CALCULO 1-convertido

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AULA 1 
 
 
 1a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =4x2-5x+11 no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 5x1 
 
m(x1) = 3x1 
 
m(x1) = 11x1 
 m(x1) = 8x1 - 5 
 
m(x1) = x1 - 5 
Respondido em 03/09/2019 11:57:37 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Fazendo uso das regras de derivação encontre a derivação da 
função 5 (1 / x). 
 
 A derivada é (-1/x 2) 5 (1/x) ln 5 
 A derivada é (-1/x 2) 5 ln 5 
 A derivada é ln 5 
 A derivada é 5 ln 5 
 A derivada é (-1/x 2) 5 x 
Respondido em 03/09/2019 11:57:43 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em toneladas) de uma Empresa X, em função do 
número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, 
foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número 
de horas trabalhadas. Determine taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas. 
 
 
1 toneladas 
 
3 toneladas 
 
7 toneladas 
 5 toneladas 
 
2 toneladas 
Respondido em 03/09/2019 11:57:47 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Um corpo desloca-se sobre uma função horária s(t)= t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto 
afirmar: 
 
 Sua aceleração média entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 m/s2 
 Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s 
 Sua velocidade no instante t =2 será 4 m/s 
 A velocidade do corpo no intente t =3 será de 14 m/s 
 A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o 
tempo 
Respondido em 03/09/2019 11:57:53 
 
 
Explicação: 
A resposta certa é a letra B pois é a única que fala de taxa instantânea 
levando em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma de 
forma correta na sua resolução. 
V(t) = S'(t) 
V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no ponto (x1,y1) 
 
 
 
m(x1) = 9x1 - 5 
 
m(x1) = x1 - 9 
 
m(x1) = 5x1 - 3 
 m(x1) = 2x1 - 3 
 
m(x1) = 6x1 - 5 
Respondido em 03/09/2019 11:58:03 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 10x1 + 12 
 
m(x1) = 7x1 +1 
 m(x1) = 10x1 - 2 
 
m(x1) = 3x1 +1 
 
m(x1) = x1 - 3 
Respondido em 03/09/2019 11:58:12 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a 
 
 
x 
 
0 
 
x² 
 
x-1 
 1 
Respondido em 03/09/2019 11:58:17 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no ponto (x1,y1) 
 
 m(x1) = 2x1 - 2 
 
m(x1) = 5x1 - 2 
 
m(x1) = x1 
 
m(x1) = 7x1 - 2 
 
m(x1) = 9x1 - 2 
Respondido em 03/09/2019 11:58:21 
 
 
 1a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y = 3x2 + 7x no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 7 
 
m(x1) = 4x1 
 
m(x1) = 5x1 + 1 
 
m(x1) = 9x1 + 1 
 m(x1) = 6x1 + 7 
Respondido em 03/09/2019 11:58:40 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se uma função é derivável em x, então 
 
 
a função assume o valor zero. 
 
a função é, necessariamente, par, ou seja, f(-x)=f(x). 
 
a função é derivável em todos os pontos do seu domínio 
 
os limites laterais em x podem ser diferentes 
 a função é contínua em x 
Respondido em 03/09/2019 11:59:00 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 7x1 - 2 
 
m(x1) = x1 
 
m(x1) = 5x1 - 2 
 
m(x1) = 9x1 - 2 
 m(x1) = 2x1 - 2 
Respondido em 03/09/2019 11:59:11 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no ponto (x1,y1) 
 
 
 
m(x1) = 6x1 - 5 
 
m(x1) = 9x1 - 5 
 m(x1) = 2x1 - 3 
 
m(x1) = 5x1 - 3 
 
m(x1) = x1 - 9 
Respondido em 03/09/2019 11:59:16 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 10x1 + 12 
 
m(x1) = 7x1 +1 
 
m(x1) = x1 - 3 
 m(x1) = 10x1 - 2 
 
m(x1) = 3x1 +1 
Respondido em 03/09/2019 11:59:19 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em toneladas) de uma Empresa X, em função do 
número de horas trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é representado por x = 0, 
foi 0:00 horas. Podemos verificar que a produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número 
de horas trabalhadas. Determine taxa de variação média da produção, das 2 às 3 horas. 
 
 
7 toneladas 
 
2 toneladas 
 5 toneladas 
 
1 toneladas 
 
3 toneladas 
Respondido em 03/09/2019 11:59:24 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Um corpo desloca-se sobre uma função horária s(t)= t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto 
afirmar: 
 
 A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o 
tempo 
 Sua aceleração média entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 m/s2 
 Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s 
 Sua velocidade no instante t =2 será 4 m/s 
 A velocidade do corpo no intente t =3 será de 14 m/s 
Respondido em 03/09/2019 11:59:29 
 
 
Explicação: 
A resposta certa é a letra B pois é a única que fala de taxa instantânea 
levando em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma de 
forma correta na sua resolução. 
V(t) = S'(t) 
V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Fazendo uso das regras de derivação encontre a derivação da 
função 5 (1 / x). 
 
 A derivada é (-1/x 2) 5 (1/x) ln 5 
 A derivada é (-1/x 2) 5 ln 5 
 A derivada é (-1/x 2) 5 x 
 A derivada é ln 5 
 A derivada é 5 ln 5 
 
 
 
1. 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =4x2-
5x+11 no ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 11x1 
 
 
m(x1) = 8x1 - 5 
 
 
m(x1) = x1 - 5 
 
 
m(x1) = 5x1 
 
 
m(x1) = 3x1 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f(x)=x. Então a derivada de f é igual a 
 
 
 
x 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
x² 
 
 
x-1 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-3x+20 no 
ponto (x1,y1) 
 
 
 
m(x1) = 2x1 - 3 
 
 
m(x1) = 9x1 - 5 
 
 
m(x1) = 5x1 - 3 
 
 
m(x1) = 6x1 - 5 
 
 
m(x1) = x1 - 9 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =5x2-2x+15 no 
ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 10x1 - 2 
 
 
m(x1) = x1 - 3 
 
 
m(x1) = 3x1 +1 
 
 
m(x1) = 7x1 +1 
 
 
m(x1) = 10x1 + 12 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a função f(x) = x2 , que define a produção (em 
toneladas) de uma Empresa X, em função do número de horas 
trabalhadas (x). Vamos supor que o início do expediente, que é 
representado por x = 0, foi 0:00 horas. Podemos verificar que a 
produção cresce, proporcionalmente, com o quadrado do número 
de horas trabalhadas. Determine taxa de variação média da 
produção, das 2 às 3 horas. 
 
 
2 toneladas 
 
 
3 toneladas 
 
 
5 toneladas 
 
 
1 toneladas 
 
 
7 toneladas 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Um corpo desloca-se sobre uma função horária s(t)= 
t3- 2t2. Sobre esse corpo é correto afirmar: 
 
 
A aceleração desse corpo será sempre constante, não importa o 
tempo 
 
 
A velocidade do corpo nointente t =3 será de 14 m/s 
 
 
Sua aceleração média entre os instantes t =1 e t = 2 será de 8 
m/s2 
 
 
Sua velocidade no instante t =2 será 4 m/s 
 
 
Sua velocidade média entre os instantes t = 1 e t = 2 será de 2 m/s 
 
 
 
Explicação: 
A resposta certa é a letra B pois é a única que fala de taxa instantânea 
levando em consideração o conceito de derivada, utilizando a mesma de 
forma correta na sua resolução. 
V(t) = S'(t) 
V(t)=3t2- 4t >>> 3 x 4 -- 8 = 4 m/s 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Fazendo uso das regras de derivação 
encontre a derivação da função 5 (1 / x). 
 
 
 
A derivada é (-1/x 2) 5 ln 5 
 
 
A derivada é 5 ln 5 
 
 
A derivada é (-1/x 2) 5 (1/x) ln 5 
 
 
A derivada é (-1/x 2) 5 x 
 
 
A derivada é ln 5 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-2x+1 no 
ponto (x1,y1) 
 
 
m(x1) = 2x1 - 2 
 
 
m(x1) = 9x1 - 2 
 
 
m(x1) = 7x1 - 2 
 
 
m(x1) = 5x1 - 2 
 
 
m(x1) = x1 
 
AULA 2 
 
 
 1a Questão 
 
 
Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2 
 
 
f '(x) = 24 x + 4 
 
f '(x) = 25 x 
 
f '(x) = 5 x + 4 
 f '(x) = 25 x 
4 + 4 x 
 
f '(x) = 5 x 
Respondido em 03/09/2019 11:59:55 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x) = (2x4 - 3)/ (x2 - 5x + 3). 
 
 
derivada primeira = [ (x2- x + 3) (x) - (2x - 3)(2x-5) ] / (x2 - x + 3)2 
 
derivada primeira = [ ( 3) (8x) - (2x3 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3) 
 
derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3) 
 
derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x) ] / (x2 - 5x ) 
 derivada primeira = [ (x
2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)2 
Respondido em 03/09/2019 11:59:59 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Derive a função f(x) = 1/x 
 
 f´(x) = -1 / (x 
2) 
 
f ´(x) = 1/x 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f ´(x) = 1 
 
f ´(x) = x 
Respondido em 03/09/2019 12:00:03 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Calcule a derivada da função: 
f(x) = ln (sen x) 
 
 cotan x 
 
nenhuma das alternativas 
 
tan x 
 
1 / sen x 
 
1 / cos x 
Respondido em 03/09/2019 12:00:08 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a: 
 
 -1 
 
2 
 
1 
 
0 
 
-2 
Respondido em 03/09/2019 12:00:13 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Em um laboratório os estudantes estão simulando o 
movimento de uma particula. Para esse experimento foi 
definido a função f(x) = t 1/2 (a + bt) para definir a posição 
da particula.Os alunos fizeram a derivada primeira da 
função para futuros calculos. Podemos afirmar que foi 
encontrado como a derivada da função f(x) a resposta: 
 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) (a t 2) 
 A derivada da função é ( a + 3bt) / (2 t 
(1 /2)) 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) / (a2) 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) 
 
A derivada da função é ( 3bt) / (a t ) 
Respondido em 03/09/2019 12:00:18 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/xn 
 
 
A derivada primeira da funçao é n x(-n-1) 
 A derivada primeira da funçao é = - n x
( - n - 1) 
 
A derivada primeira da funçao é - n xn 
 
A derivada primeira da funçao é x(-n-1) 
 
A derivada primeira da funçao é 2 n xn 
Respondido em 03/09/2019 12:00:20 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/x 
 
 
a derivada primeira será 1/x2 
 
a derivada primeira será 2/x2 
 a derivada primeira será -1/x
2 
 
a derivada primeira será 1/x 
 
a derivada primeira será -1/2x2 
 
 1a Questão 
 
 
Determinando a derivada da questão f(x) = (x2 + 10x) . (3x4 - 10). 
 
 18x
5 + 150x4 - 20x - 100 
 
x5 + x4 - 5x 
 
8x5 + 5x4 - 2x 
 
18x5 + 15x4 - 20x 
 
18x5 + x4 - 5x - 100 
Respondido em 03/09/2019 12:00:51 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja f(x) = tan(x) = sen(x)/cox(x). A derivada de f(x) é igual a 
 
 
1-cos²(x) 
 
cos²(x) 
 
sen²(x) 
 
1/sen²(x) 
 1/cos²(x) 
Respondido em 03/09/2019 12:01:12 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/x 
 
 
a derivada primeira será 1/x 
 
a derivada primeira será -1/2x2 
 
a derivada primeira será 1/x2 
 a derivada primeira será -1/x
2 
 
a derivada primeira será 2/x2 
Respondido em 03/09/2019 12:01:27 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a: 
 
 
2 
 
0 
 -1 
 
1 
 
-2 
Respondido em 03/09/2019 12:01:29 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Em um laboratório os estudantes estão simulando o 
movimento de uma particula. Para esse experimento foi 
definido a função f(x) = t 1/2 (a + bt) para definir a posição 
da particula.Os alunos fizeram a derivada primeira da 
função para futuros calculos. Podemos afirmar que foi 
encontrado como a derivada da função f(x) a resposta: 
 
 
A derivada da função é ( 3bt) / (a t ) 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) / (a2) 
 A derivada da função é ( a + 3bt) / (2 t 
(1 /2)) 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) (a t 2) 
Respondido em 03/09/2019 12:01:34 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Calcule a derivada da função: 
f(x) = ln (sen x) 
 
 
nenhuma das alternativas 
 
1 / sen x 
 cotan x 
 
tan x 
 
1 / cos x 
Respondido em 03/09/2019 12:01:39 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Derive a função f(x) = 1/x 
 
 f´(x) = -1 / (x 
2) 
 
f ´(x) = 1/x 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f ´(x) = x 
 
f ´(x) = 1 
Respondido em 03/09/2019 12:01:43 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 1/xn 
 
 
A derivada primeira da funçao é 2 n xn 
 
A derivada primeira da funçao é n x(-n-1) 
 
A derivada primeira da funçao é x(-n-1) 
 
A derivada primeira da funçao é - n xn 
 A derivada primeira da funçao é = - n x
( - n - 1) 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Seja f(x) = tan(x) = sen(x)/cox(x). A derivada de f(x) é igual a 
 
 
 
1/sen²(x) 
 
 
1/cos²(x) 
 
 
sen²(x) 
 
 
cos²(x) 
 
 
1-cos²(x) 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Derive a função f(x) = 1/x 
 
 
 
f ´(x) = 1/x 
 
 
f´(x) = -1 / (x 2) 
 
 
f ´(x) = 1 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
f ´(x) = x 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A derivada de f(x) = x³-2x² no ponto x=1 é igual a: 
 
 
 
-1 
 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
-2 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determinando a derivada da questão f(x) = (x2 + 10x) . (3x4 - 10). 
 
 
 
18x5 + x4 - 5x - 100 
 
 
18x5 + 150x4 - 20x - 100 
 
 
8x5 + 5x4 - 2x 
 
 
x5 + x4 - 5x 
 
 
18x5 + 15x4 - 20x 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x) = 
(2x4 - 3)/ (x2 - 5x + 3). 
 
 
derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3) 
 
 
derivada primeira = [(x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x) ] / (x2 - 5x ) 
 
 
derivada primeira = [ (x2- x + 3) (x) - (2x - 3)(2x-5) ] / (x2 - x + 3)2 
 
 
derivada primeira = [ ( 3) (8x) - (2x3 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3) 
 
 
derivada primeira = [ (x2- 5x + 3) (8x3) - (2x4 - 3)(2x-5) ] / (x2 - 5x + 3)2 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Determine a derivada da funçao f(x) = 5 x5 + 2x2 
 
 
 
f '(x) = 5 x 
 
 
f '(x) = 5 x + 4 
 
 
f '(x) = 25 x 
 
 
f '(x) = 25 x 4 + 4 x 
 
 
f '(x) = 24 x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Em um laboratório os estudantes estão 
simulando o movimento de uma particula. 
Para esse experimento foi definido a função 
f(x) = t 1/2 (a + bt) para definir a posição da 
particula.Os alunos fizeram a derivada 
primeira da função para futuros calculos. 
Podemos afirmar que foi encontrado como a 
derivada da função f(x) a resposta: 
 
 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) 
 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) / (2 t (1 /2)) 
 
 
A derivada da função é ( 3bt) / (a t ) 
 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) (a t 2) 
 
 
A derivada da função é ( a + 3bt) / (a2) 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Usando as regras de derivação, determine a derivada primeira da função f(x)= 
1/xn 
 
 
A derivada primeira da funçao é - n xn 
 
 
A derivada primeira da funçao é = - n x( - n - 1) 
 
 
A derivada primeira da funçao é x(-n-1) 
 
 
A derivada primeira da funçao é 2 n xn 
 
 
A derivada primeira da funçao é n x(-n-1) 
AULA 3 
 
 
 1a Questão 
 
 
A derivada def(x)=ln(cos(4x))éf(x)=ln(cos(4x))é : 
 
 4⋅cos(x)⋅sen(x)4⋅cos(x)⋅sen(x) 
 4⋅tan(x)4⋅tan(x) 
 −4⋅tan(4x)-4⋅tan(4x) 
 4⋅cos(x)sen(x)4⋅cos(x)sen(x) 
 4⋅tan(4x)4⋅tan(4x) 
Respondido em 03/09/2019 12:02:08 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determine a derivada da função f(x) = sqrt(ln x) 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
1/2x 
 1/2x (sqrt(ln x)) 
 
1/2 (sqrt(ln x)) 
 
(sqrt(ln x)) 
Respondido em 03/09/2019 12:02:12 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen x. Encontre a produção 
inicial f '(0) da função f(x) . 
 
 
0,4 
 
0,5 
 
0 
 1 
 
2 
Respondido em 03/09/2019 12:02:16 
 
 
Explicação: 
f(x) = sen x 
derivada de f(x) será f '(x) = cos x 
f ' (0) = cos 0 = 1 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O suor expelido (em mililitros) por uma pessoa após t horas 
é dada pela função ajustada f(t) = −115-115 t3 + t2 + 2t , 
quando t∈[0,12]t∈[0,12] . Qual a taxa de suor expelido 
em 5 horas? 
 
 7 
 
3 
 
4 
 
1 
 
17 
Respondido em 03/09/2019 12:02:20 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Derive a função f(x) = e(u) , onde u = x2 +3x - 5 
 
 
e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 
u e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 
u' e , onde u' = 2x + 3 . (u' = derivada da função u) 
 
u e(u) , onde u = x2 + 2x - 5 
 u' e
(u) , onde u' = 2x + 3 e u = x2 + 3x - 5. (u' = derivada da função u) 
Respondido em 03/09/2019 12:02:26 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Diferencie a função f(x) aplicando as regras básicas para diferenciação. 
 
 
 
0 
 
10x + 5x + 6 
 
 x10+ x5 
 
 
 
 
Respondido em 03/09/2019 12:02:30 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Calcule a derivada da funçao f(x) = (x2 + 2) 1/3 
 
 f '(x) = (2x) / (3 ( (x
2 + 2) 2 ) 1/3) 
 
 f '(x) = (2x) / ( (x2 + 2) 2 ) 
 
 f '(x) = x / (x2 + 2) 2 
 
 f '(x) = (x) / (x2 ) 1/3 
 
 f '(x) = (2x) / (3 (x2 + 2) 2 ) 
Respondido em 03/09/2019 12:02:37 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível. 
 
 
retângulo de lados x = 12 e y = 13 
 
retângulo de lados x = 15 e y = 12 
 x= 25 e y = 25 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 20 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 12 
 
 1a Questão 
 
 
Derive a função f(x) = etg x 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f ´(x) = sen x etg x 
 
f ´(x) = etg x 
 f ´(x) = sec
2 x etg x 
 
f ´(x) = tg x etg x 
Respondido em 03/09/2019 12:03:07 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Paulo apresentou a derivada da função f(x) = 5x . ln(cos x) para turma como parte da nota da 
prova. Podemos afirmar que a a derivada da função f(x) encontrada por Paulo sabendo que ele apresentou 
corretamente foi: 
 
 f´(x) = 5ln(cos x) - (5x . sen x)/cos x 
 
f´(x) = (5x . sen x)/cos x 
 
f´(x) = 5ln(cos x) 
 
f´(x) = -(5x . sen x)/cos x 
 
f´(x) = 5 - (5x . sen x)/cos x 
Respondido em 03/09/2019 12:03:11 
 
 
Explicação: 
Derivada de 5x .ln (cos x) 
Aplicação da regra do produto e da regra da cadeia. 
5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * ( cos x) ' 
= 5 ln (cos x) + 5 (1/cos x) * (- sen x) 
= 5 ln (cos x) + (-5 sen x) /cos x) 
= 5 ln (cos x) - (5 sen x) /cos x) 
Ou ainda poderimos dizer que 
= 5 ln (cos x) + (-5 tg x) 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Um pesquisador precisa definir a derivada da função f(x) = 1/x para concluir sua pesquisa. Podemos 
afirmar que a derivada da função f(x) = 1/x encontrada foi: 
 
 
f´(x) = 1 / (x³) 
 f´(x) = -1 / (x²) 
 
f´(x) = 1/x 
 
f´(x) = 1 
 
f´(x) = x 
Respondido em 03/09/2019 12:03:17 
 
 
Explicação: 
A deriva de f(x) = 1/x será dada pela regra do quociente. 
f ' (x) = [0 . x - 1. 1 ] / x2 = - 1/x2 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Pedro deseja encontrar a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1 para incluir em seu 
relatório. Mostre qual o resultado encontrado por Pedro. 
 
 
125 
 
130 
 135 
 
145 
 
140 
Respondido em 03/09/2019 12:03:22 
 
 
Explicação: 
Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1. 
3(5x−2)2∗53(5x−2)2∗5 
15(5x - 2)2 
Em x = 1 
15 * 9 = 135 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma função composta h(x) é definida como h(x) = g(f(x)). Baseada em tal informação podemos garantir 
que para derivação da função h(x) devemos utilizar a regra de derivação: 
 
 
Regra da Soma 
 
Regra do produto 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
Regra do quociente 
 Regra da cadeia 
Respondido em 03/09/2019 12:03:28 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a primeira e a segunda derivadas da função f(x) = x 3 (x+2) 2 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +6x 8 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 15x3 + 48x 2 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 5x +16x 3 12x 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2+2 
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 + 24x 
 Primeira derivada: f´(x) = 5x
4 +16x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 +48x 2 24x 
 
Primeira derivada: f´(x) = 3x4 +6x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 9x3 +48x 2 24x 
Respondido em 03/09/2019 12:03:45 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine a derivada da função f(x) = sqrt(ln x) 
 
 
1/2 (sqrt(ln x)) 
 
(sqrt(ln x)) 
 1/2x (sqrt(ln x)) 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
1/2x 
Respondido em 03/09/2019 12:05:11 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen x. Encontre a produção 
inicial f '(0) da função f(x) . 
 
 
2 
 
0 
 1 
 
0,40,5 
Respondido em 03/09/2019 12:05:13 
 
 
Explicação: 
f(x) = sen x 
derivada de f(x) será f '(x) = cos x 
f ' (0) = cos 0 = 1 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Determine a derivada da função f(x) = sqrt(ln x) 
 
 
 
1/2 (sqrt(ln x)) 
 
 
(sqrt(ln x)) 
 
 
1/2x 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
1/2x (sqrt(ln x)) 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Um pesquisador precisa definir a derivada da função f(x) = 1/x para concluir sua 
pesquisa. Podemos afirmar que a derivada da função f(x) = 1/x encontrada foi: 
 
 
f´(x) = 1 
 
 
f´(x) = 1/x 
 
 
f´(x) = -1 / (x²) 
 
 
f´(x) = x 
 
 
f´(x) = 1 / (x³) 
 
 
 
Explicação: 
A deriva de f(x) = 1/x será dada pela regra do quociente. 
f ' (x) = [0 . x - 1. 1 ] / x2 = - 1/x2 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
A derivada 
def(x)=ln(cos(4x))éf(x)=ln(cos(4x))é : 
 
 
 
4⋅tan(x)4⋅tan(x) 
 
 
4⋅tan(4x)4⋅tan(4x) 
 
 
−4⋅tan(4x)-4⋅tan(4x) 
 
 
4⋅cos(x)⋅sen(x)4⋅cos(x)⋅sen(x) 
 
 
4⋅cos(x)sen(x)4⋅cos(x)sen(x) 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a primeira e a segunda derivadas da função f(x) = x 3 (x+2) 2 
 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 5x +16x 3 12x 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 3x4 +6x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 9x3 +48x 2 24x 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2+2 
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 + 24x 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +16x 3 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 20x3 +48x 2 24x 
 
 
Primeira derivada: f´(x) = 5x4 +6x 8 12x 2 
Segunda derivada: f´´(x) = 15x3 + 48x 2 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Afirma-se que produção de laranja é definida pela derivada da função f(x) = sen 
x. Encontre a produção inicial f '(0) da função f(x) . 
 
 
0,5 
 
 
0,4 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
f(x) = sen x 
derivada de f(x) será f '(x) = cos x 
f ' (0) = cos 0 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Pedro deseja encontrar a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x 
= 1 para incluir em seu relatório. Mostre qual o resultado encontrado por Pedro. 
 
 
135 
 
 
145 
 
 
130 
 
 
125 
 
 
140 
 
 
 
Explicação: 
Utilizando a regra da cadeia, determine a derivada da função y = (5x-2)³ no ponto de abscissa x = 1. 
3(5x−2)2∗53(5x−2)2∗5 
15(5x - 2)2 
Em x = 1 
15 * 9 = 135 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Derive a função f(x) = e(u) , onde u = x2 +3x - 5 
 
 
 
u' e , onde u' = 2x + 3 . (u' = derivada da função u) 
 
 
u e(u) , onde u = x2 + 2x - 5 
 
 
u' e(u) , onde u' = 2x + 3 e u = x2 + 3x - 5. (u' = derivada da função u) 
 
 
e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 
 
u e(u) , onde u = x2 + 3x - 5 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior 
possível. 
 
 
x= 25 e y = 25 
 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 12 
 
 
retângulo de lados x = 10 e y = 20 
 
 
retângulo de lados x = 15 e y = 12 
 
 
retângulo de lados x = 12 e y = 13 
 
AULA 4 
 1a Questão 
 
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado f(x) = x2 + 
x + 1 no ponto (1,3). 
 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 11 
 
reta tangente : y = 3x + 3 reta normal : y = x + 3 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 10 
 reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3) 
 
reta tangente : y = x reta normal : y = (1/3)x + 3 
Respondido em 03/09/2019 12:05:25 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x 2 - 7 no ponto (2,1) 
 
 
y = 8x -16 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 y = 8x -15 
 
y = 3x + 1 
 
y = 8x - 29 
Respondido em 03/09/2019 12:05:32 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de 
um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada 
de arranco. Portanto calcule o arranco e a aceleração da função s(t) = y = x2+ 2x 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
aceleração = 2x 
arraco = 0 
 aceleração = 2 
arraco = 0 
 
aceleração = 2x2 
arraco = 0 
 
aceleração = 0 
arraco = 0 
Respondido em 03/09/2019 12:05:36 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Encontre a inclinação da reta tangente a curva y =x2-5x+20 no ponto (x1,y1) 
 
 m(x1) = 2x1 - 5 
 
m(x1) = 3x1 
 
m(x1) = x1 - 11 
 
m(x1) = x1 - 9 
 
m(x1) = x1 - 5 
Respondido em 03/09/2019 12:05:56 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de 
um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada 
de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = 1/x 
 
 
zero 
 
f´´´ = x 2 
 f ´´´= - 6/ x
4 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f´´´ = x 
Respondido em 03/09/2019 12:06:02 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto 
indicado. 
 
 
 1/4 
 
2 
 
9 
 
0 
 
7 
Respondido em 03/09/2019 12:06:07 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Aplicando derivadas sucessivas, podemos afirmar que a 
segunda derivada dessa função será: 
 
 
3x² - 2x + 4 
 
3x + 4 
 6x - 12 
 
6x + 9 
 
3x² - 12x + 9 
Respondido em 03/09/2019 12:06:10 
 
 
Explicação: 
x3−6x2+9x+2x3−6x2+9x+2 
A primeira derivada será 3x2−12x+93x2−12x+9 
A segunda derivada será 6x−126x−12 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a: 
 
 
-3 
 
-1 
 
0 
 2 
 
1 
 
 
 1a Questão 
 
 
Dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar 
o efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Assim, se C(q) é o custo de 
produção de q unidades de um certo produto, então o Custo Marginal, quando q 
=q1, é dada por C´(q1), caso exista. A função C´ é chamada Função Custo Marginal e 
freqüentemente é uma boa aproximação do custo de produção de uma unidade 
adicional. Considerando que a função custo de determinada mercadoria é expressa 
por C(x)=5x²+10x+3C(x)=5x²+10x+3, podemos afirmar que a função custo 
marginal será expressa por: 
 
 
C´(x)=5x+10 
 
C´(x)= 5x 
 C´(x)= 10x+10 
 
C´(x)=10x 
 
C´(x)=10x+3 
Respondido em 03/09/2019 12:06:32 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O valor de f ´´( 0 ) da função f( x ) = sen x é de: 
 
 
0,5. 
 
0,4. 
 
1. 
 0. 
 
2. 
Respondido em 03/09/2019 12:06:43 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de 
um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada 
de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3 
 
 
y´´´ = 6x 
 y ´´´ = 6 
 
y´´´ = 0 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
y´´´ = 3 
Respondido em 03/09/2019 12:06:594a Questão 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a função posição s = s(t) de 
um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo assim a derivada terceira da função s(t) é chamada 
de arranco. Portanto calcule o arranco da função s(t) = y = 1/x 
 
 
zero 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
f´´´ = x 
 f ´´´= - 6/ x
4 
 
f´´´ = x 2 
Respondido em 03/09/2019 12:07:14 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a: 
 
 2 
 
1 
 
-3 
 
-1 
 
0 
Respondido em 03/09/2019 12:07:18 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no ponto 
indicado. 
 
 
 
7 
 
0 
 1/4 
 
9 
 
2 
Respondido em 03/09/2019 12:07:24 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto indicado f(x) = x2 + 
x + 1 no ponto (1,3). 
 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 10 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 11 
 
reta tangente : y = 3x + 3 reta normal : y = x + 3 
 reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3) 
 
reta tangente : y = x reta normal : y = (1/3)x + 3 
Respondido em 03/09/2019 12:07:28 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere a função f(x) = x³ - 6x² + 9x + 2. Aplicando derivadas sucessivas, podemos afirmar que a 
segunda derivada dessa função será: 
 
 
3x + 4 
 
6x + 9 
 
3x² - 2x + 4 
 6x - 12 
 
3x² - 12x + 9 
Respondido em 03/09/2019 12:07:33 
 
 
Explicação: 
x3−6x2+9x+2x3−6x2+9x+2 
A primeira derivada será 3x2−12x+93x2−12x+9 
A segunda derivada será 6x−12 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
O valor de f ´´( 0 ) da função f( x ) = sen x é de: 
 
 
 
0,5. 
 
 
2. 
 
 
1. 
 
 
0. 
 
 
0,4. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no 
ponto indicado f(x) = x2 + x + 1 no ponto (1,3). 
 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 10 
 
 
reta tangente : y = 3x reta normal : y = (-1/3)x + (10/3) 
 
 
reta tangente : y = 3x +5 reta normal : y = -3x + 11 
 
 
reta tangente : y = 3x + 3 reta normal : y = x + 3 
 
 
reta tangente : y = x reta normal : y = (1/3)x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x 2 - 7 no 
ponto (2,1) 
 
 
 
y = 8x -15 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
y = 8x -16 
 
 
y = 8x - 29 
 
 
y = 3x + 1 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a 
função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo 
assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule 
o arranco da função s(t) = y = 1/x 
 
 
f ´´´= - 6/ x4 
 
 
f´´´ = x 
 
 
f´´´ = x 2 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
zero 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Calcule o coeficiente angular m da reta tangente ao gráfico de cada função no 
ponto 
indicado. 
 
 
 
 
7 
 
 
1/4 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a 
função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo 
assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule 
o arranco da função s(t) = y = x3 - 6 x2 - 3x + 3 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
y´´´ = 3 
 
 
y´´´ = 6x 
 
 
y´´´ = 0 
 
 
y ´´´ = 6 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Podemos interpretar a derivada terceira fisicamente no caso onde a função é a 
função posição s = s(t) de um objeto que se move ao longo de uma reta. Sendo 
assim a derivada terceira da função s(t) é chamada de arranco. Portanto calcule 
o arranco e a aceleração da função s(t) = y = x2+ 2x 
 
 
aceleração = 2x2 
arraco = 0 
 
 
aceleração = 0 
arraco = 0 
 
 
aceleração = 2x 
arraco = 0 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
aceleração = 2 
arraco = 0 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Seja f(x) = 2x-3. A derivada de f no ponto x=1 é igual a: 
 
 
 
1 
 
 
-1 
 
 
0 
 
 
-3 
 
 
2 
AULA 5 
 1a Questão 
 
Determine c pertencente ao intevalo (0,4) para o qual a reta tangente ao gráfico da função f (x) = x2 - 5x 
+ 6 no ponto P (c, f (c)) seja paralela à reta secante que passa pelos pontos A(0,f (0)) e B(4,f (4)). 
 
 
Como f é uma função contínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor 
Intermediário garante que não existe c pertencente ao intervalo (0,4). 
 Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema 
do Valor Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 2. 
 
Como f é uma função descontínua e não derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor 
Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 3. 
 
Como f é uma função polinomial, então é descontínua e derivável em todo o seu domínio. O 
Teorema do Valor Médio não garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4). 
 
Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema 
do Valor Intermediário garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 1. 
Respondido em 03/09/2019 12:07:49 
 
 
Explicação: 
Como f é uma função polinomial, então é contínua e derivável em todo o seu domínio. O Teorema do Valor 
Médio garante a existência de c pertencente ao intervalo (0,4), tal que c = 2. 
f ´ (c) = (f (b) - f (a))/ (b - a) portanto a derivada de f aplicado no ponto c será 2c - 5 . Podemos 
escrever (f (4) - f (0)) / (4 - 0) = 2c - 5 pois A(0,f (0)) e B(4, f (4)) , f(0) = 6 e f(4) = 2 então c = 2. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Uma bola de metal é arremessada para o alto segundo a função s(t)=20t-2t2, onde s é medido em metros 
e t em segundo. Utilizando a derivação, determine o tempo necessário para que esta bola de metal atinja a 
altura máxima e o valor desta altura. 
 
 
5s e 25m 
 5s e 50m 
 
2,5s e 25m 
 
4s e 48m 
 
2,5s e 50m 
Respondido em 03/09/2019 12:07:55 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio. Supondo f(x) 
= 1 - (1/x), no intervalor (1,2), determine o valor de c aplicando o Teorema do Valor Médio. 
 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em 
(1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 7 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel em 
(1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 4 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 
1 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é 
derivavel em (1,2) então não existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) 
 A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logocontínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este 
é c=√ 2 c=2 
Respondido em 03/09/2019 12:07:59 
 
 
Explicação: 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel 
em (1,2), f´(x) = 1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada 
de f no ponto c é f ' (c) = 1/c2 e (f(2)-f(1))/ (2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto mas somente o 
valor positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto é o valor de que satisfaz o teorema do valor 
médio. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. Utilize o Teorema do 
valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no 
intervalo ( 0 , 1 ) . 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em 
R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 Seja f(x) = 2x 
4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em 
R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em 
R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos 
que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) < 0 
• f(1) < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos 
que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) > 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua em 
R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) >0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
Respondido em 03/09/2019 12:08:05 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Utilizando o Teorema do Valor Médio, analise a função f(x) = em [1,2] e conclua quais das afirmações 
abaixo são verdadeiras: 
I - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois temos os limites a direira e a esquerda do ponto 2 iguais a 5 
portanto f(x) é continua em [1,2] e f(2) = 1; 
II - O Teorema do Valor Médio não é satisfeito pois a função não possui limite a esquerda de 2 e portanto a 
função não é contínua no intervalo [1,2]; 
II - O Teorema do Valor Médio é satisfeito pois os limites a direita e a esquerda do ponto 2 é igual a infinito 
e f(2) = 1. 
 
 
Apenas a opção III é verdadeira 
 
As opções I e II são falsas 
 Apenas a opção II esta correta. 
 
Apenas a opção I é verdadeira 
 
As opções I e III são verdadeiras 
Respondido em 03/09/2019 12:08:11 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Dada a equação y=3x+5y=3x+5 e dxdt=2dxdt=2, 
calcule dydtdydt quando x=1x=1. 
 
 
5 
 
- 6 
 
- 2 
 
2 
 6 
Respondido em 03/09/2019 12:08:18 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Para mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2 devermos utilizar um 
determinado teorema que supõe que seja f contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um número 
qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que 
f (c) = N . Podemos afirmar que: 
 
 
 
 O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz c 
no intervalo (1,2). 
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem uma raiz c no 
intervalo (1,2). 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Medio e a equação tem pelo menos uma raiz c no 
intervalo (1,2). 
 
O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2). 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz c no intervalo (1,2). 
Respondido em 03/09/2019 12:08:24 
 
 
Explicação: 
O teorema descrito é o Teorema do Valor intermediário que garante que supondo f contínua em um 
intervalo fechado [a,b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f 
(b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . 
Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f (c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do 
Valor intermediário, temos: 
f (1) = −1 < 0 
f (2) = 12 > 0: 
Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um 
polinômio, o TVI afirma que existe um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a 
equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2). 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja f a função polinomial definida pela equação f(x) = x5 - 2 x3 -1. Usando o teorema do valor intermediário 
podemos afirmar que existe uma raiz de f(x) entre 
 
 
zero é a única raiz 
 
Nenhuma das repostas anteriores 
 
Não existe raiz real 
 
Só possui raiz complexa. 
 1,5 e 1,6 
 
 
 1a Questão 
 
 
O fólio de Descartes é representado pela 
expressão x3+y3=6xyx3+y3=6xy. Encontre dydxdydx 
 
 dydx=2y3−x2y−2xdydx=2y3-x2y-2x 
 dydx=2y3−x2y2−2xdydx=2y3-x2y2-2x 
 dydx=2y+x2y2+2xdydx=2y+x2y2+2x 
 
dydx=2y−x2y2−2xdydx=2y-x2y2-2x 
 dydx=x2y2−2xdydx=x2y2-2x 
Respondido em 03/09/2019 12:08:48 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Calcule a Primeira Derivada da Função, F(x)= 10X - 9. 
 
 10 
 
9 
 
-9 
 
1 
 
19 
Respondido em 03/09/2019 12:08:54 
 
 
Explicação: Aplicação da primeira derivada. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O Teorema de Rolle é definido como: 
 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 
0. 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que 
f´(c) diferente de zero. 
 Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 
0. 
 
Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que f´(c) = 
0. 
Respondido em 03/09/2019 12:08:59 
 
 
 
 
 4a QuestãoPara demonstrar que a equação x3 + x - 1 = 0 existe uma raiz entre 0 e 1 devemos: 
 
 Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua , é uma função polinomial, f 
(0) = - 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é descontínua, não é uma função polinomial, f 
(0) = 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) = 1 e 
f (1) = - 3, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua, é uma função polinomial, f 
(0) = 2 e f (1) = 1, logo não existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é descontínua, é uma função polinomial, f 
(0) = 2 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
Respondido em 03/09/2019 12:09:05 
 
 
Explicação: 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que f é contínua pois é uma função 
polinomial, f (0) = -1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x 
 
 
f´(x) = -e sen x 
 
f´(x) = - cos x e sen x 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 f´(x) = cos x e 
sen x 
 
f´(x) = e 
Respondido em 03/09/2019 12:09:08 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja f(x) = x³-8x. Os pontos de mínimo e máximo, respectivamente, de f são: 
 
 
x=0 e x=2 
 x=2 e x=-2 
 
x=1 e x=2 
 
x=0 e x=1 
 
x=0 e x=-2 
Respondido em 03/09/2019 12:09:23 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 O ponto de inflexão da função f(x)=(4x+1)3 é dado por: 
 
 
 (0,1/4) 
 
 (4,1/4) 
 
 (4,-1/2) 
 (-1/4,0) 
 
 (-1/2,0) 
Respondido em 03/09/2019 12:09:38 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do Valor Médio. Supondo f(x) 
= 1 - (1/x), no intervalor (1,2), determine o valor de c aplicando o Teorema do Valor Médio. 
 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função 
também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor 
Médio) e este é 1 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e 
este é 4 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é 
derivavel em (1,2) então não existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor 
Médio) 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e 
este é 7 
 A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função 
também é derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor 
Médio) e este é c=√ 2 c=2 
Respondido em 03/09/2019 12:09:53 
 
 
Explicação: 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel 
em (1,2), f´(x) = 1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada de 
f no ponto c é f ' (c) = 1/c2 e (f(2)-f(1))/ (2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto mas somente o valor 
positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto é o valor de que satisfaz o teorema do valor médio. 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a derivada de cada função f(x) = e sen x 
 
 
 
f´(x) = e 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
f´(x) = - cos x e sen x 
 
 
f´(x) = cos x e sen x 
 
 
f´(x) = -e sen x 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Para demonstrar que a equação x3 + x - 1 = 0 existe uma raiz entre 0 e 1 
devemos: 
 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é descontínua, não é uma função polinomial, f 
(0) = 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua , é uma função polinomial, 
f (0) = - 1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é descontínua, é uma função 
polinomial, f (0) = 2 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário pois f é contínua, é uma função polinomial, f 
(0) = 2 e f (1) = 1, logo não existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Médio pois f é contínua, é uma função polinomial, f (0) 
= 1 e f (1) = - 3, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
 
Explicação: 
Devemos utilizar o Teorema do Valor Intermediário podemos afirmar que f é contínua pois é uma função 
polinomial, f (0) = -1 e f (1) = 1, logo existe um c entre 0 e 1 tal que f (c) = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x) = x³-8x. Os pontos de mínimo e máximo, respectivamente, de f são: 
 
 
 
x=2 e x=-2 
 
 
x=1 e x=2 
 
 
x=0 e x=-2 
 
 
x=0 e x=1 
 
 
x=0 e x=2 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 O ponto de inflexão da função f(x)=(4x+1)3 é dado por: 
 
 
 
 (0,1/4) 
 
 
 (4,-1/2) 
 
 
 (4,1/4) 
 
 
 (-1/2,0) 
 
 
 (-1/4,0) 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Para mostrar que existe uma raiz da equação 4x3 − 6x2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2 
devermos utilizar um determinado teorema que supõe que seja f contínua em 
um intervalo fechado [a, b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em 
que f (a) seja diferente de f (b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) 
= N . Podemos afirmar que: 
 
 
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Médio e a equação não tem raiz c no intervalo (1,2). 
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação não tem uma raiz c no 
intervalo (1,2). 
 
 
O teorema descrito é o Teorema de Rolle e a equação não tem uma raiz c no intervalo (1,2). 
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Intermediário e a equação tem pelo menos uma raiz c 
no intervalo (1,2). 
 
 
 
O teorema descrito é o Teorema do Valor Medio e a equação tem pelo menos uma raiz c no 
intervalo (1,2). 
 
 
 
Explicação: 
O teorema descrito é o Teorema do Valor intermediário que garante que supondo f contínua em um 
intervalo fechado [a,b] e seja N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) seja diferente de f 
(b). Então existe um número c em (a,b) tal que f (c) = N . 
Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f (c) = 0.Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema 
do Valor intermediário, temos: 
f (1) = −1 < 0 
f (2) = 12 > 0: 
Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um 
polinômio, o TVI afirma que existe um número c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a 
equação tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2). 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
O Teorema de Rolle é definido como: 
 
 
 
Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que 
f´(c) = 0. 
 
 
Seja f uma função descontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal 
que f´(c) = 0. 
 
 
Seja f uma funçãocontínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja não diferenciável no 
intervalo aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal 
que f´(c) = 0. 
 
 
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Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a,b] tal que f seja diferenciável no intervalo 
aberto (a,b) e f(a) = f(b). Existe pelo menos um número c no intervalo aberto (a,b) tal que 
f´(c) diferente de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Supondo que um certo fenômeno físico é descrito pela equaçao, definida a seguir. 
Utilize o Teorema do valor Intermediário, para verificar que a equação 2 x 4 - 9 
x 2 + 4 = 0 tem pelo menos uma solução no intervalo ( 0 , 1 ) . 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos 
que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) >0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) < 0 
• f(1) < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos 
que: 
• f é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f é uma funçao contínua 
em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f é contínua no intervalo fechado [0,1]. Observamos 
que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) = 4 > 0 
• f(1) = -3 < 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
 
Seja f(x) = 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0, f é uma funçao polinomial e portanto f nao é uma funçao 
contínua em R. Como [0,1], Dom f = R, temos que f nao é contínua no intervalo fechado [0,1]. 
Observamos que: 
• f nao é contínua em [0,1]. 
• f(0) > 0 
• f(1) > 0 
Portanto pelas condiçoes do TVI, existe c pertencente a (0,1) tal que f(c) = 0. Logo existe pelo 
menos uma soluçao da equaçao 2x 4 - 9x 2 + 4 = 0 no intevalo (0,1). 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Podemos provar que existe um valor c que satisfaz as condições do Teorema do 
Valor Médio. Supondo f(x) = 1 - (1/x), no intervalor (1,2), determine o valor de c 
aplicando o Teorema do Valor Médio. 
 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este 
é c=√ 2 c=2 
 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel 
em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 4 
 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é 
derivavel em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este 
é 1 
 
 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função não é 
derivavel em (1,2) então não existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) 
 
 
A função f(x) dada é continua em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel 
em (1,2) então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio) e este é 7 
 
 
 
Explicação: 
A função f(x) dada é descontinua somente em x=0, logo contínua em [1,2] a função também é derivavel 
em (1,2), f´(x) = 1/x2 .Então existe um valor c que satisfaz o TVM (Teorema do Valor Médio). A derivada 
de f no ponto c é f ' (c) = 1/c2 e (f(2)-f(1))/ (2-1) = 1/2 logo 1/c2 =1/2 portanto mas somente o 
valor positivo esta dentro do intervalo (1,2) portanto é o valor de que satisfaz o teorema do valor 
médio. 
 
AULA 06 
 
 
 
1. 
 
 
Marcelo tem 1000m de grade com os quais ele 
pretende construir um cercado retangular para seu 
pequeno poodle. Quais as dimensões do cercado 
retangular de área máxima? 
 
 
 
100 por 100 
 
 
250 por 100 
 
 
200 por 200 
 
 
150 por 150 
 
 
250 por 250 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Tem-se 1000 metros de grade com os quais pretende-se construir 
uma varanda retangular. Supondo x a largura e y o comprimento. 
Quais as dimensões do cercado retangular de área máxima ? 
 
 
x = 250 e y = 250, ou seja, o cercado máximo é um quadrado 
 
 
x = 100 e y = 300 
 
 
x = 250 e y = 300 
 
 
x = 150 e y = 200 
 
 
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3. 
 
 
Dada a função real de variável real definida por y = 4x³ - x² - 24x 
- 1. Podemos afirmar que: 
 
 
Tem valor máximo para x = 3/2. 
 
 
Possui somente concavidade voltada para cima. 
 
 
Tem valor mínimo para x = - 4/3. 
 
 
Tem valor mínimo para x = - 4/3 e um valor máximo para x = 1/2 
 
 
É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. 
 
 
 
Explicação: 
Para analisar se a função é decrescente/ crescente basta fazer a primeira derivada e analisar antes e 
depois dos pontos encontrados. 
Derivada de 4x3 - x2 - 24 x será 12 x2 - 2x - 24 as raizes dessa equação será 36/24 = 3/4 e -
32/24 = - 4/3 
Portanto analisaremos antes e depois destes números. 
antes de - 4/3 que é aproximadamente - 1,333... f ' (-2) = 28 positivo 
depois de -4/3 será f ' ( 0) = - 24 => negativo 
antes de 3/4 que é aproximadamente 1.5 tomaremos 1 ... f'(1) = -14 => negativo 
depois de 3/4 pegaremos f ' (2) = 20 => positivo 
Agora analisando as respostas 
É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo-se que a função f(x) satisfaz as seguintes condições 
abaixo. 
a) f´(x) > o em ]-oo,1[ 
b) f´(x) < 0 em ]1,oo[ 
c) f´´(x) > 0 em ]-oo,-2[ e ]2,oo[ 
d) f´´(x) < 0 em ]-2,2[ 
e) O limite de f(x) quando x tende a menos infinito tem valor -2 
f) O limite de f(x) quando x tende a infinito tem valor 0 
Podemos afirmar que a função f(x) possui intervalo crescente ou/e 
decrescente em: 
 
 
A função é crescente em ]-oo,1[ e decrescente ]1,oo[ 
 
 
A função é sempre crescente 
 
 
A função é crescente em ]-oo,5[ e decrescente ]5,oo[ 
 
 
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A função é sempre decrescente 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o ponto crítico da 
função 
 
 
 
0 
 
 
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3 e 4 
 
 
3 
 
 
2 e 3 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A derivada da 
função F(x)=3x2−5xy+y2=5F(x)=3x
2-5xy+y2=5 é: 
 
 
 
y'(x)=5x−2y5x−yy′(x)=5x-2y5x-y 
 
 
y'(x)=6x−5y5x−2yy′(x)=6x-5y5x-2y 
 
 
y'(x)=5x−6y5x−2yy′(x)=5x-6y5x-2y 
 
 
y'(x)=6x+5y5x−2yy′(x)=6x+5y5x-2y 
 
 
y'(x)=6x−2y5x−2yy′(x)=6x-2y5x-2y 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = 
x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo fechado[-1/2, 4] 
 
 
máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Use diferenciação implícita para a 
função `x 3 - 3 x2y4 - 3 y4 = x + 1`. 
Encontre dydxdydx. 
 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = 0 
 
 
dydxdydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = -1 + 3x2 - 6xy4 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Podemos determinar o ponto de máximo/mínimo ou inflexão de 
uma função utilizando alguns procedimentos de derivação, como 
os testes da derivada primeira e da derivada segunda. Desta 
maneira, marque a alternativa que contem o ponto de máximo da 
função f(x)=2+4x - (x3)/3. 
 
 
-2 
 
 
0 
 
 
38/3 
 
 
2 
 
 
-38/3 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f(x)=x³. Podemos afirmar que: 
 
 
 
f não tem pontos críticos 
 
 
f tende a zero quando x tende a infinito 
 
 
0 é ponto de inflexão 
 
 
0 é ponto de mínimo local 
 
 
0 é ponto de máximo local 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um psiculturista tem 120m de rede para cercar um criadouro 
de peixes em cativeiro de base retangular que está na margem de 
um rio reto, com 100m de largura . A margem será um dos lados 
do criadouro, não sendo necessário colocar rede ao longo desta 
margem e pretende-se que o criadouro tenha a maior área 
possível. 
Marque a alternativa com as dimensões da base retangular 
do criadouro que satisfaz a condição acima. 
 
 
30mx60m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
 
 
30mx60m, sendo utilizados 60m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
 
20mx50m, não importando a metragem da margem do rio usada como um lados do criadouro. 
 
 
30mx60m, sendo utilizados 30m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
 
35mx50m, sendo utilizados 50m da margem do rio como um lados do criadouro. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Entre 0 oC e 20 o C, o volume ( em centímetros cúbicos) de 1 000 
centímetros cúbicos de água a uma temperatura T é 
aproximadamente dado pela fórmula V = 999 - 0,064 T + 0,0085 
T2 - 0,000067 T3. Encontre a temperatura na qual a água tem sua 
densidade máxima. ( densidade= massa/ volume ). 
 
 
6 
 
 
5 
 
 
3,96 
 
 
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2 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma função real de variável real y, cuja derivada primeira é dada 
pela função y' = x² - 7x + 12, possui a propriedade: 
 
 
y tem valor mínimo para x = 2. 
 
 
É sempre decrescente. 
 
 
É crescente para x > 0 e decrescente para x < 0 
 
 
É sempre crescente. 
 
 
y possui um valor máximo em x = 3. 
 
 
 
Explicação: 
Fazendo a segunda derivada podemos verificar se existe o máximo ou mínimo no ponto dado. 
y " = 2x - 7 aplicado no ponto 3 entao y" (3) = -1 < 0 portanto pelo Teorema da segunda deriva 
podemos afirmar que em 3 é um ponto de máximo da função. 
y" (2) = - 3 não é ponto de minimo pois não satisfaz a condição do Teorema da segunda derivada. 
Se analisar o gráfico da primeira derivada podemos observar que é uma parabola voltada para cima 
passando nos pontos 3 e 4 portanto não podemos garantir que é crescente para x > 0 e decrescente 
para x < 0 ou mesmo que a função é sempre crescente ou sempre decrescente. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma cervejaria quer produzir suas próprias latinhas para isso 
solicitou uma análise para determinar as dimensões da latinha 
fabricada de forma que a quantidade de matéria prima para a 
fabricação fosse mínima. Para isso foneceu as seguintes 
informações: 
• A lata deve ter formato cicídrico (sem tampa) 
• Tem volume de 5 centímetros cúbicos 
Quais as dimensões encontradas ? 
 
 
raio é aproximadamente 1,17 cm e altura aproximadamente 1,7 cm 
 
 
raio é aproximadamente 1 cm e altura aproximadamente 2 cm 
 
 
raio é aproximadamente 2 cm e altura aproximadamente 2 cm 
 
 
raio é aproximadamente 2,50 cm e altura aproximadamente 3 cm 
 
 
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Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = 
x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo fechado [-1/2, 4] 
 
 
máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1 
 
 
máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Use diferenciação implícita para a 
função `x 3 - 3 x2y4 - 3 y4 = x + 1`. 
Encontre dydxdydx. 
 
 
 
dydxdydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = 0 
 
 
dydxdydx = -1 + 3x2 - 6xy4 
 
1. 
 
 
Marcelo tem 1000m de grade com os quais ele pretende construir um cercado 
retangular para seu pequeno poodle. Quais as dimensões do cercado retangular 
de área máxima? 
 
 
 
250 por 100 
 
 
200 por 200 
 
 
250 por 250 
 
 
150 por 150 
 
 
100 por 100 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Tem-se 1000 metros de grade com os quais pretende-se construir 
uma varanda retangular. Supondo x a largura e y o comprimento. 
Quais as dimensões do cercado retangular de área máxima ? 
 
 
x = 150 e y = 200 
 
 
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x = 250 e y = 300 
 
 
x = 100 e y = 300 
 
 
x = 250 e y = 250, ou seja, o cercado máximo é um quadrado 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Dada a função real de variável real definida por y = 4x³ - x² - 24x 
- 1. Podemos afirmar que: 
 
 
Tem valor mínimo para x = - 4/3. 
 
 
É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. 
 
 
Tem valor máximo para x = 3/2. 
 
 
Possui somente concavidade voltada para cima. 
 
 
Tem valor mínimo para x = - 4/3 e um valor máximo para x = 1/2 
 
 
 
Explicação: 
Para analisar se a função é decrescente/ crescente basta fazer a primeira derivada e analisar antes e 
depois dos pontos encontrados. 
Derivada de 4x3 - x2 - 24 x será 12 x2 - 2x - 24 as raizes dessa equação será 36/24 = 3/4 e -
32/24 = - 4/3 
Portanto analisaremos antes e depois destes números. 
antes de - 4/3 que é aproximadamente - 1,333... f ' (-2) = 28 positivo 
depois de -4/3 será f ' ( 0) = - 24 => negativo 
antes de 3/4 que é aproximadamente 1.5 tomaremos 1 ... f'(1) = -14 => negativo 
depois de 3/4 pegaremos f ' (2) = 20 => positivo 
Agora analisando as respostas 
É decrescente no intervalo {- 4/3 < x < 3/2}. 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Sabendo-se que a função f(x) satisfaz as seguintes condições 
abaixo. 
a) f´(x) > o em ]-oo,1[ 
b) f´(x) < 0 em ]1,oo[ 
c) f´´(x) > 0 em ]-oo,-2[ e ]2,oo[ 
d) f´´(x) < 0 em ]-2,2[ 
e) O limite de f(x) quando x tende a menos infinito tem valor -2 
f) O limite de f(x) quando x tende a infinito tem valor 0 
Podemos afirmar que a função f(x) possui intervalo crescente ou/e 
decrescente em: 
 
 
A função é sempre crescenteA função é crescente em ]-oo,1[ e decrescente ]1,oo[ 
 
 
A função é crescente em ]-oo,5[ e decrescente ]5,oo[ 
 
 
A função é sempre decrescente 
 
 
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5. 
 
 
Determine o ponto crítico da 
função 
 
 
 
3 
 
 
2 e 3 
 
 
0 
 
 
3 e 4 
 
 
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6. 
 
 
A derivada da 
função F(x)=3x2−5xy+y2=5F(x)=3x
2-5xy+y2=5 é: 
 
 
 
y'(x)=6x−2y5x−2yy′(x)=6x-2y5x-2y 
 
 
y'(x)=5x−6y5x−2yy′(x)=5x-6y5x-2y 
 
 
y'(x)=6x+5y5x−2yy′(x)=6x+5y5x-2y 
 
 
y'(x)=5x−2y5x−yy′(x)=5x-2y5x-y 
 
 
y'(x)=6x−5y5x−2yy′(x)=6x-5y5x-2y 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Encontre os valores absolutos máximo e mínimo da função f (x) = 
x3 -3x2 + 1 para x pertencente ao intervalo fechado [-1/2, 4] 
 
 
máximo absoluto é f(5) = 17 e valor mínimo absoluto f(3) = -5 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 17 e valor mínimo absoluto f(2) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(2) = 17 e valor mínimo absoluto f(1) = -3 
 
 
máximo absoluto é f(4) = 20 e valor mínimo absoluto f(2) = -1 
 
 
máximo absoluto é f(1) = 20 e valor mínimo absoluto f(3) = -3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Use diferenciação implícita para a 
função `x 3 - 3 x2y4 - 3 y4 = x + 1`. 
Encontre dydxdydx. 
 
 
 
dydxdydx = (-1 + x2 ) / (2xy3+ y3) 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 ) / (12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = 0 
 
 
dydxdydx = (-1 + 3x2 - 6xy4 )/(12x2 y3+ 12 y3) 
 
 
dydxdydx = -1 + 3x2 - 6xy4 
 
AULA 07 
00,00 
 
 
$ 
7000,00 
 
 
$ 
4025,00 
 
 
$ 
2000,00 
 
 
$1500,00 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
 Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para 
cima com uma velocidade de lançamento de 160 m/seg. 
A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t 
segundos e S (trajetória em metros). Encontre para 
qualquer instante t a velocidade da pedra. 
 
 
 
- 32t m/seg 
 
 
160 - 32t m/seg 
 
 
10 - 32t m/seg 
 
 
160 - t m/seg 
 
 
160 + 32t m/seg 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Esboce o gráfico da função x3-3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a 
lei de movimento s=f(t). Determine a velocidade e a aceleração 
para a função f(t) = t3 + 2t2 
 
 
 
velocidade = 4 
aceleração = 6 t + 4 
 
 
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aceleração = 2 velocidade = 4 
 
 
velocidade = +4t 
aceleração = 4 
 
 
velocidade = 3t2 +4t 
aceleração = 6 t + 4 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sabendo que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com 
a equação do movimento S = 4t3+ 3t2 + 2t + 1, sendo S a distância em metros e 
t o tempo em segundos. É correto afirmar que: 
 
 
para t = 2 s temos a velocidade instantânea de 60 m/s. 
 
 
a aceleração média dessa partícula é definida por A = 24t + 8. 
 
 
para t = 1 s temos a velocidade instantânea de 24m/s. 
 
 
a velocidade média dessa partícula é definida por V = 12t2 + 6t. 
 
 
para t = 1 s temos a aceleração instantânea de 30 m/s2 . 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade 
de lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t² 
após t segundos e S (trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a 
velocidade instantânea da pedra. 
 
 
10 - 32t m/seg 
 
 
160 - t m/seg 
 
 
- 32t m/seg 
 
 
160 + 32t m/seg 
 
 
160 - 32t m/seg 
 
 
 
Explicação: 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 
m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t² após t segundos e S (trajetória em metros). 
Encontre para qualquer instante t a velocidade instantânea da pedra. 
 
velocidade instantânia é definida pela primeira derivada da funcao. 
a derivada será 160 - 32 t m/seg 
 encontrado é 5 / 3 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
Uma fábrica produz sapatos para mulheres e estima que o custo total C(x) em 
dolares por fabricar x pares de sapatos é dado pela equação: 
C(x) = 200 + 3x + (x2/ 30) 
 
Em uma semana o rendimento total R(x) em dolares é dado pela equação: 
 R(x) = 24 x + (x 2 /250), onde x é o número de pares de sapatos vendidos. 
Determine o Lucro máximo semanal. Lembre-se Lucro total é a diferença entre a 
receita total e o custo total. 
 
 
 
$ 1000,00 
 
 
$1500,00 
 
 
$ 7000,00 
 
 
$ 2000,00 
 
 
$ 4025,00 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para 
cima com uma velocidade de lançamento de 160 m/seg. 
A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t2 após t 
segundos e S (trajetória em metros). Encontre para 
qualquer instante t a velocidade da pedra. 
 
 
 
10 - 32t m/seg 
 
 
- 32t m/seg 
 
 
160 - t m/seg 
 
 
160 - 32t m/seg 
 
 
160 + 32t m/seg 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Esboce o gráfico da função x3-3x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a 
lei de movimento s=f(t). Determine a velocidade e a aceleração 
para a função f(t) = t3 + 2t2 
 
 
 
aceleração = 2 velocidade = 4 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
velocidade = 4 
aceleração = 6 t + 4 
 
 
velocidade = +4t 
aceleração = 4 
 
 
velocidade = 3t2 +4t 
aceleração = 6 t + 4 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabendo que uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com 
a equação do movimento S = 4t3+ 3t2 + 2t + 1, sendo S a distância em metros e 
t o tempo em segundos. É correto afirmar que: 
 
 
para t = 1 s temos a velocidade instantânea de 24m/s. 
 
 
para t = 1 s temos a aceleração instantânea de 30 m/s2 . 
 
 
para t = 2 s temos a velocidade instantânea de 60 m/s. 
 
 
a aceleração média dessa partícula é definida por A = 24t + 8. 
 
 
a velocidade média dessa partícula é definida por V = 12t2 + 6t. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade 
de lançamento de 160 m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t² 
após t segundos e S (trajetória em metros). Encontre para qualquer instante t a 
velocidade instantânea da pedra. 
 
 
- 32t m/seg 
 
 
160 + 32t m/seg 
 
 
10 - 32t m/seg 
 
 
160 - 32t m/seg 
 
 
160 - t m/seg 
 
 
 
Explicação: 
Uma carga de dinamite lança uma pedra pesada para cima com uma velocidade de lançamento de 160 
m/seg. A pedra atinge uma altura de s(t) = 160t - 16t² após t segundos e S (trajetória em metros). 
Encontre para qualquer instante t a velocidade instantânea da pedra. 
 
velocidade instantânia é definida pela primeira derivada da funcao. 
a derivada será 160 - 32 t m/seg 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o valor do limite 
 
 
 
 
4 
 
 
Nenhuma das respostas anteriores 
 
 
3 
 
 
6 
 
 
0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Uma partícula está se movendo ao longo de um eixo de acordo com a 
lei de movimento s=f(t). Determine a velocidade e a aceleração 
para a função