Fundamentos de Álgebra

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AULA 1 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 
4 
 
3 
 
5 
 
12 
 1 
Respondido em 11/09/2019 13:27:24 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro. 
 
 
 
e = 6 
 
e = 1 
 
e = -2 
 
e = 4 
 e = 3 
Respondido em 11/09/2019 13:27:30 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência do elemento neutro. 
 
 
 
e = 0 
 
e = -2 
 
e = 3 
 e = 2 
 
e = 1 
Respondido em 11/09/2019 13:27:32 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
 
 
 
Não, pois não existe elemento simétrico. 
 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Não, pois não existe elemento neutro. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
Respondido em 11/09/2019 13:27:38 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a 
propriedade que garante que seja um grupo abeliano é: 
 
 
 
Elemento neutro. 
 
Elemento inverso. 
 
Associativa. 
 
Distributiva. 
 Comutativa. 
Respondido em 11/09/2019 13:27:42 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento 
neutro e portanto não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento 
neutro e = 4 
Podemos concluir que 
 
 
 
A afirmação I é verdadeira 
 
 
A afirmação III é verdadeira 
 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
 
A afirmação II é verdadeira 
 
 
A afirmação III é falsa 
Respondido em 11/09/2019 13:27:47 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência de elementos simétrizáveis. 
 
 
 
x-1 = 2 - x 
 
x-1 = x + 1 
 x
-1 = 4 - x 
 
x-1 = 1 - x 
 
x-1 = 4 + x 
Respondido em 11/09/2019 13:27:50 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer 
que 16 * 4 é: 
 
 
 
12 
 
13 
 
1 
 0 
 
4 
 
 
 1a Questão 
 
 
Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números 
reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
 
 
 
n = k 
 
m = k 
 m = n 
 
m > n 
 
m < n 
Respondido em 11/09/2019 13:28:00 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
 
 
 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
 
Não, pois não existe elemento neutro. 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 
Não, pois não existe elemento simétrico. 
Respondido em 11/09/2019 13:28:10 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico. 
 
 
 
x-1 = 6 + x 
 
x-1 = 3 
 
x-1 = 3 + x 
 
x-1 = 3 - x 
 x
-1 = 6 - x 
Respondido em 11/09/2019 13:28:16 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 
Existe elemento neutro e = 1 
 
Existe elemento neutro e = -1 
 Existe elemento neutro e = 0 
 
Existe elemento neutro e = 2 
 
Não existe elemento neutro 
Respondido em 11/09/2019 13:28:22 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
 
 
 
Sim, pois existe elemento neutro e = 1 
 Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
 
Sim, pois existe elemento simétrico 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
Respondido em 11/09/2019 13:28:28 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer 
que 15 * (-2) é: 
 
 
 
13 
 
12 
 
0 
 
4 
 1 
Respondido em 11/09/2019 13:28:33 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y + xy 
Verifique a existência do elemento neutro. 
 
 
 
Existe elemento neutro e = -1 
 Existe elemento neutro e = 0 
 
Existe elemento neutro e = 2 
 
Não existe elemento neutro 
 
Existe elemento neutro e = 1 
Respondido em 11/09/2019 13:28:37 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer 
que 16 * 4 é: 
 
 
 0 
 
13 
 
12 
 
4 
 
1 
 
 
 1a Questão 
 
 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
 
 
 Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento 
simétrico. 
 
Não, pois não existe elemento simétrico. 
 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
 
Não, pois não existe elemento neutro. 
 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a 
operação dada ser um grupo. 
Respondido em 11/09/2019 13:28:56 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 
3 
 
5 
 
12 
 1 
 
4 
Respondido em 11/09/2019 13:29:03 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro. 
 
 
 
e = 4 
 
e = 6 
 e = 3 
 
e = 1 
 
e = -2 
Respondido em 11/09/2019 13:29:20 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento 
neutro e portanto não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento 
neutro e = 4 
Podemos concluir que 
 
 
 
 
A afirmação III é falsa 
 
 
A afirmação II é verdadeira 
 
 
A afirmação III é verdadeira 
 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
A afirmação I é verdadeira 
Respondido em 11/09/2019 13:29:24 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere em Z a operação * definidapor: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência do elemento neutro. 
 
 
 e = 2 
 
e = -2 
 
e = 0 
 
e = 3 
 
e = 1 
Respondido em 11/09/2019 13:29:32 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a 
propriedade que garante que seja um grupo abeliano é: 
 
 
 
Elemento neutro. 
 Comutativa. 
 
Distributiva. 
 
Associativa. 
 
Elemento inverso. 
Respondido em 11/09/2019 13:29:39 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência de elementos simétrizáveis. 
 
 
 x
-1 = 4 - x 
 
x-1 = 1 - x 
 
x-1 = x + 1 
 
x-1 = 4 + x 
 
x-1 = 2 - x 
Respondido em 11/09/2019 13:29:45 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer 
que 16 * 4 é: 
 
 
 
1 
 
13 
 
4 
 0 
 
12 
 
AULA 2 
 
 
 1a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11. 
 
 
 
630 
 
14 
 
22 
 
35 
 3 
Respondido em 11/09/2019 13:29:59 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * 
y = xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 13:30:04 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2 
 
 
 
5 
 
4 
 
6 
 
7 
 3 
Respondido em 11/09/2019 13:30:10 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes 
afirmações: 
(I) e * x = x = x * e, para todo x. 
(II) a * x = a = x * a, para todo x. 
(III) x * x = e, para todo x diferente de a. 
(IV) b * d = c; 
(V) b, c, d são regulares. 
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. 
 
 
 
 
 b 
 
d 
 
c 
 
a 
 
e 
Respondido em 11/09/2019 13:30:16 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da equação x + 5 = 3. 
 
 
 
2 
 6 
 
3 
 
0 
 
-2 
Respondido em 11/09/2019 13:30:21 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução do sistema de equações abaixo, em Z11. 
 
 
 
 
 {(0,6)} 
 
{(-14/13;119/39)} 
 
{(2,3)} 
 
{(1,4)} 
 
{(-3,7)} 
Respondido em 11/09/2019 13:30:28 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * 
y = xy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 13:30:33 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
 
 
 
3 
 1 
 
- 5/3 
 
2 
 
4 
 
 
 1a Questão 
 
 
Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 
 
 
 
10 
 
3 
 
35 
 
7 
 5 
Respondido em 11/09/2019 13:30:55 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 e = f1 
 
e = f3 
 
e = f2 
 
e = f4 
 
Não existe elemento neutro. 
Respondido em 11/09/2019 13:30:59 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 
 
 
 
5 
 
48 
 4 
 
8 
 
6 
Respondido em 11/09/2019 13:31:03 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 
A afirmação I é falsa 
 
A afirmação III é verdadeira 
 
Somente a afirmação II é verdadeira 
 
As afirmações I e III são falsas 
 As afirmações I e II são verdadeiras 
Respondido em 11/09/2019 13:31:09 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes 
afirmações: 
(I) e * x = x = x * e, para todo x. 
(II) a * x = a = x * a, para todo x. 
(III) x * x = e, para todo x diferente de a. 
(IV) b * d = c; 
(V) b, c, d são regulares. 
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. 
 
 
 
 
 
a 
 
c 
 
d 
 b 
 
e 
Respondido em 11/09/2019 13:31:13 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯22¯ em Z3. 
 
 
 
e = ¯¯¯ ¯¯ −2-2¯ 
 
e = ¯11¯ 
 
e = ¯22¯ 
 
e = ¯33¯ 
 
e = ¯¯¯ ¯¯ −1-1¯ 
Respondido em 11/09/2019 13:31:18 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * 
sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) 
dadas. 
(I) 1 é o elemento neutro 
(II) seja comutativa 
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis 
(IV) todos os elementos de G são regulares 
(V) 2*3 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 13:31:22 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um 
elemento de G. 
 
 
 
 x = d 
 
 x = a 
 
 
x = f 
 x = c 
 
 x = b 
 
AULA 3 
 
 
 1a Questão 
 
 
Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo 
através de uma proposição. Marque a alternativa que apresenta 
corretamente essa proposição. 
 
 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte 
propriedade: Para todo h1,h2 ∈∈ H temos h1h2 ∈∈ H. 
 
 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, são satisfeitas as seguintes 
propriedades: 
∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos h1h2 ∈∈H e 
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. 
 Então H é um subgrupo de G se é satisfeita a seguinte propriedade: 
 ∀∀ h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de 
G se é satisfeita a seguinte propriedade: ∀∀ h1,h2 ∈∈H, temos h1h2 ∈∈H. 
 Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um 
subgrupo de G se, e somente se, é satisfeita a seguinte 
propriedade: Para todo h ∈∈ H, ∃∃ h ∈∈H, tal que h ∈∈H. 
Respondido em 11/09/2019 13:43:36 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um subgrupo de G. Marque a 
alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos 
de G. R e S contém o elemento e ∈∈G, 
assim e ∈∈R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. 
Considere dois elementos x, y ∈∈R ∩ S. Pela teoria 
dos conjuntos x,y ∈∈ R e x,y ∈∈S. Pela 
hipótese xy ∈∈R e xy ∈∈S então xy ∈∈ R ∩ S . 
Agora considerando um elemento x∈∈ R ∩ S , 
temos x ∈∈ R e x ∈∈S, pela hipótese x-1 ∈∈R e x-
1 ∈∈S , temos então x-1 ∈∈R ∩ S. Portanto, R ∩ 
S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R subgrupo deG. R 
contém o elemento e ∈∈ G. Isso mostra que R ∩ 
S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈∈ R ∩ 
S .Pela hipótese xy ∈∈ R e xy ∈∈ S 
então xy ∈∈ R ∩ S . Agora considerando um 
elemento x∈∈ R ∩ S , temos x ∈∈ R e 
x ∈∈ S, pela hipótese x-1∈∈ R e x-1 ∈∈ S , temos 
então x-1 ∈∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo 
de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos 
de G. R e S contém o elemento e ∈∈ G, 
assim e ∈∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. 
Considere dois elementos x, y ∈∈ R ∩ S. Pela 
teoria dos conjuntos x,y ∈∈ R e x,y ∈∈ S. Pela 
hipótese xy ∈∈ R e xy ∈∈ S então xy ∈∈ R ∩ S . 
Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos 
de G. R e S contém o elemento e ∈∈ G, 
assim e ∈∈ R ∩ S . Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. 
Considere um elemento x ∈∈ R ∩ S , temos 
x ∈∈ R e x ∈∈ S, pela hipótese x-1 ∈∈ R e x-
1 ∈∈ S , temos então x-1 ∈∈ R ∩ S. Portanto, R ∩ 
S é um subgrupo de G. 
 Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos 
de G. R e S contém o elemento e ∈∈G, 
assim e ∈∈R ∩ S . Considere dois elementos x, 
y ∈∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈∈ R e 
x,y ∈∈S. Agora considerando um elemento x ∈∈R 
∩ S , temos x ∈∈ R e x ∈∈S, pela hipótese x-
1 ∈∈R e x-1 ∈∈S , temos então x-1 ∈∈R ∩ 
S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
Respondido em 11/09/2019 13:43:39 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um 
elemento de G. 
 
 
 
 
x = d 
 
x = a 
 
x = f 
 x = c 
 
x = b 
Respondido em 11/09/2019 13:43:46 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z. 
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). 
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) 
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que 
 
 
 
A afirmação I é verdadeira 
 
As afirmações III e IV são falsas 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
As afirmações I e II são verdadeiras 
 As afirmações II e III são verdadeiras 
Respondido em 11/09/2019 13:43:52 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2 . 
 
 
 
0 
 4 
 
3 
 
1 
 
25 
Respondido em 11/09/2019 13:43:57 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 As afirmações II e III são verdadeiras 
 
As afirmações I e III são falsas 
 
A afirmação I é verdadeira 
 
A afirmação III é falsa 
 
As afirmações I e II são verdadeiras 
Respondido em 11/09/2019 13:44:02 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Determine 2-4 em (Z, +). 
 
 
 
2 
 
4 
 -8 
 
-4 
 
8 
Respondido em 11/09/2019 13:44:06 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a2 . 
 
 
 
1 
 2 
 
8 
 
16 
 
4 
 
 
 1a Questão 
 
 
Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a 
ordem do elemento 2. 
 
 
 o(2) = 2 
 o(2) = 5 
 o(2) = 3 
 o(2) = 4 
 
 o(2) = 1 
Respondido em 11/09/2019 13:44:21 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o 
subconjunto 3Z = {3X / x ∈∈ Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 
 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-
1 ∈∈3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-
1 ∈∈3Z 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∉∉ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
 Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y = 3(x + y). Logo, t*u ∈∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
Respondido em 11/09/2019 13:44:31 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 
 
B, D e E 
 
C e F 
 
B e C 
 A e F 
 
A e D 
Respondido em 11/09/2019 13:44:37 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. Determine a ordem do elemento d. 
 
 
 
 o(d) = 3 
 
 o(d) = 4 
 
 o(d) = 2 
 
 o(d) = 1 
 
 o(d) = 5 
Respondido em 11/09/2019 13:44:42 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. Determine os geradores de G. 
 
 
 
 A e F 
 
C e F 
 
B, D e F 
 
A e D 
 
B e C 
Respondido em 11/09/2019 13:44:48 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
(Z6, +). 
 
 
 H é subgrupo de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois o elemento neutro de Z6 não é elemento de H. 
 H não é subgrupo de (Z6, +), pois H não é um subconjunto de (Z6, +). 
 H não é subgrupo de (Z6, +). 
 H é um subconjunto de (Z6, +), pois foi verificada a soma 2 + 3 = 5 em Z6. 
Respondido em 11/09/2019 13:44:54 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. 
 
 
 [2] = {2,4,6,8,0} 
 
[2] = {2,4,6,0} 
 
[2] = {4,6,8,0} 
 
[2] = {2,4,6,8} 
 
[2] = {2,4,8,0} 
Respondido em 11/09/2019 13:44:58 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um 
grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um 
elemento de G. 
 
 
 
 x = c 
 x = a 
 x = d 
 
 x = f 
 x = b 
 
AULA 4 
 
 
 1a Questão 
 
 
Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
 
 
 H∩J é um subgrupo normal de G. 
 
H∩J não é um subgrupo de G. 
 
H∩J é um subgrupo abeliano de G. 
 
H∩J é um subgrupo cíclico de G. 
 
H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. 
Respondido em 11/09/2019 17:56:16 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 
 
Grupos finitos não têm subgrupos. 
 
A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
 
H é cíclico 
 
A ordem de G divide a ordem de H. 
 A ordem de H divide a ordem de G. 
Respondido em 11/09/2019 17:56:20 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a 
alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
 {1, -1} , {i, - i} 
Respondido em 11/09/2019 17:56:24 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G)= (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra 
que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 
 
Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas 
classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = 
o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma 
vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que 
r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única 
dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que 
r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo 
H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H 
é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou 
o(H)/o(G). 
Respondido em 11/09/2019 17:56:28 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 
 
 
 
1 
 
4 
 
2 
 3 
 
6 
Respondido em 11/09/2019 17:56:32 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de 
N em G. 
 
 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
Respondido em 11/09/2019 17:56:37 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
Respondido em 11/09/2019 17:56:41 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 
 
1 + H 
 
H + H 
 
2 + H 
 
H 
 3 + H 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 
2 + H 
 
H + H 
 
H 
 
1 + H 
 3 + H 
Respondido em 11/09/2019 17:56:59 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
 O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H 
Respondido em 11/09/2019 17:57:02 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 
 
 
 
6 
 
4 
 
2 
 3 
 
1 
Respondido em 11/09/2019 17:57:06 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de 
N em G. 
 
 
 G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N} 
 G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N} 
 G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N} 
 G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
 G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N} 
Respondido em 11/09/2019 17:57:13 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
 
 
 
Grupos finitos não têm subgrupos. 
 A ordem de H divide a ordem de G. 
 
H é cíclico 
 
A ordem de H é um múltiplo da ordem de G. 
 
A ordem de G divide a ordem de H. 
Respondido em 11/09/2019 17:57:16 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra 
que a ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
 
 
 
Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma 
vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que 
r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 
Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo 
H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H 
é igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou 
o(H)/o(G). 
 
Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas 
classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = 
o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
 Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes 
laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as 
classes laterais módulo H é igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única 
dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que 
r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
Respondido em 11/09/2019 17:57:21 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a 
alternativa que indica as classes laterais G. 
 
 
 {i, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1} 
 {1, -1}, {i, - i}, {1, - i} 
 {1, -1}, {i, - i}, {i, -1} 
 {1, -1} , {i, - i} 
Respondido em 11/09/2019 17:57:25 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
 
 
 
H∩J é um subgrupo cíclico de G. 
 H∩J é um subgrupo normal de G. 
 
H∩J é um subgrupo abeliano de G. 
 
H∩J é um subgrupo de G, mas não é normal. 
 
H∩J não é um subgrupo de G. 
 
AULA 5 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 (12341432)(12341432) 
 (12343241)(12343241) 
 (12342413)(12342413) 
 (12344213)(12344213) 
 (12343124)(12343124) 
Respondido em 11/09/2019 17:58:26 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. 
 
(I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
 
 
 
 
II e III , apenas 
 
I e II , apenas 
 II , apenasI , apenas 
 
III , apenas 
Respondido em 11/09/2019 17:58:31 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: 
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu 
núcleo. 
 
 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x - 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + 5y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / x + y = 0} 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ RxR / 3x + y = 0} 
Respondido em 11/09/2019 17:58:35 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 (12344213)(12344213) 
 (12341432)(12341432) 
 (12343241)(12343241) 
 (12343124)(12343124) 
 (12342314)(12342314) 
Respondido em 11/09/2019 17:58:41 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 (12343124)(12343124) 
 (12341432)(12341432) 
 (12343241)(12343241) 
 (12342413)(12342413) 
 (12344213)(12344213) 
Respondido em 11/09/2019 17:58:47 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 1234231412342314 
 1234421312344213 
 1234143212341432 
 1234312412343124 
 1234324112343241 
Respondido em 11/09/2019 17:58:53 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: 
Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do 
Isomorfismo concluímos que 
 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 17:59:03 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de 
homomorfismo de grupos. 
 
 
 
Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um 
homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1 
 
Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆), e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um 
homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)*f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1. 
 
Dizemos que f é um homomorfismo de grupos se, e somente se, 
 f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1. 
 
Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) . Dizemos que f é um homomorfismo de grupos, de (G1,*) em 
(G2,∆) se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1. 
 Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um 
homomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀∀ x,y ∈∈G1. 
 
 
 1a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é 
um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as 
seguintes condições: 
f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do 
anel se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) 
e f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é 
um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte 
condição: f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e 
somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = 
f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é 
um homomorfismo do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte 
condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
Respondido em 11/09/2019 17:59:23 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 1234324112343241 
 1234312412343124 
 1234421312344213 
 1234143212341432 
 1234241312342413 
Respondido em 11/09/2019 17:59:27 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Consideremos o homomorfismo de grupos f: (ZxZ, +) → (ZxZ, +), 
f(x,y) = (x - y, 0). Determine o núcleo de f. 
 
 
 
N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =- y} 
 N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =y} 
 
N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =3y} 
 
N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x = -2y} 
 
N(f) = {(x,y) ∈∈ZxZ/x =2y} 
Respondido em 11/09/2019 17:59:30 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. 
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não 
são isomorfos. 
PORQUE 
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. 
 
 
 As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 
 
Apenas a segunda afirmativa é verdadeira. 
 
As duas afirmativas são falsas. 
 
As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda não justifica a primeira. 
 
Apenas a primeira afirmativa é verdadeira. 
Respondido em 11/09/2019 17:59:34 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
 
Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo. 
 
 Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de automorfismo de G. 
 
Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de epimorfismo de G. 
 
Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de monomorfismo de G. 
 
Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de homomorfismo de G. 
Respondido em 11/09/2019 17:59:39 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos. 
 
 
 
 
Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um 
isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção. 
 
Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um 
isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀∀ ∈∈ G1 
onde f é um homomorfismo de grupos. 
 
Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma 
bijeção e f(x*y) = f(x)*f(y) ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. 
 Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um 
isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção e f(x*y) = 
f(x)∆f(y) ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. 
 
Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um 
isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆). se, e somente se, f(x*y) = 
f(x)∆f(y) ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos. 
Respondido em 11/09/2019 17:59:45 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 1234324112343241 
 1234312412343124 
 1234241312342413 
 1234143212341432 
 1234421312344213 
Respondido em 11/09/2019 17:59:51 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 
 (12342413)(12342413) 
 (12341432)(12341432) 
 (12344213)(12344213) 
 (12343241)(12343241) 
 (12343124)(12343124) 
 
 
 
 
9a Questão (Ref.:201807862080) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Seja f: G1 →G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados são (G1,*) e 
(G2,∆) , e o elemento neutro de G2 , e2. Definimos núcleo do homomorfismo f ao conjunto 
{x ∈∈ G1/ f(x) = e2}. Marque a alternativa que mostra corretamente que o núcleo de f, Ker(f), 
definido por Ker(f) = {x∈∈ G1/ f(x) = e2} é um subgrupo normal de G1. 
 
 
 Note que para todo g em G1 e para todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = 
=f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, 
gxg-1 ∈∈ ker(f), para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o 
núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamosconsiderar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever f(xy) = 
f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos escrever que f(x-1)(f(x))-
1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é um 
subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Também podemos escrever que 
f(x-1)(f(x))-1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈∈ ker(f). Note que para todo g em G1 e para 
todo x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = 
=f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg-1 ∈∈ ker(f), 
para todo g em G1 e para todo x ∈∈ ker(f). Assim, 
concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever 
f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o núcleo 
de f é um subgrupo normal. 
 Vamos considerar x,y∈∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈∈ ker(f) e que x-
1 ∈∈ ker(f). Note que por f ser um homomorfismo de grupos podemos escrever f(xy) = 
f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈∈ ker(f). Note que para todo g em G1 e para todo 
x∈∈ ker(f) temos f(gxg-1) = f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = f(g).e2.(f(g))-
1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg-1 ∈∈ ker(f), para todo g em G1 e para todo 
x ∈∈ ker(f). Assim, concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
Respondido em 22/09/2019 10:19:40 
 
 
 
 
10a Questão (Ref.:201807862101) Acerto: 1,0 / 1,0 
 
 
 
 
N(f) = {3} 
 
N(f) = {4} 
 
N(f) = {0} 
 
N(f) = {2} 
 N(f) = {1} 
 
AULA 6 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 
e = -1 
 
e = 2 
 e = 0 
 
e = 1 
 
e = -2 
Respondido em 11/09/2019 18:00:59 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 . 
 
 
 
X= 2 e y=3 
 
X= 5 e y=6 
 X= 3 e y=3 
 
X= 2 e y=2 
 
X= 2 e y=4 
Respondido em 11/09/2019 18:01:01 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um 
anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o 
conjunto de todas as funções de K em A. 
 
 
 II , apenas 
 I e III , apenas 
 I , apenas 
 I e II , apenas 
 III , apenas 
Respondido em 11/09/2019 18:01:06 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n∈N⋅n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos. 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈Nn∈N. 
 
 
 
 
Apenas a afirmativa II está correta 
 As afirmativas II e III estão corretas 
 
As afirmativas I, II e III estão corretas 
 
As afirmativas I e III estão corretas 
 
As afirmativas I e II estão corretas 
Respondido em 11/09/2019 18:01:11 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n∈N⋅n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos. 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈Nn∈N. 
 
 
 
 As afirmativas II e III estão corretas 
 
As afirmativas I, II e III estão corretas 
 
As afirmativas I e III estão corretas 
 
As afirmativas I e II estão corretas 
 
Apenas a afirmativa II está correta 
Respondido em 11/09/2019 18:01:14 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução : 
 
 
 
x = 3 
 
x = 10 
 
x = 5 
 
x = 8 
 x = 1 
Respondido em 11/09/2019 18:01:18 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel 
Z12: 
 
 
 
x= 3 e y= 8 
 
x=5 e y={3,8,9} 
 
x= 3 e y= 4 
 
x= 1 e y= 5 
 x= 3 e y= 5 
Respondido em 11/09/2019 18:01:23 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa que 
indica a existência do elemento simétrico para a adição. 
 
 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, 
existe o simétrico -xij que pertence ao anel . Então tomemos - X = [ xij] em 
(Mn(A)), 
então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = -[ xij] é o simétrico 
de X = [xij]. 
 Existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. 
Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (+X) = [xij] + [xij] = [xij + xij] . 
Logo, X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, 
existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. 
Então 
 tomemos - X = [- xij] em (Mn(A)), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, 
existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. 
Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A), então X + (-X) = [xij] + [-xij] = [xij -xij] = [0] 
= e. Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, 
existe o simétrico -xij que pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. 
Então tomemos - X = . Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 x' = -2 - a 
 
 x' = - a 
 
 x' = 2 + a 
 
 x' = 2 - a 
 x' = -2 + a 
 
Respondido em 11/09/2019 18:01:41 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 . 
 
 
 
X= 2 e y=4 
 
X= 2 e y=2 
 X= 3 e y=3 
 
X= 2 e y=3 
 
X= 5 e y=6 
Respondido em 11/09/2019 18:01:45 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução : 
 
 
 
x = 5 
 x = 1 
 
x = 3 
 
x = 8 
 
x = 10 
Respondido em 11/09/2019 18:01:49 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para 
a operação de multiplicação usual: 
 
 
 
Z_ 
 
Z 
 nZ 
 
Zn 
 
Q 
Respondido em 11/09/2019 18:01:54 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 O elemento neutro desse anel é 
 
 
 
 e = -1 
 
 e = 0 
 
 e = -2 
 e = 1 
 
 e = 2 
 
Respondido em 11/09/2019 18:01:59 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel 
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a 
alternativa que apresenta os elementos que estão faltando nas tabelasda adição e 
multiplicação, respectivamente. 
 
 
 
 a - c 
 
 b - a 
 a - b 
 b - c 
 c - b 
Respondido em 11/09/2019 18:02:04 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere as operações x * y = x + y - 2 e x ΔΔ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Za∈ℤ. Para que valor de a, 
(Z, * , ΔΔ) é um anel? 
 
 
 
a = - 2 
 
a = 1 
 a = 6 
 
a = 3 
 
a = 2 
Respondido em 11/09/2019 18:02:07 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a 
operação de multiplicação usual: 
 
 
 
Z 
 
Z_ 
 
Q 
 
Zn 
 nZ 
 
 
 1a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, ΔΔ) com as operações 
definidas por: 
 
a * b = a + b - 1 
 
a ΔΔb = a + b - ab 
 
 
 
 e = 1 
 
e = 2 
 
e = 3 
 
e = 5 
 
e = 4 
Respondido em 11/09/2019 18:02:20 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel 
Z12: 
 
 
 
x= 3 e y= 4 
 
x=5 e y={3,8,9} 
 x= 3 e y= 5 
 
x= 1 e y= 5 
 
x= 3 e y= 8 
Respondido em 11/09/2019 18:02:24 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, ΔΔ) com as operações 
definidas por: 
 
a * b = a + b - 1 
 
a ΔΔb = a + b - ab 
 
 
 
 
e = 4 
 
e = 2 
 
e = 5 
 
e = 3 
 e = 1 
Respondido em 11/09/2019 18:02:28 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
 
 
 
 ∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ 
Respondido em 11/09/2019 18:02:31 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
 
 
 
 ∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ 
 ∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ 
Respondido em 11/09/2019 18:02:34 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as 
funções de K em A. 
 
 
 
 
I , apenas 
 I e III , apenas 
 
I e II , apenas 
 
III , apenas 
 
II , apenas 
Respondido em 11/09/2019 18:02:38 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as 
funções de K em A. 
 
 
 
 I e III , apenas 
 
III , apenas 
 
II , apenas 
 
I e II , apenas 
 
I , apenas 
Respondido em 11/09/2019 18:02:44 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 
 b - c 
 a - b 
 a - c 
 
 d - c 
 c - b 
 
AULA 7 
 
 
 1a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que: 
 
 
 
 Somente a II e IV estão corretas. 
 Somente a I, III e IV estão corretas. 
 Somente a III e IV estão corretas. 
 Somente a II e III estão corretas. 
 Somente a I está correta. 
Respondido em 11/09/2019 18:02:59 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈Ax,y,z∈A então (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
Respondido em 11/09/2019 18:03:03 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 
 
 
 
O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 
 
Q 
 2Z 
 
Z 
 
Z+ 
Respondido em 11/09/2019 18:03:09 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre 
o assunto estudado: 
Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
Respondido em 11/09/2019 18:03:14 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. 
 
 
 (Z, +, .) não é um anel com unidade. 
 
 (C,+, .) não é um anel com unidade. 
 
 O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 
 (R, + , .) não é um anel com unidade. 
 
 (Q, +, .) não é um anel com unidade. 
 
Respondido em 11/09/2019 18:03:196a Questão 
 
 
A 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre 
o assunto estudado: 
Seja A um anel, a∈Aa∈A e ∀∈Z∀∈ℤ temos: 
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Respondido em 11/09/2019 18:03:24 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
m(ka) = (mk)a 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
 Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
Respondido em 11/09/2019 18:03:29 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as 
seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel 
comutativo. 
 
 
 x.y= y.x 
 
(x.y).z = x.(y.z) 
 
x + y = y + x 
 
x(y + z) = x.y + x.z 
 
(x + y) + z = x + (y + z) 
 
 
 1a Questão 
 
 
Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo 
as afirmativas, 
 
 
 
apenas (I) está incorreta. 
 
apenas (III) está incorreta. 
 apenas (II) está incorreta. 
 
apenas (IV) está incorreta. 
 
Todas estão incorretas 
Respondido em 11/09/2019 18:03:44 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre 
o assunto estudado: 
Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
Respondido em 11/09/2019 18:03:49 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m 
≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros. 
 
 
 ¯33¯ 
 ¯55¯ 
 ¯11¯ 
 ¯44¯ 
 ¯22¯ 
Respondido em 11/09/2019 18:03:56 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos. 
 
 
 
 (C,+,.) não é um anel comutativo. 
 (Zm,+, .) não é um anel comutativo 
 Os anéis das matrizes são anéis comutativos se n ≥ 2. 
 (RR, +,.) é um anel comutativo. 
 (Z,+,.) não é um anel comutativo. 
Respondido em 11/09/2019 18:04:00 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 
 
 
 
Z+ 
 
Q 
 2Z 
 
Z 
 
O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2 
Respondido em 11/09/2019 18:04:03 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte 
proposição sobre o assunto estudado: 
 Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n temos n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)aSeja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
m(ka) = (mk)a 
Respondido em 11/09/2019 18:04:07 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre 
o assunto estudado: 
Seja A um anel, a∈Aa∈A e ∀∈Z∀∈ℤ temos: 
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2. 
(m - k)a = ma - ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a. 
 Seja A um anel, e m,n∈Zm,n∈ℤ . 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
(m + k)a = ma + ka 
Respondido em 11/09/2019 18:04:12 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que: 
 
 
 
M_2x2 (R) tem divisores de zero 
 
M_2x2 (R) tem elemento neutro da soma. 
 
Nenhuma das anteirores 
 M_2x2 (R) é um anel comutativo. 
 
M_2x2 (R) tem unidade. 
 
 
 1a Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x∈Ax∈A então - (-x) = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 18:04:28 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x∈Ax∈A então - (-x) = x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respondido em 11/09/2019 18:04:37 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as 
seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel 
comutativo. 
 
 
 
(x + y) + z = x + (y + z) 
 x.y= y.x 
 
x + y = y + x 
 
x(y + z) = x.y + x.z 
 
(x.y).z = x.(y.z) 
Respondido em 11/09/2019 18:04:42 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈Ax,y,z∈A então (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
Respondido em 11/09/2019 18:04:49 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que: 
 
 
 
 Somente a I, III e IV estão corretas. 
 Somente a III e IV estão corretas. 
 Somente a II e IV estão corretas. 
 Somente a I está correta. 
 Somente a II e III estão corretas. 
Respondido em 11/09/2019 18:04:54 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre 
o assunto estudado: 
Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
 Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
 
 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que para m = k ≥ 1 temos 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 Seja A um anel, a,b∈Aa,b∈A e m∈Zm∈ℤ. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora note que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
Respondido em 11/09/2019 18:04:59 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
 Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈Ax,y,z∈A então (x - y)z = xz - yz. 
 
 
 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos deA. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
 Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
 Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
Respondido em 11/09/2019 18:05:04 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. 
 
 
 (Q, +, .) não é um anel com unidade. 
 
 (C,+, .) não é um anel com unidade. 
 
 O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 
 (Z, +, .) não é um anel com unidade. 
 
 (R, + , .) não é um anel com unidade. 
 
AULA 8 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 
Somente a I está correta. 
 
 
Somente a II está correta. 
 
 
Somente a I e II estão corretas. 
 
 
Somente a II e III estão corretas. 
 Somente a III está correta. 
 
Respondido em 11/09/2019 18:05:19 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
 
 
 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
Respondido em 11/09/2019 18:05:25 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
 
 
 
S = {1,11} 
 
S = {0,1 } 
 
 S = {0,1,10} 
 
 
S = {0,10} 
 
S = {0,2,12} 
Respondido em 11/09/2019 18:05:29 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento 
neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: 
 
 
 
A=Q e B=Z3 
 
A=Q e B=Zn 
 A=Z e B=2Z 
 
A=Z e B=Zn 
 
A=3Z e B=2Z 
Respondido em 11/09/2019 18:05:32 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine todos os divisores de zero do anel Z15. 
 
 
 2, 5, 9, 10 e 12 
 3, 5 e 9 
 3, 5, 9 e 10 
 3, 5, 9, 10 e 12 
 1, 3, 9, 10 e 12 
Respondido em 11/09/2019 18:05:37 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 
 
 
 
4 
 
1 
 
2 
 3 
 
5 
Respondido em 11/09/2019 18:05:39 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma 
justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente 
a justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
 
 
 Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
 ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número 
par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
Respondido em 11/09/2019 18:05:42 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
 
 
 (Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.) 
 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6 
 (Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.) 
 O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z 
 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o 
conjunto 
S = {2n/ `n in Z`} 
 
 
 1a Questão 
 
 
 
 
 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
Respondido em 11/09/2019 18:06:00 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
 
 
 
O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z. 
 
(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.). 
 O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6. 
 
 Q,+,.) não é um subanel de (R,+,.) e (C,+,.). 
 
 O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈∈Z} 
Respondido em 11/09/2019 18:06:04 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Indique todos os divisores de zero do anel Z15. 
 
 
 
3,5,6,10 e 15 
 
5,9,10, e 15 
 
2,3,6,8 e 10 
 3,5,9,10 e 12 
 
3,5,9,10 e 15 
Respondido em 11/09/2019 18:06:10 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e 
multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e 
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a 
alternativa correta. 
 
 
 
2 e 4 não são divisores de zero em Z8. 
 
o anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
 
O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
 2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
 
3, 5, e 12 são os únicos divisores de Z15. 
Respondido em 11/09/2019 18:06:14 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento 
neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: 
 
 
 
A=Z e B=Zn 
 
A=3Z e B=2Z 
 A=Z e B=2Z 
 
A=Q e B=Z3 
 
A=Q e B=Zn 
Respondido em 11/09/2019 18:06:17 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 não é um anel comutativo 
 o elemento neutro do anel é e = 1 
 não é um anel de integridade 
 o anel possui unidadeo elemento simétrico do anel é x' = 1 - x 
Respondido em 11/09/2019 18:06:21 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de 
zero, se o mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo 
n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
Respondido em 11/09/2019 18:06:27 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares 
não é um subanel de Z. Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma 
justificativa para essa proposição. Marque a alternativa que apresenta corretamente a 
justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
 
 
 Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - 1 + (2m - 2) = 2n - 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
 ∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um 
número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) + 1 que é 
um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 Dado o conjunto S = {2n / n∈Zn∈ℤ} veja que: 
∀x,y∈S∀x,y∈S e ∀m,n∈S∀m,n∈S, temos x = 2n e y = 2m 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n - (2m ) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número 
par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos 
números ímpares não é um subanel de Z. 
 
 
 1a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
(I) 35 é divisor de zero no anel Z54. 
(II) 36 é divisor de zero no anel Z54. 
(III) Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de 
zero, então B é um anel também sem divisores de zero. 
(IV) No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -
1, 2 e -2 
 Podemos afirmar que: 
 
 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
 
Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa III é verdadeira. 
 
Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. 
Respondido em 11/09/2019 18:06:46 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a 
intersecção de B e C é subanel de A. 
 
 
 Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo 
x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , 
logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y 
pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção 
entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y 
pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x 
e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo 
x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a 
intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B 
logo e x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , 
logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção 
B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y 
pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y 
pertence a C , logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence 
a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B não é 
C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y 
pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y 
pertence a C , logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y 
pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção 
entre B e C é Subanel . 
Respondido em 11/09/2019 18:06:50 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de 
zero. Marque a alternativa que indica os divisores de zero em Z8. 
 
 
 3 e 4 
 2, 4 e 6 
 2 e 4 
 0 e 2 
 1, 2 e 8 
Respondido em 11/09/2019 18:06:53 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade: 
 
 
 
Z x Z 
 
M2 (iR) (conjunto das matrizes de ordem 2) 
 
Z3 
 
Z14 
 Q 
Respondido em 11/09/2019 18:06:59 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é 
subanel de A: 
 
 
 
Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y 
pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C 
(Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir 
que a intersecção entre B e C é Subanel . 
 
Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem 
a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel 
por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a 
intersecção entre B e C é Subanel . 
 Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo 
x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y 
pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim 
podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel . 
 
Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo 
x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C 
(Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a 
intersecção entre B e C é Subanel . 
 
Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo 
x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y pertencem a C 
(Subanel por hipótese) , logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a 
intersecção entre B e C é Subanel . 
Respondido em 11/09/2019 18:07:026a Questão 
 
 
O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 
 
 
 4 
 3 
 2 
 1 
 5 
Respondido em 11/09/2019 18:07:06 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Indique todos os divisores de zero do anel Z15. 
 
 
 
3,5,6,10 e 15 
 
5,9,10, e 15 
 
2,3,6,8 e 10 
 
3,5,9,10 e 15 
 3,5,9,10 e 12 
Respondido em 11/09/2019 18:07:11 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de 
zero, se o mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo 
n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
 
 
 
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
 
Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. 
 Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
 
Somente a afirmativa II é verdadeira. 
 
Somente a afirmativa I é verdadeira. 
 
AULA 9 
 
 
 1a Questão 
 
 
Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . 
 
 
 
 U(Z4) = {0,1,3} 
 
U(Z4) = {2,3} 
 
U(Z4) = {0,1,2} 
 
U(Z4) = {1,2,3} 
 U(Z4) = {1,3} 
Respondido em 11/09/2019 18:07:23 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo? 
 
 
 
Zp para p primo 
 
IR 
 Z 
 
Q 
 
C 
Respondido em 11/09/2019 18:07:25 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir ....: 
 
 
 
elemento neutro da adição 
 inverso multiplicativo 
 
elemento neutro da multiplicação 
 
elemento simétrico. 
 
inverso aditivo 
Respondido em 11/09/2019 18:07:29 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a única afirmação correta. 
 
 
 Todo anel de integridade finito e um corpo 
 
Todo anel comutativo é um corpo 
 
Todo anel de integridade é um corpo 
 
o anel Zn é um corpo para todo n 
 
Todo subanel é um corpo 
Respondido em 11/09/2019 18:07:33 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo? 
 
 
 
Zp para p primo 
 
Q 
 
IR 
 
C 
 Z 
Respondido em 11/09/2019 18:07:36 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
No anel Z8, determine Nilp (Z8 ). 
 
 
 
Nilp (Z8 ) = {0,2,4} 
 
Nilp (Z8 ) = {0,2} 
 
Nilp (Z8 ) = {2,4, 6} 
 Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6} 
 
Nilp (Z8 ) = {2,4} 
Respondido em 11/09/2019 18:07:38 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
 
 
 
 
e = 1 
 
e = 4 
 
e = 5 
 
e = 2 
 e = 3 
Respondido em 11/09/2019 18:07:45 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de 
zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de 
zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 
 1a Questão 
 
 
No anel Z6 determine Idemp (Z6 ). 
 
 
 Idemp (Z6 ) = {1} 
 Idemp (Z6 ) = {2,3,4} 
 Idemp (Z6 ) = {1,3,4} 
 Idemp (Z6 ) = {1,2,3} 
 Idemp (Z6 ) = {1,2} 
Respondido em 11/09/2019 18:07:58 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
No anel Z4 determine Reg(Z4 ). 
 
 
 Reg(Z4 ) = {0,3} 
 Reg(Z4 ) = {0,1,3} 
 Reg(Z4 ) = {3} 
 Reg(Z4 ) = {1,3} 
 Reg(Z4 ) = {1} 
Respondido em 11/09/2019 18:08:17 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a única afirmação correta. 
 
 
 Todo anel de integridade finito e um corpo 
 
Todo subanel é um corpo 
 
Todo anel de integridade é um corpo 
 
o anel Zn é um corpo para todo n 
 
Todo anel comutativo é um corpo 
Respondido em 11/09/2019 18:08:24 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta. 
 
 
 A não tem divisores de zero ⇔ B tem divisores de zero. 
 A é domínio ⇔ B não é domínio. 
 A é comutativo ⇔ B não é comutativo. 
 A tem unidade ⇔ B não tem unidade. 
 A é corpo ⇔ B é corpo. 
Respondido em 11/09/2019 18:08:29 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
No anel Z8, determine Nilp (Z8 ). 
 
 
 Nilp (Z8 ) = {2,4} 
 Nilp (Z8 ) = {0,2,4} 
 Nilp (Z8 ) = {0,2} 
 Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6} 
 Nilp (Z8 ) = {2,4, 6} 
Respondido em 11/09/2019 18:08:31 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
 
 
 
 
e = 1 
 
e = 5 
 
e = 4 
 
e = 2 
 e = 3 
Respondido em 11/09/2019 18:08:35 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . 
 
 
 U(Z4) = {2,3} 
 U(Z4) = {1,3} 
 U(Z4) = {0,1,2} 
 U(Z4) = {0,1,3} 
 U(Z4) = {1,2,3} 
Respondido em 11/09/2019 18:08:39 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
 
 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de 
zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de zero, 
o que implica que ele é um anel de integridade. 
 Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo 
que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a 
hipótese. Portanto, x = 0 ou y = 0. Logo, K não tem divisores próprios de 
zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 
 1a Questão 
 
 
No anel Z4 determine Reg(Z4 ). 
 
 
 Reg(Z4 ) = {0,3} 
 Reg(Z4 ) = {1} 
 Reg(Z4 ) = {1,3} 
 Reg(Z4 ) = {3} 
 Reg(Z4 ) = {0,1,3} 
Respondido em 11/09/2019 18:08:55 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
No anel Z6 determine Idemp (Z6 ). 
 
 
 Idemp (Z6 ) = {1,3,4} 
 
Idemp (Z6 ) = {1} 
 
Idemp (Z6 ) = {2,3,4} 
 
Idemp (Z6 ) = {1,2} 
 
Idemp (Z6 ) = {1,2,3} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:01 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Determine U(Z12) em Z12. 
 
 
 
U(Z12) = {1,7,11} 
 
U(Z12) = {1,5,11} 
 
U(Z12) = {7,11} 
 U(Z12) = {1,5,7,11} 
 
 
U(Z12) = {5,7,11} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:06 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo. 
 
 
 
Um Corpo é um anel comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo 
elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-
1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
 
 
Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado 
corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, 
então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
 
 
Um Corpo é um anel que tem apenas unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado 
corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então 
existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
 
 Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado 
corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, 
então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1. 
 
Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado 
corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo. 
Respondido em 11/09/2019 18:09:12 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir ....: 
 
 
 
elemento neutro da multiplicação 
 
elemento neutro da adição 
 inverso multiplicativo 
 
elemento simétrico. 
 
inverso aditivo 
Respondido em 11/09/2019 18:09:16 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine U(Z12) em Z12. 
 
 
 U(Z12) = {7,11} 
 U(Z12) = {1,7,11} 
 U(Z12) = {1,5,7,11} 
 U(Z12) = {5,7,11} 
 U(Z12) = {1,5,11} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:18 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
 
 
 S = {0,1 } 
 S = {0,10} 
 S = {0,2,12} 
 S = {0,1,10} 
 S = {1,11} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:21 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 
 e = 3 
 
e = 4 
 
e = 5 
 
e = 2 
 
e = 1 
 
AULA 10 
 
 
 1a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
 
 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe 
um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm 
as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um 
isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os 
anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando 
existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles 
têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe 
um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm 
as mesmas propriedades. 
Respondido em 11/09/2019 18:09:35 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determine todos os ideais de Z8. 
 
 
 
{0}, {0,4} e Z8 
 
{0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 
{0} e {0,2,4,6} 
 
{0}, {0,2,4,6} e {0,4} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:40 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. 
 
 
 {0,2} 
 {0, 4} 
 {2,4} 
 {0,2,4} 
 {0} 
Respondido em 11/09/2019 18:09:43 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
 
 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. 
Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. 
Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A 
e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são 
isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e 
B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e 
B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
Respondido em 11/09/2019 18:09:50 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
 2Z é um ideal no anel Z. 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal no anel Q. 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível de A, então I ≠ A. 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo elemento 2. 
Respondido em 11/09/2019 18:09:55 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + 
nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z 
+ 3Z. 
 
 
 
2Z 
 
3Z 
 
6Z 
 
5Z 
 Z 
Respondido em 11/09/2019 18:09:58 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta. 
 
 
 A não tem divisoresde zero ⇔⇔ B tem divisores de zero. 
 A tem unidade ⇔⇔ B não tem unidade. 
 A é comutativo ⇔⇔ B não é comutativo. 
 A é corpo ⇔⇔ B é corpo. 
 A é domínio ⇔⇔ B não é domínio. 
Respondido em 11/09/2019 18:10:04 
 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈∈A, x ∈∈ I e x ∈∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 
 
 
 
2Z 
 
4Z 
 
5Z 
 
3Z 
 6Z 
 
 
 1a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 
 
 
 5Z 
 2Z 
 6Z 
 4Z 
 3Z 
Respondido em 11/09/2019 18:10:17 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. 
 
 
 
 
{2,4} 
 
{0} 
 
{0,2} 
 {0,2,4} 
 
{0, 4} 
Respondido em 11/09/2019 18:10:21 
 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
 Seja f: Z x Z → Z tal que f(x,y) = x. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: Z → Z tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel. 
 Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
Respondido em 11/09/2019 18:10:25 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + 
nZ = dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z 
+ 3Z. 
 
 
 
5Z 
 Z 
 
2Z 
 
6Z 
 
3Z 
Respondido em 11/09/2019 18:10:30 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine todos os ideais de Z8. 
 
 
 
{0}, {0,2,4,6} e {0,4} 
 {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 
{0} e {0,2,4,6} 
 
{0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 
{0}, {0,4} e Z8 
Respondido em 11/09/2019 18:10:33 
 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
 
 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis. Dizemos que f é um homomorfismo do anel se, e somente 
se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: f(xy) = f(x)f(y). 
 Sejam (A, +, .) um anel. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A se, e somente se, são 
válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, é válida a seguinte condição: 
f(x + y) = f(x) + f(y). 
 Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo 
do anel A no anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e 
f(xy) = f(x)f(y). 
Respondido em 11/09/2019 18:10:35 
 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) : 
 
 
 
I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z 
 
I=3Z U 7Z , A=Z 
 
I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR 
 
 
I=Z , A=Q 
 I=3Z , A=z 
Respondido em 11/09/2019 18:10:40 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
 
 
 
 
N(f) = {(0,1)} 
 
N(f) = {(0,3)} 
 N(f) = {(0,0)} 
 
N(f) = {(0,2)} 
 
N(f) = {(0,4)} 
 
 
 1a Questão 
 
 
Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) : 
 
 
 
I=3Z U 7Z , A=Z 
 
I={f: IR -> IR/ f(1)+f(2)=0} , A= IRIR 
 
 
I=elementos de z não divisores de 100 , A=Z 
 I=3Z , A=z 
 
I=Z , A=Q 
Respondido em 11/09/2019 18:10:52 
 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Marque a alternativa correta. 
 
 
 Seja I = {f: R → R/f(1) + f(2) = 0} e (RR, +, .). I é um ideal do anel (RR, +, .). 
 2Z é um ideal no anel Z. 
 O conjunto dos números pares não é um ideal principal de Z gerado pelo 
elemento 2. 
 Seja I é um ideal do anel A com unidade. Se I contém um elemento inversível 
de A, então I ≠ A. 
 Considere um anel (Q, +, .) e I = Z (conjunto dos números pares). Z é um ideal 
no anel Q. 
Respondido em 11/09/2019 18:10:56 
 
 
Gabarito 
Coment. 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
 
 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e 
B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A 
e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é bijetora. 
Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. 
Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são 
isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um 
homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e 
B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
Respondido em 11/09/2019 18:11:00 
 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
 
 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é bijetora. Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os 
anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é injetiva. Assim, dizemos que quando existe 
um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm 
as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é sobrejetora. Assim, dizemos que quando 
existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles 
têm as mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo. Assim, dizemos que quando existe um 
isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades. 
 Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → 
B que é um homomorfismo e é bijetora. Assim, dizemos que quando existe 
um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm 
as mesmas propriedades. 
Respondido em 11/09/2019 18:11:04 
 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ +