Vetores perpendiculares

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COMO VERIFICAR SE DOIS VETORES SÃO PERPENDICULARES, 
PARALELOS OU CONCORRENTES? 
 
I – Vamos considerar como exemplo os seguintes vetores: ⃗ݑ = ሺͳ,ʹ,͵ሻ ݒ = ሺ−ʹ,−Ͷ, −͸ሻ 
 
Será que os vetores acima são paralelos? 
 
Para responder a essa pergunta temos duas possibilidades, ou os vetores são 
iguais entre si ou os vetores são múltiplos um do outro. 
 
Bom, no caso acima, os vetores não são iguais, então vamos analisar se eles 
são múltiplos. Isso pode ser feito dividindo a primeira coordenada de um vetor 
pela primeira coordenada do outro vetor, a segunda coordenada de um vetor 
pela segunda coordenada do outro vetor e assim por diante e no final devemos 
obter o mesmo resultado em todos os casos. ݒ = ሺ−ʹ,−Ͷ, −͸ሻ ⃗ݑ = ሺͳ,ʹ,͵ሻ 
 
Para a primeira coordenada: −ͳʹ = −ʹ 
Para a segunda coordenada: −Ͷʹ = −ʹ 
Para a terceira coordenada: −͸͵ = −ʹ 
 
Como vemos, os resultados são todos iguais. Podemos concluir que os vetores 
são paralelos, ou, em notação matemática: ⃗ݑ ∥ ݒ . 
 
Outra possibilidade é perceber o seguinte: 
 
⃗ݑ = ሺͳ,ʹ,͵ሻ 
 ݒ = ሺ−ʹ,−Ͷ, −͸ሻ 
 
 
II – Agora, vamos considerar como exemplo os seguintes vetores: ⃗ݑ = ሺʹ,ͳ, −ͳሻ ݒ = ሺͳ,ͳ,͵ሻ 
 
Será que os vetores acima são perpendiculares? 
 
Para responder a essa pergunta temos que calcular o produto interno (produto 
escalar) entre esses vetores, se o produto interno for igual a zero então eles 
serão perpendiculares. 
Fazendo o produto interno: ⃗ݑ ⋅ ݒ = ሺʹ,ͳ, −ͳሻ ⋅ ሺͳ,ͳ,͵ሻ = ʹ.ͳ + ͳ.ͳ + ሺ−ͳሻ. ͵ = ʹ + ͳ − ͵ = Ͳ 
 
Ou seja, esses dois vetores são perpendiculares, ou, em notação matemática: ⃗ݑ ⊥ ݒ . 
 
 
III – Por último, vamos considerar como exemplo os seguintes vetores: ⃗ݑ = ሺͶ,−ͳ,ͳሻ ݒ = ሺʹ,ͳ, −ͳሻ 
 
Qual a posição relativa entre esses vetores? 
Bom, vamos testar se eles são paralelos: 
 
Para a primeira coordenada: Ͷʹ = ʹ 
Para a segunda coordenada: −ͳͳ = −ͳ 
De um vetor para outro, 
multiplicamos por -2 
todas as coordenadas 
Como já percebemos, não há padrão de multiplicidade, por isso, eles não são 
paralelos. 
 
Agora vamos testar se eles são perpendiculares: 
 
Fazendo o produto interno: ⃗ݑ ⋅ ݒ = ሺͶ,−ͳ,ͳሻ ⋅ ሺʹ,ͳ, −ͳሻ = Ͷ.ʹ + ሺ−ͳሻ. ͳ + ͳ. ሺ−ͳሻ = ͺ − ͳ − ͳ = ͸ 
 
Ou seja, eles também não são paralelos. 
 
Nesse caso, eles são concorrentes e possuem ângulo distinto de 0º (paralelo) e 
de 90º (perpendiculares). Na prática, dizemos que possuem ângulo entre 0º e 
90º. 
 
Para calcular esse ângulo usamos a equação do produto interno: ‖⃗ݑ ‖. ‖ݒ ‖. cos � = ⃗ݑ ⋅ ݒ 
 
Sabemos que ⃗ݑ ⋅ ݒ = ͸. 
 ⃗ݑ = ሺͶ,−ͳ,ͳሻ → ‖⃗ݑ ‖ = √ሺͶሻ2 + ሺ−ͳሻ2 + ሺͳሻ2 = √ͳ͸ + ͳ + ͳ = √ͳͺ 
 ݒ = ሺʹ,ͳ, −ͳሻ → ‖⃗ݑ ‖ = √ሺʹሻ2 + ሺͳሻ2 + ሺͳሻ2 = √Ͷ + ͳ + ͳ = √͸ 
 ‖⃗ݑ ‖. ‖ݒ ‖. cos � = ⃗ݑ ⋅ ݒ √ͳͺ. √͸. cos � = ͸ √ͳͲͺ. cos � = ͸ √͵͸.͵. cos � = ͸ ͸√͵. cos � = ͸ cos � = ͸͸√͵ = ͳ√͵ . √͵√͵ = √͵͵ 
 cos � = √͵͵ → � = ͷͶ,͹° 
VISTO ISSO, PODEMOS CONCLUIR O SEGUINTE SOBRE PLANOS E 
RETAS: 
 
  Se os vetores normais de dois planos são paralelos, então esses 
planos são paralelos;  Se os vetores normais de dois planos são perpendiculares, então 
esses planos são perpendiculares; 
 
  Se os vetores diretores de duas retas são paralelos, então essas 
retas são paralelas;  Se os vetores diretores de duas retas são perpendiculares, então 
essas retas são perpendiculares; 
 
  Se o vetor diretor de uma reta e o vetor normal de um plano são 
paralelos, então o plano e a reta são perpendiculares;  Se o vetor diretor de uma reta e o vetor normal de um plano são 
perpendiculares, então o plano e a reta são paralelos.