03 ZEROS

Prévia do material em texto

Ca´lculo Nume´rico
Erros
Zeros Reais de Func¸o˜es Reais
Prof. Rafael Perazzo B Mota
rafael.mota@ufca.edu.br
2019
1 / 75
Conteu´do
Erros
Zeros de Func¸o˜es
Me´todos de confinamento
Me´todo da bissec¸a˜o
Me´todo regula falsi
Exerc´ıcios
Resumo
Me´todos abertos
Me´todo de Newton-Raphson
Me´todo da Secante
Me´todo do Ponto Fixo
Exemplos
2 / 75
Erros
Zeros de Func¸o˜es
3 / 75
Erros
I Absoluto: Diferenc¸a entre a soluc¸a˜o exata e a soluc¸a˜o
aproximada;
I Relativo: Relac¸a˜o entre o erro absoluto e a soluc¸a˜o exata.
4 / 75
Erros: Exemplo
Uma raiz exata da func¸a˜o f (x) = x2 − 4 e´ 2. Suponha que
utilizando-se um me´todo nume´rico, chegamos a soluc¸a˜o
aproximada 1.999. Calculamos o erro absoluto como:
|2− 1.999| = 0.001.
Ja´ o erro relativo:
0.001
2
= 0.0005.
5 / 75
Erros: Observac¸o˜es
I Nem sempre sabemos previamente a soluc¸a˜o exata;
I O erro relativo nos fornece uma noc¸a˜o melhor sobre o erro
cometido;
6 / 75
Arredondamento e truncamento
Ao definirmos a quantidade de d´ıgitos significativos, precisamos de
uma forma para representar nu´meros que possuem mais do que
essa quantidade de d´ıgitos. Para isso utilizamos ou o
arredondamento ou o truncamento.
I Truncamento: Simplesmente cortar os demais d´ıgitos;
I Arredondamento: Observar o valor do primeiro d´ıgito na˜o
significativo para ajustar o u´ltimo d´ıgito significativo.
7 / 75
Exemplos
Considere um sistema com 6 d´ıgitos significativos.
I 1.34129833:
1.341298 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
I 1.34129871: 1.341299 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
8 / 75
Exemplos
Considere um sistema com 6 d´ıgitos significativos.
I 1.34129833: 1.341298 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
I 1.34129871: 1.341299 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
8 / 75
Exemplos
Considere um sistema com 6 d´ıgitos significativos.
I 1.34129833: 1.341298 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
I 1.34129871:
1.341299 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
8 / 75
Exemplos
Considere um sistema com 6 d´ıgitos significativos.
I 1.34129833: 1.341298 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
I 1.34129871: 1.341299 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
8 / 75
Exemplos
Considere um sistema com 6 d´ıgitos significativos.
I 1.34129833: 1.341298 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
I 1.34129871: 1.341299 (arredondamento) e 1.341298
(truncamento).
8 / 75
Outros conceitos importantes
I Iterac¸a˜o: Passo que leva ou na˜o a uma convergeˆncia.
I Convergeˆncia: Aproxima-se de um poss´ıvel valor conhecido.
Caminha para um mesmo ponto.
9 / 75
Outros conceitos importantes
I Iterac¸a˜o: Passo que leva ou na˜o a uma convergeˆncia.
I Convergeˆncia: Aproxima-se de um poss´ıvel valor conhecido.
Caminha para um mesmo ponto.
9 / 75
Erros
Zeros de Func¸o˜es
Me´todos de confinamento
Me´todos abertos
10 / 75
Fundamentos
Equac¸o˜es precisam ser resolvidas em todas as a´reas da cieˆncia e
engenharia.
11 / 75
Fundamentos
Tipos de equac¸o˜es:
I Alge´bricas: Quando aplica-se a varia´vel apenas as operac¸o˜es
fundamentais de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o e
potenciac¸a˜o inteira;
I Transcendentes: Uma func¸a˜o de uma varia´vel e´ transcendente
se ela e´ algebricamente independente desta varia´vel.
12 / 75
Fundamentos
Tipos de equac¸o˜es:
I Alge´bricas: Quando aplica-se a varia´vel apenas as operac¸o˜es
fundamentais de adic¸a˜o, subtrac¸a˜o, multiplicac¸a˜o, divisa˜o e
potenciac¸a˜o inteira;
I Transcendentes: Uma func¸a˜o de uma varia´vel e´ transcendente
se ela e´ algebricamente independente desta varia´vel.
12 / 75
Fundamentos
Uma equac¸a˜o de uma u´nica varia´vel pode ser escrita na forma:
f (x) = 0
A soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o (raiz) e´ um valor nume´rico de x que
satisfaz a` equac¸a˜o.
13 / 75
Representac¸a˜o gra´fica
−10 −5 0 5 10
−20
0
20
40
60
80
100
Raiz: [0,5]
14 / 75
Representac¸a˜o gra´fica
0 5 10 15 20
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Raiz: [0,5]
15 / 75
Representac¸a˜o gra´fica
−10 −5 0 5 10
0
20
40
60
80
100
120
Nao possui raiz real
16 / 75
Fundamentos
I Quando a equac¸a˜o e´ simples, o valor de x pode ser
determinado analiticamente;
I Operac¸o˜es matema´ticas conhecidas levam a` soluc¸a˜o;
I Quando a equac¸a˜o na˜o e´ simples, sa˜o necessa´rias formas
alternativas para a busca de uma soluc¸a˜o;
I Inicia-se a partir de uma soluc¸a˜o aproximada (gra´fico) e um
procedimento nume´rico torna a soluc¸a˜o mais precisa.
17 / 75
Fundamentos
I Quando a equac¸a˜o e´ simples, o valor de x pode ser
determinado analiticamente;
I Operac¸o˜es matema´ticas conhecidas levam a` soluc¸a˜o;
I Quando a equac¸a˜o na˜o e´ simples, sa˜o necessa´rias formas
alternativas para a busca de uma soluc¸a˜o;
I Inicia-se a partir de uma soluc¸a˜o aproximada (gra´fico) e um
procedimento nume´rico torna a soluc¸a˜o mais precisa.
17 / 75
Fundamentos
I Quando a equac¸a˜o e´ simples, o valor de x pode ser
determinado analiticamente;
I Operac¸o˜es matema´ticas conhecidas levam a` soluc¸a˜o;
I Quando a equac¸a˜o na˜o e´ simples, sa˜o necessa´rias formas
alternativas para a busca de uma soluc¸a˜o;
I Inicia-se a partir de uma soluc¸a˜o aproximada (gra´fico) e um
procedimento nume´rico torna a soluc¸a˜o mais precisa.
17 / 75
Fundamentos
I Quando a equac¸a˜o e´ simples, o valor de x pode ser
determinado analiticamente;
I Operac¸o˜es matema´ticas conhecidas levam a` soluc¸a˜o;
I Quando a equac¸a˜o na˜o e´ simples, sa˜o necessa´rias formas
alternativas para a busca de uma soluc¸a˜o;
I Inicia-se a partir de uma soluc¸a˜o aproximada (gra´fico) e um
procedimento nume´rico torna a soluc¸a˜o mais precisa.
17 / 75
Fundamentos
Me´todos nume´ricos para resolver equac¸o˜es:
I Me´todos de confinamento;
I Me´todos abertos.
18 / 75
Fundamentos
Me´todos nume´ricos para resolver equac¸o˜es:
I Me´todos de confinamento;
I Me´todos abertos.
18 / 75
Fundamentos
I Me´todos de confinamento (intervalares): Isolamos uma
raiz em um intervalo. Diminui-se o intervalo repetidamente.
I Me´todos abertos: Estima-se uma soluc¸a˜o. Repetidamente
realizam-se operac¸o˜es chegando mais pro´ximo a` soluc¸a˜o.
19 / 75
Fundamentos
I Me´todos de confinamento: Sempre convergem!
I Me´todos abertos: Nem sempre convergem para uma
soluc¸a˜o!
20 / 75
Fundamentos
I Me´todos de confinamento: Bissec¸a˜o e regula falsi (falsa
posic¸a˜o).
I Me´todos abertos: Ponto fixo, Newton-raphson e Secante.
21 / 75
Fases na determinac¸a˜o de ra´ızes
I Isolamento das ra´ızes: Determinar intervalos que
contenham, cada um, uma u´nica raiz;
I Refinamento: Utilizac¸a˜o de me´todos nume´ricos, com
precisa˜o pre´-fixada, para calcular cada uma das ra´ızes.
22 / 75
Fases na determinac¸a˜o de ra´ızes
I Isolamento das ra´ızes: Determinar intervalos que
contenham, cada um, uma u´nica raiz;
I Refinamento: Utilizac¸a˜o de me´todos nume´ricos, com
precisa˜o pre´-fixada, para calcular cada uma das ra´ızes.
22 / 75
Isolamento das ra´ızes
Teorema
Cauchy-Bolzano: Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo
[a, b].
I Se f (a)× f (b) < 0 enta˜o a equac¸a˜o f (x) = 0 tem um nu´mero
ı´mpar de ra´ızes no intervalo (a,b). Se f ′(x) preservar o sinal
em (a, b) enta˜o, neste intervalo, ha´ uma u´nica raiz.
Como isolar as ra´ızes ?
I Me´todo gra´fico;
I Tabela de pontos.
23 / 75
Isolamento das ra´ızes
Teorema
Cauchy-Bolzano: Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo
[a, b].
I Se f (a)× f (b) < 0 enta˜o a equac¸a˜o f (x) = 0 tem umnu´mero
ı´mpar de ra´ızes no intervalo (a,b). Se f ′(x) preservar o sinal
em (a, b) enta˜o, neste intervalo, ha´ uma u´nica raiz.
Como isolar as ra´ızes ?
I Me´todo gra´fico;
I Tabela de pontos.
23 / 75
Isolamento das ra´ızes
Teorema
Cauchy-Bolzano: Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo
[a, b].
I Se f (a)× f (b) < 0 enta˜o a equac¸a˜o f (x) = 0 tem um nu´mero
ı´mpar de ra´ızes no intervalo (a,b). Se f ′(x) preservar o sinal
em (a, b) enta˜o, neste intervalo, ha´ uma u´nica raiz.
Como isolar as ra´ızes ?
I Me´todo gra´fico;
I Tabela de pontos.
23 / 75
Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico
f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 10
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Raiz: [2,3]Raiz: [-2,-1]
Ra´ızes: n ra´ız(es) (com n ı´mpar) no intervalo [−2.5,−1] e m(com
m ı´mpar) ra´ız(es) no intervalo [2.5, 3].
24 / 75
Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico
f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 10
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
−15
−10
−5
0
5
10
15
20
Raiz: [2,3]Raiz: [-2,-1]
Ra´ızes: n ra´ız(es) (com n ı´mpar) no intervalo [−2.5,−1] e m(com
m ı´mpar) ra´ız(es) no intervalo [2.5, 3].
24 / 75
Tabela de pontos
f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 10
x -3 -2.2222 -1.4444 -0.6667 0.1111 0.8889 1.6667 2.4444 3.2222 4
y 248 89.9969 16.1625 -8.3209 -9.4882 -4.5910 -2.0988 -1.6976 5.7088 38
Ra´ızes: n raiz(es) (com n ı´mpar) no intervalo [−1.4444,−0.6667]
e m(com m ı´mpar) raiz(es) no intervalo [2.4444, 3.2222].
25 / 75
Tabela de pontos
f (x) = x4 − 5x3 + 6x2 + 4x − 10
x -3 -2.2222 -1.4444 -0.6667 0.1111 0.8889 1.6667 2.4444 3.2222 4
y 248 89.9969 16.1625 -8.3209 -9.4882 -4.5910 -2.0988 -1.6976 5.7088 38
Ra´ızes: n raiz(es) (com n ı´mpar) no intervalo [−1.4444,−0.6667]
e m(com m ı´mpar) raiz(es) no intervalo [2.4444, 3.2222].
25 / 75
Zeros de Func¸o˜es
Me´todos de confinamento
Me´todo da bissec¸a˜o
Me´todo regula falsi
Exerc´ıcios
Resumo
Me´todos abertos
26 / 75
Me´todo da Bissec¸a˜o
I Utilizado quando se sabe que, dentro de um determinado
intervalo [a, b], f (x) e´ cont´ınua e possui uma soluc¸a˜o;
I Quando esse e´ o caso, f (x) tem sinais opostos nos pontos
finais do intervalo.
Definic¸a˜o
Se f (x) e´ cont´ınua e tem uma soluc¸a˜o entre os pontos x = a e
x = b, enta˜o ou f (a) > 0 e f (b) < 0 ou f (a) < 0 e f (b) > 0.
27 / 75
Algoritmo
1. Escolha o primeiro intervalo encontrando os pontos a e b
entre os quais existe uma soluc¸a˜o;
2. Calcule a primeira estimativa nume´rica c = (a+b)2
3. Determine se a soluc¸a˜o exata esta´ no intervalo [a, c] ou [c, b].
Verifique testando f (a)× f (c) e f (c)× f (b).
4. Selecione o novo subintervalo que conte´m a soluc¸a˜o exata
([a, c] ou [c , b]) como novo intervalo [a, b]. Volte para o
passo 2.
Os passos 2 a 4 sa˜o repetidos ate´ que um determinado limite de
erro seja atingido. Enquanto a diferenc¸a (em valor absoluto) entre
duas soluc¸o˜es consecutivas permanec¸a maior que um determinado
erro, calcular a pro´xima estimativa.
28 / 75
Crite´rios de Parada
Dizemos que xk , onde k representa a iterac¸a˜o, e´ uma “boa”
aproximac¸a˜o para a raiz ξ de uma equac¸a˜o f (x) = 0 se os crite´rios
abaixo forem satisfeitos:
I |f (xk)| < �
I |xk − ξ| < �
I |xk − xk−1| < �
29 / 75
Estimativa do nu´mero de iterac¸o˜es
Seja f (x) = 0 em algum ponto no intervalo [a, b]e � o erro
tolerado para a soluc¸a˜o aproximada, enta˜o k representa o nu´mero
m´ınimo aproximado de iterac¸o˜es:
k >
ln(b−a� )
ln(2)
30 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000
(-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500
(-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000,3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750
(-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625
(-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688
(-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156
(-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980|= 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922
(-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039
(-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980
(-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).31 / 75
Exerc´ıcio
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4, utilize o me´todo da bissec¸a˜o para
encontrar uma raiz no intervalo [0, 3] com � = 0.01. Considere 4
casas decimais para todas as contas. Calcule o erro absoluto e
relativo. (soluc¸a˜o exata (2))
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 3.0000 1.5000 (-)[-4.0000] (+)[5.0000] (-)[-1.7500] —
2 1.5000 3.0000 2.2500 (-)[-1.7500] (+)[5.0000] (+)[1.0625] 0.7500
3 1.5000 2.2500 1.8750 (-)[-1.7500] (+)[1.0625] (-)[-0.4844] 0.3750
4 1.8750 2.2500 2.0625 (-)[-0.4844] (+)[1.0625] (+)[0.2539] 0.1875
5 1.8750 2.0625 1.9688 (-)[-0.4844] (+)[0.2539] (-)[-0.1240] 0.0938
6 1.9688 2.0625 2.0156 (-)[-0.1240] (+)[0.2539] (+)[0.0627] 0.0469
7 1.9688 2.0156 1.9922 (-)[-0.1240] (+)[0.0627] (-)[-0.0312] 0.0234
8 1.9922 2.0156 2.0039 (-)[-0.0312] (+)[0.0627] (+)[0.0156] 0.0117
9 1.9922 2.0039 1.9980 (-)[-0.0312] (+)[0.0156] (-)[-0.0078] 0.0059
Resultado
A raiz aproximada de x2 − 4 no intervalo [0.0000, 3.0000] com erro
10−2 e´: ∼= 1.9980. O Erro absoluto e´
|2− 1.9980| = 0.002(2× 10−3) e o erro relativo e´
|2−1.9980|
1.9980
∼= 0.0010(10−3).
31 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.39270.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = sen(x)− e−x , utilize o me´todo da bissec¸a˜o
para encontrar uma raiz no intervalo [0, pi2 ] com � = 10
−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.5708 0.7854 (-)[-1.0000] (+)[0.7921] (+)[0.2512] —
2 0.0000 0.7854 0.3927 (-)[-1.0000] (+)[0.2512] (-)[-0.2925] 0.3927
3 0.3927 0.7854 0.5890 (-)[-0.2925] (+)[0.2512] (+)[0.0007] 0.1963
4 0.3927 0.5890 0.4909 (-)[-0.2925] (+)[0.0007] (-)[-0.1407] 0.0982
5 0.4909 0.5890 0.5400 (-)[-0.1407] (+)[0.0007] (-)[-0.0687] 0.0491
6 0.5400 0.5890 0.5645 (-)[-0.0687] (+)[0.0007] (-)[-0.0336] 0.0245
7 0.5645 0.5890 0.5768 (-)[-0.0336] (+)[0.0007] (-)[-0.0164] 0.0123
8 0.5768 0.5890 0.5829 (-)[-0.0164] (+)[0.0007] (-)[-0.0078] 0.0061
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = sen(x)− e−x no intervalo
[0.0000, 1.5708] com erro 10−2 e´: 0.5829
32 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x),utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 3
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1.8] com
� = 10−2. Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 0.0000 1.8000 0.9000 (+)[1.0000] (-)[-4.1872] (-)[-2.1684] —
2 0.0000 0.9000 0.4500 (+)[1.0000] (-)[-2.1684] (-)[-0.6971] 0.4500
3 0.0000 0.4500 0.2250 (+)[1.0000] (-)[-0.6971] (+)[0.1254] 0.2250
4 0.2250 0.4500 0.3375 (+)[0.1254] (-)[-0.6971] (-)[-0.2925] 0.1125
5 0.2250 0.3375 0.2812 (+)[0.1254] (-)[-0.2925] (-)[-0.0852] 0.0563
6 0.2250 0.2812 0.2531 (+)[0.1254] (-)[-0.0852] (+)[0.0197] 0.0281
7 0.2531 0.2812 0.2672 (+)[0.0197] (-)[-0.0852] (-)[-0.0328] 0.0141
8 0.2531 0.2672 0.2602 (+)[0.0197] (-)[-0.0328] (-)[-0.0066] 0.0070
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.8000] com erro 10−2 e´: 0.2602
33 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386](+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Exerc´ıcio 4
Para a func¸a˜o f (x) = x2 − 4x + cos(x), utilize o me´todo da
bissec¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [3, 5] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b a+b
2
f (a) f (b) f ( a+b
2
) �
1 3.0000 5.0000 4.0000 (-)[-3.9900] (+)[5.2837] (-)[-0.6536] —
2 4.0000 5.0000 4.5000 (-)[-0.6536] (+)[5.2837] (+)[2.0392] 0.5000
3 4.0000 4.5000 4.2500 (-)[-0.6536] (+)[2.0392] (+)[0.6164] 0.2500
4 4.0000 4.2500 4.1250 (-)[-0.6536] (+)[0.6164] (-)[-0.0386] 0.1250
5 4.1250 4.2500 4.1875 (-)[-0.0386] (+)[0.6164] (+)[0.2840] 0.0625
6 4.1250 4.1875 4.1562 (-)[-0.0386] (+)[0.2840] (+)[0.1215] 0.0312
7 4.1250 4.1562 4.1406 (-)[-0.0386] (+)[0.1215] (+)[0.0412] 0.0156
8 4.1250 4.1406 4.1328 (-)[-0.0386] (+)[0.0412] (+)[0.0012] 0.0078
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x2 − 4x + cos(x) no intervalo
[3.0000, 5.0000] com erro 10−2 e´: 4.1328
34 / 75
Relembrando...
Algoritmo 1: Me´todo da bissec¸a˜o.
Entrada: a, b, �
Sa´ıda: Raiz ξ ∈ [a, b]
enquanto |a− b| > � fac¸a
c = (a + b)/2;
se f (a)× f (c) < 0 enta˜o
b = c ;
fim
se f (b)× f (c) < 0 enta˜o
a = c;
fim
fim
Mostre c ;
35 / 75
Me´todo da falsa posic¸a˜o
Seja f (x) uma func¸a˜o cont´ınua em um intervalo [a, b] tal que
f (a)× f (b) < 0. A ideia do me´todo e´ a de tomar como
aproximac¸a˜o x para a raiz ξ no intervalo [a, b] a me´dia ponderada
entre os extremos a e b com pesos |f (a)| e |f (b)|,
respectivamente. Isto e´:
c =
b × f (a)− a× f (b)
f (a)− f (b)
c = b − f (b)× (a− b)
f (a)− f (b)
36 / 75
Algoritmo
Algoritmo 2: Me´todo da falsa posic¸a˜o.
Entrada: a, b, �
Sa´ıda: Raiz ξ ∈ [a, b]
enquanto |b − a| > � fac¸a
c = b − f (b)× (a− b)
f (a)− f (b)
se f (a)× f (c) < 0 enta˜o
b = c ;
fim
se f (b)× f (c) < 0 enta˜o
a = c;
fim
fim
Mostre c ;
37 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 1
Para a func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x), utilize o me´todo da falsa
posic¸a˜o para encontrar uma raiz no intervalo [0, 1] com � = 10−2.
Considere 4 casas decimais para todas as contas.
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.0000 1.0000 0.4066 (-)[-1.0000] (+)[1.4597] (-)[-0.1054] —
2 0.4066 1.0000 0.4465 (-)[-0.1054] (+)[1.4597] (-)[-0.0089] 0.0400
3 0.4465 1.0000 0.4499 (-)[-0.0089] (+)[1.4597] (-)[-0.0007] 0.0034
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo
[0.0000, 1.0000] com erro 10−2 e´: 0.4499
38 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = x + ln(x), utilize o me´todo da falsa posic¸a˜o
para encontrar uma raiz no com � = 10−2. Considere 4 casas
decimais para todas as contas. Utilize o me´todo gra´fico para isolar
uma raiz.
0 2 4 6 8 10
−5
0
5
10
15
20
25
Raiz: ]0,2]
f(x)=x+log(x)
39 / 75
Exerc´ıcio 2
Para a func¸a˜o f (x) = x + ln(x), utilize o me´todo da falsa posic¸a˜o
para encontrar uma raiz no com � = 10−2. Considere 4 casas
decimais para todas as contas. Utilize o me´todo gra´fico para isolar
uma raiz.
0 2 4 6 8 10
−5
0
5
10
15
20
25
Raiz: ]0,2]
f(x)=x+log(x)
39 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245]0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
Exerc´ıcio 2
i a b c f (a) f (b) f (xk ) �
1 0.1000 2.0000 0.9548 (-)[-2.2026] (+)[2.6931] (+)[0.9086] —
2 0.1000 0.9548 0.7052 (-)[-2.2026] (+)[0.9086] (+)[0.3559] 0.2496
3 0.1000 0.7052 0.6210 (-)[-2.2026] (+)[0.3559] (+)[0.1446] 0.0842
4 0.1000 0.6210 0.5889 (-)[-2.2026] (+)[0.1446] (+)[0.0594] 0.0321
5 0.1000 0.5889 0.5761 (-)[-2.2026] (+)[0.0594] (+)[0.0245] 0.0128
6 0.1000 0.5761 0.5708 (-)[-2.2026] (+)[0.0245] (+)[0.0101] 0.0052
Resultado
A raiz aproximada de f (x) = x + ln(x) no intervalo
[0.1000, 2.0000] com erro 0.0100 e´: 0.5708
40 / 75
O que aprendemos ate´ agora ?
I Zero de func¸o˜es;
I Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico e tabela. Teorema de
Bolzano. Multiplicidade de ra´ızes;
I Polinoˆmios: Limite superior e inferior de ra´ızes reais.
Enumerac¸a˜o de ra´ızes reais (Descartes);
I Refinamento de ra´ızes: Me´todo da bissec¸a˜o. Me´todo regula
falsi;
41 / 75
O que aprendemos ate´ agora ?
I Zero de func¸o˜es;
I Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico e tabela. Teorema de
Bolzano. Multiplicidade de ra´ızes;
I Polinoˆmios: Limite superior e inferior de ra´ızes reais.
Enumerac¸a˜o de ra´ızes reais (Descartes);
I Refinamento de ra´ızes: Me´todo da bissec¸a˜o. Me´todo regula
falsi;
41 / 75
O que aprendemos ate´ agora ?
I Zero de func¸o˜es;
I Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico e tabela. Teorema de
Bolzano. Multiplicidade de ra´ızes;
I Polinoˆmios: Limite superior e inferior de ra´ızes reais.
Enumerac¸a˜o de ra´ızes reais (Descartes);
I Refinamento de ra´ızes: Me´todo da bissec¸a˜o. Me´todo regula
falsi;
41 / 75
O que aprendemos ate´ agora ?
I Zero de func¸o˜es;
I Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico e tabela. Teorema de
Bolzano. Multiplicidade de ra´ızes;
I Polinoˆmios: Limite superior e inferior de ra´ızes reais.
Enumerac¸a˜o de ra´ızes reais (Descartes);
I Refinamento de ra´ızes: Me´todo da bissec¸a˜o. Me´todo regula
falsi;
41 / 75
O que aprendemos ate´ agora ?
I Zero de func¸o˜es;
I Isolamento de ra´ızes: Me´todo gra´fico e tabela. Teorema de
Bolzano. Multiplicidade de ra´ızes;
I Polinoˆmios: Limite superior e inferior de ra´ızes reais.
Enumerac¸a˜o de ra´ızes reais (Descartes);
I Refinamento de ra´ızes: Me´todo da bissec¸a˜o. Me´todo regula
falsi;
41 / 75
Exercicios
A a´rea S da superf´ıcie lateral de um cone e´ dada por:
S = pir
√
r2 + h2
Onde r e´ o raio da base e h a altura. Determine o raio de um cone
que tenha uma a´rea superficial de 1200m2 e uma altura de 20m,
calculando 5 iterac¸o˜es com o me´todo regula falsi ou da bissec¸a˜o.
Isole a raiz sabendo que a mesma esta´ pro´xima de 17.
42 / 75
Exercicios
A localizac¸a˜o a do centroide de um setor circular e´ dada por:
a =
2rsen(θ)
3θ
Determinar o aˆngulo θ para o qual a = r2 . Primeiramente deduza a
equac¸a˜o a ser resolvida utilizando os s´ımbolos x e f (x) e enta˜o
determine a raiz utilizando os me´todos da bissec¸a˜o e regula falsi.
Considere o intervalo [1, 2] e realize um ma´ximo de 7 iterac¸o˜es.
Calcule o nu´mero esperado de iterac¸o˜es para um � < 0.001.
43 / 75
Exercicios
Mostre que a raiz de f (x) = 2x − cos(x) no intervalo [0, 1] possui
multiplicidade u´nica e e´ u´nica no intervalo. f ′(x) = sen(x) + 2.
44 / 75
Exercicios
Seja f (x) = (x + 2)× (x + 1)2 × x × (x − 1)3 × (x − 2). Para qual
zero de f (x) o me´todo da bissec¸a˜o converge quando aplicado aos
intervalos a seguir:
I [−1.5, 2.5]
I [−0.5, 2.4]
I [−0.5, 3]
I [−3,−0.5]
I [−8,−5.5]
I [−3, 2.5]
I [−2.5, 3]
I [−1.75, 1.5]
I [−1.5, 1.75]
45 / 75
Exercicios
Seja f (x) = x3 − 6x2 − x + 30. Calcule a quantidade de ra´ızes
reais positivas e negativas usando a regra de descartes.
Posteriormente calcule os limites superiores e inferiores das ra´ızes
positivas e negativas respectivamente. Compare os resultados com
as ra´ızes exatas: 5,3,-2.
46 / 75
Exercicios
Fac¸a o mesmo da questa˜o anterior para
f (x) = x4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 20.
47 / 75
Revisando...
Teorema do valor me´dio (Cauchy-Bolzano)
Se f (a)× f (b) < 0, para f (x) continua em [a, b] enta˜o existe pelo
menos uma raiz ξ ∈ [a, b] : f (ξ) = 0.
Ale´m disso
Se f ′(x) preservar o sinal em [a, b] neste intervalo, enta˜o ξ e´ u´nica.
48 / 75
Revisando...
Limite superior das ra´ızes positivas (se existir(em))
Lsup = 1 +
n−k
√
B
an
Onde n e´ o grau do polinoˆmio, k o grau do primeiro coeficiente
negativo, e B o mo´dulo do menor coeficiente negativo.
49 / 75
Revisando...
Limite inferior das ra´ızes negativas (se existir(em))
Linf = (1 +
n−k
√
B
an
)× (−1)
Utiliza-se a func¸a˜o auxiliar f (−x) e calcula-se L conforme mostrado
acima. Onde n e´ o grau do polinoˆmio, k o grau do primeiro
coeficiente negativo, e B o mo´dulo do menor coeficiente negativo.50 / 75
Revisando...
Regra dos sinais de Descartes
O nu´mero de ra´ızes positivas de uma equac¸a˜o alge´brica e´ igual ao
nu´mero de variac¸o˜es de sinal na sequeˆncia dos coeficientes ou e´
menor que esse nu´mero por um inteiro par. Para as ra´ızes
negativas toma-se f (−x) utiliza-se a mesma forma para ca´lculo
das ra´ızes positivas.
51 / 75
Zeros de Func¸o˜es
Me´todos de confinamento
Me´todos abertos
Me´todo de Newton-Raphson
Me´todo da Secante
Me´todo do Ponto Fixo
Exemplos
52 / 75
Me´todos Abertos
Funcionamento geral
Utilizam-se de estrate´gias para encontrar zeros de func¸o˜es que na˜o
dependam de uma delimitac¸a˜o do local onde se encontra a raiz.
Conhecimento pre´vio
Os me´todos abertos na˜o necessitam de um conhecimento pre´vio da
localizac¸a˜o da raiz, o que permite a construc¸a˜o de algoritmos que
exijam apenas um u´nico valor inicial de x para convergir a`
resposta. Pore´m a delimitac¸a˜o do intervalo onde encontra-se a raiz
faz o me´todo convergir mais rapidamente para a soluc¸a˜o.
53 / 75
Me´todos Abertos
Funcionamento geral
Utilizam-se de estrate´gias para encontrar zeros de func¸o˜es que na˜o
dependam de uma delimitac¸a˜o do local onde se encontra a raiz.
Conhecimento pre´vio
Os me´todos abertos na˜o necessitam de um conhecimento pre´vio da
localizac¸a˜o da raiz, o que permite a construc¸a˜o de algoritmos que
exijam apenas um u´nico valor inicial de x para convergir a`
resposta. Pore´m a delimitac¸a˜o do intervalo onde encontra-se a raiz
faz o me´todo convergir mais rapidamente para a soluc¸a˜o.
53 / 75
Me´todo de Newton-Raphson
Entrada
Uma estimativa inicial x0.
x1 = x0 − f (x0)
f ′(x0)
xi = xi−1 − f (xi−1)
f ′(xi−1)
Com i > 0.
54 / 75
Me´todo de Newton-Raphson
Entrada
Uma estimativa inicial x0.
x1 = x0 − f (x0)
f ′(x0)
xi = xi−1 − f (xi−1)
f ′(xi−1)
Com i > 0.
54 / 75
Me´todo de Newton-Raphson
Entrada
Uma estimativa inicial x0.
x1 = x0 − f (x0)
f ′(x0)
xi = xi−1 − f (xi−1)
f ′(xi−1)
Com i > 0.
54 / 75
Algoritmo
Algoritmo 3: Me´todo de newton-raphson.
Entrada: x0, �
Sa´ıda: Raiz ξ
xproximo = x0 − f (x0)f ′(x0) ;
enquanto |xanterior − xproximo | > � fac¸a
xanterior = xproximo ;
xproximo = xanterior − f (xanterior )f ′(xanterior ) ;
fim
Mostre xproximo ;
55 / 75
Convergeˆncia do me´todo
Teorema
Se f (a)× f (b) < 0 e f ′(x) e f ′′(x) forem na˜o nulas e
preservarem o sinal em [a, b], enta˜o partindo-se de uma
aproximac¸a˜o inicial x0 ∈ [a, b] tal que f (x0)× f ′′(x0) > 0 e´
poss´ıvel gerar, pelo me´todo de newton, uma sequeˆncia de
aproximac¸o˜es xk que convirja para a raiz ξ de f (x) = 0.
56 / 75
Exemplo
Determinar qual seria uma boa estimativa inicial para utilizar no
me´todo de newton com o objetivo de se encontrar a raiz da func¸a˜o
f (x) = 2x − cos(x) no intervalo [0, 1].
f ′(x) = 2 + sen(x)⇒ f ′(x) > 0∀x ∈ [0, 1]
f ′′(x) = cos(x)⇒ f ′′(x) > 0∀x ∈ [0, 1]
Soluc¸a˜o
Sendo f (0) = −1, f (1) = 1.46 e f ′′(x) > 0 enta˜o podemos tomar
como aproximac¸a˜o inicial x0 = 1, pois f (1)× f ′′(1) > 0.
57 / 75
Principal desvantagem
I Exige o ca´lculo e ana´lise do sinal de f ′ e f ′′
I Para contornar o problema, e´ comum calcular o valor da
func¸a˜o e derivada segunda nos extremos [a, b], considerando
como x0 o extremo que satisfazer o condic¸a˜o f (x0)f
′′(x0) > 0.
Para isso e´ importante que o intervalo [a, b] seja
suficientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade
de variac¸a˜o de sinal de f ′ e f ′′.
58 / 75
Principal desvantagem
I Exige o ca´lculo e ana´lise do sinal de f ′ e f ′′
I Para contornar o problema, e´ comum calcular o valor da
func¸a˜o e derivada segunda nos extremos [a, b], considerando
como x0 o extremo que satisfazer o condic¸a˜o f (x0)f
′′(x0) > 0.
Para isso e´ importante que o intervalo [a, b] seja
suficientemente pequeno, de forma a minimizar a possibilidade
de variac¸a˜o de sinal de f ′ e f ′′.
58 / 75
Me´todo da Secante
Entrada
Dois pontos na vizinhanc¸a da soluc¸a˜o: x0, x1.
xi+1 = xi − f (xi )(xi−1 − xi )
f (xi−1)− f (xi )
59 / 75
Algoritmo
Algoritmo 4: Me´todo da secante.
Entrada: x0, x1�
Sa´ıda: Raiz ξ
xproximo = x1 − f (x1)(x0−x1)f (x0)−f (x1) ;
enquanto |x1 − xproximo | > � fac¸a
x0 = x1;
x1 = xproximo ;
xproximo = x1 − f (x1)(x0−x1)f (x0)−f (x1) ;
fim
Mostre xproximo ;
60 / 75
Ponto fixo
61 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 1:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
de newton com estimativa inicial de x0 = 1.
i x0 f (x0) f
′(x0) x1 �
1 1.0000 1.4597 2.8415 0.4863 0.5137
2 0.4863 0.0885 2.4673 0.4504 0.0359
3 0.4504 0.0006 2.4353 0.4502 0.0002
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de (2x − cos(x)) com estimativa inicial 1.0000 e
erro 10−2 e´: 0.4502
62 / 75
Exemplo 2:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
da secante com estimativa inicial de x0 = 1 e x1 = 2.
i x0 f (x0) x1 f (x1) x2 �
1 1.0000 1.4597 2.0000 4.4161 0.5063 1.4937
2 2.0000 4.4161 0.5063 0.1380 0.4581 0.0482
3 0.5063 0.1380 0.4581 0.0193 0.4503 0.0078
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de 2x − cos(x) com estimativa inicial 1.0000 e
2.0000 e erro 0.0100 e´: 0.4503
63 / 75
Exemplo 2:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
da secante com estimativa inicial de x0 = 1 e x1 = 2.
i x0 f (x0) x1 f (x1) x2 �
1 1.0000 1.4597 2.0000 4.4161 0.5063 1.4937
2 2.0000 4.4161 0.5063 0.1380 0.4581 0.0482
3 0.5063 0.1380 0.4581 0.0193 0.4503 0.0078
Soluc¸a˜o
A raiz aproximada de 2x − cos(x) com estimativa inicial 1.0000 e
2.0000 e erro 0.0100 e´: 0.4503
63 / 75
Exemplo 2:
Calcular a raiz da func¸a˜o f (x) = 2x − cos(x) atrave´s do me´todo
da secante com estimativa inicial de x0 = 1 e x1 = 2.
i x0 f (x0) x1 f (x1) x2 �
1 1.0000 1.4597 2.0000 4.4161 0.5063