 
da figura 2.3 é chamada curva tensão-deformação de engenharia [5]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Uma comparação entre os comportamentos típicos de tensão-
deformação da curva de engenharia e da curva verdadeira em ensaio de tração [10]. 
 
 A tensão verdadeira “σv” também pode ser obtida pela razão entre a força 
aplicada “F” pela área da seção transversal instantânea “Ai” conforme equação 
abaixo. 
i
v A
F
=σ
 
2.10 
 Também representamos a deformação através da deformação verdadeira “δ” 
através da equação abaixo. 






=
0
ln
l
lδ
 
2.11 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 22 
 
 
 Se durante o ensaio não ocorrer variação do volume do material, podem-se 
relacionar as tensões e deformações verdadeiras com as de engenharia através das 
equações abaixo [6]. 
( )δσσ +⋅= 1v 2.12 
( )εδ += 1ln
 
2.13 
 Essas equações são válidas somente até o surgimento da estricção. Além do 
ponto máximo “M”, as tensões e deformações verdadeiras devem ser computadas a 
partir de medições da força, da área da seção transversal instantânea e do 
comprimento final do corpo-de-prova “l” [10]. 
 Para determinar o coeficiente de encruamento através da curva tensão-
deformação de engenharia temos que medir no mínimo cinco forças e suas 
respectivas deformações conforme indicado na figura 2.9. Com isso, calcula-se as 
tensões e deformações de engenharia para a obtenção das tensões e deformações 
verdadeiras através das equações 2.12 e 2.13. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.9 – Exemplo mostrando a curva força-deformação para um material com 
escoamento [6]. 
 
 
ε 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 23 
 
 
 Aplicando logaritmo a equação 2.9, podemos linearizar a curva tensão-
deformação de engenharia na região do encruamento, obtendo a equação 2.14 que 
representa a equação de uma reta. O coeficiente angular da reta é o coeficiente de 
encruamento "n" que pode ser calculado através de uma regressão linear obtida pela 
equação 2.15 [6]. 
δσ logloglog ⋅+= nKv 2.14 
( )
( )
2
11
2
1 1 1
loglog
loglogloglog






−





⋅






⋅−⋅⋅
=
∑∑
∑ ∑ ∑
==
= = =
N
i
i
N
i
i
N
i
N
i
N
i
iiii
N
N
n
δδ
σδσδ
 
2.15 
 Existe também uma relação entre o tamanho médio de grão com o coeficiente 
de encruamento que foi desenvolvida por MORRISON (apud GORNI et al, 2007) no 
desenvolvimento de chapas de aço com grãos ultrafinos. A equação abaixo 
representa essa relação para o coeficiente de encruamento “n” e o diâmetro médio 
do grão “Dg” [20]. 
gD
n 110
5
+
=
 2.16 
 
2.2 Ensaio de Dureza 
 
A dureza é outra propriedade mecânica largamente utilizada na especificação 
de materiais. Ela é uma medida da resistência de um material a uma deformação 
plástica localizada. Os primeiros ensaios de dureza eram baseados em minerais 
naturais, com uma escala construída em função de um material riscar um outro, que 
apresentava dureza menor. Inicialmente foi desenvolvido um sistema qualitativo e 
arbitrário conhecido por escala de Mohs [10]. Esta técnica não é muito útil para a 
medição de dureza em materiais metálicos, pois não são métodos precisos ou de 
boa reprodutibilidade [7]. Técnicas quantitativas envolvem a ação de um penetrador 
de geometria conhecida onde se aplica uma força pré-definida sob a superfície do 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 24 
 
 
material, chamada de dureza por penetração. Com isso, obtém-se uma impressão 
com o formato do penetrador onde se mede o tamanho da impressão resultante que 
é correlacionada com um número de dureza. Quanto maior a dureza, menor será a 
impressão [10]. 
 
2.2.1 Dureza Brinell 
 
 O ensaio de dureza Brinell consiste em aplicar uma força "F" através de um 
penetrador em formato esférico de diâmetro "D" sobre a superfície de um corpo-de-
prova durante um tempo pré-determinado. Depois de retirada à força, o corpo-de-
prova apresenta uma impressão permanente com profundidade “h” e em formato de 
calota esférica de diâmetro "d", o qual deve ser medido. A figura 2.10 abaixo mostra 
o princípio do ensaio de dureza Brinell em dois estágios diferentes: durante a 
aplicação da força (a) e após a retirada do penetrador sobre o corpo-de-prova (b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.10 – Princípio do ensaio (a) no momento de aplicação da força (b) no 
término do ensaio com a impressão no corpo-de-prova [21]. 
 
 A dureza Brinell é definida matematicamente pelo quociente da força de ensaio 
"F" pela área da calota esférica "Ac" de diâmetro "d" [13, 21]. 
( )222102,0102,0 dDDD FA FHB c −−⋅⋅ ⋅⋅=⋅= pi 2.17 
 Como a dureza Brinell é o quociente da força pela área da calota esférica, a 
sua unidade deveria ser N/mm2. Mas na designação da dureza Brinell a unidade é 
 
 
(a) (b) 
penetrador 
Corpo-de-
prova 
Corpo-de-
prova 
F 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 25 
 
 
omitida, pois a equação 2.17 não leva em consideração o valor médio da pressão 
sobre toda a superfície de impressão [7]. A designação é formada pelo valor da 
dureza, seguida pelo símbolo "HB", pelo valor da força aplicada em kilograma-força 
e o tempo de ação da força em segundos [13]. 
 Um aspecto bastante importante no ensaio de dureza Brinell é a determinação 
do grau de força “G” Essa grandeza determina a força aplicadaao corpo-de-prova e 
depende do tipo de material. Na prática existem valores padronizados de G=1,25, 
2,5, 5, 10 e 30, de acordo com a tabela 2.1. O grau de força deve ser escolhido de 
tal forma que o diâmetro da calota esférica “d” se situe entre 0,25.D e 0,6.D. A força 
do ensaio é determinada através da equação 2.18 em Newtons e o tempo de 
aplicação da força varia entre 15 e 30 segundos [13]. 
2
102,0
D
FG ⋅=
 
2.18 
 
Tabela 2.1 – Grau de força para diversos materiais [9]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Além do grau de força, o diâmetro do penetrador também é padronizado. São 
utilizadas esferas de 1, 2,5, 5 e 10 mm de diâmetro feitas de aço com dureza maior 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 26 
 
 
que a do corpo-de-prova para não ocorrer deformação do penetrador. Pode ser 
utilizada esfera de metal duro para casos específicos. 
 Não existe um formato padrão para os corpos-de-prova, mas a espessura deve 
ser de no mínimo 17 vezes a profundidade da calota esférica e a superfície deve ter 
um acabamento polido e totalmente plano formando um ângulo de 90º com o 
penetrador para que fique em contato direto com a superfície do corpo-de-prova. À 
distância entre centros de duas impressões vizinhas deve ser de no mínimo quatro 
vezes o diâmetro da impressão e de 2,5 vezes a distância entre o centro de uma 
impressão e a borda do corpo-de-prova para evitar que a deformação produzida por 
impressões sucessivas muito próximas modifique o valor da dureza obtida [13]. 
 Como o diâmetro da esfera e a força aplicada são padronizados, os valores da 
dureza Brinell também são padronizados e tabelados através de normas específicas. 
Na prática, realiza-se o ensaio com a força determinada pelo grau de força, de 
acordo com o tipo de material (tabela 2.1) e mede-se o diâmetro da impressão 
resultante em duas direções perpendiculares entre si. Com isso, utilizam-se tabelas 
normalizadas do anexo E que fornecem o valor da dureza Brinell [22]. 
 
2.2.2 Determinação do coeficiente de encruamento pela Lei de Meyer 
 
 A pressão média “Pm” é quantificada pela razão da força aplicada “F” pela área 
projetada da calota esférica “Ap”. A equação 2.19 representa essa grandeza em 
função da força e do diâmetro da impressão obtida “d”. Nessa forma, a equação 
também representa uma medição de dureza, que foi proposta primeiramente por 
Meyer em 1908, dando origem à dureza Meyer “HM”. 
2
4
d
FHM
⋅
⋅
=
pi
 
2.19 
 
 Para metais encruados, a dureza Brinell diminui com o aumento da força nas 
impressões com diâmetros acima de 3,0mm, conforme pode ser observado na figura 
2.11. No caso da dureza Meyer, mesmo para impressões acima de 3,0mm o valor de 
“HM” mantém a tendência de aumento, independente do aumento ou diminuição da 
força no ensaio [7]. Isso ocorre pela diferença existente entre utilizar a área 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 27 
 
 
projetada e a área da calota esférica. Com o aumento da força ocorre um aumento 
no tamanho da impressão, reduzindo o valor da dureza Brinell, conforme pode se 
concluir pela equação 2.17. Por esse motivo que o número que representa a dureza 
Meyer é um valor muito mais satisfatório e conceitualmente mais correto na medição 
de dureza por penetração [23]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.11 – Dureza Brinell e Meyer para Cobre recozido e encruado em função do 
aumento do tamanho da impressão [23]. 
 
 Para que se produza uma impressão permanente em um material metálico à 
força deve ultrapassar a zona elástica até alcançar a zona plástica, iniciada quando 
a dureza Meyer ultrapassa o valor equivalente a 1,1.σe [23]. Dentro da região 
plástica o material sofre encruamento e para determinar “n” é necessário obter uma 
 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 28 
 
 
curva da tensão versus deformação para a compressão. Pelas próprias condições 
do ensaio, se torna difícil obter esta curva. Experiências de Meyer com penetradores 
esféricos mostraram que existe uma relação entre a força aplicada “F” e o diâmetro 
da impressão “d”, de acordo com a equação 2.20 [7]. Esta equação é conhecida 
como Lei de Meyer. 
mdkF ⋅=
 
2.20 
 
 O valor de “k” e “m” são constantes do material que representam a resistência 
à penetração e o coeficiente de Meyer, respectivamente. Essas constantes podem 
ser determinadas através do ensaio de dureza com diferentes forças, no qual se 
obtém um gráfico da força versus diâmetro da impressão, conforme a figura 2.12. 
Aplicando o logarítmo à equação 2.20 obtém-se a equação 2.21. 
dmkF logloglog ⋅+=
 
2.21 
 Ela representa a equação de uma reta com coeficiente angular igual ao valor 
de ”m“e coeficiente linear igual ao valor de ”logk”. Aplicando o anti-logaritmo, obtém-
se o valor de ”k“ [7, 24]. O logaritmo aplicado pode ser tanto na base decimal como 
na base neperiana (logaritmo natural). 
 
Figura 2.12 – Gráfico logarítmico obtido através da equação 2.21 aplicado a uma liga 
de cobre recozido e uma de cobre encruado [7]. 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 29 
 
 
 
 O coeficiente de Meyer está correlacionado com o coeficiente de encruamento 
“n” através da equação 2.22 e para a maioria dos metais “m” possui um valor entre 2 
e 2,5. Isso faz com que o “n” varie entre 0 e 0,5. Para um material recozido o valor 
de “n” é próximo de 0,5. Já para um material encruado o valor de “n” é próximo de 
zero [24]. Esta equação só é aplicada a penetradores esféricos, pois uma mudança 
na geometria implica numa mudança no valor de ”n“ que é calculado diretamente 
pelo coeficiente angular obtido a partir do logaritmo da equação 2.21 [25]. 
2−= mn
 
2.22 
 Existe um limite mínimo de tamanho da impressão para que a Lei de Meyer 
tenha validade. Experiências realizadas por O`NEILL (apud TABOR, 1951) 
mostraram que o valor de “m” aumenta consideravelmente para ensaios com 
pequenas forças e pequenas impressões, conforme observado no gráfico da figura 
2.13. 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 30 
 
 
 
Figura 2.13 – Gráfico logarítmico da força versus diâmetro da impressão para vários 
materiais, mostrando que o coeficiente de Meyer aumenta consideravelmente para 
pequenas forças e impressões. Gráfico I: aço W, D=10mm. Gráfico II: aço A, 
D=10mm. Gráfico III: ferro fundido, D=20mm [23]. 
 
 Para pequenas impressões o coeficiente de Meyer pode chegar ao valor de 3, 
fornecendo um valor de coeficiente de encruamento igual a 1. Nos experimentos de 
O`NEILL (apud TABOR, 1951) demonstrou-se que para impressões com diâmetro 
acima de 0,5mm, a lei de Meyer é válida e os valores de “m” são satisfatórios. Meyer 
Capítulo 2 - Revisão Bibliográfica 31 
 
 
também propôs um limite para a validade da sua lei através da relação “d/D”=0.1 
[24]. 
 
2.3 Modelo de Hertz para o contato esfera contra plano. 
 
Quando duas superfícies são pressionadas, o contato ocorre inicialmente entre 
alguns pontos onde as asperezas são mais altas. Com o aumento da pressão, cada 
vez mais asperezas vão progressivamente entrando em contato devido à 
deformação das mais altas, permitindo que ocorra o contato das asperezas mais 
baixas. Para analisar o contato entre duas superfícies, em geral utiliza-se um modelo 
onde se considera uma superfície lisa, rígida e plana e outra com rugosidade igual à 
combinação da rugosidade combinada das duas superfícies originais. 
Estudando o comportamento das asperezas individualmente, é conveniente 
modelá-las como protuberâncias perfeitamente lisas de formato esférico [24]. 
Quando uma esfera de material elástico é pressionada contra um plano com uma 
força normal “F”, o contato entre dois corpos-de-prova se dará numa área circular de 
raio “a”, dada pela equação