Seminario Transformada De Fourier FINAL (1)

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A Transformada de Fourier e Suas Aplicações
Componentes: 
 Adilson Pereira A. Júnior 20141021024
 Cíntia Ferreira Santos 20141021098
 Guilherme Fritsch 20141021121
 Henrique Tanure B. Matos 20172024015
 Sabrina Pereira Santos 20141021072
 
Teófilo Otoni, 2018
Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri
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Sumário 
• Transformada de Fourier;
 • Breve Histórico;
• Definição;
 
 • Conceitos Básicos;
 • Aplicações;
 • Considerações Finais.
Transformada de Fourier: Metáfora
• O que as Transformadas de Fourier fazem ? Dada uma Vitamina, acha os ingredientes.
• Como? 'Roda' a Vitamina por filtros e extrai a receita.
• Porque ? Receitas são mais simples de analisar, comparar, e modificar do que Vitaminas.
• Como conseguir a Vitamina novamente ? Misture os ingredientes.
Transformada de Fourier
Transformada de Fourier: Histórico
• Século XVII: matemático e físico francês Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) demonstrou que qualquer forma de onda pode ser representada por uma somatória de senóides e cossenóides de diferentes frequências, amplitudes e fases.
• Transformada de Fourier: decompõe um sinal em suas componentes elementares seno e cosseno. 
• Aplicação inicial: problemas da condução do calor (lei da condução térmica).
Transformada de Fourier
Fourier foi perceber que, por mais complicada que seja a forma da onda final, ela sempre pode ser representada como uma combinação de senóides — mesmo que isso signifique usar um número infinito.
O fato de utilizar um número infinito de amostras no domínio do tempo e, consequentemente, um número infinito de pontos no domínio da frequência, representa um problema para implementação da TF na prática (computadores). 
Transformada de Fourier:
Definição
Em português matemático:
• A Transformada de Fourier 'pega' um padrão com base temporal e mede cada possível ciclo, retornando a 'receita‘ geral dos ciclos (intensidade, deslocamento , velocidade e rotação para cada ciclo que foi encontrado).
Transformada de Fourier: Conceitos Básicos
 Importante:
 • Funções periódicas são representadas por séries de Fourier;
 • Funções não-periódicas são representadas por transformadas de Fourier (espectro do sinal);
 • Uma representação de f(x) é uma decomposição em componentes que também são funções;
 • As componentes dessa decomposição são as funções trigonométricas sen(x) e cos(x).
Transformada de Fourier
Exemplo 1
Transformada de Fourier
Exemplo 2
Transformada de um pulso retangular:
Transformada de Fourier
Exemplo 2
Transformada de um pulso retangular:
Transformada de Fourier
Exemplo 2
Transformada de um pulso retangular:
Transformada de um pulso retangular:
Transformada Discreta de Fourier (DFT):
Utiliza um número finito de pontos no domínio do tempo e define uma representação discreta do sinal no domínio da frequência.
Aplicações das transformada de Fourier: 
Equações diferenciais:
Talvez a aplicação de maior importância da transformada de Fourier seja a resolução de equações diferenciais parciais. Muitas das equações da física matemática do século XIX podem ser tratadas desta maneira.  
Espectroscopia:
A transformada de Fourier também é utilizada em ressonância magnética nuclear e em outras tipos de espectroscopia, como a infravermelha. Na ressonância magnética nuclear um sinal de decaimento livre induzido em forma exponencial é adquirido no domínio do tempo e Fourier-transformado em uma linha com forma Lorentziana no domínio da frequência. A transformada de Fourier também é aplicada na ressonância magnética por imagem e em espectroscopia de massas.
Aplicações das transformada de Fourier
Mecânica quântica: A transformada de Fourier é útil na Mecânica Quântica de duas maneiras diferentes. Para começar, a Mecânica Quântica postula a existência de pares de variáveis complementares, ligados pelo princípio da incerteza de Heisenberg. O outro uso da transformada de Fourier na mecânica quântica e na teoria quântica de campos é resolver a equação de onda aplicável.
Aplicações das transformada de Fourier: 
• Física;
• Química;
• Teoria dos números;
• Análise combinatória;
• Processamento de sinais;
• Teoria das probabilidades;
• Estatística;
• Criptografia e outras áreas.
Aplicações das transformada de Fourier na música 
A transformada de Fourier é a grande responsável pela existência da música digital. Isso deve se ao fato que é preciso ter um tamanho compacto da música e isso foi adquirido a partir da aplicação da transformada de Fourier em um pequeno trecho de uma música, pois assim você vai descobrir que existem alguns componentes de frequência que são incrivelmente dominantes e outros que mal aparecem. Ele faz isso por toda a música, cortando-a em milhões de trechos, a partir da analise do espectro de frequência.
 
Aplicações das transformada de Fourier na música 
O Shazam também utiliza transformadas de Fourier, ele tem um banco de dados de frequências distintas em canções, que ele compara com o que você coloca para o app ouvir, porque isso é mais confiável do que tentar comparar uma gravação de áudio com outra.
Aplicações das transformada de Fourier na música 
Os fones de ouvido com cancelamento de ruído também usam transformadas de Fourier: um microfone grava o ruído do ambiente ao seu redor, mede o conteúdo da frequência em todo o espectro, e, em seguida, inverte o conteúdo para adicionar um som em seu mix de áudio que vai anular os bebês chorando e ruídos da estrada ao seu redor.
Aplicações das transformada de Fourier na música 
Outra aplicação da transformada de Fourier na música é determinar quais as notas musicais (frequências) tocadas em uma música ou por um instrumento. 
Afinadores digitais de violão usam a transformada pra “decodificar” se as notas(frequências) tocadas coincidem com as notas(frequências) ideais daquele acorde. 
Os acordes do violão geralmente são tríades, ou seja, são formados por 3 notas(frequências) diferentes. O acorde Dó maior por exemplo é formado pelas notas Dó (frequência = 132,000 Hz), Mi(frequência = 165,000 Hz) e Sol(frequência = 198,000 hz). Assim a onda sonora resultante será a soma das ondas de cada nota tocada.
Conclusão 
A transformada de Fourier tornou-se a ferramenta indispensável em quase todos os ramos das Ciências Exatas e principalmente nas diversas áreas de Engenharia, sua importância contribuiu  com um papel muito importante na Rádio, Televisão, o Telefone e a Internet que constituem, hoje, a parte mais importante e mais visível de uma estrutura muito complexa que se convencionou chamar de SISTEMAS DE COMUNICAÇÕES. Essa estrutura, formada por diversas redes de comunicação, exige Modelagem Matemática, Especificação, Regulamentação e muitos outros seguimentos da Área de Engenharia Elétrica-Eletrônica e da Engenharia de Telecomunicações por exemplo. A Análise de Fourier tornou-se a ferramenta indispensável no tratamento de muitos pontos obscuros da Física Moderna, da Teoria da Comunicação, de Sistemas Lineares, e de muitos outros ramos da Ciência.
Referências 
Betterexplained.com,. An Interactive Guide To The Fourier Transform | BetterExplained. Disponível em: . Acesso em: 1/ 6/
 2015.
http://www.dsc.ufcg.edu.br/~pet/ciclo_seminarios/tecnicos/2010/TransformadaDeFourier.pdf
https://gizmodo.uol.com.br/transformada-fourier-usos/
http://www.descomplicandoamusica.com/campo-harmonico/
http://www.das.inpe.br/~alex/FisicadaMusica/fismus_escalas.htm