resolução de matrizes inversas

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Exerc´ıcios sobre Matriz Inversa
MA141 - Geometria Anal´ıtica
26 de marc¸o de 2014
Exerc´ıcio 1 Dadas as matrizes a seguir, calcule suas respectivas inversas.
a)
A =
1 1 03 1 1
2 1 1

b)
B =
2 0 11 2 1
3 2 1

c)
C =
1 2 30 1 0
3 2 1

Resoluc¸a˜o
a) Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz A:
detA =
∣∣∣∣∣∣
1 1 0
3 1 1
2 1 1
∣∣∣∣∣∣ = (1 + 2 + 0)− (0 + 1 + 3) = −1
Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de A. Para tal, encontraremos a matriz dos
cofatores de A.
a˜11 = (−1)2.
∣∣∣∣1 11 1
∣∣∣∣ = 0, a˜12 = (−1)3. ∣∣∣∣3 12 1
∣∣∣∣ = −1
a˜13 = (−1)4.
∣∣∣∣3 12 1
∣∣∣∣ = 1, a˜21 = (−1)3. ∣∣∣∣1 01 1
∣∣∣∣ = −1
a˜22 = (−1)4.
∣∣∣∣1 02 1
∣∣∣∣ = 1, a˜23 = (−1)5. ∣∣∣∣1 12 1
∣∣∣∣ = 1
a˜31 = (−1)4.
∣∣∣∣1 01 1
∣∣∣∣ = 1, a˜32 = (−1)5. ∣∣∣∣1 03 1
∣∣∣∣ = −1
a˜33 = (−1)6.
∣∣∣∣1 13 1
∣∣∣∣ = −2
1
Assim, a matriz dos cofatores sera´
A˜ =
 0 −1 1−1 1 1
1 −1 −2

A matriz adjunta de A e´ a transposta da matriz dos cofatores, logo
Aadj =
 0 −1 1−1 1 −1
1 1 −2

Como A−1 = AadjdetA , temos
A−1 =
 0 1 −11 −1 1
−1 −1 2

b) Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz B:
detB =
∣∣∣∣∣∣
2 0 1
1 2 1
3 2 1
∣∣∣∣∣∣ = (4 + 0 + 2)− (6 + 4 + 0) = −4
Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de B. Para tal, encontraremos a matriz dos
cofatores de B.
b˜11 = (−1)2.
∣∣∣∣2 12 1
∣∣∣∣ = 0, b˜12 = (−1)3. ∣∣∣∣1 13 1
∣∣∣∣ = 2
b˜13 = (−1)4.
∣∣∣∣1 23 2
∣∣∣∣ = −4, b˜21 = (−1)3. ∣∣∣∣0 12 1
∣∣∣∣ = 2
b˜22 = (−1)4.
∣∣∣∣2 13 1
∣∣∣∣ = −1, b˜23 = (−1)5. ∣∣∣∣2 03 2
∣∣∣∣ = −4
b˜31 = (−1)4.
∣∣∣∣0 12 1
∣∣∣∣ = −2, b˜32 = (−1)5. ∣∣∣∣2 11 1
∣∣∣∣ = −1
b˜33 = (−1)6.
∣∣∣∣2 01 2
∣∣∣∣ = 4
Assim, a matriz dos cofatores sera´
B˜ =
 0 2 −42 −1 −4
−2 −1 4

A matriz adjunta de B e´ a transposta da matriz dos cofatores, logo
2
Badj =
 0 2 −22 −1 −1
−4 −4 4

Como B−1 = BadjdetB , temos
B−1 =
 0 −12 12−1
2
1
4
1
4
1 1 −1

c) Primeiramente, encontraremos o determinante da matriz C:
detC =
∣∣∣∣∣∣
1 2 3
0 1 0
3 2 1
∣∣∣∣∣∣ = (1 + 0 + 0)− (9 + 0 + 0) = −8
Feito isso, devemos encontrar a matriz adjunta de C. Para tal, encontraremos a matriz dos
cofatores de C.
c˜11 = (−1)2.
∣∣∣∣1 02 1
∣∣∣∣ = 1, c˜12 = (−1)3. ∣∣∣∣0 03 1
∣∣∣∣ = 0
c˜13 = (−1)4.
∣∣∣∣0 13 2
∣∣∣∣ = −3, c˜21 = (−1)3. ∣∣∣∣2 32 1
∣∣∣∣ = 4
c˜22 = (−1)4.
∣∣∣∣1 33 1
∣∣∣∣ = −8, c˜23 = (−1)5. ∣∣∣∣1 23 2
∣∣∣∣ = 4
c˜31 = (−1)4.
∣∣∣∣2 31 0
∣∣∣∣ = −3, c˜32 = (−1)5. ∣∣∣∣1 30 0
∣∣∣∣ = 0
c˜33 = (−1)6.
∣∣∣∣1 20 1
∣∣∣∣ = 1
Assim, a matriz dos cofatores sera´
C˜ =
 1 0 −34 −8 4
−3 0 1

A matriz adjunta de C e´ a transposta da matriz dos cofatores, logo
Cadj =
 1 4 −30 −8 0
−3 4 1

Como C−1 = CadjdetC , temos
3
C−1 =
−18 −12 380 1 0
3
8
−1
2
−1
8

4