Cálculo Diferencial E integrais 1,2 e 3 (193)

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UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES 
PRÓ-REITORIA DE PLANEJAMENTO E DESENVOLVIMENTO 
DIRETORIA DE PROJETOS ESPECIAIS 
PROJETO A VEZ DO MESTRE 
 
 
 
 
 
 
 
A ORIGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 
 
 
 
 
 
 
VERIANO CATININ DE SOUZA 
 
ORIENDADOR: PROFª. YASMIM 
 
 
 
RIO DE JANEIRO, RJ, AGOSTO/2001 
 
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES 
PRÓ-REITORIA DE PLANEJAMENTO E DESENVOLVIMENTO 
DIRETORIA DE PROJETOS ESPECIAIS 
PROJETO A VEZ DO MESTRE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ORIGEM DO CÁLCULO DIFERENCIAL 
E INTEGRAL 
 
Veriano Catinin de Souza 
 
 
 
 
Trabalho Monográfico apresentado 
como requisito parcial para 
obtenção do Grau de Especialista 
em Orientação Educacional. 
 
 
Rio de Janeiro, RJ, Agosto/2001 
Agradecimento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A professora Yasmim, pelo seu total 
apoio e incentivos, na execução deste 
trabalho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedicatória 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dedico este trabalho de pesquisa aos 
pais: José Catinin Sobrinho (in 
memoram) e Ana Pereira Catinin, que 
com seus conselhos me ajudaram a 
continuar estudando. 
 
Epígrafe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"As práticas educativas se fundam na 
cultura, em estilos de aprendizagem e 
nas tradições, e a história compreende o 
registro desses fundamento. Portanto, 
é praticamente impossível discutir 
educação sem recorrer a esses registros 
e a interpretações dos mesmos " 
Ubiratan D’Ambrósio 
 
SUMÁRIO 
 
RESUMO 
 
 
 
Capítulo I: A IMPORTÂNCIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL E 
 INTEGRAL 
 A Matemática na História 7 
 O Cálculo Diferencial e Integral 10 
 
Capítulo II: O CÁLCULO NA ANTIGUIDADE E IDADE MÉDIA 
 2.1. O CÁLCULO NAS PRIMEIRAS CIVILIZAÇÕES 13 
 2.2. O CÁLCULO NA CIVILIZAÇÃO GREGA 16 
 
Capítulo III: O CÁLCULO NO SÉCULO XVII 
 3.1. O CÁLCULO NO INÍCIO DO SÉCULO XVII 17 
 3.2. AS CONTRIBUIÇÕES DE NEWTON E LEIBNIZ 18 
 
CONCLUSÃO 23 
 
BIBLIOGRAFIA 25 
 
 
 
 
RESUMO 
 
O Cálculo Diferencial e Integral “é a matemática da 
variação”(LARSON, 1998, p.85). É uma das disciplinas mais 
tradicionais no ensino de ciências exatas na universidade, e que mais 
tem preservado sua estrutura original. É importante, e motivo de 
reflexão o fato de que, mesmo hoje, com o advento e a difusão de 
calculadoras, microcomputadores, modelagem, etc, a espinha dorsal 
do Cálculo é essencialmente a mesma desde a época do seu 
surgimento como método eficaz, para tratar de problemas de variação 
e de área no final do século 17. 
No presente trabalho, temos por objetivo mostrar a origem e o 
desenvolvimento desta disciplina tão importante no contexto da 
educação matemática contemporânea. Através de uma pesquisa 
bibliográfica e do método dedutivo, mostraremos que o sua origem 
data da antigüidade e o seu desenvolvimento se dá até o século 
XVII, e sua formalização no século dezenove. 
 
 
 
 
Capítulo 1 
A IMPORTÂNCIA DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
1.1. A MATEMÁTICA NA HISTÓRIA 
 
 A Ciência surge como resposta aos desafios gerados na realidade 
circundante ao ambiente que o homem vive. Ao longo da história o homem vem 
se apropriando de processos mentais eficazes na análise e soluções desses 
desafios. A Matemática foi um dos primeiros campos do saber humano que se 
encontram vestígios nos mais remotos tempos da história da humanidade. 
Na Tchecoslováquia foi achado um osso de lobo com 
profundas incisões, em número de cinqüenta e cinco; estavam 
dispostos em duas séries, com vinte e cinco numa e trinta na 
outra, com os riscos em cada série , dispostos em grupos de 
cinco. Tais descobertas arqueológicas fornecem provas de que 
a idéia de número é muito mais antiga do que progressos 
tecnológicos como o uso de metais ou de veículo com rodas. 
(BOYER, 1978: 3). 
 
 Nesse período do tempo, também são comuns os objetos de forma 
definidas, o que mostra que a Geometria também teve o seu início nos 
primórdios da humanidade. 
 A partir das marcas em osso, também em pedra, madeira e outros objetos, 
o homem criou a linguagem simbólica, representações das idéias e objetos. A 
partir desse momento o conhecimento passa a fazer parte da sobrevivência do 
homem. O homem se transforma num ser que ultrapassa os limites impostos pela 
natureza, passa a construir idéias, sistemas, que o ajuda a superar-se. 
 Na história da Matemática, o uso de símbolos e representações de objetos 
bem como a metodologia de construção do conhecimento matemático, pode ser 
entendida, em cinco períodos: 
1 – O período empírico: que se confunde com os primórdios das civilizações. A 
matemática está exclusivamente ligada à cultura e à sociedade da época. Um 
exemplo clássico é a Geometria no Egito Antigo. Lá a Geometria estava 
associada a medição dos campos depois das cheias do rio Nilo e construção de 
Pirâmides. 
2 – O período dedutivo: Inicia-se com o nascimento da filosofia grega no século 
VI a.C, no momento em que ocorre a ruptura entre o prático e o teórico, entre o 
concreto e o abstrato. A força de uma idéia passa a estar na sua forma , na 
Lógica. Um exemplo marcante desse período foi Euclides de Alexandria, em 
300a.C., que escreveu sua obra, os Elementos, a partir de definições, axiomas e 
postulados, sem necessidade de recorrer a situações concretas. 
3 – O período racional: se inicia com o advento da Ciência Moderna, no século 
XVII. O conhecimento matemático, incluído o procedimento dedutivista, passou a 
explicar e a justificar os fenômenos observados. Newton(1642-1727) cria o 
cálculo diferencial e integral, para dar explicações aos fenômenos que estão 
sendo estudados em sua época. 
4 – O período simbólico: inicia-se no século XIX, com os trabalhos de Frege e 
depois Russell. Esta fase do desenvolvimento do conhecimento matemática 
apresenta três tendências: Logiscismo (a matemática depende da lógica), 
Intuicionismo (a matemática deve ser aceita pela sua evidência e o princípio do 
terceiro excluído) e o formalismo(estuda as estrutura matemáticas, e a partir de 
uma desenvolve-se outras, por semelhança). 
5 - O período simulatório: com o advento do computador, a matemática tem 
mostrado sua ampla aplicabilidade, através da criação de modelos aplicados as 
diferentes áreas do conhecimento, desde a lingüística até a teoria do caos. 
Não se pode mais conceber a pesquisa científica sem uma 
aparelhagem complexa que redistribui as antigas divisões entre 
experiência e teoria. Emerge, neste final do século XX, um 
conhecimento por simulação que os epistemologistas ainda 
não inventaram.” (LÉVY, 1999: 7) 
 
O computador nasceu graças a matemática e ciências afins, e ele “não é senão 
um instrumento matematizador de informações” (ALMEIDA, 1988: 59). 
 Muito do que hoje é desenvolvido e ensinado no campo da Ciência e 
Tecnologia, depende do uso do computador. Este tornou-se uma ferramenta 
indispensávelpara alunos, professores e pesquisadores. 
Problemas que estavam desesperadamente além das 
capacidades dos matemáticos de eras anteriores recentemente 
foram resolvidos com a ajuda dos computadores de alta 
velocidade. Se, como Kepler disse, a invenção dos logaritmos 
duplicou a vida de um astrônomo, quanto mais o computador 
eletrônico expandiu as carreiras de cientistas e matemáticos!” 
(BOYER 1978: 456). 
 
 A educação matemática tem se preocupado com o desenvolvimento das 
idéias e teorias matemáticas. 
 
 
 1.2. O CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
 
As aplicações do Cálculo diferencial e integral se fazem presentes na 
maioria dos fenômenos mensuráveis. Isto implica que seu uso se estende desde 
a Física até a economia e administração. 
 A palavras cálculo é de origem latina, “calculus, e na Roma Antiga era uma 
pequena pedra ou seixo usado para contagem e jogo, e o verbo latino calculare 
passou a significar ‘figurar’, ‘computar’, ‘calcular’ ” (SIMMONS, 1987, p.70). 
Atualmente, a palavra Cálculo indica um método ou sistema de métodos para 
resolver certos tipo de problemas quantitativos, como: o cálculo das 
probabilidades, cálculo lógico, cálculo das diferenças finitas, cálculo vetorial, 
cálculo dos resíduas, e assim por diante. 
A expressão Cálculo Diferencial e Integral, ou abreviadamente Cálculo, 
designa basicamente dois processos: a derivação e a Integração. A derivação 
“está relacionada com a descrição e mensuração da maneira como as coisas 
variam, se movem e crescem” (BARON, 1985, p.1). Já a integração constitui uma 
ferramenta básica nos processos de soma. 
 Assim como outras áreas da Matemática, o Cálculo Diferencial e Integral, 
surgiu e se desenvolveu a partir de uma combinação entre problemas e 
formulações de conceitos e teorias adequados para resolve-los. E, por sua vez, 
estas teorias suscitaram novos problemas e novas teorias e assim tivemos a 
formulação de um conjunto compreensivo de regras operacionais para a solução 
de diversos problemas. 
 Muitos dos problemas que alimentaram o desenvolvimento do Cálculo 
Diferencial e Integral, são de origem geométrico ou podem assim ser reduzidos. 
Segundo Baron, historicamente o modelo geométrico exerceu um papel central no 
seu desenvolvimento. 
 
Uma das formas mais usuais de interpretação e entendimento do processo 
de derivação é concebe-lo como a inclinação (declive) da reta tangente (Do latim 
tangere, que significa tocar) ao gráfico de uma função, conforme a figura 1. 
 
A partir desta idéia outros problemas podem ser estudados. É o caso dos 
pontos de máximo e mínimos de uma função. Nestes pontos, as retas tangentes 
são horizontais, ou seja, com inclinação zero. Esta aplicação do conceito de 
derivada de uma função mostrou-se de grande utilidade em diversos campos da 
Ciência. 
 Quanto ao processo de integração, teve o seu ponto de partida nos 
problemas de quadratura de curvas, ou seja, a área limitada por uma curva, como 
podemos observar na figura 1. 
Fonte: SIMMENS, 1987, p.69
 Inicialmente os processos de derivação e integração eram estudados 
separadamente. Só depois de século XVII, foi possível associa-los, através do 
chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo. Assim os problemas das 
quadraturas e das tangentes ficaram unificados por este teorema. Segundo 
Baron, tornou-se um instrumento importante e poderoso no estudo de problemas 
mais gerais pela introdução, também no século XVII, de uma notação especial e 
de algoritmos (ou regras de cálculos). 
Já em 1700, grande parte do cálculo que se estuda hoje nos cursos de 
graduação já estava estabelecido. “O primeiro texto de cálculo foi publicado em 
1696; o seu autor, o marquês de L´Hospital(1661-1704), por um acordo singular, 
publicou as lições que recebera de seu professor particular Johann Bernoulli.” 
(EVES, 1995, p.444) 
 
 
 
Capítulo 2 
O CÁLCULO NA ANTIGUIDADE E IDADE MÉDIA 
 
2.1. O CÁLCULO NAS PRIMEIRAS CIVILIZAÇÕES 
 
 Muitas vezes é dito que o Cálculo foi inventado pelo dois grandes 
matemáticos do século XVII, Newton e Leibniz. “Na realidade, o cálculo é produto 
de uma longa evolução que não foi iniciada nem concluída por Newton e Leibniz;” 
(COURANT, 2000, P.481) . Mas os seus primórdios data do século XVII antes de 
Cristo. Desta época tem-se papiros egípcios e tábuas cuneiformes babilônicas 
que nos informa como aquelas civilizações tratavam certos problemas de 
mensuração. 
 Um dos documentos mais antigo da história da matemática é o papiro 
Rhind. É um papiro egípcio de 1600 a.C., ele foi copilado pelo escriba Ahmes, 
neste documento encontramos alguns resultados matemáticos usados no Egito 
Antigo: 
x� O volume de uma pirâmide quadrada era calculada como 1/3 do volume do 
prisma retangular; 
x� A área de um círculo era obtida por um quadrado cujo lado é 8/9 do diâmetro 
do círculo. 
Tais regras eram aceitas mas sem uma prova rigorosa para os mesmas, 
como hoje. No caso do volume da pirâmide o resultado está correto, mas sem 
demonstração. Para se chegar a tal resultado seria necessário o uso de 
infinitésimo que conhecemos hoje. Já a área do círculo, não é exatamente o que 
conhecemos hoje, mas uma boa aproximação da fórmula atual, Ac = S.r2 , onde pi 
(S) assumia o valor 3,16. 
 Na Mesopotâmia a matemática era superior a do Egito. Eles já tinham 
desenvolvido a álgebra , conheciam o teorema de Pitágoras e calculara a 
diagonal de um quadrado até a sexta casa decimal. ”Tomavam a área do círculo 
geralmente como o triplo da área do quadrado sobre o raio, mas em pelo menos 
uma ocasião usaram para pi(S) uma aproximação melhor, 25/8”. (BOYER, 1992, 
p.2). 
 Uma significativa descoberta dos Mesopotâmicos foi o algoritmo iterativo 
para achar raiz quadrada. Para o caso da raiz quadrada de 2 o algoritmo era: 
Forma geral Cálculo Comentário 
 
a # a1 
 
2 # 1 
1ª aproximação da raiz. Chute 
um número qualquer. 
1
1 a
a
b 2
1
2
b1 
Correção da 1ª aproximação da 
raiz. 
2
b a
a 112
� 5,1
2
2 1
a 2 � 
2ª aproximação da raiz, através 
da média aritmética entre a1 e 
b1. 
2
2 a
a
b ...3333,1
1,5
2
b2 
Correção da 2ª aproximação da 
raiz. 
2
b a
a 223
� ...4166,1
2
1,33... 1,5
a3 � 
3ª aproximação da raiz, através 
da média aritmética entre a2 e 
b2. 
3
3 a
a
b ...41176,1
1,4166...
2
b3 
Correção da 3ª aproximação da 
raiz. 
2
b a
a 334
� ...4142,1
2
1,41176...1,4166...
a3 � 
4ª aproximação da raiz, através 
da média aritmética entre a3 e 
b3. 
... ... ... 
 
De acordo com o algoritmo acima, podemos afirmar que o valor 
aproximado da raiz quadrada de 2 é 1,41. Comparando este resultado com o 
valor ....414213562,12 # , podemos atestar que este algoritmo interativo é 
um bom processo para achar raiz quadrada aproximada de um número real 
positivo. 
 
 
 
 
 
 
2.2. O CÁLCULO NA CIVILIZAÇÃO GREGA 
 
 Uma significativa contribuição grega para o Cálculo veio de Eudoxo, 
matemático e astrônomo, que viveu no IV século antes de Cristo. Foi ele que 
desenvolveu o método da exaustão, que articula os conceitos de infinitésimos. 
Se de uma grandeza qualquer subtrai-se uma parte não menor 
que sua metade, do restante subtrai-se também uma parte não 
menor que sua metade, e assim por diante, se chegará por fim a 
uma grandeza menor que qualquer outra predeterminada da 
mesma espécie.(EVES, 1995, p.419) 
 
 Uma das aplicações desse método é para calcular a área do círculo. Para 
isto temos de inscrever e circunscrever polígonos regulares no círculo. A medida 
que o número delados aumentam, temos uma convergência para a área real do 
círculo. 
 Para aplicar o método da exaustão é necessário conhecer a fórmula e a 
partir daí prova-la, “por si só, não se presta para a descoberta inicial do resultado. 
Quanto a esse aspecto, o método de exaustão assemelha-se muito ao princípio 
de indução matemática.” (EVES, 1995, p.422). 
 
 Em 1906, foi encontrado em Constantinopla um pergaminho contendo uma 
cópia de O Método de Arquimedes, uma espécie de carta que o autor escrevera 
a Eratóstenes e que se encontrava perdido desde o início de nossa era. 
 A idéia fundamental do método de Arquimendes, o método de equilíbrio, 
para resolver problemas de área ou volume era: 
Corte a região correspondente num número muito grande de tiras 
planas ou de fatias paralelas finas e(mentalmente) pendure esses 
pedaços numa das extremidades de uma alavanca dada, de tal 
maneira a estabelecer o equilíbrio com uma figura de área ou 
volume e centróide conhecidos.(EVES, 1995, p.422) 
 
 
 
Capítulo 3 
O CÁLCULO NO SÉCULO XVII 
 
3.1. O CÁLCULO NO INÍCIO DO SÉCULO XVII 
 Os pioneiros na formulação de métodos para cálculo de área e volume 
foram Eudoxo e Arquimedes. Suas contribuições só foram superadas já próximo 
do início do século XVII. Nesse período nomes como o do engenheiro flamengo 
Simom Stevin(1548-1620) e o do matemático italiano Luca Valerio(c. 1552-1618) 
tentaram evitar a dupla reductio ad absurdum do método de exaustão. 
 Kepler1 (1571-1630), por sua vez, também desenvolveu idéias relativas a 
infinitésimos para calcular a área envolvidas em sua Segunda lei do movimento 
planetário que diz que as áreas percorridas pelo raio vetor que une o centro 
do planeta ao centro do Sol são iguais em períodos iguais (Figura 2). 
 
1 Johannes Kepler, astrônomo e filósofo alemão, famoso por formular e comprovar as 
 três leis do movimento planetário, conhecidas como Leis de Kepler. 
Figura 2: Trajetória de um planeta 
Fonte : COLLETE, 1986, p. 310 
Em conseqüência, quanto mais perto o planeta está do Sol, mais rapidamente ele 
se move. Para obter tal resultado ele usou procedimentos de integração. 
Para Kepler uma circunferência era um polígono regular de um número 
infinito de lados. Uma esfera é considerada como formada por uma infinidade de 
pirâmides delgadas de vértices no centro da esfera. Como decorrência dessas 
considerações, a área da círculo corresponde a uma infinidade de triângulos 
delgados, todos de altura igual ao raio do círculo. Portanto, a área do círculo é 
igual ao semiproduto da circunferência pelo raio. Do mesmo modo, o volume da 
esfera é uma infinidade de pirâmides delgadas de volume iguais a um terço da 
área da base pela altura. Logo, o volume da esfera é um terço do produto de sua 
superfície pelo raio. Este método ‘atômico’ de resolver problema, “embora 
passível de objeções, sob o ponto de vista do rigor matemático, produzem 
resultados corretos de maneira bem simples” (EVES, 1995, p.425) 
 
 
3.2. As contribuições de Newton e Leibniz 
 
 Newton e Leibniz não inventaram sozinhos o Cálculo, mas 
desempenharam, juntamente com outros matemáticos de sua época, um papel 
decisivo nesta área. No meado do século XVII dois grandes problemas 
chamavam atenção dos estudiosos: 
“em primeiro lugar, o problema das tangentes: determinar as 
retas tangentes a uma curva dada, o problema fundamental 
do cálculo diferencial. Em segundo lugar, o problema da 
quadratura: determinar a área dentro de uma curva dada, o 
problema fundamental do cálculo integral. “(COURANT, 2000, 
p.481) 
 
 Newton e Leibniz, merecem um destaque especial na história do Cálculo, 
pois foram os pioneiros em estabelecer a estreita ligação entre estes dois 
problemas. Unificando os novos métodos que se tornaram instrumentos 
poderosos da Ciência. Isto foi possível, em parte, graças a nova simbologia e a 
geometria analítica de Descarte 
 Newton, nascido prematuramente em 25 de dezembro de 1642. Foi 
educado pelo avó e a conselho do tio foi estudar em Cambridge, em 1661. 
“No início do seu primeiro ano ele comprou e estudou um exemplar 
de Euclides e logo depois leu a Clavis de Oughtred, a Geometria a 
Renato Des Cartes de Schooten, a Óptica de Kepler, as obras de 
Viète, e o que talvez tenha sido o amis importante de todas para ele, 
Arithmetica infinitorum de Wallis. Além disso, a esse estudo 
devemos acrecentar as aulas que Barrow deu como ‘lucasian 
professor’, e que Newton assistiu , depois de 1663.” (BOYER, 1979, 
p.287) 
 
 Pelas suas leituras e estudos, deduzimos que muito ele aproveitou de seus 
antecessores. Na Inglaterra, ele contou com as influências de John Wallis(1616 – 
1703) e Isaac Barrow(1630 - 1677). Durante os anos de 1665 e 1666, devido a 
peste, Newton voltou para casa. Este foi um período rico em descobertas, entre 
elas destacamos: 
x� teorema binomial; 
x� o cálculo; 
x� a lei da gravidade; 
x� a natureza das cores. 
Em 1669, dois anos após ter retornado a Cambridge para obter o grau de 
mestre, sucede o seu professor Isaac Barrow no Trinity Colege, por indicação do 
próprio Barrow, que deixava a cátedra para ser capelão do rei Carlos II, em 1669. 
Newton permaneceu nesta função até 1796, quando passou a exerce funções 
públicas. 
Numa monografia de 1669, que circulou entre amigos e alunos, Newton expôs 
suas primeiras idéias sobre o cálculo. Mostrou que a área sob a curva z = paxp-1 
(para pQ) é y = axp. Este resultado aponta para a integral como o inverso da 
derivada. 
A grande contribuição de Newton para a Matemática foi o método dos fluxos, o 
seu trabalho de Cálculo usando métodos infinitesimais. Segundo Newton, a taxa 
de variação de um fluente x é o fluxo de x, e indicou por 
x
x . Nesta idéia de taxa 
de variação, estava a essência da fundamentação do cálculo, a teoria dos 
limites, que será desenvolvida quase dois séculos mais tarde. 
 
Gottfrid Wilhelm Leibniz nasceu em Leipzig, filho de um jurista, professor da 
universidade local. Graduou-se em Direito em Leipzig e em 1667 obteve o grau de 
doutor em Filosofia na Universidade de Altdorf , com uma tese Ars Cominatoria (A 
arte das combinações), tentativa ce criar um método universal de raciocínio, 
através de uma espécie de cálculo. A sua formação em Matemática ainda era 
precária no início de sua carreira como professor de Direito em Altdorf. 
Mais tarde, Leibniz veio a exercer, por cerca quarenta anos, a carreira de 
diplomata junto a corte de Hanover. A sua primeira missão diplomática foi em 
paris, de 1672 a 1676. Foi nesse período que Huygens, que na época morava em 
Paris, tornou-se seu orientador em Matemática. Em 1663, fez uma viagem a 
Londres, na qual tomou conhecimento da obra de Barrow (professor de Newton) 
e, talvez, da primeira versão do cálculo de Newton. Foi este fato que originou a 
controvérsia sobre que foi o inventor do cálculo diferencial e integral. Ele voltou a 
Londres em 1676, já nessa época com o desenvolvimento dos principais aspectos 
e notação do seu cálculo. 
Se para Newton a idéia central cálculo era a de taxa de variação, para Leibniz 
era a diferencial. Embora sem dar uma definição precisa, diferencial para Leibniz 
era uma diferença entre dois valores infinitamente próximos de uma variável. 
Muito mais preocupado do que Newton com a simbologia, fórmulas e regras, ele 
criou as notações: dx, dy, ... para as diferencias de x, y, ..., respectivamente. E 
num artigo de 1682 estabeleceu regras como : 
x� da = 0, diferencial de uma constante é zero; 
x� d(u + v) = du + dv, diferencial da soma; 
x� d(u . v) = u.dv + v.du, diferencial da soma; 
Crioutambém o símbolo ³ , um S alongado, para indica a soma de todas as 
áreas infinitesimais. Mostrou que ³ y dx corresponde a uma área e que d ³ y dx 
= y dx, apresentando d com inverso de ³ . 
Newton e Leibniz seguiram linhas diferentes na criação do cálculo. Apesar da 
polêmica que perdura ao longo da história, o uso de caminhos diferentes para 
obtenção de uma mesma teoria, indica que foi dois desenvolvimentos 
independes. 
O século seguinte (sec. XVIII) as descobertas de Newton e Leibniz, os 
esforços dos matemáticos se concentraram no desenvolvimento e nas aplicações 
do cálculo. Os matemáticos mais importantes desse período foram: 
ƒ�os membros da família Bernoulli, em especial Jonhann Bernoulli(1667 – 1748). 
ƒ�Euler (1707 – 1783) 
ƒ�Lagrange (1736 –1813) 
ƒ�Laplace (1749 –1827) 
A atividade científica do século XVIII “centrava-se geralmente nas academias, 
das quais se destacavam as de Paris, Berlim e Sampeterburgo. O ensino 
universitário desempenhava um papel menor ou mesmo nulo” (STRUIK, 1989, 
p.191). Politicamente, é a era do déspotas esclarecidos: Frederico-o-Grande; 
Catarina-a-grande; Luis XV e Luis XVI, que governava os principais estados 
europeus. Alguns destes déspotas, rodeavam-se de homens cultos. 
“Este prazer era uma espécie de snobismo intelectual, 
temperado por uma certa compreensão do papel importante que 
as ciências naturais e as matemáticas aplicadas desempenhavam 
na modernização das manufaturas e no aumento de eficácia da 
força militar.” (STRUIK, 1989, P.192) 
 
 Muitos trabalhos dessa época são ricos em aplicações da matemática a 
questões do exército e a marinha, por exemplo, os de Euler. 
Os 150 anos seguintes a época de Newton e Leibniz, progrediu-se muito 
pouco na fundamentação do Cálculo, na busca do rigor. A confiança no Cálculo 
derivava da sua eficácia para resolver problemas. Somente no século XIX, graças 
aos esforços de Augustin–Louis Cauchy (1789–1857) e Karl Weierstrass (1815–
1897), que o assunto seria fundamentado com rigor. 
 
 
 
CONCLUSÃO 
 
Nada no universo escapa à mudança. As plantas e os animais crescem 
com o passar do tempo. A água dos rios e dos mares estão em constante 
movimento. A Lua gira em torno da Terra, a Terra gira em torno do Sol 
juntamente com os demais planetas e o Sol movimenta-se levando consigo os 
planetas e seus respectivos satélites. Até as rochas, sobre o efeito da variação de 
temperatura, dilatam-se ou se contrai. Tudo aumenta ou diminui, esquenta ou 
esfria, muda de posição, de cor, de composição. Nada é permanente. 
O processo de mudança é inerente as leis da natureza. É por isso, a 
sobrevivência do homem depende da compreensão das variações que ocorre no 
meio ambiente. Matematicamente, esta compreensão só ocorreu a partir do 
século XVII, com a invenção do Cálculo Diferencial e Integral. 
O cálculo, historicamente aqui apresentado, pode ser entendido como o 
ramo da matemática que trata de variação. Esta característica o tornou uma 
disciplina aplicada a diferentes área do conhecimento. Com a sua invenção foi 
possível a analisar minuciosa e quantitativa os movimentos e mudanças, elaborar 
as leis fundamentais das Ciências. As grandes invenções, que desfrutamos 
atualmente, tem um débito com o calculo: seja ela uma espaçonave; uma ponte; 
um avião; um míssil ou um aparelho de televisão. 
 Acompanhado a história da Matemática, constatamos que o Cálculo 
Diferencial e Integral não surgiu já pronto e acabado e da cabeça de um só 
homem. O cálculo, assim como outras teorias matemáticas, teve uma história e 
um longo desenvolvimento, que iniciou-se na antigüidade e estendeu-se até os 
tempos modernos. No entanto, dois nomes se destacam ao longo dessa história: 
Newton e Leibniz. 
As aplicações, tornaram o cálculo uma disciplina indispensável para a 
formação do científica do homem contemporâneo. Os conhecimentos adquiridos 
num curso de Cálculo Diferencial e Integral, capacita-nos a analisar e resolver 
uma diversidade de problemas. Conhecer a sua história e seu desenvolvimento é 
participar da sua reconstrução, enquanto conhecimento científico e conhecer o 
seu valor para a Educação Matemática do nossos dias. 
 
 
 
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