PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

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PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
Chama-se progressão geométrica (P.G) uma sequência dada pela seguinte fórmula de recorrência:
 em que a e q são números reais dados.
Assim, uma P.G é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante q dada.
Eis alguns exemplos de progressões geométricas:
 em que e 
 em que e 
 em que e 
 em que e 
 em que e 
 em que e 
 em que e 
CLASSIFICAÇÃO
As progressões geométricas podem ser classificadas em cinco categorias:
1. Crescentes: são as P.G em que cada termo é maior que o anterior.
P.G com termos positivos
 
P.G com termos negativos
 
Exemplos: . 
2Constantes: são as P.G em que cada termo é igual ao anterior.
P.G com termos todos nulos
 e qualquer
P.G com termos iguais e não nulos
 
Exemplo: 
3. Decrescentes: são as P.G em que cada termo é menor que a anterior.
P.G com termos positivos
 
P.G com termos negativos
 
Exemplos: e .
4. Alternantes: são as P.G em que cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. Isso ocorre quando .
Exemplo: .
5. Estacionárias: são as P.G em que e . Isso ocorre quando .
Exemplo: .
NOTAÇÕES ESPECIAIS
Para obtenção de uma P.G com 3 ou 4 ou 5 termos é muito prática a notação seguinte:
1. Para 3 termos: ou 
2. Para 4 termos: 
 ou 
3. Para 5 termos:
 ou 
EXERCÍCIOS DE AULA
❶ Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 1515para ter
para termos, nessa ordem, três números em P.G?
❷ Sabendo que , e estão em P.G, determine o valor de .
❸ Há 10 anos o preço de certa mercadoria era de cruzeiros. Há 5 anos era de cruzeiros e hoje é cruzeiros. Sabendo que tal aumento deu-se em P.G e de 5 em 5 anos, determine a razão de aumento. 
❹ Três números estão em P.G de forma que o produto deles é 729 e a soma é 39. Calcular os três números.
FÓRMULA DO TERMO GERAL
Na P.G em que o primeiro termo é e a razão é q, o n-ésimo termo é:
EXERCÍCIOS DE AULA
❺ Obtenha o 10º e o 15º termos da P.G (1, 2, 4, 8, …)
❻ Obtenha o 100º termo da P.G (2, 6, 18, … )
❼ Os três primeiros termos de uma P.G são , e . Determine o quarto termo dessa progressão.
❽ Se o oitavo termo de uma P.G é ½ e a razão é ½, qual é o primeiro termo dessa progressão?
❾ O quinto e o sétimo termos de uma P.G de razão positiva valem, respectivamente, 10 e 16. Qual é o sexto termo dessa P.G?
❿ Determine o número de termos da progressão (1, 3, 9, …) compreendidos entre 100 e 1000?
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar k meios geométricos entre os números e significa obter uma P.G de extremos e , com termos. Para determinar os meios dessa P.G é necessário calcular a razão. Assim, temos:
Exemplo:
Interpolar 8 meios geométricos (reais) entre 5 e 2560.
Formemos uma P.G com 10 termos em que e . Temos:
 
Então a P.G é (5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280, 2560).
EXERCÍCIOS DE AULA
⓫ Intercale 6 meios geométricos reais entre 640 e 5.
PRODUTO
Em toda P.G tem-se: 
EXERCÍCIOS DE AULA
⓬ Calcule o produto dos dez termos iniciais da P.G (1, 2, 4, 8, …)
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA
Sendo dada uma P.G, isto é, conhecendo-se os valores de e , procuremos uma fórmula para calcular a soma dos termos iniciais da sequência.
Soma dos termos iniciais de uma P.G
Soma dos primeiros termos de uma P.G
EXERCÍCIOS DE AULA
⓭ Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G (1, 3, 9, 27, …).
⓮ Calcular a soma das potências de 5 com expoentes inteiros e consecutivos, desde até .
⓯ Calcule a soma das 10 parcelas iniciais da série 
⓰ Numa P.G de 4 termos, a soma dos termos de ordem par é 10 e a soma dos termos de ordem ímpar é 5. Determine o 4º termo dessa progressão.
⓱ Em um triângulo, a medida da base, a medida da altura e a medida da área formam, nessa ordem, uma P.G de razão 8. Calcule a medida da base.
⓲ Se e são, respectivamente, a soma dos três e quatros primeiros termos de uma P.G cujo termo inicial é 3, determine a soma dos 5 primeiros termos da progressão.
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA
Se é uma P.G com razão q tal que , então:
OBSERVAÇÕES
1. Se , a condição é desnecessária para a convergência da sequência (. Neste caso, é obvio que a P.G é (0, 0, 0, …) e sua soma é 0, qualquer que seja .
2. Se e ou , a sequência ( não converge. Neste caso, é impossível calcular a soma dos termos da P.G.
EXERCÍCIOS DE AULA
⓳ Calcular a soma dos termos da P.G .
⓴ Calcule .
EXERCÍCIOS DE CASA
❶ (EEAR) A soma dos infinitos termos da P.G é:
a) 	b)	c) 	d) 
❷ (EEAR) Numa P.G, onde o 1º termo é 3, a soma dos tres primeiros termos é 21. Se a soma dos quatro primeiros termos é 45, o quinto termo é:
a) 51	b) 50	c) 49	d) 48
❸ (EEAR) A soma dos primeiros termos da P.G é . Logo, é:
a) 8	b) 10	c) 12	d) 14
❹ (EEAR) Quatro números naturais formam uma P.G crescente. Se a soma dos dois primeiros números é 12, e a dos dois últimos é 300, a razão da P.G é:
a) 7	b) 5	c) 4	d) 2
❺ (EEAR) O 4º termo de uma P.G é , e o 6º termo é . Se essa P.G é alternante, então sua razão é:
a) 	b)	c) 	d) 
❻ (EEAR) Seja a P.G . Se , e , então o valor de é:
a) 8	b) 12	c) 	d) 
❼ (EsPCEx) Numa P.G crescente de 5 termos, o primeiro e o último correspondem, respectivamente, às raízes da equação . O valor da soma do segundo, terceiro e quarto termos dessa PG é:
a) 12	b) 24	c) 36	d) 42
❽ (EsPCEx) O 6º termo de uma P.G é igual a , e o 7º termo é igual a . Se o 1º termo dessa progressão é diferente de zero e a razão maior que um, então o 1º termo é igual a:
a) 	b) 	c) 	d) 
❾ (EsPCEx) O valor de que satisfaz a equação , em que o primeiro membro é uma P.G infinita é:
a) 27	b) 30	c) 60	d) 81
❿ (AFA) O produto dos 15 primeiros termos da progressão geométrica, de primeiro termo 1 e razão 10, vale:
a) b) c) d) 
⓫ (UE-CE) Seja uma P.G de razão . Se , então é igual a:
a) 	b) 	c) 	d) 
⓬ (ITA) Seja uma P.G innfinita de razão , , e soma igual a . A soma dos três primeiros termos dessa P.G é:
a) 	b) 	c) 	d) 
⓭ (UF-RN) Um fazendeiro dividiu 30 de suas terras entre seus quatro filhos, de idades distintas, de modo que as áreas dos terrenos recebidos pelos filhos estavam em progressão geométrica, de acordo com a idade, tendo recebido mais quem era mais velho. Ao filho mais novo coube um terreno de 2 de área. O filho que tem idade imediatamente superior à do mais novo recebeu um terreno de área igual a:
a) 10 b) 8 c) 4 d) 6 
⓮ (Fatec-SP) Se o lado, a altura e a área de um triângulo equilátero formam, nessa ordem, uma PG, então a medida do lado desse triângulo é um número:
a) irracional 	b) racional c) inteiro 	d) real e maior que 
⓯ (Mackenzie-SP) A soma dos 2 primeiros termos da sequência (2, 3, 6, 7, 10, 11, 14, 15, …) é 410. Então vale:
a) 7 	b) 8 	c) 9 	d) 10
⓰ (PUC-RS) A razão da PG cuja soma é 0,343434… é:
a) 	b) 	c) 	d) 10
⓱ (UFSM-RS) Uma doença bovina propagou-se pelo rebanho de uma região de modo que, a cada 2 dias, o número de animais doentes triplicou. Sabe-se que, primeiramente, havia 10 animais doentes e que o rebanho sob risco era de 262 440 cabeças. Após quantos dias a quarta parte desse rebanho contaminou-se?
a) 9	b) 12	c) 18	d) 21
⓲ (Mackenzie-SP) Na sequência , de razão , é um número real e positivo. Então, log vale:
a) 1	b) 	c) 	d) 2
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE CASA
1) D	2) D	3) A	4) B	5) D	6) D	 7) D	8) C	9) D	10) A 11) A 12) D 13)C 14) A 15) D	16) B 17) C 18) B