Vetores Parte2

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Álgebra Vetorial – Parte 2
Geometria Analítica e Álgebra Linear
Nesta aula discutiremos...
• como determinar coordenadas cartesianas de vetores
• o conceito e cálculo do versor de um vetor
• a realização de operações em coordenadas
Vetores em Coordenadas 
Cartesianas
Coordenadas Cartesianas
 𝑖
 𝑗
 𝑣
𝑣𝑥 𝑖
𝑣𝑦 𝑗
 𝑖 ≡ vetor unitário no sentido do eixo 𝑥
 𝑗 ≡ vetor unitário no sentido do eixo 𝑦
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗
Em duas dimensões: Em três dimensões:
𝑣𝑦 𝑗
𝑣𝑥 𝑖
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
𝑣𝑧𝑘 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
 𝑖
 𝑗
 𝑖 ≡ vetor unitário no sentido do eixo 𝑥
 𝑗 ≡ vetor unitário no sentido do eixo 𝑦
𝑘 ≡ vetor unitário no sentido do eixo 𝑧
𝑘
Determinação das Coordenadas Cartesianas
 𝑣
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗
Em duas dimensões: Em três dimensões:
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
𝜽
𝒗𝒙 = |𝒗| ∙ cos(𝜃)
𝒗𝒚 = |𝒗| ∙ sen(𝜃)
𝒗𝒙 = |𝒗| ∙ cos(𝛼)
𝒗𝒚 = |𝒗| ∙ cos(𝛽)
𝒗𝒛 = |𝒗| ∙ cos(𝛾)
𝛼, 𝛽 e 𝛾 são chamados de ângulos
diretores do vetor 𝒗.
Relação importante:
𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜶 + 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜷 +𝐜𝐨𝐬𝟐 𝜸 = 𝟏
𝜶 𝜷
𝜸
 𝑣
= 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 = 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧
Módulo de um Vetor em Coordenadas
 𝑣 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗
Em duas dimensões: Em três dimensões:
𝑥
𝑦
𝑥
𝑦
𝑧
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
| 𝑣| = |𝑣𝑥|2 + |𝑣𝑦|2
 𝑣
| 𝑣| = |𝑣𝑥|2 + |𝑣𝑦|2 + |𝑣𝑧|2
Exercício
(Hibbeler, 2011) Expresse a força
𝑭 , mostrada na figura abaixo,
como um vetor em coordenadas
cartesianas.
Coordenadas Cartesianas 
do Versor de um Vetor
Versor de um Vetor em Coordenadas
O versor de um vetor 𝑣 é o vetor unitário, denotado por 𝑣°, que possui
mesmos direção e sentido de 𝑣.
 𝑣
 𝑣°
 𝑣
1
𝑢
.𝑐. 𝑣°
 𝑣 𝑣°
Em coordenadas:
 𝑣° =
 𝑣
| 𝑣|
Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3:
Exercício
(Hibbeler, 2011) Usando a
expressão cartesiana encontrada,
determine o versor do vetor 𝑭.
Operações em 
Coordenadas Cartesianas
Operações usando Coordenadas
Multiplicação 
de Vetor por 
Escalar
Soma de 
Vetores
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
𝛼 ∈ ℝ 𝛼 𝑣 = 𝛼𝑣𝑥 𝑖 + 𝛼𝑣𝑦 𝑗 + 𝛼𝑣𝑧 𝑘
= 𝛼𝑣𝑥 , 𝛼𝑣𝑦 , 𝛼𝑣𝑧
 𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧𝑘
𝑢 + 𝑣 = 𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑢𝑦 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑢𝑧 + 𝑣𝑧 𝑘
= 𝑢𝑥 + 𝑣𝑥 , 𝑢𝑦 + 𝑣𝑦 , 𝑢𝑧 + 𝑣𝑧
𝑢 = 𝑢𝑥 𝑖 + 𝑢𝑦 𝑗 + 𝑢𝑧𝑘
Exercício
(Hibbeler, 2011) Determine a
intensidade e os ângulos de
direção coordenados da força
resultante que atua sobre o anel
da figura abaixo.
Referências
WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2014.
FERNANDES, Luana Fonseca. Geometria Analítica. 1 ed. Curitiba: Intersaberes,
2016.
HIBBELER, Russel C. Estática: mecânica para engenharia. 12 ed. São Paulo:
Pearson Education do Brasil, 2011
Bons Estudos!