MODELAGEM E ANÁLISE DE SISTEMAS DINÂMICOS (234)

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Prof. Von Zuben (DCA/FEEC/Unicamp) 
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EA721 – 1o semestre de 2006 
Lista de Exercícios Preparatórios para a Prova 2 (com gabarito) 
Tema: Projeto de Compensadores via Lugar das Raízes e 
Resposta em Freqüência 
Questão 1) Descreva as etapas principais do procedimento iterativo para projeto de 
compensadores. 
Resposta: Parágrafo 10, itens de 1 a 4, Notas de Aula, pgs. 119 e 120. 
 
Questão 2) Descreva as etapas principais do projeto de compensadores via lugar das raízes. 
Resposta: Parágrafo 2, itens de 1 a 8, Notas de Aula, pgs. 122 a 124. 
 
Questão 3) Por que os conceitos de margem de ganho (GM) e margem de fase (PM) são tão 
relevantes em controle de processos? Defina freqüência de cruzamento de ganho ( gcω ) e 
freqüência de cruzamento de fase ( pcω ). 
Resposta: Devido às incertezas na modelagem, não é suficiente garantir que um sistema seja 
estável. O modo de quantificar a incerteza na modelagem é através do efeito dela no ganho e 
na fase do sistema dinâmico. É necessário garantir a existência de uma margem de 
estabilidade, ou seja, uma tolerância para variação no ganho e na fase. Na prática, sistemas 
com margem de estabilidade muito pequena são, freqüentemente, instáveis. Um sistema 
dinâmico pode se tornar instável se o ganho exceder certos limites ou se ocorrer atraso de fase 
acima de certo limite. Suponha que um sistema é estável para K < Kmax, então a margem de 
ganho GM é definida na forma: 
dBlog20 max 

=
K
KGM 
Em alguns casos, o sistema dinâmico é instável em malha aberta e torna-se estável em malha 
fechada. Sendo assim, a condição de estabilidade fica K > Kmin, e é possível definir uma 
margem de redução de ganho GRM na forma: 
dBlog20 min 

=
K
KGRM 
Para estabilidade, GM deve ser positiva e GRM deve ser negativa. 
A freqüência de cruzamento de fase ( pcω ) é aquela utilizada para se obter a margem de 
ganho, e corresponde à freqüência em que a fase atinge −180o. 
A freqüência de cruzamento de ganho ( gcω ) é aquela utilizada para se obter a margem de 
fase, e corresponde à freqüência em que o ganho atinge a unidade. 
 
As duas figuras a seguir indicam como obter a margem de ganho e a margem de fase a partir 
dos diagramas de Bode e de Nyquist. As figuras ilustram o caso de um sistema estável. Fica 
claro também que, além de GM, PM deve ser positiva para se ter estabilidade. 
 
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Questão 4) Compare os compensadores em série com aqueles no caminho da realimentação. 
Resposta: O compensador em série é colocado em cascata com a planta. Em ambas as 
configurações para compensadores, em série ou no caminho da realimentação, os pólos de 
malha fechada são idênticos, embora os zeros sejam distintos. Logo, os erros de estado 
estacionário são diferentes, mas as propriedades de estabilidade são similares. Como a 
realimentação reduz o efeito da variação de parâmetros nos elementos que se encontram no 
caminho direto, então a compensação em série tende a apresentar melhores propriedades de 
rejeição a distúrbios. A configuração em série também facilita a sintonia das constantes de 
erro em estado estacionário. São essas as principais motivações que fazem com que a 
compensação em série seja mais popular. 
Questão 5) Comente sobre outros filtros que são posicionados fora da malha de 
realimentação. 
Resposta: Visando atenuar faixas de freqüência específicas, filtros Notch são geralmente 
adotados. 
Questão 6) Quando usar compensação lead e quando usar compensação lag? 
Resposta: A forma mais simples e mais comum de compensação é um filtro com um ganho, 
um zero e um pólo, produzindo a seguinte função de transferência: 
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bs
asKsG cc +
+=)( . 
Se o zero ocorre mais próximo da origem que o pólo, ou seja, se 0 < a < b, tem-se um 
compensador lead ou avanço. Se o pólo ocorre mais próximo da origem que o zero, ou seja, 
se 0 < b < a, tem-se um compensador lag ou atraso. A contribuição máxima de fase, em 
ambos os casos, vai ocorrer para ab=ω . 
Vale salientar que os procedimentos de projeto de compensadores lead e lag consideram que 
a planta pode ser adequadamente descrita por um par de pólos dominantes. 
Para saber qual compensador empregar em cada caso, é necessário recorrer às especificações 
do sistema não-compensado e aos requisitos de desempenho. 
Por exemplo, se o único requisito de controle for estabilizar o sistema em malha fechada, 
então tem-se que: 
• se o sistema em malha aberta for estável, qualquer um dos compensadores pode 
geralmente ser empregado; 
• se o sistema em malha aberta for instável, um compensador lead deve ser empregado. 
Contudo, com requisitos de desempenho mais elaborados, a escolha vai recair sobre apenas 
um dos dois tipos de compensadores, ou então sobre os dois operando simultaneamente. 
Um exemplo muito claro se dá quando uma certa freqüência de cruzamento de ganho ( gcω ) é 
desejada. Neste caso, um exame direto do diagrama de Bode vai determinar o tipo de 
compensador. Se o valor desejado de gcω for maior que o da planta, então um compensador 
lead é indicado. Se o valor desejado de gcω for menor que o da planta, então um 
compensador lag é indicado. Aumentar gcω implica em reduzir o tempo de acomodação do 
sistema em malha fechada, embora produza também um aumento na faixa de passagem do 
sistema. Faixas de passagem maiores reduzem a atenuação de ruídos e podem levar à 
instabilidade sistemas com atraso de transporte. 
Basicamente, o compensador lead cuida da resposta transitória, enquanto que o compensador 
lag cuida da resposta em regime. Por sua vez, o compensador lead-lag estabelece um 
compromisso entre ambas. A figura a seguir procura ilustrar este papel de cada compensador 
em termos da resposta ao degrau unitário e à rampa unitária de uma sistema dinâmico sub-
amortecido. 
 
 
 
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Questão 7) O que são sistemas fortemente estáveis? 
Resposta: São sistemas que podem ser compensados por compensadores estáveis. Há 
sistemas que requerem compensadores instáveis para se tornarem estáveis em malha fechada. 
Questão 8) O que fazer quando um sistema não pode ser adequadamente compensado por 
compensadores dinâmicos tipo lead-lag? 
Resposta: Use realimentação de estados e/ou técnicas de controle ótimo, que vão produzir 
compensadores mais complexos. 
Questão 9) Sendo o compensador lead projetado na forma: 
bs
asKsG cc +
+=)( 
com 0 < a < b, o método da abscissa (descrito nas pgs. 126 e 127 das Notas de Aula) 
minimiza a distância entre o pólo e o zero, ou seja, a distância entre a e b. Por que minimizar 
a distância entre a e b é interessante? 
Resposta: O ganho estático do compensador é dado por 
b
aKc . Como a < b, fazer com que a 
distância entre ambos seja mínima permite minimizar o ganho Kc quando se busca atender um 
determinado ganho de regime. Logo, minimizar a distância entre a e b permite minimizar o 
ganho do compensador, o que é de grande interesse prático devido às limitações de 
implementação. 
Questão 10) Existe um equacionamento geral para se obter os parâmetros de um 
compensador lead pelo método da abscissa? 
Resposta: Sim, e ele será apresentado na seqüência, tomando por base a figura a seguir. 
 
 pólo 
dominante 
sD
α 
β l 
γ θ 
 
 
Conhecendo-se o ângulo α, é possível determinar l e, com isso, obter o pólo do compensador 
lead. O mesmo pode ser feito para o zero. As relações trigonométricas envolvidas produzem: 
• { }{ }


= −
D
D
s
s
Re
Imtan 1γ • θβα −= • θβα +=z 
• 
2
γβ = • { }( )αtan
Im Dsl = • { }( )z
D
z
sl αtan
Im= 
• 
2
)(180 DsG−−=
o
θ • { } { } lsD −= RepóloRe • { } { } zD ls −= RezeroRe 
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Questão 11).Aplique atécnica de compensação via lugar das raízes para o projeto de um 
compensador lead para a planta: 
( )20030400)( 2 ++= ssssG 
atendendo as seguintes especificações de desempenho: 
• 5.0=ξ 
• 5.13=nω rad/s 
Resposta: 
(1) A partir das especificações de desempenho, obtém-se diretamente a posição desejada para 
os pólos dominantes: 69.1175.6 jsD ±−= . 
(2) Nesses pólos dominantes, a contribuição de fase do sistema é dada por: o8.235)( −=DsG . 
(3) Baseado na figura e no equacionamento da Questão 10, tem-se que: 
• oo 9.278.552 =⇒= θθ 
• o120=γ 
• o60=β 
• ooo 1.329.2760 =−=α 
• ooo 9.879.2760 =+=zα 
• 64.18
)1.32tan(
69.11 == ol 
• 43.0
)9.87tan(
69.11 == ozl 
• pólo = −25.39 
• zero = −7.18 
(4) Com o compensador na forma 
39.25
18.7)( +
+=
s
sKsG cc , o ganho Kc deve ser tal que: 
( ) 6.1312003040039.2518.7 2 =⇒=++++ cDDDDDc Kssss
sK 
(5) Assim a configuração final do compensador é dada por: 
39.25
18.76.13)( +
+=
s
ssGc 
o que leva ao seguinte comportamento para o sistema compensado (curvas em verde) quando 
comparado ao sistema não compensado (curvas em azul). 
 
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Questão 12) Quando empregar o projeto do compensador lead via Lugar das Raízes e 
quando empregar via Resposta em Freqüência? 
Resposta: O projeto via Lugar das Raízes normalmente está associado a requisitos de 
desempenho como sobresinal, tempo de subida e tempo de acomodação, ou seja, está 
associado a ξ e nω . Por outro lado, o projeto via Resposta em Freqüência (empregando o 
diagrama de Bode) normalmente está associado a requisitos de desempenho como erro de 
estado estacionário, margem de ganho e margem de fase. 
Questão 13) Aplique o Método de Ziegler-Nichols para projetar o controle PID da seguinte 
planta: 
( )20030400)( 2 ++= ssssG 
Resposta: A seguinte seqüência de comandos no MATLAB permite obter KM e Mω a partir 
do lugar das raízes do sistema não-compensado: 
 
 
 
num = 400; 
den = [1 30 200 0]; 
sys =tf(num,den); 
rlocus(sys); 
[K,polos] = rlocfind(sys); 
 
o que produz o seguinte gráfico: 
 
 
 
 
No ponto de cruzamento com o eixo imaginário, 15≅MK e 1.14≅Mω rad/s. Logo, os 
parâmetros do compensador PID ficam: 
KP = 9; KD = 0.5; KI = 40.4 
As respostas ao degrau do sistema compensado (verde) e não-compensado (azul) ficam como 
segue. 
 
 
 
Devido ao fato da resposta ao degrau apresentar um sobresinal de 60%, pode ser necessário 
realizar ajustes adicionais junto aos parâmetros KP, KD e KI do compensador. 
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Questão 14) Aplique o Método Analítico para projetar o controle PID da seguinte planta: 
( )20030400)( 2 ++= ssssG 
com base nas seguintes especificações de controle: 
• erro de estado estacionário para entrada rampa: 1.0=sse ; 
• sobresinal: %10=pM ; 
• tempo de acomodação: 2=st segundos. 
Resposta: Como a combinação 〈planta + compensador PID〉 é do Tipo 2, então obtém-se KI 
como segue: 
5
400
200*101)( 0 =⇒=== I
ss
sI Ke
sGsK . 
Para um sobresinal de 10%, o fator de amortecimento fica: 
5912.0)1.0ln(
1
1.0
2
1 2 =⇒=



−
−⇒=





−
−
ξξ
πξξ
πξ
e 
Para um tempo de acomodação de 2 segundos e com esse coeficiente de amortecimento, 
obtém-se nω como segue: 
3832.3
2*5912.0
44
%)2( ≅⇒≅⇒≅ nns
n
t ωωξω 
2287.4
2*5912.0
55
%)1( ≅⇒≅⇒≅ nns
n
t ωωξω 
Como não foi especificado se 2 segundos se refere a %)2(st ou a %)1(st , toma-se aqui um valor 
intermediário, por exemplo, 4=nω rad/s. Equacionamentos mais elaborados junto a sistemas 
de 2a. ordem com ξ e nω dados acima permitem determinar PM = 80o e 4≅MFnω rad/s. Esses 
equacionamentos não apresentados aqui exploram propriedades geométricas do diagrama de 
Nyquist, que levam por exemplo a associar a margem de fase ao fator de amortecimento em 
malha fechada na forma: )(sen2 1 ξ−≅PM . Aplicando então a fórmula 
)(1)(
MF
njMF
nMF
n
I
D
MF
nP ejGj
KKjK ωθωωω =


 ++ , obtém-se 02.2=PK e 52.0=DK . 
Os diagramas de Bode e as respostas ao degrau dos sistemas compensado (verde) e não-
compensado (azul) ficam como segue. 
 
 
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Observa-se do diagrama de Bode que efetivamente se produziu PM = 80o e 4≅MFnω rad/s. 
No entanto, as especificações de desempenho não foram atendidas, pois %22≅pM e 3≅st 
segundos. 
 
OBS: Os resultados obtidos nas Questões 13 e 14 não foram muito animadores. O propósito 
de apresentar esse tipo de cenário no projeto de compensadores PID não é, de modo algum, 
desencorajar a aplicação dessa metodologia. Os sistemas de controle presentes na indústria 
indicam o sucesso dessa metodologia em muitas aplicações práticas. O propósito é apenas 
mostrar que há limitações e o não atendimento dos requisitos de projeto se deve geralmente a 
um de dois fatores: 
• impossibilidade teórica de atender simultaneamente a todas as especificações de 
desempenho com uma estrutura de compensação do tipo PID; 
• necessidade de sintonia adicional dos parâmetros de projeto. 
Questão 15) Qual é a principal conseqüência da introdução de um atraso de transporte em 
um sistema de controle? 
Resposta: Conforme ilustrado nas figuras a seguir, um atraso de transporte reduz a margem 
de fase, deixando o sistema mais oscilatório e, possivelmente, instável, dependendo do valor 
do atraso.