Logaritmos: conceito, definição e propriedades

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Logaritmos
Ellison Neves de Lima
Fevereiro, 2018
Logaritmo como expoente
• O conceito de logaritmo está associado à operação 
potenciação: mais precisamente à determinação do 
expoente. Veja:
2x = 8 ⇒ x = 3
No caso, dizemos, que o logaritmo de 8, na base 
2 , é igual ao expoente 3. Em símbolos,
log2 8 = 3
Defnição
Suponhamos dois números reais positivos a e b (a ≠ 1). 
Se ax = b, dizemos que x é o logaritmo de b na base a 
(simbolicamente loga b = x).
loga b = x ⇔ ax = b
 a é a base;
 b é o logaritmando ou antilogaritmo;
 x é o logaritmo;
Exemplos
 Calcular log4 8.
log4 8 = x ⇒ 4x = 8 ⇒ (22)x = 23
⇒ 22x = 23 ⇒ x = 3/2
Exemplos
 Calcular log1/3 √9.5 
 log1/3 √9 = x5 ⇒ 13 
x 
= √9
5 
⇒ (3–1)x = 32/5 ⇒ 3–x = 32/5
⇒ –x = 2/5
⇒ x = –2/5
Condição de existência do logaritmo
• Da defnição, concluímos que o logaritmo só existe 
sob certas condições:
 loga b = x ⇔ 
 b > 0
 a > 0
 a ≠ 1
 
 
Condição de existência
 Analise quais seriam os signifcados de log2 (–4), log(–2) 8, 
log7 0, log1 6 e log0 2, caso fossem defnidos.
log2 (–4) = x ⇒ 2x = –4 impossível
log–2 8 = x ⇒ (–2)x = 8 impossível
log7 0 = x ⇒ 7x = 0 impossível
log1 6 = x ⇒ 1x = 6 impossível
log0 2 = x ⇒ 0x = 2 impossível
Consequências da 
definição
Consequências da defnição
• Admitindo-se válidas as condições de existência dos 
logaritmos, temos os seguintes casos especiais, que 
são consequências da defnição.
loga 1 = 0
loga a = 1
loga ak = k
porque a0 = 1
porque a1 = a
porque ak = ak
Exemplos
 log3 3 = log10 10 = log3,7 3,7 = 1
 log3 1 = log10 1 = log3,7 1 = 0
 log3 39 = 9
 log10 10–3 = –3
Conseqüências da defnição
• Sabemos que loga k é o expoente ao qual se deve 
elevar a base a para se obter k. Vale por isso, a 
seguinte igualdade:
loga ka = k
Exemplos
log5 3 5 = 3
1 + log2 6 2 = 21.2
 log2 6 = 2.6 = 12
1 – log15 3 15 = log15 3
151
15 
=
15
3 = 5
 
 
Sistema de logaritmos
Sistema de logaritmos
• Sistema de logaritmos é o conjunto de todos os 
logaritmos numa determinada base. Entre os infnitos 
sistema de logaritmos, destacam-se dois:
• O sistema de logaritmos decimais utiliza a base 10. No 
cálculo de logaritmos decimais, convenciona-se não 
escrever a base, ou seja, log x é o mesmo que log10 x.
log x → logaritmo decimal de x (base 10)
Exemplos
 log 1000 = log10 1000 = 3
 log 0,01 = log10 10–2 = –2
 log 1 = log10 1 = 0
 log 100 = log10 100 = 2
Sistema de logaritmos
• O sistema de logaritmos naturais ou neperianos, utiliza, 
como base, o número irracional e.
• Esse número foi introduzido por Euler, em meados do 
século XVIII. Seu valor aproximado é e = 2,71828.
• O logaritmo natural de um número x pode ser indicado 
por Ln x.
Ln x → logaritmo natural de x (base e)
Exemplos
 Ln e = loge e = 1
 Ln 10 = loge 10 ≈ 2,3
 Ln e3 = loge e3 = 3
Observação
• Chama-se co-logaritmo de a na base b (em símbolos, 
cologb a) o oposto do logaritmo de a na base b.
cologb a = – logb a
 colog2 8 = – log2 8 = –3 
 colog3 (1/9) = – log3 (1/9) = 2 
 
 
Mudança de base
Fórmula de mudança de base
• De modo geral, podemos calcular logba, utilizando 
uma outra base k arbitrária. Para isso, dividimos o 
logaritmo de a pelo logaritmo de b, na base k 
escolhida.
logk a
logk b
Logb a = 
Exemplos
 Pela tecla Ln (logaritmo natural) de uma calculadora, 
obtemos Ln 6 = 1,792 e Ln 2 = 0,693. A partir desses 
valores, calcular log2 6.
loge 6
loge 2
log2 6 = 
Ln 6
Ln 2
=
1,792
0,693
= = 2,586
Exemplos
 Se log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, calcular log2 3.
log 3
log 2
log2 3 = 
0,48
0,30
=
1o. Vamos a fórmula de mudança de base. 
= 1,6
Observe que, log2 3 = 1,6 ⇔ 21,6 = 3.
Generalizando
• Como conseqüência da fórmula de mudança de base, 
temos:
loga a
loga b
logb a = 
1
loga b
logb a = 
Propriedades dos logaritmos
 
 
Logaritmo do produto
• De modo geral, o logaritmo do produto de dois 
números, numa certa base, é a soma dos logaritmos 
desses números, na mesma base.
Loga (x.y) = loga x + loga y
Para o produto de três ou mais fatores, a propriedade 
continua válida.
Exemplos
• A partr e log 2 = 0,301 e log 13 = 1,114, calcular log 
26 e log 2000.
 log 26 = log (2.13) = log 2 + log 13
log 26 = 0,301 + 1,114 = 1,415
 log 2000 = log (2.1000) = log 2 + log 1000
log 2000 = 0,301 + 3 = 3,301
Logaritmo do quociente
• De modo geral, o logaritmo do quociente de dois 
números, numa certa base, é a diferença dos 
logaritmos desses números, na mesma base.
Loga = loga x – loga y xy
Exemplos
• A partir de log 2 = 0,301 obter log 5.
log 5 = log 10
2
= log 10 – log 2 = 1 – 0,301
⇒ log 5 = 0,699
pH
• pH = -log[H+] pOH = -log[OH] 
• pH+pOH = 14
Exercícios
1- Qual o pH de uma solução de concentração 
hidrogeniônica igual a 10–5 M ?
 
 
Exercícios
2- Qual o pH de uma solução de HCl 0,01 M que 
está totalmente ionizada?
 HCl H+ + Cl
10-2M 10    -2M 10-2M
Exercícios
3-Qual o pH e uma solução e HCN 0,02 molar 
que está 0,5% ioniza a?
HCN H     + + CN  -
0,02 M ------ 100%    
X M ------ 0,5%           
X = 10-4M
4- Qual o pH de uma solução de H2SO4 0,000005 molar?
 H2SO4 2H+ + SO4-2
 5.10-6M 2x5.10-6M 5.10-6M
 10-5M 
[H+] = 10-5M
pH = -log[H+]
pH = -log10-5
pH = 5
Exercícios
5- Ao tomar água, um indivíduo diluiu seu suco 
gástrico (solução contendo ácido clorídrico), de pH 
= 2, de 50 mL para 500 mL. O pH da solução 
resultante, logo após a ingestão de água, é igual a?
Exercícios
5- Resposta.
pH = 2 – log[H+] = 2 (– 1) log[H+] = – 2 
[H+] = 10–2 mol/L
Fazendo a diluição do suco gástrico:
M . V = M’ . V‘     
10–2 · 50 =M’ . 500 
M’ = 10–3 mol/L è concentração molar do H      +
pH = – log[H+]
pH = – log10–3
pH = 3
Exercícios
Obriga o!